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    2022-2023学年广东省深圳中学高二(上)期中数学试卷

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    这是一份2022-2023学年广东省深圳中学高二(上)期中数学试卷,共25页。试卷主要包含了单项选择题,多项选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    1.(5分)在直角坐标系xOy中,在y轴上截距为﹣1且倾斜角为的直线方程为( )
    A.x+y+1=0B.x+y﹣1=0C.x﹣y+1=0D.x﹣y﹣1=0
    2.(5分)圆x2+y2+ax=0的圆心横坐标为1,则a等于( )
    A.1B.2C.﹣1D.﹣2
    3.(5分)在递增的等差数列{an}中,已知a4与a6是方程x2﹣10x+24=0的两个根,则a20=( )
    A.19B.20C.21D.22
    4.(5分)等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2=3,S5=25,则a8=( )
    A.13B.14C.15D.16
    5.(5分)已知点A(﹣2,﹣1),B(3,0),若点M(x,y)在线段AB上,则的取值范围( )
    A.B.
    C.(﹣∞,﹣1]∪[3,+∞)D.[﹣1,3]
    6.(5分)已知数列{an}满足:an2=an﹣1•an+1(n≥2),若a2=3,a2+a4+a6=21,则a4+a6+a8=( )
    A.84B.63C.42D.21
    7.(5分)直线2x+y﹣1=0与直线x﹣2y﹣3=0交于点P,则点P到直线kx﹣(k+1)y+1+2k=0(k∈R)的最大距离为( )
    A.B.C.D.
    8.(5分)某种细胞开始时有2个,1小时后分裂成4个并死去1个,2小时后分裂成6个并死去1个,3小时后分裂成10个并死去1个⋯按照此规律,12小时后细胞存活个数( )
    A.2048B.2049C.4096D.4097
    二、多项选择题(共4小题,全对得5分,错选得0分,漏选得2分,共20分)
    (多选)9.(5分)已知b∈R,圆C1:(x﹣1)2+(y﹣b)2=4,C2:x2+y2=1,则( )
    A.两圆可能外离B.两圆可能相交
    C.两圆可能内切D.两圆可能内含
    (多选)10.(5分)已知公差大于0的等差数列{an}的前n项和为Sn,若a9=S17,下列说法正确的是( )
    A.a8=0B.a9=0C.a1=S16D.S8>S10
    (多选)11.(5分)已知数列{an}的前n项和为Sn,则下列说法正确的是( )
    A.若Sn=2n2﹣3,则{an}是等差数列
    B.若{an}是等差数列,且a3=5,a2+a10=2,则数列{an}的前n项和Sn有最大值
    C.若等差数列{an}的前10项和为170,前10项中,偶数项的和与奇数项的和之比为9:8,则公差为2
    D.若{an}是等差数列,则三点、、共线
    (多选)12.(5分)设圆C:(x﹣3)2+(y﹣4)2=9,过点P(1,2)的直线l与C交于A,B两点,则下列结论正确的为( )
    A.P可能为AB中点
    B.|AB|的最小值为3
    C.若,则l的方程为y=2
    D.△ABC的面积最大值为
    三、填空题(共4小题,每空5分,共20分)
    13.(5分)数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an﹣1,则{an}的通项公式为an= .
    14.(5分)过点A(1,2)且与两定点(2,3)、(4,﹣5)等距离的直线方程为 .
    15.(5分)数列{an}的前n项和为Sn,若an=n,则= .
    16.(5分)已知圆C:x2+y2﹣2ax+4y=0关于直线x+3y+2=0对称,P(x,y)为圆C上一点,则2x﹣y的最大值为 .
    四、解答题(共6小题,第17题10分,18-22题每题12分,共70分)
    17.(10分)已知直线l:x﹣ky+2+k=0(k∈R).
    (1)若直线l不经过第一象限,求k的取值范围;
    (2)若直线l交x轴负半轴于A,交y轴正半轴于B,△AOB的面积为S(O为坐标原点),求S的最小值和此时直线l的方程.
