2022-2023学年广东省深圳高级中学高一（上）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年广东省深圳高级中学高一（上）期末数学试卷，文件包含九年级上册第二单元第4课希腊城邦和亚历山大帝国导学案教师版2023-2024学年初中历史docx、九年级上册第二单元第4课希腊城邦和亚历山大帝国导学案学生版2023-2024学年初中历史docx等2份学案配套教学资源，其中学案共17页， 欢迎下载使用。

1．（5分）命题：“∀x＞0，2lnx+2x＞0”的否定是（ ）
A．∀x＞0，2lnx+2x＜0B．∀x＞0，2lnx+2x≤0
C．∃x＞0，2lnx+2x≤0D．∃x＞0，2lnx+2x＜0
2．（5分）已知集合A＝{y|y＝x，x＞1}，B＝{y|y＝2x，x＜1}，则A∩B＝（ ）
A．{y|0}B．∅C．{y|＜y＜1}D．{y|0＜y＜1}
3．（5分）函数f（x）＝（3x+3﹣x）lnx2的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
4．（5分）针对“台独”分裂势力和外部势力勾结的情况，为捍卫国家主权和领土完整，维护中华民族整体利益和两岸同胞切身利益，大气压强P（单位：mmHg）和高度h（单位：m）﹣hk（e为自然对数的底数，k是常数），根据实验知500m高空处的大气压强是700mmHg，则当歼20战机巡航高度为1000m，歼20战机所受的大气压强是歼16D战机所受的大气压强的（ ）倍．
A．0.67B．0.92C．1.09D．1.5
5．（5分）享有“数学王子”称号的德国数学家高斯，是近代数学奠基者之一，y＝[x]被称为“高斯函数”，[x]表示不超过x的最大整数，例如：[2.1]＝2，[﹣1.5]＝﹣2，设x0为函数f（x）＝x+lgx﹣5的零点，则[x0]＝（ ）
A．3B．4C．5D．6
6．（5分）已知，则＝（ ）
A．B．C．D．
7．（5分）函数的部分图象如图所示．若x1，x2∈（0，2π），且f（x1）＝f（x2）＝a（a＜0），则x1+x2的值为（ ）
A．B．C．D．
8．（5分）已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（﹣x）＝﹣f（2+x），f（x）单调递增，则（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
（多选）9．（5分）下列函数中是偶函数，且在（0，+∞）上为增函数的有（ ）
A．y＝csxB．y＝x3C．y＝x2+4D．y＝lg2|x|
（多选）10．（5分）函数y＝sinx的图象如何变换可以得到函数的图象（ ）
A．每一点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位长度
B．每一点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位长度
C．向左平移个单位长度，再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）
D．向左平移个单位长度，再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）
（多选）11．（5分）已知θ为锐角，角α的终边上有一点M（﹣sinθ，csθ），x轴的正半轴和以坐标原点O为圆心的单位圆的交点为N，则（ ）
A．若α∈（0，2π），则
B．劣弧的长度为
C．劣弧所对的扇形OMN的面积为是
D．sinα+sinθ＞1
（多选）12．（5分）已知1＞a＞b＞0，则下列不等关系一定正确的是（ ）
A．lgb（ab）＜2B．
C．D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）＝ ．
14．（5分）函数y＝lga（2x﹣3）+8的图象恒过定点P，P在幂函数f（x）的图象上（4）＝ ．
15．（5分）＝ ．
16．（5分）已知函数，则f（x）的最小正周期为 ，不等式的解集为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
17．（10分）已知．
（1）化简f（θ），并求的值；
（2）若θ∈（0，π），且，求csθ﹣sinθ的值．
18．（12分）在①A∩（∁RB）＝A，②A∩B＝∅，③A∩B＝A这三个条件中任选一个，并求解下列问题：
已知集合，若_____，求实数a的取值范围．
