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    2022-2023学年广东省深圳高级中学高一(上)期中数学试卷

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    这是一份2022-2023学年广东省深圳高级中学高一(上)期中数学试卷,共25页。试卷主要包含了选择题,选择意,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    1.(5分)设集合A={x|1≤x≤3},B={x|2<x<4},则A∪B=( )
    A.{x|2<x≤3}B.{x|2≤x≤3}C.{x|1≤x<4}D.{x|1<x<4}
    2.(5分)若幂函数y=f(x)的图象经过点(2,),则f(5)的值是( )
    A.B.C.D.25
    3.(5分)函数f(x)=ax﹣1+3(a>0且a≠1)的图象恒过定点P,则点P的坐标为( )
    A.(1,4)B.(0,4)C.(0,3)D.(1,3)
    4.(5分)新型冠状病毒导致的疫情还没有完全解除.为了做好校园防疫工作,某学校决定每天对教室进行消毒.已知消毒药物在释放过程中,室内空气中的含药量y(单位:mg/m3)与时间t(单位:小时)成正比.药物释放完毕后,y与t的函数关系式为(a为常数,).按照规定,当空气中每立方米的含药量降低到0.5mg/m3以下时,学生方可进入教室.因此,每天进行消毒的工作人员应当提前多长时间进行教室消毒?( )
    A.30分钟B.60分钟C.90分钟D.120分钟
    5.(5分)“对所有x∈(1,4],不等式x2﹣mx+m>0恒成立”的一个充分不必要条件可以是( )
    A.m<4B.m>4C.m≥3D.m≤3
    6.(5分)定义在(﹣1,1)上的函数f(x)=x3+3x,如果有f(1﹣a)+f(1﹣a2)>0,则a的取值范围为( )
    A.(﹣2,1)B.(﹣1,2)C.(0,1)D.(0,)
    7.(5分)已知函数,若存在x1,x2∈R,x1≠x2,使f(x1)=f(x2)成立,则实数a的取值范围是( )
    A.[0,2)B.(﹣∞,0]
    C.(﹣∞,0]∪[2,+∞)D.(﹣∞,0]∪(2,+∞)
    8.(5分)若定义在R的奇函数f(x)在(﹣∞,0)单调递减,且f(2)=0,则满足xf(x﹣1)≥0的x的取值范围是( )
    A.[﹣1,1]∪[3,+∞)B.[﹣3,﹣1]∪[0,1]
    C.[﹣1,0]∪[1,+∞)D.[﹣1,0]∪[1,3]
    二、选择意:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。
    (多选)9.(5分)设a<b<0,则下列不等式中成立的是( )
    A.B.|a|>﹣bC.D.
    (多选)10.(5分)下列说法正确的有( )
    A.若f(x+1)=x2+x,则f(0)=2
    B.奇函数f(x)和偶函数g(x)的定义域都为R,则函数h(x)=f(x)g(x)为奇函数
    C.不等式kx2+2kx﹣k﹣2<0对∀x∈R恒成立,则实数k的取值范围是(﹣1,0)
    D.若∃x∈R,使得成立,则实数m的取值范围是m≥﹣2
    (多选)11.(5分)已知x>0,y>0,且x+2y=1,下列结论中正确的是( )
    A.xy的最小值是B.2x+4y的最小值是
    C.的最小值是9D.x2+y2的最小值是
    (多选)12.(5分)已知函数(m∈R,e为自然对数的底数),则下列说法正确的是( )
    A.方程f(x)=0至多有2个不同的实数根
    B.方程f(x)=0可能没有实数根
    C.当m<﹣3时,对∀x1≠x2,总有成立
    D.当m=0,方程f[f(x)]=0有3个不同的实数根
    三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
    13.(5分)命题“对∀x≥0,都有x2+x﹣1>0”的否定是 .
    14.(5分)函数的单调递减区间为 .
    15.(5分)定义在R上的函数f(x),当﹣1≤x≤1时,f(x)=x3.若函数f(x+1)为偶函数,则f(3)= .
