湖南省衡阳县第四中学2022-2023学年高二上学期期中数学模拟测评卷（A卷）

这是一份湖南省衡阳县第四中学2022-2023学年高二上学期期中数学模拟测评卷（A卷），共8页。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若向量，，且a与b的夹角的余弦值为，则实数等于( ).
A.0B.C.0或D.0或
2.已知椭圆C的短轴长为6，离心率为，，为椭圆C的左、右焦点，P为椭圆C上的动点，则面积的最大值为( ).
A.9B.12C.15D.20
3.圆上的点到直线的最大距离与最小距离的和是( )
A.36B.18C.D.
4.椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称.若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为( )
A.B.C.D.
5.如图，在三棱锥中，为等边三角形，为等腰直角三角形，，平面平面ABC，D为AB的中点，则异面直线AC与PD所成角的余弦值为( )
A.B.C.D.
6.已知双曲线的下、上焦点分别为，点M在C的下支上，过点M作C的一条渐近线的垂线，垂足为D.若恒成立，则C的离心率的取值范围为( )
A.B.C.D.
7.已知圆，圆.点M、N分别是圆、圆上的动点，P为x轴上的动点，则的最大值是( )
A.B.9C.7D.
8.设抛物线的焦点为F，过点且斜率为的直线与C交于M，N两点，则( )
A.5B.6C.7D.8
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.已知向量，，则下列结论中正确的是( )
A.若，则
B.若，则
C.不存在实数，使得
D.若，则
10.已知双曲线的左焦点为F，过点F的直线交C的左支于M，N两点，直线为C的一条渐近线，则下列说法正确的有( )
A.
B.存在点M，使得
C.的最小值为1
D.点M到直线距离的最小值为2022
11.已知直线，圆，则以下命题正确的是( )
A.直线l恒过定点
B.直线l与圆C恒相交
C.圆C被x轴截得的弦长为
D.圆C被直线l截得的弦最短时，
12.抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射山.已知抛物线的焦点为F，一束平行于x轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上另一点反射后，沿直线射出，则下列结论中正确的是( )
A.B.
C.D.与之间的距离为4
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知直线与直线平行，且直线与圆相切，则实数_________，________.
14.已知抛物线的焦点为F，抛物线与抛物线交于O，A两点，过点A作抛物线准线l的垂线，垂足为B，若的外接圆C的半径为，则圆C的标准方程为_____________.
15.在长方体中，，，Q是线段上一点，且，则点Q到平面的距离为____________.
16.已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为.过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是__________.
四、解答题：本题共6题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）已知圆与直线相交于不同的A、B两点.
(1)求实数m的取值范围；
(2)若，求实数m的值.
18.（12分）如图，和都是边长为2的正三角形，且它们所在平面互相垂直.平面，且.
(1)设P是的中点，求证：平面.
(2)求二面角的正弦值.
19.（12分）已知双曲线的左、右焦点分别为，斜率为-3的直线l与双曲线C交于两点，点在双曲线C上，且.
(1)求的面积.
(2)若(O为坐标原点)，点，记直线的斜率分别为，问：是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
20.（12分）已知分别是椭圆的左、右焦点，A是C的右顶点，，P是椭圆C上一点，M，N分别为线段的中点，O是坐标原点，四边形OMPN的周长为4.
（1）求椭圆C的标准方程
（2）若不过点A的直线l与椭圆C交于D，E两点，且，判断直线l是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.
21.（12分）如图，在三棱柱中，为等边三角形，侧面为菱形，，且侧面底面ABC，点D为的中点，点E为直线与平面ABC的交点.
(1)试确定点E的位置，并证明：平面；
(2)求直线AB与平面所成角的正弦值.
22.（12分）已知抛物线，抛物线C上横坐标为1的点到焦点F的距离为3.
（1）求抛物线C的方程及其准线方程；
（2）过的直线l交抛物线C于不同的两点A，B，交直线于点E，直线BF交直线于点D.是否存在这样的直线l，使得？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.
答案以及解析
1.答案：C
解析：由题意得，解得或.故选C.
2.答案：B
解析：由题意可知，，即，因为，所以，即，.
当P为椭圆C的短轴的端点时，的面积取最大值，面积为.
3.答案：C
解析：即，圆的圆心坐标为，半径.因为圆心到直线的距离，所以可知直线与圆相离，该圆上的点到直线的最大距离为，最小距离为，最大距离与最小距离的和是.
4.答案：A
解析：解法一：设，则，易知，所以（*）.因为点P在椭圆C上，所以，得，代入（*）式，得，结合，得，所以.故选A.
解法二：设椭圆C的右顶点为B，则直线BP与直线AQ关于y轴对称，所以，所以，所以.故选A.
5.答案：B
解析：取AC的中点O，连接OP，OB，
，，
平面平面ABC，平面平面 ，
平面ABC，
又，，
以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
是等腰直角三角形，，为等边三角形，
，，，，
，，
.
异面直线AC与PD所成角的余弦值为.
故选B.
6.答案：A
解析：设，则点到渐近线的距离.
由双曲线的定义可得，故，则的最小值为，
由恒成立，得恒成立，即，即，即，即，故.故选A.
7.答案：B
解析：圆的圆心为，半径为1，
圆的圆心为，半径为3.
要使最大，需最大，且最小，的最大值为，的最小值为，故的最大值是，关于x轴对称的点为，，故的最大值为，故选B.
8.答案：D
解析：设，.由已知可得直线的方程为，即，由得.
