2022-2023学年广东省深圳高级中学高中园高一（下）期中数学试卷

这是一份2022-2023学年广东省深圳高级中学高中园高一（下）期中数学试卷，共44页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）（2021春•惠州期末）已知复数，则是
A．1B．C．2D．
2．（5分）（2023•巴宜区校级四模）已知向量，，若，则
A．B．1C．2D．4
3．（5分）（2021春•惠州期末）已知圆锥轴截面为正三角形，母线长为2，则该圆锥的体积等于
A．B．C．D．
4．（5分）（2016秋•杜尔伯特县期末）用斜二测画法作出一个三角形的直观图，则原三角形面积是直观图面积的
A．倍B．倍C．2倍D．倍
5．（5分）（2023春•沈阳期中）已知，则的值为
A．B．C．D．
6．（5分）（2018•平度市校级模拟）在中，，是直线上的一点，若，则实数的值为
A．B．C．1D．4
7．（5分）（2023春•南关区校级期末）已知的外接圆圆心，且，，则向量在向量上的投影向量为
A．B．C．D．
8．（5分）（2023•广州模拟）红灯笼，起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围．如图1，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面除去上下两个相同球冠剩下的部分．如图2，球冠是由球面被平面截得的一部分，垂直于截面的直径被截得的部分叫做球冠的高，若球冠所在球面的半径为，球冠的高为，则球冠的面积．如图1，已知该灯笼的高为，圆柱的高为，圆柱的底面圆直径为，则围成该灯笼中间球面部分所需布料的面积为
A．B．C．D．
二、多项选择题：（本题共4小题，每小题满分20分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）
9．（5分）（2023春•龙岗区校级期中）下列结论正确的个数是
A．经过一条直线和这条直线外一点可以确定一个平面
B．经过两条相交直线，可以确定一个平面
C．经过两条平行直线，可以确定一个平面
D．经过空间任意三点可以确定一个平面
10．（5分）（2021春•惠州期末）下列命题错误的有
A．若、都是单位向量，则
B．若，且，则
C．若非零向量与是共线向量，则、、、四点共线
D．向量的模与向量的模相等
11．（5分）（2023春•龙岗区校级期中）要得到函数的图象，只需将函数的图象
A．向左平移个单位长度，再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍
B．向左平移个单位长度，再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍
C．每个点的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位长度
D．每个点的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位长度
12．（5分）（2021春•惠州期末）已知中，，，，则下列结论正确的有
A．为钝角三角形B．为锐角三角形
C．面积为D．
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）（2023春•惠州期末）在复数范围内，方程的解集为 ．
14．（5分）（2023春•龙岗区校级期中）已知向量，，为向量与的夹角，则 ．
15．（5分）（2023春•龙岗区校级期中）函数的单调递减区间为 ．
16．（5分）（2022•松山区三模）如图，某中学校园中央有一座钟楼，某学生为了测量钟楼高，该学生先在钟楼的正西方点处测得钟楼顶部的仰角为，然后从点处沿南偏东方向前进到达点处，在处测得钟楼顶部的仰角为，则钟楼的高度是 ．
四、解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）（2023春•龙岗区校级期中）已知，，．求
（1）；
（2）．
18．（12分）（2021春•惠州期末）如图，一块边长为的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器．
（1）请在答卷指定位置的空间直角坐标系中按比例画出该正四棱锥的直观图；（不需要写步骤及作图过程）
（2）求该正四棱锥形容器的体积．
19．（12分）（2018春•朔州期末）已知．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值．
20．（12分）（2021春•惠州期末）在①；②这两个条件中任选一个作为已知条件，补充到下面的横线上并作答．
问题：在中，内角、、的对边分别为，，，已知．
（1）求角；
（2）若，的面积为，求的周长．
21．（12分）（2023春•成都期末）如图所示，在中，为边上一点，且，过的直线与直线相交于点，与直线相交于点，两点不重合）．
（1）用，表示；
（2）若，，求的最小值．
22．（12分）（2023春•龙岗区校级期中）如图，在梯形中，，，，且，是线段上一点，且，为线段上一动点．
（1）求的大小；
（2）若为线段的中点，直线与相交于点，求；
（3）求的取值范围．
2022-2023学年广东省深圳高级中学高中园高一（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：（本题共8小题，每小题满分40分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分）
1．（5分）（2021春•惠州期末）已知复数，则是
A．1B．C．2D．
【考点】：复数的模
【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；：数系的扩充和复数
