2022-2023学年广东省深圳高级中学高一（上）期中数学试卷

这是一份2022-2023学年广东省深圳高级中学高一（上）期中数学试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，选择意，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）设集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2＜x＜4}，则A∪B＝（ ）
A．{x|2＜x≤3}B．{x|2≤x≤3}C．{x|1≤x＜4}D．{x|1＜x＜4}
2．（5分）若幂函数y＝f（x）的图象经过点（2，），则f（5）的值是（ ）
A．B．C．D．25
3．（5分）函数f（x）＝ax﹣1+3（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标为（ ）
A．（1，4）B．（0，4）C．（0，3）D．（1，3）
4．（5分）新型冠状病毒导致的疫情还没有完全解除．为了做好校园防疫工作，某学校决定每天对教室进行消毒．已知消毒药物在释放过程中，室内空气中的含药量y（单位：mg/m3）与时间t（单位：小时）成正比．药物释放完毕后，y与t的函数关系式为（a为常数，）．按照规定，当空气中每立方米的含药量降低到0.5mg/m3以下时，学生方可进入教室．因此，每天进行消毒的工作人员应当提前多长时间进行教室消毒？（ ）
A．30分钟B．60分钟C．90分钟D．120分钟
5．（5分）“对所有x∈（1，4]，不等式x2﹣mx+m＞0恒成立”的一个充分不必要条件可以是（ ）
A．m＜4B．m＞4C．m≥3D．m≤3
6．（5分）定义在（﹣1，1）上的函数f（x）＝x3+3x，如果有f（1﹣a）+f（1﹣a2）＞0，则a的取值范围为（ ）
A．（﹣2，1）B．（﹣1，2）C．（0，1）D．（0，）
7．（5分）已知函数，若存在x1，x2∈R，x1≠x2，使f（x1）＝f（x2）成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．[0，2）B．（﹣∞，0]
C．（﹣∞，0]∪[2，+∞）D．（﹣∞，0]∪（2，+∞）
8．（5分）若定义在R的奇函数f（x）在（﹣∞，0）单调递减，且f（2）＝0，则满足xf（x﹣1）≥0的x的取值范围是（ ）
A．[﹣1，1]∪[3，+∞）B．[﹣3，﹣1]∪[0，1]
C．[﹣1，0]∪[1，+∞）D．[﹣1，0]∪[1，3]
二、选择意：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
（多选）9．（5分）设a＜b＜0，则下列不等式中成立的是（ ）
A．B．|a|＞﹣bC．D．
（多选）10．（5分）下列说法正确的有（ ）
A．若f（x+1）＝x2+x，则f（0）＝2
B．奇函数f（x）和偶函数g（x）的定义域都为R，则函数h（x）＝f（x）g（x）为奇函数
C．不等式kx2+2kx﹣k﹣2＜0对∀x∈R恒成立，则实数k的取值范围是（﹣1，0）
D．若∃x∈R，使得成立，则实数m的取值范围是m≥﹣2
（多选）11．（5分）已知x＞0，y＞0，且x+2y＝1，下列结论中正确的是（ ）
A．xy的最小值是B．2x+4y的最小值是
C．的最小值是9D．x2+y2的最小值是
（多选）12．（5分）已知函数（m∈R，e为自然对数的底数），则下列说法正确的是（ ）
A．方程f（x）＝0至多有2个不同的实数根
B．方程f（x）＝0可能没有实数根
C．当m＜﹣3时，对∀x1≠x2，总有成立
D．当m＝0，方程f[f（x）]＝0有3个不同的实数根
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）命题“对∀x≥0，都有x2+x﹣1＞0”的否定是 ．
14．（5分）函数的单调递减区间为 ．