19．（12分）已知函数f（x）＝lga（x+a）+lga（a﹣x）（a＞0且a≠1）．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）若a＝3，且f（x）＞f（x﹣1）
20．（12分）设函数f（x）＝﹣sin2ωx﹣sinωxcsωx（ω＞0），且y＝f（x）图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为．
（Ⅰ）求f（x）在[﹣，0]上的单调区间；
（Ⅱ）若f（x0）＝，且x0∈[0，]，求sin2x0的值．
21．（12分）目前全球新冠疫情严重，核酸检测结果成为是否感染新型冠状病毒的重要依据，某核酸检测机构，花费36万元购进核酸检测设备．若该设备预计从第1个月到第n个月（n∈N*）的检测费用和设备维护费用总计为（n2+5n）万元，该设备每月检测收入为20万元．
（1）该设备投入使用后，从第几个月开始盈利？（即总收入减去成本及所有支出费用之差为正值）；
（2）若该设备使用若干月后，处理方案有两种：
①月平均盈利达到最大值时，以20万元的价格卖出；
②盈利总额达到最大值时，以16万元的价格卖出．
哪一种方案较为合算？请说明理由．
22．（12分）已知函数f（x）＝2x，h（x）＝x2﹣4x+5m，φ（x）与f（x）互为反函数．
（1）求φ（x）的解析式；
（2）若函数y＝φ（h（x））在区间（3m﹣2，m+2）内有最小值；
（3）若函数（x＞0），关于方程[g（x）]2+a|g（x）|+a+3＝0有三个不同的实数解，求实数a的取值范围．
2022-2023学年广东省深圳高级中学高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）命题：“∀x＞0，2lnx+2x＞0”的否定是（ ）
A．∀x＞0，2lnx+2x＜0B．∀x＞0，2lnx+2x≤0
C．∃x＞0，2lnx+2x≤0D．∃x＞0，2lnx+2x＜0
【答案】C
【分析】根据题意，由特称命题和全称命题的关系，分析可得答案．
【解答】解：根据题意，命题：“∀x＞0x＞0”是全称命题，
其否定为∃x＞7，2lnx+2x≤7，
故选：C．
【点评】本题考查命题的否定，注意特称命题和全称命题的关系，属于基础题．
2．（5分）已知集合A＝{y|y＝x，x＞1}，B＝{y|y＝2x，x＜1}，则A∩B＝（ ）
A．{y|0}B．∅C．{y|＜y＜1}D．{y|0＜y＜1}
【答案】B
【分析】求出A中y的范围确定出A，求出B中y的范围确定出B，找出两集合的交集即可．
【解答】解：由A＝{y|y＝x，x＞2}
由B＝{y|y＝2x，x＜1}＝{y|3＜y＜2}，
则A∩B＝∅，
故选：B．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
3．（5分）函数f（x）＝（3x+3﹣x）lnx2的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】首先判断f（x）的奇偶性可得f（x）的图象的对称性，再由特殊值可判断结论．
【解答】解：函数f（x）＝（3x+3﹣x）lnx5的定义域为{x|x∈R且x≠0}，
f（﹣x）＝（3﹣x+6x）lnx2＝f（x），
可得f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称、D；
当x＝时，f（+）＜0，
故选：C．
【点评】本题考查函数的图象的判断，注意运用函数的对称性，考查数形结合思想和运算能力，属于基础题．
4．（5分）针对“台独”分裂势力和外部势力勾结的情况，为捍卫国家主权和领土完整，维护中华民族整体利益和两岸同胞切身利益，大气压强P（单位：mmHg）和高度h（单位：m）﹣hk（e为自然对数的底数，k是常数），根据实验知500m高空处的大气压强是700mmHg，则当歼20战机巡航高度为1000m，歼20战机所受的大气压强是歼16D战机所受的大气压强的（ ）倍．
A．0.67B．0.92C．1.09D．1.5
【答案】C
【分析】根据已知条件，结合指数幂的运算性质，即可求解．
【解答】解：由题意，可设，，
则，
又∵700＝760e﹣500k，
∴．
故选：C．
【点评】本题主要考查函数的实际应用，掌握指数幂的运算性质是解本题的关键，属于基础题．