【分析】直接利用复数的模的运算法则化简求解即可．
【解答】解：复数，则．
故选：．
【点评】本题考查复数的模的求法，考查计算能力．
2．（5分）（2023•巴宜区校级四模）已知向量，，若，则
A．B．1C．2D．4
【考点】96：平行向量（共线）
【专题】38：对应思想；：数学模型法；：平面向量及应用
【分析】直接利用向量共线的坐标运算列式求解．
【解答】解：，，且，
，即．
故选：．
【点评】本题考查平面向量共线的坐标运算，是基础题．
3．（5分）（2021春•惠州期末）已知圆锥轴截面为正三角形，母线长为2，则该圆锥的体积等于
A．B．C．D．
【答案】
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱柱、棱锥、棱台的体积
【专题】数形结合；定义法；立体几何；数学运算
【分析】根据题意求出圆锥的母线、底面半径和高，再计算圆锥的体积．
【解答】解：如图所示，
圆锥的母线为，底面半径为，
所以圆锥的高为，
所以圆锥的体积为．
故选：．
【点评】本题考查了圆锥的体积计算问题，是基础题．
4．（5分）（2016秋•杜尔伯特县期末）用斜二测画法作出一个三角形的直观图，则原三角形面积是直观图面积的
A．倍B．倍C．2倍D．倍
【答案】
【考点】斜二测法画直观图
【专题】数形结合；转化法；空间位置关系与距离
【分析】以三角形的一边为轴，高所在的直线为轴，由斜二测画法得出三角形底边长和高的变化即可．
【解答】解：以三角形的一边为轴，高所在的直线为轴，
由斜二测画法知，三角形的底长度不变，高所在的直线为轴，长度减半，
所以三角形的高变为原来的，
所以直观图中三角形面积是原三角形面积的，
即原三角形面积是直观图面积的倍．
故选：．
【点评】本题考查了斜二测画法中直观图的面积和原图形面积之间的关系，是基础题目．
5．（5分）（2023春•沈阳期中）已知，则的值为
A．B．C．D．
【答案】
【考点】两角和与差的三角函数
【专题】综合法；三角函数的求值；数学运算；整体思想
【分析】把两个条件平方相加，再利用两角差的余弦公式求得的值．
【解答】解：，
平方可得①，
②，
把①和②相加可得，
即，
解得．
故选：．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式的应用，属于中档题．
6．（5分）（2018•平度市校级模拟）在中，，是直线上的一点，若，则实数的值为
A．B．C．1D．4
【考点】：数量积表示两个向量的夹角
【专题】：平面向量及应用
【分析】设，利用向量的线性运算，结合，可求实数的值．
【解答】解：由题意，设，
则，
又，
，且
解得；，，
故选：．
【点评】本题考查向量的线性运算，平面向量的基本定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
7．（5分）（2023春•南关区校级期末）已知的外接圆圆心，且，，则向量在向量上的投影向量为
A．B．C．D．
【答案】
【考点】投影向量
【专题】综合法；数学运算；计算题；转化思想；方程思想；平面向量及应用
【分析】根据题意，分析可得是的中点，进而可得为圆的直径，由此可得为等边三角形，由投影向量的定义分析可得答案．
【解答】解：根据题意，中，，则是的中点，
又由是的中点，则为圆的直径，则有，
又由，则为等边三角形，，
则向量在向量上的投影向量为．
故选：．
【点评】本题考查投影向量，涉及向量数量积的性质以及应用，属于基础题．
8．（5分）（2023•广州模拟）红灯笼，起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围．如图1，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面除去上下两个相同球冠剩下的部分．如图2，球冠是由球面被平面截得的一部分，垂直于截面的直径被截得的部分叫做球冠的高，若球冠所在球面的半径为，球冠的高为，则球冠的面积．如图1，已知该灯笼的高为，圆柱的高为，圆柱的底面圆直径为，则围成该灯笼中间球面部分所需布料的面积为
A．B．C．D．
【答案】
【考点】球的体积和表面积
【专题】转化思想；综合法；球；数学运算
【分析】由题利用勾股定理求出半径，再求出高度，分别求出两个球冠的面积，用球体的表面积减去两个球冠的面积即可解决问题．
【解答】解：由题意得：，
所以，
所以，
所以两个球冠的面积为，
则围成该灯笼中间球面部分所需布料的面积为：，
故选：．
【点评】本题考查球的表面积，考查运算求解能力，属于基础题．
二、多项选择题：（本题共4小题，每小题满分20分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）
9．（5分）（2023春•龙岗区校级期中）下列结论正确的个数是
A．经过一条直线和这条直线外一点可以确定一个平面
B．经过两条相交直线，可以确定一个平面
C．经过两条平行直线，可以确定一个平面
D．经过空间任意三点可以确定一个平面
【答案】
【考点】平面的基本性质及推论
【专题】对应思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑推理
【分析】根据平面的基本性质以及推理即可判断求解．
【解答】解：根据公理的推论即可判断，，正确，
选项：经过不共线的三点可以确定一个平面，故错误，
故选：．
【点评】本题考查了平面的基本性质以及推论，考查了学生的理解能力，属于基础题．
10．（5分）（2021春•惠州期末）下列命题错误的有
A．若、都是单位向量，则
B．若，且，则
C．若非零向量与是共线向量，则、、、四点共线
D．向量的模与向量的模相等
【答案】
【考点】命题的真假判断与应用；向量的概念与向量的模；平行向量（共线）
【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；逻辑推理；数学运算