    16.(5分)已知函数y(a∈R)的最小值为2,则实数a的取值范围是 .
    四、解答题:本题共6小体,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤。
    17.(10分)已知集合,集合B={x||x﹣a|<2}.
    (1)若a=﹣2,求集合A∪B;
    (2)若集合A是集合B的真子集,求实数a的取值范围.
    18.(12分)求解下列问题:
    (1)已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)﹣f(x)=2x+9,求f(x)的解析式;
    (2)已知f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=x2﹣2x,求f(x)的解析式.
    19.(12分)已知函数f(x)=x2+ax+b.
    (1)若函数f(x)在(1,+∞)上是增函数,求实数a的取值范围;
    (2)若b=1,求x∈[0,3]时f(x)的最小值g(a).
    20.(12分)某工厂生产某种产品的年固定成本为200万元,每生产x千件,需另投入成本为C(x),当年产量不足80千件时,(万元).当年产量不小于80千件时,(万元).每件商品售价为0.05万元.通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.
    (1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式.
    (2)当年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?
    21.(12分)已知函数是定义在[﹣2,2]上的奇函数,且.
    (1)求实数a,b的值;
    (2)判断f(x)在[﹣2,2]上的单调性,并用定义证明;
    (3)设g(x)=kx2+2kx+1(k≠0),若对任意的x1∈[﹣2,2],总存在x2∈[﹣1,2],使得f(x1)=g(x2)成立,求实数k的取值范围.
    22.(12分)对于函数f(x),若在其定义域内存在实数x,满足f(﹣x)=﹣f(x),则称f(x)为“局部奇函数”.
    (1)若f(x)=2x﹣m是定义在区间[﹣1,1]上的“局部奇函数”,求实数m的取值范围;
    (2)若f(x)=4x﹣n•2x+1+n2﹣3为定义域R上的“局部奇函数”,求实数n的取值范围.
    2022-2023学年广东省深圳高级中学高一(上)期中数学试卷
    参考答案与试题解析
    一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
    1.(5分)设集合A={x|1≤x≤3},B={x|2<x<4},则A∪B=( )
    A.{x|2<x≤3}B.{x|2≤x≤3}C.{x|1≤x<4}D.{x|1<x<4}
    【解答】解:∵集合A={x|1≤x≤3},B={x|2<x<4},
    ∴A∪B={x|1≤x<4}.
    故选:C.
    2.(5分)若幂函数y=f(x)的图象经过点(2,),则f(5)的值是( )
    A.B.C.D.25
    【解答】解:设f(x)=xα,
    由题意得f(2)=2α,
    故α,f(x),
    故.
    故选:A.
    3.(5分)函数f(x)=ax﹣1+3(a>0且a≠1)的图象恒过定点P,则点P的坐标为( )
    A.(1,4)B.(0,4)C.(0,3)D.(1,3)
    【解答】解:根据指数函数的性质,因为函数f(x)=ax﹣1+3(a>0且a≠1),
    则当x=1时,y=4,
    则函数函数f(x)=ax﹣1+3(a>0且a≠1)的图象恒过定点P(1,4),
    故选:A.
    4.(5分)新型冠状病毒导致的疫情还没有完全解除.为了做好校园防疫工作,某学校决定每天对教室进行消毒.已知消毒药物在释放过程中,室内空气中的含药量y(单位:mg/m3)与时间t(单位:小时)成正比.药物释放完毕后,y与t的函数关系式为(a为常数,).按照规定,当空气中每立方米的含药量降低到0.5mg/m3以下时,学生方可进入教室.因此,每天进行消毒的工作人员应当提前多长时间进行教室消毒?( )
    A.30分钟B.60分钟C.90分钟D.120分钟
    【解答】解:∵函数图象过点(),
    ∴,解得a,
    故y=f(t),
    当t时,令,解得t=1,
    故每天进行消毒的工作人员应当提前60分钟进行教室消毒.
    故选:B.