    18.(12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,(sinA﹣sinC)2=sin2B﹣sinAsinC.
    (1)求B;
    (2)若b=1,△ABC的面积为,求△ABC的周长.
    19.(12分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,数列{bn}为等比数列,满足a1=b2=2,S5=30,b4+2是b3与b5的等差中项.
    (1)求数列{an},{bn}的通项公式;
    (2)若cn=an•bn,Tn是数列{cn}的前n项和,求Tn.
    20.(12分)如图,在△ABC中,已知AB=2,,∠BAC=45°,BC边上的中线为AM.
    (1)求AM的值;
    (2)求sin∠BAM.
    21.(12分)数列{an}中,a1=2,an+1=.
    (Ⅰ)证明数列{}是等比数列,并求数列{an}的通项公式;
    (Ⅱ)设bn=,若数列{bn}的前n项和是Tn,求证:Tn<2.
    22.(12分)函数f(x)=lga(x﹣4)﹣1(a>0,a≠1)所经过的定点为(m,n),圆C的方程为(x﹣m)2+(y﹣n)2=r2(r>0),直线被圆C所截得的弦长为.
    (1)求m、n以及r的值;
    (2)设点P(2,﹣1),探究在直线y=﹣1上是否存在一点B(异于点P),使得对于圆C上任意一点T到P,B两点的距离之比(k为常数).若存在,请求出点B坐标以及常数k的值,若不存在,请说明理由.
    2022-2023学年广东省深圳中学高二(上)期中数学试卷
    参考答案与试题解析
    一、单项选择题(每小题只有一个答案符合题意,共8小题,每小题5分,共40分)
    1.(5分)在直角坐标系xOy中,在y轴上截距为﹣1且倾斜角为的直线方程为( )
    A.x+y+1=0B.x+y﹣1=0C.x﹣y+1=0D.x﹣y﹣1=0
    【分析】由直线的倾斜角可求直线的斜率,根据直线方程的斜截式可求直线方程
    【解答】解:由题意可得,直线的斜率k=﹣1
    根据直线方程的截距式可知所求的直线方程为y=﹣x﹣1即x+y+1=0
    故选:A.
    【点评】本题主要考查了直线方程的斜截式的简单应用,属于基础试题
    2.(5分)圆x2+y2+ax=0的圆心横坐标为1,则a等于( )
    A.1B.2C.﹣1D.﹣2
    【分析】把圆的方程化为标准形式,可得圆心坐标,再根据圆心横坐标为1,求得a的值.
    【解答】解:圆x2+y2+ax=0,即圆(x+)2+y2=,它的圆心横坐标为﹣=1,a=﹣2,
    故选:D.
    【点评】本题主要考查圆的标准方程,属于基础题.
    3.(5分)在递增的等差数列{an}中,已知a4与a6是方程x2﹣10x+24=0的两个根,则a20=( )
    A.19B.20C.21D.22
    【分析】根据方程的解与递增的等差数列,可得,于是可求得公差d=1,则由等差数列的通项性质可得a20的值.
    【解答】解:a4与a6是方程x2﹣10x+24=0的两个根,方程为(x﹣4)(x﹣6)=0
    则或,由于递增的等差数列{an}中,所以,则公差,
    所以a20=a4+16d=4+16=20.
    故选:B.
    【点评】本题主要考查等差数列的性质,属于基础题.
    4.(5分)等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2=3,S5=25,则a8=( )
    A.13B.14C.15D.16
    【分析】利用等差数列通项公式和前n项和公式,列出方程组,求出首项和公差,由此能求出a8.
    【解答】解:∵等差数列{an}的前n项和为Sn,
    a2=3,S5=25,
    ∴,
    解得a1=1,d=2.
    ∴a8=1+7×2=15.
    故选:C.
    【点评】本题考查等差数列的第8项的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等差数列的性质的合理运用.
    5.(5分)已知点A(﹣2,﹣1),B(3,0),若点M(x,y)在线段AB上,则的取值范围( )
    A.B.