【分析】直接利用单位向量，向量的相等，向量的共线，向量的模的相关的定义的应用判断、、、的结论．
【解答】解：对于：若，都是单位向量，则，因为，的方向不一定相同，故，不一定相等，故错误；
对于：因为，且，当时，与任何向量都平行，故不能得到，故错误；
对于：非零向量与而是共线向量，即，不能得到、、、四点共线，故错误；
对于：向量与向量互为相反向量，故向量与向量的模相等，故正确．
故选：．
【点评】本题考查的知识要点：向量的线性运算，向量的相等，单位向量，向量的模，主要考查学生对基础定义的理解，属于基础题．
11．（5分）（2023春•龙岗区校级期中）要得到函数的图象，只需将函数的图象
A．向左平移个单位长度，再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍
B．向左平移个单位长度，再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍
C．每个点的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位长度
D．每个点的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位长度
【答案】
【考点】函数的图象变换
【专题】对应思想；三角函数的图象与性质；数学运算；综合法
【分析】根据三角函数图象变换可得出结论．
【解答】解：法一：将函数的图象先向左平移个单位长度，可得到函数的图象，
再将所得函数的图象上每点的横坐标伸长为原来的2倍，可得到函数的图象；
法二：将函数的图象每个点的横坐标伸长为原来的2倍，可得到函数的图象，
再将所得图象向左平移个单位长度，可得到函数的图象．
故选：．
【点评】本题主要考查函数的图象变换，属于基础题．
12．（5分）（2021春•惠州期末）已知中，，，，则下列结论正确的有
A．为钝角三角形B．为锐角三角形
C．面积为D．
【答案】
【考点】平面向量数量积的性质及其运算
【专题】数学运算；平面向量及应用；整体思想；综合法
【分析】直接根据三边长求出角的余弦，再结合面积公式和数量积计算即可求解结论．
【解答】解：在中，，，，
，，为钝角三角形，故正确；故错误；
，故正确；
，故错误．
故选：．
【点评】本题主要考查余弦定理的应用，以及三角形的面积计算和数量积的求解，属于中档题目．
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）（2023春•惠州期末）在复数范围内，方程的解集为 ．
【答案】．
【考点】复数的运算
【专题】转化思想；数学运算；数系的扩充和复数；转化法
【分析】根据复数范围内方程的解法直接求解即可．
【解答】解：由得，所以或，
故答案为：．
【点评】本题主要考查复数的运算，属于基础题．
14．（5分）（2023春•龙岗区校级期中）已知向量，，为向量与的夹角，则 ．
【答案】．
【考点】数量积表示两个向量的夹角
【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用；数学运算
【分析】利用平面向量的夹角公式求解．
【解答】解：因为向量，，且与的夹角，
所以．
故答案为：．
【点评】本题考查了向量数量积的坐标运算，向量夹角的余弦公式，根据向量的坐标求向量的长度的方法，考查了计算能力，属于基础题．
15．（5分）（2023春•龙岗区校级期中）函数的单调递减区间为 ， ．
【答案】，．
【考点】正弦函数的单调性
【专题】综合法；转化思想；数学运算；三角函数的图象与性质
【分析】由题意，利用诱导公式及辅助角公式化简，再结合正弦函数的性质计算可得．
【解答】解：因为
，
令，，
求得，，
所以函数的单调递减区间为，．
故答案为：，．
【点评】本题主要考查诱导公式、辅助角公式的应用，正弦函数的性质，属于中档题．
16．（5分）（2022•松山区三模）如图，某中学校园中央有一座钟楼，某学生为了测量钟楼高，该学生先在钟楼的正西方点处测得钟楼顶部的仰角为，然后从点处沿南偏东方向前进到达点处，在处测得钟楼顶部的仰角为，则钟楼的高度是 ．
【答案】．
【考点】解三角形
【专题】方程思想；数形结合法；解三角形；数学运算
【分析】设，，利用直角三角形的边角关系和余弦定理列方程求出的值．
【解答】解：设，，
中，，所以，
中，，所以，
中，，，
由余弦定理得：，
即，
整理得，
解得或（不合题意，舍去），
所以钟楼的高度是．
故答案为：．
【点评】本题考查了解三角形的应用问题，解题的关键是弄清三角形中边角关系，是基础题．
四、解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）（2023春•龙岗区校级期中）已知，，．求
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）．
【考点】复数的运算；共轭复数
【专题】数学运算；数系的扩充和复数；转化思想；转化法
【分析】（1）由复数的乘法法则计算；
（2）再由复数的除法法则求得后可得其共轭复数．
【解答】解：（1）；
（2）由题可知，所以，
．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，属于基础题．
18．（12分）（2021春•惠州期末）如图，一块边长为的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器．
（1）请在答卷指定位置的空间直角坐标系中按比例画出该正四棱锥的直观图；（不需要写步骤及作图过程）
（2）求该正四棱锥形容器的体积．
【答案】（1）画直观图见解析．
（2）正四棱锥形容器的体积为．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【专题】作图题；数形结合；数形结合法；立体几何；数学运算
