2023-2024学年广东省江门市台山市华侨中学高一（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省江门市台山市华侨中学高一（上）期中数学试卷（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知全集U={1,2,3,4,5}，集合A={1,3,4}，集合B={2,4}，则(∁UA)∪B为( )
A. {2,4,5}B. {1,3,4}C. {1,2,4}D. {2,3,4,5}
2.命题“∃x0>0，x02−5x0+6>0”的否定是( )
A. ∀x≤0，x2−5x+6≤0B. ∃x0>0，x02−5x0+6≤0
C. ∃x0∈R，x02−5x0+6≤0D. ∀x>0，x2−5x+6≤0
3.下列各组中的两个函数为同一函数的是( )
A. y1=x2−16x−4,y2=x+4
B. f(x)=x−1,g(x)= x2−1
C. f(x)=x2−2x−1，g(t)=t2−2t−1
D. f1(x)=1,f2(x)=x0
4.设0A. a3>b3B. 1a<1bC. ac>bcD. (a−b)c2≤0
5.函数y=x2+2x+1，x∈[−2,2]，则( )
A. 函数有最小值0，最大值9B. 函数有最小值2，最大值5
C. 函数有最小值2，最大值9D. 函数有最小值0，最大值5
6.若一个幂函数的图象经过点(3,19)，则它的单调递减区间是( )
A. (−∞,1)B. (0,+∞)C. (−∞,0)D. R
7.已知不等式ax2+bx+2>0的解集为{x|−1A. {x|−112}
C. {x|−21}
8.已知函数f(x)=(2−3a)x+1,x≤1ax,x>1，若f(x)在R上是减函数，则实数a的取值范围为( )
A. [23,+∞)B. (23,34]C. (23,1)D. [34,1)
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设集合A={x|(x−6)(x−a)=0,a∈R}，B={x|(x−2)(x−3)=0}，若A∩B=⌀，则a的值可以为( )
A. 1B. 2C. 4D. 6
10.下列说法中正确的有( )
A. 命题p：∃x0∈R,x02+2x0+2<0，则命题p的否定是∀x∈R，x2+2x+2≥0
B. “|x|>|y|”是“x>y”的必要条件
C. 命题“∀x∈Z，x2>0”的是真命题
D. “m<0”是“关于x的方程x2−2x+m=0有一正一负根”的充要条件
11.已知函数f(x)=x+2,x≤−1x2,−1A. f(x)的定义域为RB. f(x)的值域为(−∞,4)
C. f(1)=3D. 若f(x)=3，则x的值是 3
12.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)=x2−2x，则( )
A. f(x)的最小值为−1
B. f(x)在(−2,0)上单调递减
C. f(x)>0的解集为(−∞,−2)∪(2,+∞)
D. 存在实数x满足f(x+2)+f(−x)=0
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.7(−2)7+4(−3)4的值为______ ．
14.求函数f(x)= 2−x+1x的定义域______．
15.已知f(x)为奇函数，g(x)=f(x)+9,g(−2)=3，则f(2)=__________．
16.已知命题“∀x∈R，4x2+(a−2)x+1>0”是假命题，则实数a的取值范围为______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
化简求值：
(1)计算3(−4)3−(12)0+0.2512×(−1 2)−4；
(2)a23 ba12⋅3b÷(a−1 b−1b a)23．
18.(本小题12分)
已知全集U=R，A={x|−3(1)若m=0，求(∁UA)∩B；
(2)若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数m的取值范围．
19.(本小题12分)
(1)已知x>0，求f(x)=x2+3x+2x最小值；
(2)已知020.(本小题12分)
已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x+3x−4．
(1)求函数f(x)在R上的解析式；
(2)用单调性定义证明函数f(x)在区间( 3,+∞)上是增函数．
21.(本小题12分)