    5.(5分)“对所有x∈(1,4],不等式x2﹣mx+m>0恒成立”的一个充分不必要条件可以是( )
    A.m<4B.m>4C.m≥3D.m≤3
    【解答】解:对所有x∈(1,4],不等式x2﹣mx+m>0恒成立,得恒成立,
    因为,
    当且仅当,即x=2时取得等号,
    所以不等式x2﹣mx+m>0恒成立,则m<4,
    因为m≤3是m<4的充分不必要条件,
    故选:D.
    6.(5分)定义在(﹣1,1)上的函数f(x)=x3+3x,如果有f(1﹣a)+f(1﹣a2)>0,则a的取值范围为( )
    A.(﹣2,1)B.(﹣1,2)C.(0,1)D.(0,)
    【解答】解:∵定义在(﹣1,1)上的函数f(x)=x3+3x为奇函数,且为增函数,
    又f(1﹣a)+f(1﹣a2)>0,
    ∴f(1﹣a)>f(a2﹣1),
    ∴1>1﹣a>a2﹣1>﹣1,
    解得0<a<1,
    故选:C.
    7.(5分)已知函数,若存在x1,x2∈R,x1≠x2,使f(x1)=f(x2)成立,则实数a的取值范围是( )
    A.[0,2)B.(﹣∞,0]
    C.(﹣∞,0]∪[2,+∞)D.(﹣∞,0]∪(2,+∞)
    【解答】解:依题意,在定义域内,函数f(x)不是单调函数,分情况讨论:
    ①当x≥1时,若f(x)=x2﹣ax 不是单调的,它的对称轴为x,则有1,即a>2;
    ②当x≥1时,若f(x)=x2﹣ax 是单调的,则f(x)单调递增,此时1,可得a≤2.
    当x<1时,由题意可得,f(x)=ax+1﹣2a应该不单调递增,故有a≤0.
    综合得:a的取值范围是(2,+∞)∪(﹣∞,0].
    故选:D.
    8.(5分)若定义在R的奇函数f(x)在(﹣∞,0)单调递减,且f(2)=0,则满足xf(x﹣1)≥0的x的取值范围是( )
    A.[﹣1,1]∪[3,+∞)B.[﹣3,﹣1]∪[0,1]
    C.[﹣1,0]∪[1,+∞)D.[﹣1,0]∪[1,3]
    【解答】解:∵定义在R的奇函数f(x)在(﹣∞,0)单调递减,且f(2)=0,f(x)的大致图象如图:
    ∴f(x)在(0,+∞)上单调递减,且f(﹣2)=0;
    故f(﹣1)<0;
    当x=0时,不等式xf(x﹣1)≥0成立,
    当x=1时,不等式xf(x﹣1)≥0成立,
    当x﹣1=2或x﹣1=﹣2时,即x=3或x=﹣1时,不等式xf(x﹣1)≥0成立,
    当x>0时,不等式xf(x﹣1)≥0等价为f(x﹣1)≥0,
    此时,此时1<x≤3,
    当x<0时,不等式xf(x﹣1)≥0等价为f(x﹣1)≤0,
    即,得﹣1≤x<0,
    综上﹣1≤x≤0或1≤x≤3,
    即实数x的取值范围是[﹣1,0]∪[1,3],
    故选:D.
    二、选择意:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。
    (多选)9.(5分)设a<b<0,则下列不等式中成立的是( )
    A.B.|a|>﹣bC.D.
    【解答】解:对于A,∵a<b<0,∴b﹣a>0,ab>0,∴0,∴,故A正确,
    对于B,∵a<b<0,∴|a|>|b|=﹣b,故B正确,
    对于C,∵a<b<0,∴﹣a>﹣b>0,∴,故C正确,
    对于D,∵a<b<0,∴a﹣b<0,∴0,∴,故D错误,
    故选:ABC.