【分析】（1）利用斜二测画法画出四棱锥的直观图即可．
（2）根据图中数据计算正四棱锥形容器的体积即可．
【解答】解：（1）根据题意画出该四棱锥的直观图，如下：
【注】
作图共（8分），分解为：
①基本结构满足锥体要求（3分）（底面两边夹角、平行四边形、1个顶点各1分）．
②比例正确（3分）（底面边长、锥体的高，顶点在底面投影为底面中心各1分）．
③虚实线标准规范（2分）（无虚线扣（1分），画直线不用尺扣1分）．
直观图整体可进行平移和放缩，按比例作出直观图即可给分．
（2）设加工后的正四棱锥为，易得底面是边长为的正方形，斜高为50，
所以四棱锥的高为，
计算正四棱锥形容器的体积为．
所以正四棱锥形容器的体积为．
【点评】本题考查了四棱锥直观图的画法与应用问题，也考查了四棱锥体积计算问题，是基础题．
19．（12分）（2018春•朔州期末）已知．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值．
【考点】：三角函数的恒等变换及化简求值
【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；56：三角函数的求值
【分析】（Ⅰ）利用正切加法定理得，由此能求出．
（Ⅱ）利用诱导公式和同角三角函数关系式能求出的值．
【解答】解：（Ⅰ），
解得．（5分）
（Ⅱ）
． （10分）
【点评】本题考查三角函数值的求法，考查诱导公式、同角三角函数关系式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
20．（12分）（2021春•惠州期末）在①；②这两个条件中任选一个作为已知条件，补充到下面的横线上并作答．
问题：在中，内角、、的对边分别为，，，已知．
（1）求角；
（2）若，的面积为，求的周长．
【答案】（1）选条件①②得到；（2）．
【考点】余弦定理；正弦定理
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；解三角形；逻辑推理；数学运算
【分析】（1）选条件①时，直接利用正弦定理的应用求出的值；
选条件②时，直接利用余弦定理的应用求出的值．
（2）利用余弦定理和三角形的面积公式的应用求出三角形的周长．
【解答】解：（1）选择①：
由正弦定理得，，
由得，
即．
又，
，
又，
．
选择②：
由选择条件可得
由余弦定理
得，
又，
．
（2）因为
，即，，
又由余弦定理，化简得，
即，
所以，
所以的周长为．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，余弦定理的应用，三角形的面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
21．（12分）（2023春•成都期末）如图所示，在中，为边上一点，且，过的直线与直线相交于点，与直线相交于点，两点不重合）．
（1）用，表示；
（2）若，，求的最小值．
【答案】（1）；
（2）．
【考点】平面向量的基本定理
【专题】整体思想；综合法；平面向量及应用；数学抽象
【分析】（1）根据平面向量线性运算法则计算可得；
（2）根据（1）的结论，转化用，表示，根据、、三点共线找出等量关系，再利用基本不等式计算可得；
【解答】解：（1）因为，所以，
化简得；
（2）因为，，，
所以，由图可知，
又因为、、三点共线，所以，
所以，
当，即时，取最小值．
【点评】本题主要考查了向量的线性表示及向量共线定理，还考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
22．（12分）（2023春•龙岗区校级期中）如图，在梯形中，，，，且，是线段上一点，且，为线段上一动点．
（1）求的大小；
（2）若为线段的中点，直线与相交于点，求；
（3）求的取值范围．
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算
【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；数学运算
【分析】（1）连接，，根据与的夹角和与的夹角相同，并设为，，结合题意、平面向量的线性运算、数量积公式、模长公式即可求解，进而得到的大小；
（2）如图，过点作于，先求得，的值，则以为原点，以，所在的直线分别为轴，轴建立平面直角坐标系，再根据平面向量的夹角公式即可求解；
（3）结合（2），设，，，得到点的坐标，从而得到，，进而得到表示为关于的二次函数，再根据二次函数的性质即可得到的取值范围．
【解答】解：（1）连接，，
由，，，
则，，
，，，，又，，
，
又，，，
又，，．
（2）如图，过点作于，
则，，
建系如图，则根据题意可得：
，，，，，，
，，
；
（3）根据（2）得，设，，，
，，，解得，，
，，
，
又，，当时，；
当时，，
的取值范围为．
【点评】本题考查平面向量的数量积的运算，向量数量积的性质，向量夹角公式的应用，数量积的最值的求解，函数思想，属中档题．
考点卡片
1．命题的真假判断与应用
【知识点的认识】
判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假，首先要明确p、q及非p的真假，然后由真值表判断复合命题的真假．
注意：“非p”的正确写法，本题不应将“非p”写成“方程x2﹣2x+1＝0的两根都不是实根”，因为“都是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要认真区分．
【解题方法点拨】
1．判断复合命题的真假，常分三步：先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后由真值表得出复合命题的真假．
2．判断一个“若p则q”形式的复合命题的真假，不能用真值表时，可用下列方法：若“p q”，则“若p则q”为真；而要确定“若p则q”为假，只需举出一个反例说明即可．