15．（5分）定义在R上的函数f（x），当﹣1≤x≤1时，f（x）＝x3．若函数f（x+1）为偶函数，则f（3）＝ ．
16．（5分）已知函数y（a∈R）的最小值为2，则实数a的取值范围是 ．
四、解答题：本题共6小体，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤。
17．（10分）已知集合，集合B＝{x||x﹣a|＜2}．
（1）若a＝﹣2，求集合A∪B；
（2）若集合A是集合B的真子集，求实数a的取值范围．
18．（12分）求解下列问题：
（1）已知f（x）是一次函数，且满足3f（x+1）﹣f（x）＝2x+9，求f（x）的解析式；
（2）已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝x2﹣2x，求f（x）的解析式．
19．（12分）已知函数f（x）＝x2+ax+b．
（1）若函数f（x）在（1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；
（2）若b＝1，求x∈[0，3]时f（x）的最小值g（a）．
20．（12分）某工厂生产某种产品的年固定成本为200万元，每生产x千件，需另投入成本为C（x），当年产量不足80千件时，（万元）．当年产量不小于80千件时，（万元）．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．
（1）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式．
（2）当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
21．（12分）已知函数是定义在[﹣2，2]上的奇函数，且．
（1）求实数a，b的值；
（2）判断f（x）在[﹣2，2]上的单调性，并用定义证明；
（3）设g（x）＝kx2+2kx+1（k≠0），若对任意的x1∈[﹣2，2]，总存在x2∈[﹣1，2]，使得f（x1）＝g（x2）成立，求实数k的取值范围．
22．（12分）对于函数f（x），若在其定义域内存在实数x，满足f（﹣x）＝﹣f（x），则称f（x）为“局部奇函数”．
（1）若f（x）＝2x﹣m是定义在区间[﹣1，1]上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围；
（2）若f（x）＝4x﹣n•2x+1+n2﹣3为定义域R上的“局部奇函数”，求实数n的取值范围．
2022-2023学年广东省深圳高级中学高一（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）设集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2＜x＜4}，则A∪B＝（ ）
A．{x|2＜x≤3}B．{x|2≤x≤3}C．{x|1≤x＜4}D．{x|1＜x＜4}
【解答】解：∵集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2＜x＜4}，
∴A∪B＝{x|1≤x＜4}．
故选：C．
2．（5分）若幂函数y＝f（x）的图象经过点（2，），则f（5）的值是（ ）
A．B．C．D．25
【解答】解：设f（x）＝xα，
由题意得f（2）＝2α，
故α，f（x），
故．
故选：A．
3．（5分）函数f（x）＝ax﹣1+3（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标为（ ）
A．（1，4）B．（0，4）C．（0，3）D．（1，3）
【解答】解：根据指数函数的性质，因为函数f（x）＝ax﹣1+3（a＞0且a≠1），
则当x＝1时，y＝4，
则函数函数f（x）＝ax﹣1+3（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P（1，4），