    (多选)10.(5分)下列说法正确的有( )
    A.若f(x+1)=x2+x,则f(0)=2
    B.奇函数f(x)和偶函数g(x)的定义域都为R,则函数h(x)=f(x)g(x)为奇函数
    C.不等式kx2+2kx﹣k﹣2<0对∀x∈R恒成立,则实数k的取值范围是(﹣1,0)
    D.若∃x∈R,使得成立,则实数m的取值范围是m≥﹣2
    【解答】解:对于A:若f(x+1)=x2+x,则f(0)=f(﹣1+1)=(﹣1)2+(﹣1)=0,故A错误;
    对于B:∵h(x)=f(x)g(x),∴h(﹣x)=f(﹣x)g(﹣x)=﹣f(x)g(x)=﹣h(x),∴h(x)为奇函数,故B正确;
    对于C:当k=0时,﹣2<0对∀x∈R恒成立;当k≠0时,,则,解得﹣1<k<0,综上,﹣1<k≤0,故C错误;
    对于D:∵∃x∈R,使得成立,x2﹣2x+3>0,∴4x+m≥2(x2﹣2x+3),即m≥(2x2﹣8x+6)min,当x=2时,(2x2﹣8x+6)min=﹣2,则m≥﹣2,故D正确.
    故选:BD.
    (多选)11.(5分)已知x>0,y>0,且x+2y=1,下列结论中正确的是( )
    A.xy的最小值是B.2x+4y的最小值是
    C.的最小值是9D.x2+y2的最小值是
    【解答】解:因为x>0,y>0,且x+2y=1,
    由基本不等式可得1=x+2y≥2,当且仅当x,y时取等号,
    解得xy,即xy的最大值为,A错误;
    因为2x+4y22,当且仅当x=2y时取等号,B正确;
    55+2×2=9,当且仅当x=y时取等号,此时取得最小值9,C正确;
    由题意得x=1﹣2y>0得0<y,
    x2+y2=(1﹣2y)2+y2=5y2﹣4y+1在(0,)上单先减后增,
    当y时取得最小值,D错误.
    故选:BC.
    (多选)12.(5分)已知函数(m∈R,e为自然对数的底数),则下列说法正确的是( )
    A.方程f(x)=0至多有2个不同的实数根
    B.方程f(x)=0可能没有实数根
    C.当m<﹣3时,对∀x1≠x2,总有成立
    D.当m=0,方程f[f(x)]=0有3个不同的实数根
    【解答】解:作出函数y=ex﹣1和函数y=﹣x2﹣4x﹣4的图象如图所示,
    当m>0时,函数f(x)只有一个零点,
    当﹣2<m≤0时,函数f(x)有2个零点,
    当m≤﹣2时,函数f(x)只有一个零点,故选项A正确,B错误;
    当m<﹣3时,函数f(x)为增函数,故选项C正确;
    当m=0时,令f(t)=0,则t1=﹣2,t2=0,
    当f(x)=t1=﹣2时,该方程有两个解;当f(x)=t2=0时,该方程有两个解,
    ∴方程f[f(x)]=0有4个解,选项D错误.
    故选:AC.
    三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
    13.(5分)命题“对∀x≥0,都有x2+x﹣1>0”的否定是 ∃x≥0,都有x2+x﹣1≤0 .
    【解答】解:命题为全称命题,
    则命题的否定为:∃x≥0,都有x2+x﹣1≤0,
    故答案为:∃x≥0,都有x2+x﹣1≤0
    14.(5分)函数的单调递减区间为 (﹣1,3) .
    【解答】解:由7+6x﹣x2>0,得﹣1<x<7,
    ∴函数的定义域为(﹣1,7),
    又内层函数t=7+6x﹣x2的对称轴方程为x=3,则内函数在(﹣1,3)上为增函数,
    且外层函数y为定义域内的减函数,
    故复合函数的单调递减区间为(﹣1,3).
    故答案为:(﹣1,3).
    15.(5分)定义在R上的函数f(x),当﹣1≤x≤1时,f(x)=x3.若函数f(x+1)为偶函数,则f(3)= ﹣1 .
    【解答】解:因为函数f(x+1)为偶函数,所以f(x)关于x=1对称,
    所以f(3)=f(﹣1)=(﹣1)3=﹣1.
    故答案为:﹣1.
    16.(5分)已知函数y(a∈R)的最小值为2,则实数a的取值范围是 [2,+∞) .