5．（5分）享有“数学王子”称号的德国数学家高斯，是近代数学奠基者之一，y＝[x]被称为“高斯函数”，[x]表示不超过x的最大整数，例如：[2.1]＝2，[﹣1.5]＝﹣2，设x0为函数f（x）＝x+lgx﹣5的零点，则[x0]＝（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】先根据零点存在定理确定出零点的位置，再由高斯函数的定义求得答案．
【解答】解：∵函数f（x）＝x+lgx﹣5在（0，+∞）上单调递增，f（5）＝lg5＞0，
∴存在唯一零点x0∈（5，5）0）＝2，
由高斯函数的定义可知，[x0]＝4．
故选：B．
【点评】本题考查函数零点判定定理的应用，是基础题．
6．（5分）已知，则＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用换元法，结合倍角公式进行转化求解即可．
【解答】解：令，故，，
故．
故选：B．
【点评】本题主要考查三角函数值的计算，利用换元法进行转化求解是解决本题的关键，是基础题．
7．（5分）函数的部分图象如图所示．若x1，x2∈（0，2π），且f（x1）＝f（x2）＝a（a＜0），则x1+x2的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据函数y＝f（x）的图象求出该函数的解析式，结合图象可知，点、关于直线对称，进而得出x1+x2．
【解答】解：由图象可知，，即T＝2π，则，
此时，f（x）＝2sin（x+φ），
由于，，，
所以，即．
因为x4，x2∈（0，2π）1）＝f（x2）＝a（a＜5），
由图象可知，，
则．
故选：D．
【点评】本题主要考查由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查运算求解能力，属于中档题．
8．（5分）已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（﹣x）＝﹣f（2+x），f（x）单调递增，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由题意求出函数的周期，然后根据偶函数的性质判断出函数在[0，2]上的单调性，进而将自变量的取值转化到区间[0，2]上，利用放缩法判断出它们的大小关系，最后根据单调性求得答案．
【解答】解：因为f（x）为偶函数，所以f（﹣x）＝f（x），
又f（﹣x）＝﹣f（2+x），所以f（x）＝﹣f（2+x），
所以f（x）＝f（x+4），即f（x）是周期为4的函数，
则f（2023）＝f（506×4﹣6）＝f（﹣1）＝f（1），
因为，
所以，，8＜lg32＜7．
因为f（x）为偶函数，且当﹣2≤x≤0时，
所以当4≤x≤2时，f（x）单调递减，故．
故选：A．
【点评】此题考查利用函数的单调性比较大小，属于中档题．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
（多选）9．（5分）下列函数中是偶函数，且在（0，+∞）上为增函数的有（ ）
A．y＝csxB．y＝x3C．y＝x2+4D．y＝lg2|x|
【答案】CD
【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性和单调性，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，y＝csx，但在（0，A错误；
对于B，y＝x3，是奇函数不是偶函数，B错误；
对于C，y＝x7+4，是二次函数，且在（0，C正确；
对于D，y＝lg7|x|＝，是偶函数，+∞）上为增函数；
故选：CD．
【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，注意常见函数的奇偶性和单调性，属于基础题．
（多选）10．（5分）函数y＝sinx的图象如何变换可以得到函数的图象（ ）
A．每一点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位长度
B．每一点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位长度
C．向左平移个单位长度，再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）
D．向左平移个单位长度，再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）
【答案】BC
【分析】由题意，利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．