故选：A．
4．（5分）新型冠状病毒导致的疫情还没有完全解除．为了做好校园防疫工作，某学校决定每天对教室进行消毒．已知消毒药物在释放过程中，室内空气中的含药量y（单位：mg/m3）与时间t（单位：小时）成正比．药物释放完毕后，y与t的函数关系式为（a为常数，）．按照规定，当空气中每立方米的含药量降低到0.5mg/m3以下时，学生方可进入教室．因此，每天进行消毒的工作人员应当提前多长时间进行教室消毒？（ ）
A．30分钟B．60分钟C．90分钟D．120分钟
【解答】解：∵函数图象过点（），
∴，解得a，
故y＝f（t），
当t时，令，解得t＝1，
故每天进行消毒的工作人员应当提前60分钟进行教室消毒．
故选：B．
5．（5分）“对所有x∈（1，4]，不等式x2﹣mx+m＞0恒成立”的一个充分不必要条件可以是（ ）
A．m＜4B．m＞4C．m≥3D．m≤3
【解答】解：对所有x∈（1，4]，不等式x2﹣mx+m＞0恒成立，得恒成立，
因为，
当且仅当，即x＝2时取得等号，
所以不等式x2﹣mx+m＞0恒成立，则m＜4，
因为m≤3是m＜4的充分不必要条件，
故选：D．
6．（5分）定义在（﹣1，1）上的函数f（x）＝x3+3x，如果有f（1﹣a）+f（1﹣a2）＞0，则a的取值范围为（ ）
A．（﹣2，1）B．（﹣1，2）C．（0，1）D．（0，）
【解答】解：∵定义在（﹣1，1）上的函数f（x）＝x3+3x为奇函数，且为增函数，
又f（1﹣a）+f（1﹣a2）＞0，
∴f（1﹣a）＞f（a2﹣1），
∴1＞1﹣a＞a2﹣1＞﹣1，
解得0＜a＜1，
故选：C．
7．（5分）已知函数，若存在x1，x2∈R，x1≠x2，使f（x1）＝f（x2）成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．[0，2）B．（﹣∞，0]
C．（﹣∞，0]∪[2，+∞）D．（﹣∞，0]∪（2，+∞）
【解答】解：依题意，在定义域内，函数f（x）不是单调函数，分情况讨论：
①当x≥1时，若f（x）＝x2﹣ax 不是单调的，它的对称轴为x，则有1，即a＞2；
②当x≥1时，若f（x）＝x2﹣ax 是单调的，则f（x）单调递增，此时1，可得a≤2．
当x＜1时，由题意可得，f（x）＝ax+1﹣2a应该不单调递增，故有a≤0．
综合得：a的取值范围是（2，+∞）∪（﹣∞，0]．
故选：D．
8．（5分）若定义在R的奇函数f（x）在（﹣∞，0）单调递减，且f（2）＝0，则满足xf（x﹣1）≥0的x的取值范围是（ ）
A．[﹣1，1]∪[3，+∞）B．[﹣3，﹣1]∪[0，1]
C．[﹣1，0]∪[1，+∞）D．[﹣1，0]∪[1，3]
【解答】解：∵定义在R的奇函数f（x）在（﹣∞，0）单调递减，且f（2）＝0，f（x）的大致图象如图：
∴f（x）在（0，+∞）上单调递减，且f（﹣2）＝0；
故f（﹣1）＜0；
当x＝0时，不等式xf（x﹣1）≥0成立，
当x＝1时，不等式xf（x﹣1）≥0成立，
当x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2时，即x＝3或x＝﹣1时，不等式xf（x﹣1）≥0成立，
当x＞0时，不等式xf（x﹣1）≥0等价为f（x﹣1）≥0，
此时，此时1＜x≤3，
当x＜0时，不等式xf（x﹣1）≥0等价为f（x﹣1）≤0，
即，得﹣1≤x＜0，
综上﹣1≤x≤0或1≤x≤3，
即实数x的取值范围是[﹣1，0]∪[1，3]，
故选：D．
二、选择意：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
（多选）9．（5分）设a＜b＜0，则下列不等式中成立的是（ ）
A．B．|a|＞﹣bC．D．
【解答】解：对于A，∵a＜b＜0，∴b﹣a＞0，ab＞0，∴0，∴，故A正确，
对于B，∵a＜b＜0，∴|a|＞|b|＝﹣b，故B正确，