2022年，某厂计划生产25吨至60吨的某种产品，已知生产该产品的总成本y(万元)与总产量x(吨)之间的关系可表示为y=x210−2x+90．
(1)当总产量为10吨时，总成本为多少万元？
(2)若该产品的出厂价为每吨8万元，求该厂2022获得利润的最大值；
(3)求该产品每吨的最低生产成本．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=kx2+(3+k)x+3，其中k为常数，且k≠0．
(1)若f(2)=3，求函数f(x)的表达式；
(2)在(1)的条件下，设函数g(x)=f(x)−mx，若g(x)在区间[−2,2]上是单调函数，求实数m的取值范围；
(3)是否存在k使得函数f(x)在[−1,4]上的最大值是4？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵全集U={1,2,3,4,5}，集合A={1,3,4}，
∴∁UA={2,5}，
∵B={2,4}，
∴(∁UA)∪B={2,4,5}．
故选：A．
根据全集U及A求出A的补集，找出A补集与B的并集即可．
此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：命题“∃x0>0，x02−5x0+6>0”的否定是“∀x>0，x2−5x+6≤0“．
故选：D．
根据存在量词命题的否定是全称量词命题即可得出正确的选项．
本题考查了存在量词命题的否定是全称量词命题，是基础题．
3.【答案】C
【解析】解：A项：y1中，x≠4，y2中，x∈R，两个函数的定义域不同，所以是不同函数；
B项：g(x)= x2−1=|x|−1≠f(x)，即对应关系不同；
C项：定义域都是实数集，对应关系都相同，是同一函数；
D项：f1(x)中，x∈R，f2(x)中，x≠0，两个函数的定义域不同，所以是不同函数．
故选：C．
按函数相等的定义逐项判断即可．
本题考查同一函数的判断，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：由0对于A：(13)3<(12)3，∴A不对；
对于B：1a=3，1b=2，1a>1b，∴B不对；
对于C，当c=0时，可得ac=bc，∴C不对；
对于D：当c=0时，c2=0，(a−b)c2=0，当c≠0时，c2>0，(a−b)<0，(a−b)c2<0.∴D对；
故选：D．
利用特殊值即可判断．
本题考查了不等式的性质和特殊值的利用判断．比较基础．
5.【答案】A
【解析】解：∵y=x2+2x+1，
∴y′=2x+2，
由y′=2x+2=0，得x=−1，
设f(x)=y=x2+2x+1，
∵f(−2)=4−4+1=1，
f(−1)=1−2+1=0，
f(2)=4+4+1=9．
∴函数有最小值0，最大值9．
故选A．
由y=x2+2x+1，知y′=2x+2，利用导数性质能求出函数y=x2+2x+1，x∈[−2,2]的最大值和最小值．
本题考查闭区间上函数的最值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．
6.【答案】B
【解析】解：设幂函数f(x)=xα，
∵幂函数f(x)的图象过点(3,19)，
∴3α=19=3−2，
解得α=−2，即f(x)=x−2，
易知f(x)=x−2在(−∞,0)为增函数，在(0,+∞)为减函数．
故f(x)的单调递减区间是(0,+∞)．
故选：B．
根据幂函数的定义及性质计算即可．
本题主要考查了幂函数的定义和性质，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：∵不等式ax2+bx+2>0的解集为{x|−1∴ax2+bx+2=0的两根为−1，2，且a<0
即−1+2=−ba
(−1)×2=2a
解得a=−1，b=1则不等式可化为2x2+x−1<0
解得{x|−1故选：A．
不等式ax2+bx+2>0的解集为{x|−1本题考查的知识点是一元二次不等式的解法，及三个二次之间的关系，其中根据三个二次之间的关系求出a，b的值，是解答本题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：由f(x)在R上是减函数可得2−3a<0a>02−3a+1≥a，解得23故选：B．
根据反比例函数以及一次函数的单调性，即可结合分段函数的性质求解．
本题主要考查了一次函数及反比例函数单调性的应用，还考查了分段函数性质的应用，属于基础题．
9.【答案】ACD
【解析】解：B={x|(x−2)(x−3)=0}={2,3}，
当a=6时，A={x|(x−6)(x−a)=0,a∈R}={6}，则A∩B=⌀成立，所以a=6满足题意；