由根与系数的关系可得，，
，，，，故选D.
9.答案：AC
解析：由得，
解得，故A选项正确；由
得，解得，故B选项错误；
若存在实数，使得，则，
，，显然无解，
即不存在实数使得，故C选项正确；
若，则，解得，
于是，故D选项错误.
10.答案：AC
解析：由C的渐近线方程为，得，故，A正确；
根据双曲线定义知，所以不存在点M，使得，B错误；为双曲线左支上的焦点弦，由双曲线的性质可知，当MN与x轴垂直时取最小值，，故C正确；
直线和C的渐近线平行，且与C的左支不相交，故C上的点M到直线的距离没有最小值，D错误.故选AC.
11.答案：BC
解析：由题意，直线可化为，令，解得，即直线过定点，所以选项A错误；圆的方程可化为，点在圆C的内部，所以直线l与圆C恒相交，所以选项B正确；在圆中，令，得，所以，所以选项C正确；由于直线l过定点.又圆心为，由斜率公式得过定点和圆心的直线斜率，所以当直线l的斜率为2时，被圆C截得的弦长最短，此时，所以D选项错误，故选BC.
12.答案：ABC
解析：根据题意知，轴，所以，又P在抛物线上，所以，
根据抛物线的光学性质知，PQ过焦点F，又易知，所以，故B正确；
因为，所以直线PQ的方程为，与联立，消去x得，
所以，，所以，故A正确；
，故C正确；
与之间的距离为，故D错误.
故选ABC.
13.答案：2；
解析：由于，则，所以，
故直线.
又圆心，直线与圆C相切，所以.
14.答案：
解析：由已知得，联立解得点，
，则线段AB的中垂线.
又，且由抛物线的定义可知，线段BF的中垂线过点A，
则线段BF的中垂线，即，
联立解得圆心，则圆C的半径，
解得，，
圆C的标准方程为.
15.答案：
解析：如图，以，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，
由，得，
，
设平面的法向量为，
由得
取，则，，，
点Q到平面的距离.
16.答案：13
解析：如图，连接，，，
因为C的离心率为，所以，所以，所以.因为，所以为等边三角形，又，所以直线DE为线段的垂直平分线，所以，，且，所以直线DE的方程为，代入椭圆C的方程，得.设，则，则，，所以，解得，所以，所以的周长为.
17.答案：(1)实数m的取值范围是.
(2).
解析：(1)由消去y得，，
由已知得，，解得，故实数m的取值范围是.
(2)设圆C的半径为r，因为圆心到直线的距离为，
所以，
由已知得，解得.
18.答案：(1)见解析
(2)
解析：(1)证明：取的中点O，连接.
是正三角形，
.
∵平面平面，平面平面，
平面.
平面，
.
在中，，
.
又，
为等腰三角形.
是的中点，.
平面，
.
平面平面，
平面.
(2)由(1)知，，
∴四边形为平行四边形，
，
.
以点O为坐标原点，以的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图的空间直角坐标系，
则， ，
.
设平面的法向量为，
则即
令，则，
.
设平面的法向量为，
则即
令，则，
.
.
，
∴二面角的正弦值为.
19.答案：(1)
(2)是；
解析：(1)依题意可知，，则，
，
又，所以，
解得(舍去)，又，所以，则，所以的面积.
(2)由(1)可解得.
所以双曲线C的方程为.
设，则，则，.
设直线l的方程为，与双曲线C的方程联立，消去y得，
由，得.
由一元二次方程根与系数的关系得，
所以.
则，故为定值.
20.答案：(1)标准方程为.
(2)过定点.
解析：(1)M，N分别为线段的中点，O是坐标原点，
，
四边形OMPN的周长为，
，
，
，
椭圆C的标准方程为.
(2)设，
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，
代入，整理得，
则，
.
易知，
，
化简得，
或(舍去)，
直线l的方程为，即，直线l过定点.
当直线l的斜率不存在时，设，
代入，解得，
由得，
，解得或(舍去)，
此时直线l过点.
综上，直线l过定点.
21.答案：(1)见解析.
(2)正弦值为.
解析：(1)延长线段，交AC的延长线于点E.
平面ABC，
平面ABC.
又平面，点E即为所求.
连接交直线于点F，连接FD.
，即，
点D为的中点.
在三棱柱中，四边形为平行四边形，
为线段的中点，
为的中位线，
.
又平面平面，
平面.
(2)连接，取AC的中点O，连接，
侧面为菱形，，
.
又侧面底面ABC，侧面底面侧面，
平面ABC.
又为等边三角形，两两垂直.
以O为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
不妨设.由已知可得，则.
设平面的一个法向量为.
则有
取，则，即.
设直线AB与平面所成角为，
则，
即直线AB与平面所成角的正弦值为.
22.答案：（1），准线方程为
（2）存在这样的直线l，使得，直线l的方程为或
解析：（1）因为横坐标为1的点到焦点的距离为3，所以，解得，
所以，
所以准线方程为.
（2）显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为，，.
由消去y，得.
令，解得.
所以且.
由根与系数的关系得，.
解法一：直线BF的方程为，
又，所以，
所以，
因为，所以直线DE与直线AF的斜率相等.
又，所以.
整理得，即，
化简得，
，即.
所以，整理得，
解得.经检验，符合题意.
所以存在这样的直线l，使得，直线l的方程为或.
解法二：因为，所以，
所以.
整理得，即，
整理得.
解得，经检验，符合题意.
所以存在这样的直线l，使得，直线l的方程为或.