对于C，∵a＜b＜0，∴﹣a＞﹣b＞0，∴，故C正确，
对于D，∵a＜b＜0，∴a﹣b＜0，∴0，∴，故D错误，
故选：ABC．
（多选）10．（5分）下列说法正确的有（ ）
A．若f（x+1）＝x2+x，则f（0）＝2
B．奇函数f（x）和偶函数g（x）的定义域都为R，则函数h（x）＝f（x）g（x）为奇函数
C．不等式kx2+2kx﹣k﹣2＜0对∀x∈R恒成立，则实数k的取值范围是（﹣1，0）
D．若∃x∈R，使得成立，则实数m的取值范围是m≥﹣2
【解答】解：对于A：若f（x+1）＝x2+x，则f（0）＝f（﹣1+1）＝（﹣1）2+（﹣1）＝0，故A错误；
对于B：∵h（x）＝f（x）g（x），∴h（﹣x）＝f（﹣x）g（﹣x）＝﹣f（x）g（x）＝﹣h（x），∴h（x）为奇函数，故B正确；
对于C：当k＝0时，﹣2＜0对∀x∈R恒成立；当k≠0时，，则，解得﹣1＜k＜0，综上，﹣1＜k≤0，故C错误；
对于D：∵∃x∈R，使得成立，x2﹣2x+3＞0，∴4x+m≥2（x2﹣2x+3），即m≥（2x2﹣8x+6）min，当x＝2时，（2x2﹣8x+6）min＝﹣2，则m≥﹣2，故D正确．
故选：BD．
（多选）11．（5分）已知x＞0，y＞0，且x+2y＝1，下列结论中正确的是（ ）
A．xy的最小值是B．2x+4y的最小值是
C．的最小值是9D．x2+y2的最小值是
【解答】解：因为x＞0，y＞0，且x+2y＝1，
由基本不等式可得1＝x+2y≥2，当且仅当x，y时取等号，
解得xy，即xy的最大值为，A错误；
因为2x+4y22，当且仅当x＝2y时取等号，B正确；
55+2×2＝9，当且仅当x＝y时取等号，此时取得最小值9，C正确；
由题意得x＝1﹣2y＞0得0＜y，
x2+y2＝（1﹣2y）2+y2＝5y2﹣4y+1在（0，）上单先减后增，
当y时取得最小值，D错误．
故选：BC．
（多选）12．（5分）已知函数（m∈R，e为自然对数的底数），则下列说法正确的是（ ）
A．方程f（x）＝0至多有2个不同的实数根
B．方程f（x）＝0可能没有实数根
C．当m＜﹣3时，对∀x1≠x2，总有成立
D．当m＝0，方程f[f（x）]＝0有3个不同的实数根
【解答】解：作出函数y＝ex﹣1和函数y＝﹣x2﹣4x﹣4的图象如图所示，
当m＞0时，函数f（x）只有一个零点，
当﹣2＜m≤0时，函数f（x）有2个零点，
当m≤﹣2时，函数f（x）只有一个零点，故选项A正确，B错误；
当m＜﹣3时，函数f（x）为增函数，故选项C正确；
当m＝0时，令f（t）＝0，则t1＝﹣2，t2＝0，
当f（x）＝t1＝﹣2时，该方程有两个解；当f（x）＝t2＝0时，该方程有两个解，
∴方程f[f（x）]＝0有4个解，选项D错误．
故选：AC．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）命题“对∀x≥0，都有x2+x﹣1＞0”的否定是 ∃x≥0，都有x2+x﹣1≤0 ．
【解答】解：命题为全称命题，
则命题的否定为：∃x≥0，都有x2+x﹣1≤0，
故答案为：∃x≥0，都有x2+x﹣1≤0
14．（5分）函数的单调递减区间为 （﹣1，3） ．
【解答】解：由7+6x﹣x2＞0，得﹣1＜x＜7，
∴函数的定义域为（﹣1，7），
又内层函数t＝7+6x﹣x2的对称轴方程为x＝3，则内函数在（﹣1，3）上为增函数，
且外层函数y为定义域内的减函数，
故复合函数的单调递减区间为（﹣1，3）．
故答案为：（﹣1，3）．
15．（5分）定义在R上的函数f（x），当﹣1≤x≤1时，f（x）＝x3．若函数f（x+1）为偶函数，则f（3）＝ ﹣1 ．
【解答】解：因为函数f（x+1）为偶函数，所以f（x）关于x＝1对称，
所以f（3）＝f（﹣1）＝（﹣1）3＝﹣1．
故答案为：﹣1．
16．（5分）已知函数y（a∈R）的最小值为2，则实数a的取值范围是 [2，+∞） ．
【解答】解：当x≥1时，f（x）＝2x为递增函数，可得f（x）≥2，