    C.(﹣∞,﹣1]∪[3,+∞)D.[﹣1,3]
    【分析】设Q(﹣1,2),分别求出kQA,kQB,根据表示直线QM的斜率即可得到结果.
    【解答】解:设Q(﹣1,2),则,
    因为点M(x,y)在线段AB上,
    所以的取值范围是.
    故选:A.
    【点评】本题考查了直线的斜率,是基础题.
    6.(5分)已知数列{an}满足:an2=an﹣1•an+1(n≥2),若a2=3,a2+a4+a6=21,则a4+a6+a8=( )
    A.84B.63C.42D.21
    【分析】由an2=an﹣1•an+1(n≥2)得数列{an}是等比数列,设其公比为q,依题意,可求得q2=2,从而可得a4+a6+a8的值.
    【解答】解:∵an2=an﹣1•an+1(n≥2),
    ∴数列{an}是等比数列,设其公比为q,
    ∵a2=3,a2+a4+a6=3+3q2+3q4=21,
    即q4+q2﹣6=0,
    解得q2=2或q2=﹣3(舍),
    ∴a4+a6+a8=a2(q2+q4+q6)=3(2+4+8)=42.
    故选:C.
    【点评】本题考查数列递推式的应用,判断出数列{an}是等比数列是关键,考查等比数列的通项公式的应用,属于中档题.
    7.(5分)直线2x+y﹣1=0与直线x﹣2y﹣3=0交于点P,则点P到直线kx﹣(k+1)y+1+2k=0(k∈R)的最大距离为( )
    A.B.C.D.
    【分析】联立方程求出交点坐标,求出直线kx﹣(k+1)y+1+2k=0(k∈R)的恒过定点,再将点到直线距离的最大值转化为两点间距离即可.
    【解答】解:由题可列:,
    解得,
    所以点P的坐标为(1,﹣1),
    因为直线kx﹣(k+1)y+1+2k=0(k∈R),
    即k(x﹣y+2)+(1﹣y)=0恒过定点Q(﹣1,1),
    所以点P到直线kx﹣(k+1)y+1+2k=0(k∈R)的最大距离为.
    故选:B.
    【点评】本题主要考查点到直线的距离公式,属于基础题.
    8.(5分)某种细胞开始时有2个,1小时后分裂成4个并死去1个,2小时后分裂成6个并死去1个,3小时后分裂成10个并死去1个⋯按照此规律,12小时后细胞存活个数( )
    A.2048B.2049C.4096D.4097
    【分析】根据题意,设每小时后细胞的存活数构成数列{an},归纳数列的通项公式,再根据通项公式计算可得答案.
    【解答】解:根据题意,设每小时后细胞的存活数构成数列{an},
    则a1=2×2﹣1=3,a2=2×3﹣1=5,a3=2×5﹣1=9,…
    由此得,an=2an﹣1﹣1,an﹣1=2(an﹣1﹣1);
    所以,数列{an﹣1}为等比数列,且公比为2,所以an﹣1=2n,变形可得an=2n+1,
    所以12小时后细胞存活个数是212+1=4097.
    故选:D.
    【点评】本题考查了构造法求数列通项公式,涉及归纳推理的应用,属于基础题.
    二、多项选择题(共4小题,全对得5分,错选得0分,漏选得2分,共20分)
    (多选)9.(5分)已知b∈R,圆C1:(x﹣1)2+(y﹣b)2=4,C2:x2+y2=1,则( )
    A.两圆可能外离B.两圆可能相交
    C.两圆可能内切D.两圆可能内含
    【分析】根据圆心距与半径之和,半径之差之间的关系,结合已知条件,即可分析判断.
