湖南省衡阳县第四中学2022-2023学年高二上学期期中数学模拟测评卷（B卷）

这是一份湖南省衡阳县第四中学2022-2023学年高二上学期期中数学模拟测评卷（B卷），共8页。

【满分：150分】
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.在四棱锥中，底面ABCD是正方形，E为PD的中点，若，，，则用基底表示向量为( )
A.B.
C.D.
2.已知直线平分圆的面积，过圆外一点向圆作切线，切点为Q，则的最小值为( ).
A.4B.5C.6D.7
3.设双曲线的左、右焦点分别为，，若双曲线上存在一点P，使，且，则双曲线的离心率为( )
A.B.C.D.
4.如图，点为矩形所在平面外一点，平面为线段的中点，，则点到平面的距离为( )
A.B.C.D.
5.已知圆与圆，若圆与圆有且仅有一个公共点，则实数a等于( )
A.14B.34C.14或45D.34或14
6.已知O为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别是，离心率为，M，P是椭圆E上的点，的中点为N，，过P作圆的一条切线，切点为B，则的最大值为( )
A.B.C.D.5
7.已知双曲线的右焦点为F，右顶点为A，虚轴的两个端点分别为，以F为圆心，（O为原点）为半径的圆与C的右支在第一象限交于点，则C的渐近线方程为( )
A.B.
C.D.
8.设抛物线的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于点A，B，与圆交于点P，Q，其中点A，P在第一象限，则的最小值为( )
A.B.C.D.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.已知圆，直线，点分别在圆上.则下列结论正确的有( )
A.圆没有公共点
B.的取值范围是
C.过N作圆的切线，则切线长的最大值是
D.直线l与圆都有公共点时，
10.已知点P为双曲线所在平面内一点，分别为C的左、右焦点，，线段分别交双曲线于两点，， .设双曲线的离心率为e，则下列说法正确的有( )
A.若平行渐近线，则
B.若，则
C.若，则
D.
11.已知正方体的棱长为1，E，F分别为线段，上的动点，则下列结论正确的是( )
A.平面
B.平面平面
C.点F到平面的距离为定值
D.直线AE与平面所成角的正弦值为定值
12.已知椭圆与直线交于两点，记直线l与x轴的交点)E，点关于原点对称，若，则( )
A.
B.椭圆C过4个定点
C.存在实数a，使得
D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知，.若，则______；若，则________.
14.已知圆，若存在圆C的弦AB，使得，且其中点M在直线上，则实数k的取值范围是___________.
15.已知点和抛物线，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点.若，则______________.
16.已知双曲线的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点，交双曲线的渐近线于点且.若，则双曲线的离心率是___________.
四、解答题：本题共6题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）已知过点的圆M的圆心为，且圆M与直线相切.
(1)求圆M的标准方程；
(2)若过点且斜率为k的直线l交圆M于A，B两点，若的面积为，求直线l的方程.
18.（12分）如图，在四棱台中，底面ABCD是正方形，平面ABCD，，.
（1）当时，证明：平面平面ABCD；
（2）若二面角的大小为30°，求的值.
19.（12分）已知椭圆的离心率为，其右顶点为A，下顶点为B，定点，的面积为3，过点C作与y轴不重合的直线l交椭圆C于P，Q两点，直线BP，BQ分别与x轴交于M，N两点.
（1）求椭圆C的方程.
（2）试探究点M，N的横坐标的乘积是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.
20.（12分）已知双曲线的右焦点为，点F到C的渐近线的距离为1.
(1)求C的方程.
(2)若直线与C的右支相切，切点为与直线交于点Q，问x轴上是否存在定点M，使得?若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由.
21.（12分）在四棱锥中，底面ABCD，，，，.
（1）证明：；
（2）求PD与平面PAB所成的角的正弦值.
22.（12分）已知抛物线的焦点为为坐标原点，横坐标为的点P在抛物线C上，满足.