    【解答】解:当x≥1时,f(x)=2x为递增函数,可得f(x)≥2,
    则当x<1时,ax2﹣(a+2)x+2a≥2恒成立,
    即为a对x<1恒成立.
    设t=x+1,而x2﹣x+2>0,所以只需考虑t>0,则x=t﹣1,
    1,当且仅当t=2,即x=1时取得等号,
    但x<1,所以上式等号取不到,
    所以1恒成立,
    所以a≥1,即a≥2,
    故答案为:[2,+∞).
    四、解答题:本题共6小体,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤。
    17.(10分)已知集合,集合B={x||x﹣a|<2}.
    (1)若a=﹣2,求集合A∪B;
    (2)若集合A是集合B的真子集,求实数a的取值范围.
    【解答】解:{x|}={x|1<x<3},
    (1)若a=﹣2,
    则集合B={x||x﹣a|<2}={x|﹣4<x<0},
    故A∪B={x|﹣4<x<0或1<x<3}.
    (2)∵B={x||x﹣a|<2}={x|a﹣2<x<a+2},
    又∵集合A是集合B的真子集,
    ∴,解得1≤a≤3,
    故实数a的取值范围为[1,3].
    18.(12分)求解下列问题:
    (1)已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)﹣f(x)=2x+9,求f(x)的解析式;
    (2)已知f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=x2﹣2x,求f(x)的解析式.
    【解答】解:(1)设f(x)=ax+b(a≠0),
    ∵3f(x+1)﹣f(x)=2x+9,
    ∴3[a(x+1)+b]﹣(ax+b)=2x+9,
    整理得:2ax+3a+2b=2x+9,
    ∴,解得a=1,b=3,
    ∴f(x)=x+3.
    (2)f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=x2﹣2x,
    当x<0时,则﹣x>0,∴f(﹣x)=(﹣x)2﹣2(﹣x)=x2+2x,
    又∵f(x)是定义在R上的偶函数,∴f(﹣x)=f(x),
    ∴f(x)=x2+2x,即x<0时的解析式为f(x)=x2+2x.
    所以函数f(x)的解析式为f(x).
    19.(12分)已知函数f(x)=x2+ax+b.
    (1)若函数f(x)在(1,+∞)上是增函数,求实数a的取值范围;
    (2)若b=1,求x∈[0,3]时f(x)的最小值g(a).
    【解答】解:(1)函数f(x)=x2+ax+b的对称轴为x,
    ∵函数f(x)在(1,+∞)上是增函数,
    ∴1,∴a≥﹣2,
    ∴实数a的取值范围是[﹣2,+∞).
    (2)当b=1时,f(x)=x2+ax+1,对称轴为x,
    当0,即a≥0时,函数f(x)在[0,3]上单调递增,
    ∴f(x)min=f(0)=1,
    当03,即﹣6<a<0时,函数f(x)在[0,)上单调递减,在(,3]上单调递增,
    ∴f(x)min=f()1,
    当3,即a≤﹣6时,函数f(x)在[0,3]上单调递减,
    ∴f(x)min=f(3)=10+3a,
    综上所述,g(a).
    20.(12分)某工厂生产某种产品的年固定成本为200万元,每生产x千件,需另投入成本为C(x),当年产量不足80千件时,(万元).当年产量不小于80千件时,(万元).每件商品售价为0.05万元.通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.
    (1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式.
    (2)当年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?
    【解答】解:(1)因为每件商品售价为0.05万元,则x千件商品销售额为0.05×1 000x万元,依题意得:
    当0<x<80时,L(x)=(0.05×1 000x)250x2+40x﹣200.
    当x≥80时,L(x)=(0.05×1 000x)﹣()﹣200
    =1200.
    所以,
    (2)当0<x<80时,L(x)(x﹣60)2+1000.
    此时,当x=60时,L(x)取得最大值L(60)=1000万元.
    当x≥80时,L(x)=12501250﹣2
    =1250﹣200=1 050.
    此时x,即x=100时,L(x)取得最大值1 050万元.