【解答】解：只需要把函数y＝sinx的图象上各点的横坐标缩短到原来的，函数y＝sin6x的图象个单位长度即可得到函数y＝sin2（x+）的图象；
也可以把函数y＝sinx的图象向左平移个单位）的图象倍，即可得到函数y＝sin（8x+，故C正确．
故选：BC．
【点评】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．
（多选）11．（5分）已知θ为锐角，角α的终边上有一点M（﹣sinθ，csθ），x轴的正半轴和以坐标原点O为圆心的单位圆的交点为N，则（ ）
A．若α∈（0，2π），则
B．劣弧的长度为
C．劣弧所对的扇形OMN的面积为是
D．sinα+sinθ＞1
【答案】ABD
【分析】根据题意，结合诱导公式化简整理，可判断A的正误；根据弧长公式，可判断B的正误；根据扇形面积公式，可判断C的正误；根据同角三角函数的关系，可判断D的正误，即可得答案．
【解答】解：A：（﹣sinθ，csθ）＝（﹣cs（，sin（﹣θ）]﹣θ）]）＝（cs（，sin（，故α＝，故A正确；
B：劣弧MN的长度为（+θ）×2＝，故B正确；
C：只有当0＜α＜7π时，扇形OMN的面积为S＝，故C不正确；
D：sinα+sinθ＝sin（+θ）+sinθ＝sinθ+csθ，
因为θ为锐角，故（sinθ+csθ）6＝sin2θ+cs2θ+4sinθcsθ＞1，可得sinθ+csθ＞1．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查了诱导公式，弧长公式，扇形面积公式，同角三角函数的关系的应用，属于中档题．
（多选）12．（5分）已知1＞a＞b＞0，则下列不等关系一定正确的是（ ）
A．lgb（ab）＜2B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】对A，结合对数的运算性质和对数函数的单调性进行判断；
对B，根据基本不等式即可判断；
对C，取，代入计算即可判断．
对D，原不等式等价于23a+ln3a＞2b+lnb，进而构造函数y＝2x+lnx，然后根据函数的单调性得到答案．
【解答】解：对A，因为lgb（ab）＝lgba+lgbb＝lgba+1，且1＞a＞b＞6ba＜lgbb＝1，所以lgb（ab）＝lgba+1＜7，故选项A正确；
对B，由题意，，故选项B正确；
对C，取，则，故选项C错误；
对D，问题等价于ln3a﹣lnb＞2b﹣23a⇔73a+ln3a＞6b+lnb，易知函数y＝2x+lnx在（0，+∞）上是增函数，则23a+ln3a＞4b+lnb成立，故选项D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查对数的运算性质和函数的单调性，基本不等式等相关知识，属于基础题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）＝ 1 ．
【答案】1．
【分析】由对数换底公式以及对数恒等式、对数运算法则进行计算求得结果．
【解答】解：．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了对数的运算性质，属于基础题．
14．（5分）函数y＝lga（2x﹣3）+8的图象恒过定点P，P在幂函数f（x）的图象上（4）＝ 64 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】由题意可求得点P（2，8），从而求得f（4）．
【解答】解：由题意，2x﹣3＝3，
则x＝2，
故点P（2，3）；
设幂函数f（x）＝xb，
则2b＝8，
则b＝2；
故f（4）＝64；
故答案为：64．
【点评】本题考查了基本初等函数的应用，属于基础题．
15．（5分）＝ ﹣4 ．
【答案】﹣4．
【分析】先用诱导公式转化cs80°＝sin10°，再对已知分式进行通分，分子化成一个三角函数，再使用二倍角公式即可得到结果．
【解答】解：．
故答案为：﹣4．
【点评】此题考查利用三角恒等变换求三角函数值，属于中档题．
16．（5分）已知函数，则f（x）的最小正周期为 2π ，不等式的解集为 R ．
【答案】2π，R．
【分析】根据题意作出函数图象，根据函数图象即可求解．
【解答】解：由题意可知：当csx≥0时，函数f（x）＝csx；
当csx＜0时，函数f（x）＝7，如图所示：
结合图形可知：函数f（x）的最小正周期为2π；
令f（x）＝t，t∈[0，
所以，