(1)求抛物线C的方程.
(2)过抛物线C上的点A作抛物线C的切线与O不重合，过O作l的垂线，垂足为B，直线与抛物线C交于点D.当原点到直线的距离最大时，求点A的坐标.
答案以及解析
1.答案：C
解析：连接BD，E为PD的中点，.故选C.
2.答案：A
解析：将圆化为标准方程，得，
所以圆心，半径，因为直线平分圆的面积，所以圆心在直线上，故，即.
在中，，
所以当时，的最小值为16，故的最小值为4.故选A.
3.答案：C
解析：因为点P在双曲线上，且，
所以，
所以，，
因为，
所以，
即，
整理得，
所以离心率.故选C.
4.答案：B
解析：如图，以为原点，分别以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，.
设平面的一个法向量为，则即
令，则.
点到平面的距离.
5.答案：D
解析：设圆、圆的半径分别为、.圆的方程可化为，
圆的方程可化为.
由两圆相切得，或，
，
或或或（舍去）.
因此，或或，故选D.
6.答案：B
解析：连接，的中点为N，
，
，
，，椭圆.
设，则，，.
连接QB，PQ，由题知，，，
，
，
由二次函数的性质知，当时，取得最大值，且，故选B.
7.答案：A
解析：因为，所以，连接PO，PF，设C的左焦点为，连接，因为，所以，因为，所以是直角三角形，因为，所以在中由余弦定理得，即，所以，所以C的渐近线方程为.
8.答案：D
解析：由抛物线方程，得，因此.
设直线l的方程为，联立得.
设，，则，
，从而.
又，，
.
因此，当且仅当时取等号.故选D.
9.答案：AC
解析：本题考查直线与圆、圆与圆的位置关系.圆的圆心，半径，圆的圆心，半径.对于选项A，圆心距，所以圆外离，选项A正确；对于选项B，的最小值为，最大值为，选项B错误；对于选项C，连接与圆交于点N(外侧交点)，过N作圆的切线，切点为P，此时最长，在中，，选项C正确；对于选项D，直线l方程化为：，圆心到直线l的距离，解得，圆心到直线l的距，解得，所以直线l与圆都有公共点时，，选项D错误.故选AC.
10.答案：ACD
解析：本题考查双曲线的定义、离心率问题、焦半径问题.由题意为直角三角形，点P坐标为，直线斜率.不妨设点P在第一象限，如图.
选项A，若平行渐近线，则，得，故A正确.
选项B，若，则.连接(图略)，由，解得，得，故B错误.
选项C，若，则.连接(图略)，由，解得，得，故C正确.
选项D，，，点M的坐标为，代入双曲线方程得，，则，故D正确.故选ACD.
11.答案：ABC
解析：以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，
由题意知，，，，，，，，，则，，
设，，，
则，

.
设，，，则.
对于A，， ， ，
， ，
又AC，平面，，
平面，故A正确；
对于B，，，，
，，
又，平面，，
平面，
又平面，
平面平面，故B正确；
对于C，平面，为平面的一个法向量，
，点F到平面的距离，为定值，故C正确；
对于D，易知平面，
是平面的一个法向量，
设直线AE与平面所成的角为，
又，
，
不是定值，故D错误.故选ABC.
12.答案：ABC
解析：本题考查直线与椭圆的位置关系.设.由得，则，因为，所以，又，所以，所以名，，故A正确；所以，即椭圆过定点，，故B正确；，由得，则，所以，则有，因为，所以的取值范围为，故C正确，D错误.故选ABC.
13.答案：；
解析：由，得，解得.由，得，且，解得，，所以.
14.答案：
解析：圆C的方程可化为，圆心，半径，
由于弦AB满足，且其中点为M，则，
因此M点在以为圆心，1为半径的圆上，
又点M在直线上，
故直线与圆有公共点，于是，解得.
15.答案：2
解析：解法一：由题意可知C的焦点坐标为，所以过焦点，斜率为k的直线方程为，设，，将直线方程与抛物线方程联得，.
