安徽省六安第一中学2023-2024学年高三数学上学期第二次月考试题（Word版附解析）

六安一中2024届高三年级第二次月考

数学试卷

时间：120分钟

一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. “是第一象限角”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】根据充分、必要条件的定义，结合角的概念，即可得答案.

【详解】若是第一象限角，则，无法得到一定属于，充分性不成立，

若，则一定是第一象限角，必要性成立，

所以“是第一象限角”是“”的必要不充分条件.

故选：B

2. 已知中，，，，则的面积是（    ）

A.  B.  C. 6 D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据余弦定理求出，再求出，然后用面积公式即可.

【详解】，.

故选：A.

3. 函数的图象最有可能是以下的（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据函数奇偶性排除CD，代入特殊点，排除A，选出正确答案.

【详解】定义域为，关于原点对称，又，所以是奇函数，故排除CD，又，故排除A选项，B正确.

故选：B

4. 泰姬陵是印度在世界上知名度最高的古建筑之一，被列为“世界文化遗产”．秦姬陵是印度古代皇帝为了纪念他的皇妃建造的，于1631年开始建造，用时22年，距今已有366年历史．如图所示，为了估算泰姬陵的高度，现在泰姬陵的正东方向找一参照物，高约为，在它们之间的地面上的点Q（B，Q，D三点共线）处测得处、泰姬陵顶端处的仰角分别是和，在处测得泰姬陵顶端处的仰角为，则估算泰姬陵的高度为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由题设可得，应用正弦定理求得，进而求.

【详解】由题设且，在测得泰姬陵顶端处仰角为，

所以，则，

所以，故.

故选：A

5. 声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，我们听到的声音多为复合音.若一个复合音的数学模型是函数，则在区间上零点的个数是（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】C

【解析】

【分析】由正弦的二倍角公式变形解方程可得.

【详解】，

或，又，∴，或，

故选：C．

6. 若是函数的一个极值点，则的极大值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】先对函数求导，由已知，先求出，再令，并判断函数在其左右两边的单调性，从而确定极大值点，然后带入原函数即可完成求解.

【详解】因为，，所以，

所以，，

令，解得或，

所以当，，单调递增；

时，，单调递减；

当，，单调递增，

所以的极大值为．

故选：D．

7. 已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据函数的单调性知导数小于等于0恒成立，分离参数后由正切函数单调性求解.

【详解】由题意，在上恒成立，

即在上恒成立，

因在上单调递增，所以，

所以在时，，

所以.

故选：B

8. 设是函数的导函数，当时，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用三角函数公式化简已知，再构造函数，利用函数单调性依次判断选项.

【详解】，

设在单调递增，

，所以A错误；

，

所以，所以B正确；

，所以C错误；

，

，所以D错误.

故选：B

二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9. 已知函数的最小正周期为，则（    ）

A.

B. 直线是图象的一条对称轴

C. 在上单调递增

D. 将的图象上所有的点向右平移个单位长度，可得到的图象

【答案】AB

【解析】

【分析】根据辅助角公式和函数的最小正周期可得，然后利用的性质可得.

【详解】，

因最小正周期为，，故，得，

故，

选项A：

，故A正确；

选项B：

的对称轴为，，

即，，

当时，，故B正确；

选项C：

令，，

得，，

故的单调递减区间为，，

当时，的单调递减区间为，故C错误；

选项D：

将的图象上所有的点向右平移个单位长度，可得到，

故D错误

故选：AB

10. 已知，，，下列选项正确的有（   ）

A.  B.

C.  D.

【答案】BD

【解析】

【分析】根据同角关系以及诱导公式可得可得，进而可判断A，根据和差角公司以及二倍角公式即可代入求解BCD.

【详解】由于且，所以，

又，，

故或，当时，显然不满足，故，所以，故A错误，

对于B，，故B正确，

对于C, ，故C错误，

对于D，由B可知，所以，故D正确，

故选：BD

11. 已知函数，则下列结论正确的是（    ）

A. 的图象关于直线对称

B. 的图象关于点对称

C. 有3个零点

D. 是奇函数

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据与的关系, 再由奇偶性的定义判来判断D，根据图象平移的关系即可判断BA，对于C，可以直接求出的零点，从而判断其正确与否.

【详解】的定义域为，的定义域为，

且，

记，则有，

故为奇函数，选项D正确；

由于为奇函数，图象关于原点对称，故的图象关于点对称，B正确，A错误

令，则有，即或，

解得或，即，或，

故有3个零点，选项C正确．

故选：BCD

12. 在△ABC中，已知a＝2b，且，则（    ）

A. a，c，b成等比数列

B.

C. 若a＝4，则

D. A，B，C成等差数列

【答案】ABC

【解析】

【分析】首先根据三角恒等变换，将已知条件化简得，再结合条件，再依次判断选项即可得到答案.

【详解】因为，

所以，

即，即.

对选项A，因为，所以、、成等比数列，故A正确；

对选项B，因为，，即，所以，

即，故B正确；

对选项C，若，则，，

则，

因为，所以.

故，故C正确.

对选项D，若、、成等差数列，则.

又因为，则.

因为，设，，，，

则，故D错误.

故选：ABC

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. “圆材埋壁”是我国古代的数学著作《九章算术》中的一个问题，现有一个“圆材埋壁”的模型，其截面如图所示，若圆柱形材料的底面半径为1，截面圆圆心为，墙壁截面为矩形，且，则扇形的面积是__________.