    【解答】解:圆的圆心为C1(1,b),半径r1=2,
    圆的圆心为C2(0,0),半径r2=1;
    则,r1+r2=3,r1﹣r2=1,
    当b2>8时,|C1C2|>r1+r2,两圆外离;
    当0<b2<8时,r1﹣r2<|C1C2|<r1+r2,两圆相交;
    当b2=0时,|C1C2|=r1﹣r2,两圆内切;
    当b2=8时,|C1C2|=r1+r2,两圆外切;
    综上所述,两圆可以外离,可以内切,可以相交,不能内含.
    故选:ABC.
    【点评】本题主要考查两圆的位置关系,考查转化能力,属于中档题.
    (多选)10.(5分)已知公差大于0的等差数列{an}的前n项和为Sn,若a9=S17,下列说法正确的是( )
    A.a8=0B.a9=0C.a1=S16D.S8>S10
    【分析】根据给定条件,结合等差数列前n项和公式及等差数列的性质求出a9,用公差d表示首项,再判断各项作答.
    【解答】解:令等差数列{an}的公差为d,有d>0,
    由a9=S17得:,
    解得a9=0,有a8=a9﹣d=﹣d<0,A不正确,B正确;a1=a9﹣8d=﹣8d,S16=S17﹣a17=a9﹣(a9+8d)=﹣8d,即a1=S16,C正确;
    S10﹣S8=a9+a10=a9+d=d>0,S8<S10,D不正确.
    故选:BC.
    【点评】本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式,考查学生的逻辑推理和运算求解的能力,属于中档题.
    (多选)11.(5分)已知数列{an}的前n项和为Sn,则下列说法正确的是( )
    A.若Sn=2n2﹣3,则{an}是等差数列
    B.若{an}是等差数列,且a3=5,a2+a10=2,则数列{an}的前n项和Sn有最大值
    C.若等差数列{an}的前10项和为170,前10项中,偶数项的和与奇数项的和之比为9:8,则公差为2
    D.若{an}是等差数列,则三点、、共线
    【分析】根据等差数列及等差数列前n项和Sn的性质,逐项分析判断.
    【解答】解:A项,n=1时,a1=S1=﹣1,n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1=2n2﹣3﹣2(n﹣1)2+3=4n﹣2,
    当n=1时,a1=2≠﹣1,所以,{an}不是等差数列;所以A不正确;
    B项,由已知可得,a6=1,又a3=5,所以,,,所以,Sn有最大值;所以B正确;
    C项,由已知可得,偶数项和为90,奇数项和为80,两者作差为5d=10,所以d=2;所以C正确;
    D项,设三点分别为A,B,C,,则,,.
    则,,,所以三点共线,所以D正确;
    故选:BCD.
    【点评】本题考查数列的简单应用,是中档题.
    (多选)12.(5分)设圆C:(x﹣3)2+(y﹣4)2=9,过点P(1,2)的直线l与C交于A,B两点,则下列结论正确的为( )
    A.P可能为AB中点
    B.|AB|的最小值为3
    C.若,则l的方程为y=2
    D.△ABC的面积最大值为
    【分析】判断点P在圆的内部,当CP⊥直线l时,P为AB的中点,且此时|AB|最小,利用弦长公式可求得,可分别判断ABC,利用基本不等式可判断D.
    【解答】解:由圆C:(x﹣3)2+(y﹣4)2=9,知圆心(3,4),半径为r=3,
    对于A:因为(1﹣3)2+(2﹣4)2=8<9,即点P在圆的内部,当CP⊥直线l时,P为AB的中点,故A正确;
    对于B:当CP⊥直线l时,|AB|最小,因为kCP==1,所以kl=﹣1,
    则直线l的方程为x+y﹣3=0,圆心(3,4)到直线l的距离d==2,所以|AB|=2=2,故B错误;
    对于C:当直线l斜率不存在时,即x=1,此时|AB|=2=2,符合,
    当直线l斜率存在时,设直线l的方程为kx﹣y﹣k+2=0,由|AB|=2=2,得d=2,
    则圆心(3,4)到直线l的距离d==2,解得k=0,即y=2,所以满足题意的直线为y=2或x=1,故C错误;
    对于D:S△ABC=×|AB|×d=×2×≤=,
    当且仅当9﹣d2=d2,即d=时取等号,所以△ABC的面积最大值为,故D正确.