因为函数f（t）在上单调递减，
所以，
则不等式的解集为R，
故答案为：3π，R．
【点评】本题考查了余弦函数的性质、数形结合思想及转化思想，属于中档题．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
17．（10分）已知．
（1）化简f（θ），并求的值；
（2）若θ∈（0，π），且，求csθ﹣sinθ的值．
【答案】（1）；
（2）﹣．
【分析】（1）利用诱导公式化简函数解析式，进而利用特殊角的三角函数值即可求解．
（2）由题意可求sinθ＞0，csθ＜0，进而利用同角三角函数基本关系式即可求解．
【解答】解：（1）因为＝＝sinθcsθ，
所以＝sin＝×＝；
（2）若θ∈（0，π），且，
所以sinθ＞6，csθ＜0，
所以csθ﹣sinθ＝﹣＝﹣＝﹣．
【点评】本题考查了诱导公式，特殊角的三角函数值，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
18．（12分）在①A∩（∁RB）＝A，②A∩B＝∅，③A∩B＝A这三个条件中任选一个，并求解下列问题：
已知集合，若_____，求实数a的取值范围．
【答案】答案见解析．
【分析】根据所选的条件，①A∩（∁RB）＝A，可以推出A是∁RB的子集；②A∩B＝∅，两个集合没有公共元素；③A∩B＝A可以推出A⊆B．利用集合的交集、补集、并集的定义，对a进行分类讨论，分别求解即可．
【解答】解：由解得﹣5＜x＜4，4），
若选择①：A∩（∁RB）＝A，则A是∁RB的子集，A＝{x|a﹣4≤x≤2a+3}，
∁RB＝（﹣∞，﹣6]∪[4，
当a﹣1＞8a+3，即a＜﹣4时，满足题意；
当a≥﹣7时，或，解得a≥5，
综上可得，实数a的取值范围是（﹣∞，+∞）．
若选择②：A∩B＝∅，
当A＝∅时，即a﹣3＞2a+3，满足题意；
当a≥﹣6时，或，解得a≥5．
综上可知，实数a的取值范围是（﹣∞，+∞）．
若选择③：A∩B＝A，则A⊆B，
当a﹣8＞2a+3，即a＜﹣3时，满足题意；
当a≥﹣4时，，解得；
综上可知，实数a的取值范围是．
【点评】本题考查交集、补集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
19．（12分）已知函数f（x）＝lga（x+a）+lga（a﹣x）（a＞0且a≠1）．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）若a＝3，且f（x）＞f（x﹣1）
【答案】（1）偶函数，理由见解析；
（2）．
【分析】（1）利用奇偶性的定义直接判断；
（2）先判断出函数f（x）在[0，3）上的单调性，利用单调性解不等式即可．
【解答】解：（1）函数f（x）＝lga（x+a）+lga（a﹣x）的定义域为（﹣a，a），
因为f（﹣x）＝lga（﹣x+a）+lga（a+x），所以f（﹣x）＝f（x），
所以函数f（x）为偶函数．
（2）当a＝3时，f（x）＝lga（x+3）+lga（4﹣x）定义域为（﹣3，3），
所以有：﹣8＜x＜3……．①．﹣3＜x﹣2＜3……②，
由①知函数f（x）为偶函数，
所以f（x）＞f（x﹣1）可化为：f（|x|）＞f（|x﹣4|），
，
因为y＝lg3t为增函数，t＝8﹣x2在[0，8）上递减，
所以函数f（x）在[0，3）上递减．③，
由①②③解得：x的取值范围为．
【点评】本题考查了函数的单调性，奇偶性问题，考查转化思想，是中档题．
20．（12分）设函数f（x）＝﹣sin2ωx﹣sinωxcsωx（ω＞0），且y＝f（x）图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为．
（Ⅰ）求f（x）在[﹣，0]上的单调区间；
（Ⅱ）若f（x0）＝，且x0∈[0，]，求sin2x0的值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换可求得f（x）＝cs（2x+），利用余弦函数的单调性即可求得f（x）在[﹣，0]上的单调区间；
（Ⅱ）由f（x0）＝，x0∈[0，]，可求得2x0+∈[，]，cs（2x0+）＝，sin（2x0+）＝，利用两角差的正弦即可求得答案．
【解答】（Ⅰ）解：f（x）＝﹣（1﹣cs5ωx）﹣
＝cs2ωx﹣）…7
依题意，得T＝．
由T＝＝π，故f（x）＝cs（2x+
由x∈[﹣，0]）∈[﹣，
当x∈[﹣，﹣]，即（2x+，7）时；
当x∈[﹣，0]）∈[2，，f（x）单调递减