    由于1000<1050,
    答:当年产量为100千件时,该厂在这一商品生产中所获利润最大,
    最大利润为1050万元.
    21.(12分)已知函数是定义在[﹣2,2]上的奇函数,且.
    (1)求实数a,b的值;
    (2)判断f(x)在[﹣2,2]上的单调性,并用定义证明;
    (3)设g(x)=kx2+2kx+1(k≠0),若对任意的x1∈[﹣2,2],总存在x2∈[﹣1,2],使得f(x1)=g(x2)成立,求实数k的取值范围.
    【解答】解:(1)因为函数是定义在[﹣2,2]上的奇函数,所以f(0)0⇒b=0;分
    又f(1)⇒a=分
    所以,经检验,该函数为奇函数.分
    (2)f(x)在[﹣2,2]上单调递增,
    证明如下:任取﹣2≤x1<x2≤2,
    f(x1)﹣f(x2),其中x1x2﹣4<0,x2﹣x1>0,
    所以f(x1)﹣f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),故f(x)在[﹣2,2]上单调递增.分
    (3)由于对任意的x1∈[﹣2,2],总存在x2∈[﹣1,2],使得f(x1)=g(x2)成立,
    所以f(x)的值域为g(x)的值域的子集分
    而由(2)知:f(x)∈[,],
    当k>0时,g(x)在[﹣1.2]上递增,g(x)∈[1﹣k,8k+1],
    所以,即分
    当k<0时,g(x)在[﹣1.2]上递减,g(x)∈[8k+1,1﹣k],
    所以,即k.分
    综上所述,k∈(﹣∞,]∪[,+∞).分
    22.(12分)对于函数f(x),若在其定义域内存在实数x,满足f(﹣x)=﹣f(x),则称f(x)为“局部奇函数”.
    (1)若f(x)=2x﹣m是定义在区间[﹣1,1]上的“局部奇函数”,求实数m的取值范围;
    (2)若f(x)=4x﹣n•2x+1+n2﹣3为定义域R上的“局部奇函数”,求实数n的取值范围.
    【解答】解:(1)因为f(x)=2x﹣m是定义在区间[﹣1,1]上的“局部奇函数”,所以f(﹣x)=﹣f(x),即2﹣x﹣m=﹣(2x﹣m),
    所以2x+2﹣x﹣2m=0,由f(x)的定义域为[﹣1,1],所以方程2x+2﹣x﹣2m=0在[﹣1,1]有解;
    设t=2x,x∈[﹣1,1],则t∈[,2],
    所以2m=t,在t∈[,2]上有解;
    设h(t)=t在t∈[,1]为减函数,t∈[1,2]为增函数,h(t)min=h(1)=2,h(t)max=h()=h(2),
    所以h(t)∈[2,],即2≤2m,解得1≤m;
    所以实数m的取值范围是[1,];
    (2)因为f(x)=4x﹣n•2x+1+n2﹣3为定义域R上的“局部奇函数”,
    所以f(﹣x)=﹣f(x),即4﹣x﹣n•2﹣x+1+n2﹣3=﹣(4x﹣n•2x+1+n2﹣3),
    整理得4x+4﹣x﹣2n(2x+2﹣x)+2n2﹣6=0,
    设t=2x+2﹣x,则t≥2,4x+4﹣x=t2﹣2,
    所以方程t2﹣2nt+2n2﹣8=0在t∈[2,+∞)上有解,
    设g(t)=t2﹣2nt+2n2﹣8,t∈[2,+∞);
    当g(2)≤0时,t2﹣2nt+2n2﹣8=0在t∈[2,+∞)上有解,此时2n2﹣4n﹣4≤0,解得1n≤1;
    当g(2)>0时,t2﹣2nt+2n2﹣8=0在t∈[2,+∞)上有解,此时,解得1n≤2;
    综上知,实数n的取值范围是[1,2].
    声明:试题解析著作权属菁优网所有,未经书面同意,不得复制发布日期:2023/10/31 9:17:32;用户:高中数学朱老师;邮箱:rFmNt90mRiXzEYJeDrg1uSD0fc@;学号:37103942
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