    故选:AD.
    【点评】本题考查直线与圆的位置关系,以及三角形的面积问题,属中档题.
    三、填空题(共4小题,每空5分,共20分)
    13.(5分)数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an﹣1,则{an}的通项公式为an= 2n﹣1 .
    【分析】由Sn=2an﹣1和Sn+1=2an+1﹣1相减得an+1=2an+1﹣2an,所以 ,由此可求出数列{an}的通项公式.
    【解答】解:由Sn=2an﹣1,
    得Sn+1=2an+1﹣1,
    二式相减得:an+1=2an+1﹣2an,
    ∴,
    ∴数列{an}是公比为2的等比数列,
    又∵S1=2a1﹣1,
    ∴a1=1,
    ∴an=2n﹣1.
    故答案为:2n﹣1.
    【点评】本题考查数列的通项公式的求法,解题时要认真审题,注意错位相减法和递推公式的灵活运用.
    14.(5分)过点A(1,2)且与两定点(2,3)、(4,﹣5)等距离的直线方程为 3x+2y﹣7=0,4x+y﹣6=0 .
    【分析】①过两定点(2,3)、(4,﹣5)的直线方程为:y﹣3=(x﹣2),过点A(1,2)的直线与直线平行时满足条件.
    ②两定点(2,3)、(4,﹣5)所在线段的中点为(3,﹣1).经过点A(1,2)与中点的直线满足条件.
    【解答】解:①过两定点(2,3)、(4,﹣5)的直线方程为:y﹣3=(x﹣2),化为:4x+y﹣11=0,
    过点A(1,2)的直线与直线:4x+y﹣11=0平行时满足条件:y﹣2=﹣4(x﹣1),化为:4x+y﹣6=0.
    ②两定点(2,3)、(4,﹣5)所在线段的中点为(3,﹣1).
    则经过点A(1,2)与中点的直线满足条件:y﹣2=(x﹣1),化为:3x+2y﹣7=0.
    综上可得:满足条件的直线方程为:3x+2y﹣7=0,4x+y﹣6=0.
    故答案为:3x+2y﹣7=0,4x+y﹣6=0.
    【点评】本题考查了相互平行的直线斜率之间的关系、中点坐标公式、分类讨论方法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
    15.(5分)数列{an}的前n项和为Sn,若an=n,则= .
    【分析】先求数列{an}的前n项和Sn,再利用裂项相消法求和即可.
    【解答】解:因为an=n,所以,
    所以,
    所以
    =.
    故答案为:.
    【点评】本题考查等差数列的求和公式,以及数列的裂项相消求和,考查转化思想和运算能力,属于中档题.
    16.(5分)已知圆C:x2+y2﹣2ax+4y=0关于直线x+3y+2=0对称,P(x,y)为圆C上一点,则2x﹣y的最大值为 20 .
    【分析】由圆C关于直线x+3y+2=0对称列方程求a,由此确定圆的圆心坐标和半径,设z=2x﹣y,由直线z=2x﹣y与圆C有公共点,列不等式求z的范围及最大值.
    【解答】解:方程x2+y2﹣2ax+4y=0可化为(x﹣a)2+(y+2)2=a2+4,
    所以圆C:x2+y2﹣2ax+4y=0的圆心为C(a,﹣2),半径为,
    因为圆C:x2+y2﹣2ax+4y=0关于直线x+3y+2=0对称,
    所以a+3×(﹣2)+2=0,所以a=4,
    令z=2x﹣y,则,
    所以|10﹣z|≤10,所以0≤z≤20,所以2x﹣y的最大值为20,
    故答案为:20.
    【点评】本题考查直线与圆的综合运用,考查运算求解能力,属于基础题.
    四、解答题(共6小题,第17题10分,18-22题每题12分,共70分)
    17.(10分)已知直线l:x﹣ky+2+k=0(k∈R).