当a≠6时，A={6,a}，若A∩B=⌀成立，则a≠2，a≠3；
所以a=6，a=1，a=4满足题意．
故选：ACD．
分成a=6，a≠6两种情况表示集合A，结合交集运算得出结果．
本题考查交集定义等基础知识，考查运算运算求解能力，是基础题．
10.【答案】AD
【解析】解：对于A，命题p的否定是∀x∈R，x2+2x+2≥0，故A正确；
对于B，|x|>|y|不能推出x>y，例如|−2|>|1|，但−2<1；x>y也不能推出|x|>|y|，例如2>−3，而|2|<|−3|；
所以“|x|>|y|”是“x>y”的既不充分也不必要条件，故B错误；
对于C，当x=0时，x2=0，故C错误；
对于D，关于x的方程x2−2x+m=0有一正一负根⇔4−4m>0m<0⇔m<0，
所以“m<0”是“关于x的方程x2−2x+m=0有一正一负根”的充要条件，故D正确．
故选：AD．
根据全称命题与特称命题的否定、充分必要条件等逐项判断即可．
本题主要考查了命题的否定，考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
11.【答案】BD
【解析】解：由题意知函数f(x)的定义域为(−∞,2)，故A错误；
当x≤−1时，f(x)的取值范围是(−∞,1]，
当−1当x=1时，f(1)=12=1，故C错误；
当x≤−1时，f(x)=x+2=3，无解，当−1故选：BD．
对A根据解析式判断定义域，对B结合单调性求出值域，对C代值即可求出，对D利用函数值分段讨论求出．变量的值．
本题考查的知识点是分段函数的应用，是基础题．
12.【答案】ACD
【解析】解：函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)=x2−2x=(x−1)2−1，
可得f(x)=x2−2x,x≥0x2+2x,x<0，
可得x>0时，f(x)在x=1时取得最小值−1，由偶函数的图象关于y轴对称，可得f(x)在R上取得最小值−1，故A正确；
f(x)在(−∞,−1)递减，在(−1,0)递增，故B错误；
由x≥0x2−2x>0或x<0x2+2x>0，解得x>2或x<−2，故C正确；
由f(0)=0，f(−2)=f(2)=0，即存在实数x满足f(x+2)+f(−x)=0，故D正确；
故选：ACD．
由偶函数的定义可得f(x)的解析式，由二次函数的最值求法和单调性的判断、二次不等式的解法和f(0)=f(2)=f(−2)=0，可得结论．
本题考查函数的奇偶性和单调性的性质和运用，考查转化思想、运算能力，属于中档题．
13.【答案】1
【解析】解：原式=−2+3=1．
故答案为：1．
利用有理数指数幂的运算性质求解．
本题主要考查了有理数指数幂的运算性质，属于基础题．
14.【答案】(−∞,0)∪(0,2]
【解析】解：∵2−x≥0x≠0，解之得x≤2且x≠0
∴函数f(x)= 2−x+1x的定义域为
{x|x≤2且x≠0}，即(−∞,0)∪(0,2]
故答案为：(−∞,0)∪(0,2]
由分式的分母不为零且二次根号的被开方数大于或等于零，建立关于x的不等式组，解之即可得到函数f(x)的定义域．
本题给出函数表达式，求函数的定义域，着重考查了分式的分母不为零、二次根号的被开方数不小于零，等等求函数定义域的常用方法，属于基础题．
15.【答案】6
【解析】【分析】
将等式中的x用2代替；利用奇函数的定义及g(−2)=3，求出f(2)的值．
本题考查奇函数的定义：对于定义域中的任意x都有f(−x)=−f(x)
【解答】
解：∵g(−2)=f(−2)+9
∵f(x)为奇函数
∴f(−2)=−f(2)
∴g(−2)=−f(2)+9
∵g(−2)=3
所以f(2)=6
故答案为6
16.【答案】(−∞,−2]⋃[6,+∞)
【解析】解：“∀x∈R，4x2+(a−2)x+1>0”是假命题，
等价于“∃x∈R，4x2+(a−2)x+1≤0”为真命题，
所以4x2+(a−2)x+1≤0有实数解，
所以Δ=(a−2)2−16≥0，解得a≤−2或a≥6，
所以实数a的取值范围为(−∞,−2]⋃[6,+∞)．
故答案为：(−∞,−2]⋃[6,+∞)
转化为4x2+(a−2)x+1≤0有实数解，利用判别式即可求解．
本题主要考查全称量词和全称命题，属于基础题．
17.【答案】解：(1)原式=−4−1+(0．52)12×(− 2)4=−5+12×4=−3；
(2)原式=a23⋅b12a12⋅b13÷(a−1b−12ba12)23=a16b16÷(a−32b−32)23
=a16b16÷a−1b−1=a16b16×ab=a76b76．