3．判断逆命题、否命题、逆否命题的真假，有时可利用原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假这一关系进行转化判断．
【命题方向】该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小题形式出现．
2．运用诱导公式化简求值
【知识点的认识】
利用诱导公式化简求值的思路
1．“负化正”，运用公式三将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数．
2．“大化小”，利用公式一将大于360°的角的三角函数化为0°到360°的三角函数，利用公式二将大于180°的角的三角函数化为0°到180°的三角函数．
3．“小化锐”，利用公式六将大于90°的角化为0°到90°的角的三角函数．
4．“锐求值”，得到0°到90°的三角函数后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由计算器求得．
3．正弦函数的单调性
【知识点的认识】
三角函数的单调性的规律方法
1．求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．
2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acs（ωx+φ）（其中，ω＞0）的单调区间时，要视“ωx+φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
4．函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换
【知识点的认识】
函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象的步骤
两种变换的差异
先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位．原因是相位变换和周期变换都是针对x而言的．
【解题方法点拨】
1．一个技巧
列表技巧：表中“五点”中相邻两点的横向距离均为，利用这一结论可以较快地写出“五点”的坐标．
2．两个区别
（1）振幅A与函数y＝Asin （ωx+φ）+b的最大值，最小值的区别：最大值M＝A+b，最小值m＝﹣A+b，故A＝．
（2）由y＝sin x变换到y＝Asin （ωx+φ）先变周期与先变相位的（左、右）平移的区别：由y＝sin x的图象变换到y＝Asin （ωx+φ）的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值．
3．三点提醒
（1）要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象；
（2）要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；
（3）由y＝Asin ωx的图象得到y＝Asin（ωx+φ）的图象时，需平移的单位数应为，而不是|φ|．
5．两角和与差的三角函数
【知识点的认识】
（1）C（α﹣β）：cs （α﹣β）＝csαcsβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cs（α+β）＝csαcsβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcsβ+csαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcsβ﹣csαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．
6．向量的概念与向量的模
【知识点的认识】
向量概念
既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）．在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量．
向量的几何表示
用有向线段表示向量，有向线段的长度表示有向向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．即用表示有向线段的起点、终点的字母表示，例如、，…字母表示，用小写字母、，…表示．有向向量的长度为模，表示为||、||，单位向量表示长度为一个单位的向量；长度为0的向量为零向量．
向量的模
的大小，也就是的长度（或称模），记作||．
零向量
长度为零的向量叫做零向量，记作，零向量的长度为0，方向不确定．
单位向量
长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与共线的单位向量是）．
相等向量
长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性．
7．向量相等与共线
【知识点的认识】
相等向量的定义：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量．
共线向量的定义：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共线向量．
规定：零向量与任一向量平行．
注意：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等．表示共线向量的有向线段不一定在同一直线上，向量可以平移．
【解题方法点拨】
平行向量与相等向量的关系：
（1）平行向量只要求方向相同或相反即可，用有向线段表示平行向量时，向量所在的直线重合或平行；