    (1)若直线l不经过第一象限,求k的取值范围;
    (2)若直线l交x轴负半轴于A,交y轴正半轴于B,△AOB的面积为S(O为坐标原点),求S的最小值和此时直线l的方程.
    【分析】(1)验证k=0时,直线l是否符合要求,当k≠0时,将直线方程化为斜截式,结合条件列不等式求k的取值范围;(2)先求直线在x轴和y轴上的截距,表示△AOB的面积,利用基本不等式求其最小值.
    【解答】解:(1)当k=0时,方程x﹣ky+2+k=0可化为x=﹣2,不经过第一象限;
    当k≠0时,方程x﹣ky+2+k=0可化为,
    要使直线不经过第一象限,则,
    解得﹣2≤k<0.
    综上,k的取值范围为[﹣2,0].
    (2)由题意可得k>0,
    由x﹣ky+2+k=0取y=0得x=﹣2﹣k,
    取x=0得,
    所以,
    当且仅当时,即k=2时取等号,
    综上,此时Smin=4,直线l的方程为x﹣2y+4=0.
    【点评】本题主要考查了直线方程的应用,还考查了直线交点坐标的求解,基本不等式在最值求解中的应用,属于中档题.
    18.(12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,(sinA﹣sinC)2=sin2B﹣sinAsinC.
    (1)求B;
    (2)若b=1,△ABC的面积为,求△ABC的周长.
    【分析】(1)由已知利用正弦定理得a2+c2﹣b2=ac,由余弦定理得csB的值,结合范围0<B<π,可得B的值.
    (2)由已知利用三角形的面积公式可求ac的值,进而根据余弦定理可求a+c的值,即可求解△ABC的周长.
    【解答】解:(1)将(sinA﹣sinC)2=sin2B﹣sinAsinC,展开得sin2A+sin2C﹣sin2B=sinAsinC,
    由正弦定理得a2+c2﹣b2=ac,
    由余弦定理得,
    因为0<B<π,
    所以.
    (2)根据余弦定理,b2=a2+c2﹣2accsB=(a+c)2﹣3ac,
    因为△ABC的面积为,所以ac=1,
    因为b=1,所以1=(a+c)2﹣3,解之,得a+c=2,
    所以△ABC的周长为a+c+b=3.
    【点评】本题主要考查了正余弦定理等知识点在解三角形中的应用,考查转化与划归得方法与方程思想,考查数学抽象、逻辑推理、数学运算等数学素养,属于基础题.
    19.(12分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,数列{bn}为等比数列,满足a1=b2=2,S5=30,b4+2是b3与b5的等差中项.
    (1)求数列{an},{bn}的通项公式;
    (2)若cn=an•bn,Tn是数列{cn}的前n项和,求Tn.
    【分析】(1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q,由等差数列的求和公式、等比数列的通项公式,求得首项和公差、公比,进而得到所求;
    【解答】解:(1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q,
    由a1=b2=2,S5=30,b4+2是b3与b5的等差中项,
    可得b1q=2,5×2+10d=30,2(b4+2)=b3+b5,
    即2(b1q3+2)=b1q2+b1q4,
    解得d=2,b1=1,q=2,
    则an=2+2(n﹣1)=2n;bn=2n﹣1;
    (2)因为cn=an•bn=n•2n;
    所以数列{cn}的前n项和Tn=1×21+2×22+3×23++(n﹣1)•2n﹣1+n•2n,
    2Tn=1×22+2×23++(n﹣2)•2n+(n﹣1)•2n+n•2n+1,
    两式相减可得﹣Tn=2+22+23++2n﹣n•2n+1=(1﹣n)•2n+1﹣2,
    ∴Tn=(n﹣1)•2n+1+2.
    【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用,考查方程思想和运算能力,属于中档题.
    20.(12分)如图,在△ABC中,已知AB=2,,∠BAC=45°,BC边上的中线为AM.
    (1)求AM的值;
    (2)求sin∠BAM.