则当x＜1时，ax2﹣（a+2）x+2a≥2恒成立，
即为a对x＜1恒成立．
设t＝x+1，而x2﹣x+2＞0，所以只需考虑t＞0，则x＝t﹣1，
1，当且仅当t＝2，即x＝1时取得等号，
但x＜1，所以上式等号取不到，
所以1恒成立，
所以a≥1，即a≥2，
故答案为：[2，+∞）．
四、解答题：本题共6小体，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤。
17．（10分）已知集合，集合B＝{x||x﹣a|＜2}．
（1）若a＝﹣2，求集合A∪B；
（2）若集合A是集合B的真子集，求实数a的取值范围．
【解答】解：{x|}＝{x|1＜x＜3}，
（1）若a＝﹣2，
则集合B＝{x||x﹣a|＜2}＝{x|﹣4＜x＜0}，
故A∪B＝{x|﹣4＜x＜0或1＜x＜3}．
（2）∵B＝{x||x﹣a|＜2}＝{x|a﹣2＜x＜a+2}，
又∵集合A是集合B的真子集，
∴，解得1≤a≤3，
故实数a的取值范围为[1，3]．
18．（12分）求解下列问题：
（1）已知f（x）是一次函数，且满足3f（x+1）﹣f（x）＝2x+9，求f（x）的解析式；
（2）已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝x2﹣2x，求f（x）的解析式．
【解答】解：（1）设f（x）＝ax+b（a≠0），
∵3f（x+1）﹣f（x）＝2x+9，
∴3[a（x+1）+b]﹣（ax+b）＝2x+9，
整理得：2ax+3a+2b＝2x+9，
∴，解得a＝1，b＝3，
∴f（x）＝x+3．
（2）f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝x2﹣2x，
当x＜0时，则﹣x＞0，∴f（﹣x）＝（﹣x）2﹣2（﹣x）＝x2+2x，
又∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（﹣x）＝f（x），
∴f（x）＝x2+2x，即x＜0时的解析式为f（x）＝x2+2x．
所以函数f（x）的解析式为f（x）．
19．（12分）已知函数f（x）＝x2+ax+b．
（1）若函数f（x）在（1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；
（2）若b＝1，求x∈[0，3]时f（x）的最小值g（a）．
【解答】解：（1）函数f（x）＝x2+ax+b的对称轴为x，
∵函数f（x）在（1，+∞）上是增函数，
∴1，∴a≥﹣2，
∴实数a的取值范围是[﹣2，+∞）．
（2）当b＝1时，f（x）＝x2+ax+1，对称轴为x，
当0，即a≥0时，函数f（x）在[0，3]上单调递增，
∴f（x）min＝f（0）＝1，
当03，即﹣6＜a＜0时，函数f（x）在[0，）上单调递减，在（，3]上单调递增，
∴f（x）min＝f（）1，
当3，即a≤﹣6时，函数f（x）在[0，3]上单调递减，
∴f（x）min＝f（3）＝10+3a，
综上所述，g（a）．
20．（12分）某工厂生产某种产品的年固定成本为200万元，每生产x千件，需另投入成本为C（x），当年产量不足80千件时，（万元）．当年产量不小于80千件时，（万元）．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．
（1）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式．
（2）当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
【解答】解：（1）因为每件商品售价为0.05万元，则x千件商品销售额为0.05×1 000x万元，依题意得：
当0＜x＜80时，L（x）＝（0.05×1 000x）250x2+40x﹣200．
当x≥80时，L（x）＝（0.05×1 000x）﹣（）﹣200