【答案】##

【解析】

【分析】计算，再利用扇形的面积公式求解.

【详解】由题意可知，圆的半径为，即，

又，所以为正三角形，∴，

所以扇形的面积是.

故答案为：

14. 已知是第三象限角，是终边上的一点，若，则______.

【答案】##0.5

【解析】

【分析】利用三角函数的定义求出的值，再利用二倍角公式求解即可.

【详解】因为是终边上的一点，所以,

则解得，

又因为是第三象限角，所以即，从而.

所以.

从而.

故答案为：

15. 已知函数在区间内恰有4个零点，则的取值范围是__________.

【答案】

【解析】

【分析】先求出的范围，结合的图像即可

【详解】因为，所以，

若在内恰有4个零点，则，解得.

故答案为：

16. 已知是定义在R上的偶函数，当时，，则不等式的解集是________．

【答案】

【解析】

【分析】利用导数判断当时，的单调性，结合偶函数解不等式.

【详解】当时，，，

则在上单调递增，

因为是定义在R上的偶函数，则在上单调递减，

若，即，

可得，解得，

所以不等式的解集是.

故答案为：.

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17. （1）已知，且，求的值；

（2）化简.

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】（1）确定得到，再根据三角恒等变换计算得到答案.

（2）根据二倍角公式和同角三角函数关系结合正弦的和差公式化简即可.

【详解】（1）平方得，故，

，则，，

.

（2）原式

18. 已知函数的图像相邻对称轴之间的距离是，若将的图像向右平移个单位，所得函数为奇函数.

（1）若，求的取值范围；

（2）设函数的零点为，求.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）易得，由平移变换得到，根据为奇函数，求得，从而，再由，令，利用二次函数的性质求解；

（2）由函数的零点为，得到，再由，利用二倍角公式求解.

【小问1详解】

解：因为函数的图像相邻对称轴之间的距离是，

所以，解得，

所以，

当将的图像向右平移个单位，得到函数，

因为为奇函数，

所以，即 ，

因为 ，所以 ，

则 ；

则，

因为，所以，则，

所以.

【小问2详解】

因为函数的零点为，

所以，则，

所以，

.

19. 已知在中，角所对的边分别是，且

（1）求的大小；

（2）若，求的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据三角恒等变换化简，再由正余弦定理即可得解；

（2）由正弦定理，可将化为三角函数，再由三角函数的值域求范围即可.

【小问1详解】

因为，

所以，

整理得，由正弦定理得，

由余弦定理得，

因为，所以，

【小问2详解】

因，

所以，又，所以；

所以

又因为，则，

所以（当且仅当时，等号成立），

可得，即的取值范围是.

20. 已知函数

（1）求函数在区间上的单调递减区间；

（2）将函数的图象上所有的点向右平移个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再向上平移个单位，得到函数的图象.当时，方程恰有三个不相等的实数根、、，求实数的取值范围和的值.

【答案】（1）   

（2），

【解析】

【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式为，由求出的取值范围，再利用正弦型函数的单调性可求出函数在区间上的单调递减区间；

（2）利用三角函数图象变换可得出，令，，则函数与函数在时的图象有三个交点，数形结合可得出实数的取值范围，再利用正弦型函数的对称性可求得的值.

【小问1详解】

解：

，

因，则，

又在上单调递增，在上单调递减，

由可得，

即函数在区间上的单调递减区间为.

【小问2详解】

解：将函数的图象上所有的点向右平移个单位，

可得到函数的图象，

再把所得图象上每一个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），可得到函数的图象，

再将所得图象向上平移个单位，可得到函数的图象，

当时，，令，

则，令，

令，可得，其中，

作出函数与函数在时的图象如下图所示：

由图可知，当时，函数与函数在时的图象有三个交点，

设，其中，

则点与点关于直线对称，点与点关于直线对称，

所以，，，则，

所以，，解得

21. 记的内角、、的对边分别为、、，已知.

（1）求；

（2）若点在边上，且，，求.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由余弦定理化简可得出，可求出的值，再结合角的取值范围可求得角的值；

（2）求出、的值，设，则，分别在和中，利用正弦定理结合等式的性质可得出、的等式，即可求得的值，即为所求.

【小问1详解】

解：因为，

由余弦定理可得，

化简可得，由余弦定理可得，

因为，所以，.

【小问2详解】

解：因，则为锐角，所以，，

因为，所以，，

所以，，

设，则，

在和中，由正弦定理得，，

因为，上面两个等式相除可得，

得，即，

所以，.

22. 已知函数，

（1）若，求的单调区间；

（2）若，，是方程的两个实数根，证明：．

【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为，   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）利用函数的单调性与导数正负的关系即可求解；

（2）根据已知条件构造，利用导数法研究函数的单调性和最值，进而得出，的范围，再构造函数，利用导数法研究函数的单调性，结合函数单调性的性质即可求解.

【小问1详解】

由题可知的定义域为，

.

令，则的两根分别为，．

当或时，；

当时，；

所以的单调递增区间为，单调递减区间为，．

【小问2详解】

原方程可化为，

设，则，．

令，得．∵上，，在上，，

∴在上单调递增，在上单调递减，

∴，且当，趋向于0时，趋向于，

当趋向于时，趋向于．

则在和上分别有一个零点，，

不妨设，∵，∴，

设，则，

．

当时，，

∴在上单调递增，而，

∴当时，，，即．

∵，

∴．

∵在上单调递减，

∴，即．