（2）平行向量要求两个向量均为非零向量，规定：零向量与任一向量平行．相等向量则没有这个限制，零向量与零向量相等．
（3）借助相等向量，可以把一组平行向量移动到同一直线上．因此，平行向量也叫做共线向量．
（4）平行向量不一定是相等向量，但相等向量一定是平行向量．
【命题方向】
了解向量的实际背景，掌握向量、零向量、平行向量、共线向量、相等向量、单位向量等概念，理解向量的几何表示．命题形式只要以选择、填空题型出现，难度不大，有时候会与向量的坐标运算等其它知识结合考察．
8．平面向量数量积的性质及其运算
【知识点的认识】
1、平面向量数量积的重要性质：
设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，与和夹角为θ，则：
（1）＝＝||csθ；
（2）⇔＝0；（判定两向量垂直的充要条件）
（3）当，方向相同时，＝||||；当，方向相反时，＝﹣||||；
特别地：＝||2或||＝（用于计算向量的模）
（4）csθ＝（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）
（5）||≤||||
2、平面向量数量积的运算律
（1）交换律：；
（2）数乘向量的结合律：（λ）•＝λ（）＝•（）；
（3）分配律：（）•≠•（）
平面向量数量积的运算
平面向量数量积运算的一般定理为①（±）2＝2±2•+2．②（﹣）（+）＝2﹣2．③•（•）≠（•）•，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．
【解题方法点拨】
例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“”
②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”；
③“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”类比得到“⇒”；
④“|m•n|＝|m|•|n|”类比得到“||＝||•||”；
⑤“（m•n）t＝m（n•t）”类比得到“（）•＝”；
⑥“”类比得到．以上的式子中，类比得到的结论正确的是 ①② ．
解：∵向量的数量积满足交换律，
∴“mn＝nm”类比得到“”，
即①正确；
∵向量的数量积满足分配律，
∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”，
即②正确；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“⇒”，
即③错误；
∵||≠||•||，
∴“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“||＝||•||”；
即④错误；
∵向量的数量积不满足结合律，
∴“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（）•＝”，
即⑤错误；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴”不能类比得到，
即⑥错误．
故答案为：①②．
向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“⇒”；||≠||•||，故“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“||＝||•||”；向量的数量积不满足结合律，故“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（）•＝”；向量的数量积不满足消元律，故”不能类比得到．
【命题方向】
本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．
9．投影向量
【知识点的认识】
投影向量是指一个向量在另一个向量上的投影．投影向量可以用来求两个向量之间的夹角，也可以用来求一个向量在另一个向量上的分解．
设，是两个非零向量，，，考虑如下的变换：过AB的起点A和终点B分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到A1B1，称上述变换为向量向向量投影，A1B1叫做向量在向量上的投影向量．
向量在向量上的投影向量是．
【解题方法点拨】
投影，是一个动作．投影向量，是一个向量．我们把叫作向量在向量上的投影．那么投影向量可以理解为投影数量乘上一个方向上的单位向量．
（1）向量在向量上的投影向量为（其中为与同向的单位向量），它是一个向量，且与共线，其方向由向量和夹角θ的余弦值决定．
（2）注意：在方向上的投影向量与在方向上的投影向量不同，在方向上的投影向量为．
【命题方向】
（1）向量分解：将一个向量分解成与另一个向量垂直和平行的两个部分．
（2）向量夹角计算：通过求两个向量之间的夹角，则可以判断它们之间的关系（如垂直、平行或成锐角或成钝角）．
（3）空间几何问题：求点到平面的距离．
10．平面向量的基本定理
【知识点的认识】
1、平面向量基本定理内容：
如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任一，有且仅有一对实数λ1、λ2，使．
2、基底：不共线的e1、e2叫做平面内表示所有向量的一组基底．
3、说明：
（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共线就行．
（2）由定理可将任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．
11．数量积表示两个向量的夹角
【知识点的认识】
我们知道向量是有方向的，也知道向量是可以平行的或者共线的，那么，当两条向量与不平行时，那么它们就会有一个夹角θ，并且还有这样的公式：csθ＝．通过这公式，我们就可以求出两向量之间的夹角了．