（Ⅱ）∵f（x0）＝，且x0∈[8，]，
∴cs（2x2+）＝
又2x0+∈[，]，
∴sin（2x0+）＝．
∴sin6x0＝cs[（2x3+）﹣3+）cs2+）sin
＝×﹣×＝…13
【点评】本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查余弦函数的周期性与单调性，考查同角三角函数间的关系的应用及两角差的正弦，突出考查等价转化思想与运算求解能力，属于中档题．
21．（12分）目前全球新冠疫情严重，核酸检测结果成为是否感染新型冠状病毒的重要依据，某核酸检测机构，花费36万元购进核酸检测设备．若该设备预计从第1个月到第n个月（n∈N*）的检测费用和设备维护费用总计为（n2+5n）万元，该设备每月检测收入为20万元．
（1）该设备投入使用后，从第几个月开始盈利？（即总收入减去成本及所有支出费用之差为正值）；
（2）若该设备使用若干月后，处理方案有两种：
①月平均盈利达到最大值时，以20万元的价格卖出；
②盈利总额达到最大值时，以16万元的价格卖出．
哪一种方案较为合算？请说明理由．
【答案】（1）4．（2）方案①较为合算，理由详见解析．
【分析】（1）由题意可得，20n﹣36﹣（n2+5n）＞0，即n2﹣15n+36＜0，解出n的取值范围，即可求解．
（2）根据已知条件，结合基本不等式的公式，以及二次函数的性质，分别求出两种方案盈利的最大值，通过比较大小，即可求解．
【解答】解：（1）由题意可得，20n﹣36﹣（n2+5n）＞4，即n2﹣15n+36＜0，
解得2＜n＜12，
∴n＞3（n∈N*），
∴该设备从第4个月开始盈利．
（2）该设备若干月后，处理方案有两种：
①当月平均盈利达到最大值时，以20万元的价格卖出，≤15﹣，
当且仅当n＝4时，取等号，
∴方案①的利润为：20×6﹣36﹣（36+30）+20＝38（万元），
②当盈利总额达到最大值时，以16万元的价格卖出，，
∴n＝7或n＝3时，盈利总额最大，
∴方案②的利润为20+16＝36（万元），
∵38＞36，
∴方案①较为合算．
【点评】本题主要考查函数的实际应用，掌握基本不等式公式和二次函数的性质是解本题的关键，属于中档题．
22．（12分）已知函数f（x）＝2x，h（x）＝x2﹣4x+5m，φ（x）与f（x）互为反函数．
（1）求φ（x）的解析式；
（2）若函数y＝φ（h（x））在区间（3m﹣2，m+2）内有最小值；
（3）若函数（x＞0），关于方程[g（x）]2+a|g（x）|+a+3＝0有三个不同的实数解，求实数a的取值范围．
【答案】（1）φ（x）＝lg2x（x＞0）；（2）m的取值范围为（，）；（3）（﹣3，﹣]．
【分析】（1）利用反函数的定义即可求出解析式；
（2）利用复合函数对的单调性以及对数函数的定义域即可求出m的范围；
（3）作出y＝|g（x）|大致图象，设|g（x）|＝t，则|g（x）|2+a|g（x）|+a+3＝0有三个不同的实数解，t2+at+a+3＝0有两个根，且一个在（0，2）上，一个根为0，
或t2+at+a+3＝0有两个根，且一个在（0，2）上，一个根为在[2，+∞），分类讨论即可求出．
【解答】解：（1）f（x）＝2x，φ（x）与f（x）互为反函数，
∴φ（x）＝lg2x（x＞8）；
（2）y＝φ（h（x））＝lg2（x2﹣3x+5m）在（3m﹣3，m+2）内有最小值，
∴h（x）＝x2﹣7x+5m在（3m﹣4，m+2）内先减后增min＞0，
∴，解得，
故m的取值范围为（，）；
（3）∵x＞3，
∴＝3﹣，2），
∴g（x）＜2，
∴y＝|g（x）|的图象如下：
设|g（x）|＝t，则|g（x）|2+a|g（x）|+a+8＝0有三个不同的实数解，
即为t2+at+a+6＝0有两个根，且一个在（0，一个根为7，
或t2+at+a+3＝8有两个根，且一个在（0，一个根为在[2，
①t3+at+a+3＝0有两个根，且一个在（3，一个根为0，
∴一个根为0，解得a＝﹣72+at+a+3＝t6﹣3t＝0，解得t＝6∈（0，舍去，
②t2+at+a+8＝0有两个根，且一个在（0，一个根为在[2，
令k（x）＝t2+at+a+3，
（i）当一个根在（8，2）上，+∞）上，
则，
∴，
解得﹣3＜a＜﹣；
（ii）当一个根在（0，2）上，则k（2）＝5，
此时t8﹣t+1＝∈（0，t2＝2，满足题意；
综上所述a的取值范围为（﹣3，﹣]．
【点评】本题考查函数的单调性，考查函数的值域，考查方程根的问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．