    【分析】(1)在△ABC中,利用余弦定理求BC,在△ABM,△ACM中分别利用余弦定理求cs∠BMA,cs∠CMA,由此列方程求解,即可得出答案;
    (2)在△ABM中由余弦定理求cs∠BAM,利用同角三角函数的关系,即可得出答案.
    【解答】解:(1)∵AB=2,,∠BAC=45°,
    ∴由余弦定理得,即,
    又BC边上的中线为AM,则,
    在△ABM中,由余弦定理得,
    在△ACM中,由余弦定理得,
    又∠BMA与∠CMA互补,则cs∠BMA+cs∠CMA=0,解得AM=5;
    (2)在△ABM中,由余弦定理得,
    ∵∠BAC=45°,∴,
    ∴.
    【点评】本题考查解三角形,考查转化思想,考查逻辑推理能力和运算能力,属于中档题.
    21.(12分)数列{an}中,a1=2,an+1=.
    (Ⅰ)证明数列{}是等比数列,并求数列{an}的通项公式;
    (Ⅱ)设bn=,若数列{bn}的前n项和是Tn,求证:Tn<2.
    【分析】(Ⅰ)化简已知条件,即可证明数列{}是等比数列,求出首项与公比,然后求数列{an}的通项公式;
    (Ⅱ)化简数列的通项公式,利用放缩法推出,然后利用等比数列求和,证明结论.
    【解答】解:(Ⅰ)由题设,数列是首项为2,公比的等比数列
    所以,;
    (Ⅱ)证明:,
    注意对任意n∈N*,2n﹣1≥2n﹣1,
    所以.
    【点评】本题考查数列的递推关系式的应用,考查数列求和以及放缩法的应用,考查计算能力.
    22.(12分)函数f(x)=lga(x﹣4)﹣1(a>0,a≠1)所经过的定点为(m,n),圆C的方程为(x﹣m)2+(y﹣n)2=r2(r>0),直线被圆C所截得的弦长为.
    (1)求m、n以及r的值;
    (2)设点P(2,﹣1),探究在直线y=﹣1上是否存在一点B(异于点P),使得对于圆C上任意一点T到P,B两点的距离之比(k为常数).若存在,请求出点B坐标以及常数k的值,若不存在,请说明理由.
    【分析】(1)由题意和对数函数过定点可得m=5,n=﹣1,由圆的弦长公式可得r的方程,解方程可得;
    (2)假设在直线y=﹣1上存在一点B(异于点P)满足题意,下面证明:设T(x,y)为圆上任意一点,若点T在S和Q时,则有,解得,然后由距离公式证明在直线y=﹣1上存在一点,使得对于圆C上任意一点T到P,B两点的距离之比.
    【解答】解:(1)在函数f(x)=lga(x﹣4)﹣1(a>0,a≠1)中,
    当x=5时,y=﹣1,∴必经过的定点为点(5,﹣1),即m=5,n=﹣1,
    由于直线AP被圆C所截得的弦长为,圆C半径为r,设圆心到直线AP的距离为d,
    由于圆心(5,﹣1)到直线的距离为,
    ∴,代入d值解方程可得r=5;
    (2)假设在直线y=﹣1上存在一点B(异于点P),使得对于圆C上任意一点T到P,B两点的距离之比(k为常数).
    圆与直线y=﹣1的交点为S(0,﹣1),Q(10,﹣1),设B(m,﹣1)(m≠2),而若点T在S和Q时,则有,
    即,解得,
    下面证明:设T(x,y)为圆上任意一点,则:,=,
    ∴在直线y=﹣1上存在一点,使得对于圆C上任意一点T到P,B两点的距离之比.
    【点评】本题考查圆的方程的综合应用,涉及圆的弦长问题和距离公式以,属中档题.
    声明:试题解析著作权属菁优网所有,未经书面同意,不得复制发布日期:2023/10/31 9:11:42;用户:高中数学朱老师;邮箱:rFmNt90mRiXzEYJeDrg1uSD0fc@;学号:37103942
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