【解题方法点拨】
例：复数z＝+i与它的共轭复数对应的两个向量的夹角为 60° ．
解：＝＝＝＝＝cs60°+isin60°．
∴复数z＝+i与它的共轭复数对应的两个向量的夹角为60°．
故答案为：60°．
点评：这是个向量与复数相结合的题，本题其实可以换成是用向量（，1）与向量（，﹣1）的夹角．
【命题方向】
这是向量里面非常重要的一个公式，也是一个常考点，出题方式一般喜欢与其他的考点结合起来，比方说复数、三角函数等，希望大家认真掌握．
12．正弦定理
【知识点的认识】
1．正弦定理和余弦定理
在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况
由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．
2、三角形常用面积公式
1．S＝a•ha（ha表示边a上的高）；
2．S＝absinC＝acsinB＝bcsinA．
3．S＝r（a+b+c）（r为内切圆半径）．
【解题方法点拨】
正余弦定理的应用
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
13．余弦定理
【知识点的认识】
1．正弦定理和余弦定理
【解题方法点拨】
正余弦定理的应用
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
14．解三角形
【知识点的认识】
1．已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C＝π求C，由正弦定理求a、b．
2．已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C＝π，求另一角．
3．已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况．
4．已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C＝π，求角C．
5．方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成．正北或正南，北偏东××度，北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度．
6．俯角和仰角的概念：
在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角．如图中OD、OE是视线，是仰角，是俯角．
7．关于三角形面积问题
①S△ABC＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；
②S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB；
③S△ABC＝2R2sinAsinBsinC．（R为外接圆半径）
④S△ABC＝；
⑤S△ABC＝，（s＝（a+b+c））；
⑥S△ABC＝r•s，（ r为△ABC内切圆的半径）
在解三角形时，常用定理及公式如下表：
15．复数的运算
【知识点的认识】
复数的加、减、乘、除运算法则
16．共轭复数
【知识点的认识】
实部相等而虚部互为相反数的两个复数，叫做互为共轭复数．如2+3i与2﹣3i互为共轭复数，用数学语言来表示即：复数Z＝a+bi的共轭复数＝a﹣bi．
【解题方法点拨】
共轭复数的常见公式有：
；；；
【命题方向】
共轭复数在考察题型上主要以选择、填空题的形式出现．试题难度不大，多为低档题，要求能够掌握共轭复数的性质，并能将复数的共轭加法运算和乘法运算进行推广．运用共轭复数运算解决一些简单的复数问题，提高数学符号变换的能力，培优学生类比推广思想，从特殊到一般的方法和探究方法．
17．复数的模
【知识点的认识】
1．复数的概念：形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a+bi为实数；若b≠0，则a+bi为虚数；若a＝0，b≠0，则a+bi为纯虚数．
2、复数相等：a+bi＝c+di⇔a＝c，b＝d（a，b，c，d∈R）．
3、共轭复数：a+bi与c+di共轭⇔a＝c，b+d＝0（a，b，c，d∈R）．
4、复数的模：的长度叫做复数z＝a+bi的模，记作|z|或|a+bi|，即|z|＝|a+bi|＝．
18．旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
【知识点的认识】
旋转体的结构特征：一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；该定直线
叫做旋转体的轴；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体．
1．圆柱
①定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱．
圆柱用轴字母表示，如下图圆柱可表示为圆柱OO′．
②认识圆柱
③圆柱的特征及性质
圆柱与底面平行的截面是圆，与轴平行的截面是矩形．
④圆柱的体积和表面积公式
设圆柱底面的半径为r，高为h：
2．圆锥
①定义：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥．
圆锥用轴字母表示，如下图圆锥可表示为圆锥SO．
②认识圆锥
③圆锥的特征及性质
与圆锥底面平行的截面是圆，过圆锥的顶点的截面是等腰三角形，两个腰都是母线．
母线长l与底面半径r和高h的关系：l2＝h2+r2
④圆锥的体积和表面积公式
设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l：
3．圆台