【解析】(1)根据分数指数幂的运算性质化简可得；
(2)先将根式化为分数指数幂，然后由幂的运算性质可得．
本题主要考查指数幂的运算法则，属于基础题．
18.【答案】解：(1)∁UA=(−∞,−3]⋃[2,+∞)，
若m=0，B={x|0所以(∁UA)⋂B=[2,5)；
(2)因为“x∈A”是“x∈B”的充分条件，所以A⊆B，
所以m≤−3，
即实数m的取值范围是(−∞,−3]．
【解析】(1)根据补集、交集的概念运算即可；
(2)先判断集合间的包含关系，再列出不等式即可．
本题考查补集、交集的概念以及集合间的包含关系，属于基础题．
19.【答案】解：(1)因为x>0，所以f(x)=x+2x+3≥2 x⋅2x+3=2 2+3，
当且仅当x= 2时等号成立，
所以该函数的最小值为2 2+3；
(2)因为00，
则y=12x(1−2x)=x(12−x)≤(12−x+x2)2=116，当且仅当x=12−x时，即当x=14时，函数取得最大值116．
【解析】(1)利用基本不等式求解即可；
(2)将函数解析式变形为y=x(12−x)，然后利用基本不等式可求得该函数的最大值．
本题主要考查了基本不等式求解最值，属于基础题．
20.【答案】解：(1)f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)=0，
设x<0，则−x>0，
由x>0时，f(x)=x+3x−4可知，f(−x)=−x−3x−4，
又f(x)为奇函数，故f(x)=x+3x+4(x<0)，
∴函数f(x)在R上的解析式为f(x)=x+3x+4,x<00,x=0x+3x−4,x>0；
(2)证明：设 3∵ 3∴x1−x2<0,1−3x1x2>0，
∴f(x1)−f(x2)<0，即f(x1)∴函数f(x)在区间( 3,+∞)上是增函数，得证．
【解析】本题考查利用函数奇偶性求函数解析式，考查函数单调性的证明，属于中档题．
(1)利用奇函数的性质直接可以求得函数解析式，需要注意的是f(0)=0；
(2)利用单调性定义直接证明即可．
21.【答案】解：(1)当x=10时，y=10210−2×10+90=80；
(2)设利润为W(x)=8x−y=8x−(x210−2x+90)=−x210+10x−90=−110(x−50)2+160，
当x=50时，有最大利润为160万元；
(3)该产品每吨的生产成本为yx=x10−2+90x≥2 x10⋅90x−2=4，
当x10=90x，即x=30时等号成立，
故当x=30时，每吨的最低生产成本为4万元．
【解析】(1)代入数据计算即可；
(2)设利润为W(x)=8x−y=−110(x−50)2+160，计算最值得到答案；
(3)yx=x10−2+90x，利用均值不等式计算得到答案．
本题考查了函数模型的实际应用，属于中档题．
22.【答案】解：(1)由f(2)=3，可得4k+2(3+k)+3=3，∴k=−1
∴f(x)=−x2+2x+3；
(2)由(1)得g(x)=f(x)−mx=−x2+(2−m)x+3，函数的对称轴为x=2−m2
∵g(x)在区间[−2,2]上是单调函数，
∴2−m2≤−2或2−m2≥2
∴m≤−2或m≥6；
(3)f(x)=kx2+(3+k)x+3的对称轴为x=−3+k2k
①k>0时，函数图象开口向上，x=−3+k2k<0，此时函数f(x)在[−1,4]上的最大值是f(4)=16k+(3+k)×4+3=20k+15=4，∴k=−1120<0，不合题意，舍去；
②k<0时，函数图象开口向下，x=−3+k2k=−12−32k>−12，
1°若−12<−3+k2k≤4，即k≤−13时，函数f(x)在[−1,4]上的最大值是f(−3+k2k)=12k−(k+3)24k=4
∴k2+10k+9=0，∴k=−1或k=−9，符合题意；
2°若−3+k2k>4，即−13∴k=−1120<−13，不合题意，舍去；
综上，存在k使得函数f(x)在[−1,4]上的最大值是4，且k=−1或k=−9．
【解析】(1)由f(2)=3，可得k的值，从而可得函数f(x)的表达式；
(2)g(x)=f(x)−mx=−x2+(2−m)x+3，函数的对称轴为x=2−m2，根据g(x)在区间[−2,2]上是单调函数，可得2−m2≤−2或2−m2≥2，从而可求实数m的取值范围；
(3)f(x)=kx2+(3+k)x+3的对称轴为x=−3+k2k，分类讨论，确定函数图象开口向上，函数f(x)在[−1,4]上的单调性，利用最大值是4，建立方程，即可求得结论．
本题考查函数解析式的确定，考查二次函数的单调性与最值，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键．