＝1200．
所以，
（2）当0＜x＜80时，L（x）（x﹣60）2+1000．
此时，当x＝60时，L（x）取得最大值L（60）＝1000万元．
当x≥80时，L（x）＝12501250﹣2
＝1250﹣200＝1 050．
此时x，即x＝100时，L（x）取得最大值1 050万元．
由于1000＜1050，
答：当年产量为100千件时，该厂在这一商品生产中所获利润最大，
最大利润为1050万元．
21．（12分）已知函数是定义在[﹣2，2]上的奇函数，且．
（1）求实数a，b的值；
（2）判断f（x）在[﹣2，2]上的单调性，并用定义证明；
（3）设g（x）＝kx2+2kx+1（k≠0），若对任意的x1∈[﹣2，2]，总存在x2∈[﹣1，2]，使得f（x1）＝g（x2）成立，求实数k的取值范围．
【解答】解：（1）因为函数是定义在[﹣2，2]上的奇函数，所以f（0）0⇒b＝0；分
又f（1）⇒a＝分
所以，经检验，该函数为奇函数．分
（2）f（x）在[﹣2，2]上单调递增，
证明如下：任取﹣2≤x1＜x2≤2，
f（x1）﹣f（x2），其中x1x2﹣4＜0，x2﹣x1＞0，
所以f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），故f（x）在[﹣2，2]上单调递增．分
（3）由于对任意的x1∈[﹣2，2]，总存在x2∈[﹣1，2]，使得f（x1）＝g（x2）成立，
所以f（x）的值域为g（x）的值域的子集分
而由（2）知：f（x）∈[，]，
当k＞0时，g（x）在[﹣1.2]上递增，g（x）∈[1﹣k，8k+1]，
所以，即分
当k＜0时，g（x）在[﹣1.2]上递减，g（x）∈[8k+1，1﹣k]，
所以，即k．分
综上所述，k∈（﹣∞，]∪[，+∞）．分
22．（12分）对于函数f（x），若在其定义域内存在实数x，满足f（﹣x）＝﹣f（x），则称f（x）为“局部奇函数”．
（1）若f（x）＝2x﹣m是定义在区间[﹣1，1]上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围；
（2）若f（x）＝4x﹣n•2x+1+n2﹣3为定义域R上的“局部奇函数”，求实数n的取值范围．
【解答】解：（1）因为f（x）＝2x﹣m是定义在区间[﹣1，1]上的“局部奇函数”，所以f（﹣x）＝﹣f（x），即2﹣x﹣m＝﹣（2x﹣m），
所以2x+2﹣x﹣2m＝0，由f（x）的定义域为[﹣1，1]，所以方程2x+2﹣x﹣2m＝0在[﹣1，1]有解；
设t＝2x，x∈[﹣1，1]，则t∈[，2]，
所以2m＝t，在t∈[，2]上有解；
设h（t）＝t在t∈[，1]为减函数，t∈[1，2]为增函数，h（t）min＝h（1）＝2，h（t）max＝h（）＝h（2），
所以h（t）∈[2，]，即2≤2m，解得1≤m；
所以实数m的取值范围是[1，]；
（2）因为f（x）＝4x﹣n•2x+1+n2﹣3为定义域R上的“局部奇函数”，
所以f（﹣x）＝﹣f（x），即4﹣x﹣n•2﹣x+1+n2﹣3＝﹣（4x﹣n•2x+1+n2﹣3），
整理得4x+4﹣x﹣2n（2x+2﹣x）+2n2﹣6＝0，
设t＝2x+2﹣x，则t≥2，4x+4﹣x＝t2﹣2，
所以方程t2﹣2nt+2n2﹣8＝0在t∈[2，+∞）上有解，
设g（t）＝t2﹣2nt+2n2﹣8，t∈[2，+∞）；
当g（2）≤0时，t2﹣2nt+2n2﹣8＝0在t∈[2，+∞）上有解，此时2n2﹣4n﹣4≤0，解得1n≤1；
当g（2）＞0时，t2﹣2nt+2n2﹣8＝0在t∈[2，+∞）上有解，此时，解得1n≤2；
综上知，实数n的取值范围是[1，2]．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/10/31 9:17:32；用户：高中数学朱老师；邮箱：rFmNt90mRiXzEYJeDrg1uSD0fc@；学号：37103942