①定义：以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而成的曲面所围成的几何体叫做圆台．
圆台用轴字母表示，如下图圆台可表示为圆台OO′．
②认识圆台
③圆台的特征及性质
平行于底面的截面是圆，轴截面是等腰梯形．
④圆台的体积和表面积公式
设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，高为h，母线长为l：
．
19．棱柱、棱锥、棱台的体积
【知识点的认识】
柱体、锥体、台体的体积公式：
V柱＝sh，V锥＝Sh．
20．球的体积和表面积
【知识点的认识】
1．球体：在空间中，到定点的距离等于或小于定长的点的集合称为球体，简称球．其中到定点距离等于定长的点的集合为球面．
2．球体的体积公式
设球体的半径为R，
V球体＝
3．球体的表面积公式
设球体的半径为R，
S球体＝4πR2．
【命题方向】
考查球体的体积和表面积公式的运用，常见结合其他空间几何体进行考查，以增加试题难度，根据题目所给条件得出球体半径是解题关键．
21．斜二测法画直观图
【知识点的认识】
斜二测画法的步骤：
（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于O点，画直观图时，把它画成对应的x′轴、y′轴，使∠x′Oy′＝45°（或135°），它确定的平面表示水平平面．
（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′或y′轴的线段
（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半．
22．平面的基本性质及推论
【知识点的认识】
平面的基本性质及推论：
1．公理1：如果一条直线上的两个点在一个平面内，则这条直线上所有的点都在这个平面内．
2．公理2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面．
①推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．
②推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
③推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
3．公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线．
【解题方法点拨】
1．公理1是判定直线在平面内的依据．
2．公理2及推论是确定平面的依据．
3．公理3是判定两个平面相交的依据．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/3/9 0:29:40；用户：初中数学；邮箱：szjmjy@xyh.cm；学号：29841565定理
正弦定理
余弦定理
内容
＝2R
（ R是△ABC外接圆半径）
a2＝b2+c2﹣2bccsA，
b2＝a2+c2﹣2accsB，
c2＝a2+b2﹣2abcsC
变形
形式
①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；
②sinA＝，sinB＝，sinC＝；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA
csA＝，
csB＝，
csC＝
解决
三角
形的
问题
①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；
②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
①已知三边，求各角；
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
A为锐角
A为钝角或直角
图形




关系式
a＝bsinA
bsinA＜a＜b
a≥b
a＞b
解的个数
一解
两解
一解
一解
定理
正弦定理
余弦定理
内容
＝2R
（ R是△ABC外接圆半径）
a2＝b2+c2﹣2bccs A，
b2＝a2+c2﹣2accs_B，
c2＝a2+b2﹣2abcs_C
变形
形式
①a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；
②sin A＝，sin B＝，sin C＝；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A
cs A＝，
cs B＝，
cs C＝
解决
三角
形的
问题
①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；
②②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
①已知三边，求各角；
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
名称
公式
变形
内角和定理
A+B+C＝π
+＝﹣，2A+2B＝2π﹣2C
余弦定理
a2＝b2+c2﹣2bccsA
b2＝a2+c2﹣2accsB
c2＝a2+b2﹣2abcsC
csA＝
csB＝
csC＝
正弦定理
＝2R
R为△ABC的外接圆半径
a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC
sinA＝，sinB＝，sinC＝
射影定理
acsB+bcsA＝c
acsC+ccsA＝b
bcsC+ccsB＝a
面积公式
①S△＝aha＝bhb＝chc
②S△＝absinC＝acsinB＝bcsinA
③S△＝
④S△＝，（s＝（a+b+c））；
⑤S△＝（a+b+c）r
（r为△ABC内切圆半径）
sinA＝
sinB＝
sinC＝