，，
，即，
即，解得.
解法二：设，，
则
②-①得，从而.
设AB的中点为，连接.直线AB过抛物线的焦点，
以线段AB为直径的与准线相切.
，，
点M在准线上，同时在上，
准线l是的切线，切点为M，且，即与x轴平行，
点的纵坐标为1，即，
故.
16.答案：
解析：结合题意作出图形如图所示，由题意知，过左焦点且斜率为的直线的方程为，由，解得，所以.因为，所以，即，得，所以，将代入双曲线方程，可得，结合离心率得，又，所以双曲线的离心率为.
17.答案：(1)圆M的标准方程为.
(2)直线l的方程为.
解析：(1)设圆M的标准方程为.
圆心M到直线的距离为.
由题意得所以或（舍去），所以，
所以圆M的标准方程为.
(2)易知直线l的斜率存在.设直线l的方程为，
由(1)知圆心M的坐标为，半径为2，则圆心M到直线l的距离为，
所以，设点到直线l的距离为d，则，
所以，解得，
则直线l的方程为.
18.答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）设四棱台的侧棱交于点P，
连接BD交AC于点O，
因为四边形ABCD是正方形，所以O为BD的中点，
因为，，所以为PB的中点，
连接，所以.
因为平面ABCD，所以平面ABCD，
因为平面，所以平面平面ABCD.
（2）由题可以D为坐标原点，DA，DC，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，
所以，，，，，
所以，，.
设平面的法向量为，
则，即，得，令，则，
所以为平面的一个法向量.
设平面的法向量为，
则，即，令，则，，
所以为平面的一个法向量.
因为二面角的大小为30°，
所以，
整理得，得，
因为，所以.
19.答案：（1）
（2）是定值，
解析：（1）由已知，A，B的坐标分别是，，由于的面积为3，
①，又由，化简得②，
①②两式联立解得：或（舍去），，，
椭圆方程为；
（2）设直线PQ的方程为，P，Q的坐标分别为，
则直线BP的方程为，令，得点M的横坐标，
直线BQ的方程为，令，得点N的横坐标，
，
把直线代入椭圆得，
由韦达定理得，
，是定值.
20.答案：(1)
(2)
解析：(1)易知C的渐近线方程为，
所以到渐近线的距离，
所以，
所以C的方程为.
(2)由题意易知直线的斜率存在，设其方程为，联立与C的方程，消去y，得，
因为直线与C的右支相切，所以，
得，则.
设切点，则，
.
设，因为Q是直线与直线的交点，所以.
假设x轴上存在定点，使得，
则
，
故存在，使得，即，
所以x轴上存在定点，使得.
21.答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）如图所示，取AB中点为O，连接DO，CO，则.
又，所以四边形DCBO为平行四边形.
又，
所以四边形DCBO为菱形，所以.
同理可得，四边形DCOA为菱形，所以，
所以.
因为底面ABCD，底面ABCD，所以，
又，平面ADP，所以平面ADP.
因为平面ADP，所以.
（2）由（1）知，又，所以，
所以三角形ADO为正三角形.
过点D作垂直于DC的直线为x轴，DC所在直线为y轴，DP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，.
则，，.
设平面PAB的法向量为，
则.
令，则，，所以.
设直线PD与平面PAB所成的角为，
则，
所以直线PD与平面PAB所成的角的正弦值为.
22.答案：(1)
(2)或
解析：(1)依题意设点，
由，得，
又，解得，
所以抛物线C的方程为.
(2)设，由求导，得，
所以过点A的切线l斜率为，
所以切线l的方程为，
即.
因为直线与切线l垂直，所以，
直线方程为，即，
由解得或(舍).
即点.
因为，所以，
则直线的方程为，
即.
原点到直线的距离，
当且仅当，即时，等号成立.
所以原点到直线的距离最大为2，
此时点A坐标为或.