人教版八年级上学期 数学 期中检测试卷一（含解析）

这是一份人教版八年级上学期 数学 期中检测试卷一（含解析），共5页。试卷主要包含了下列结论正确的是，在直角坐标中有两点M等内容，欢迎下载使用。
1．现有两根木棒，它们的长分别是30cm和70cm，若要钉成一个三角形木架，则应选取的第三根木棒长为（ ）
A．40cmB．70cmC．100cmD．130cm
2．如图，△ABC中，点D是BC上的一点，点E是AD上的一点，若BD：CD＝2：3，DE：AE＝1：4，△ABC的面积是8，则△DEC的面积为（ ）
A．B．1C．D．
3．下列结论正确的是（ ）
A．三角形的高总在三角形的内部
B．△ABC的角平分线AD是自A出发的一条射线
C．三角形中最大的内角不能小于60°
D．三角形的三个外角中，最多只有一个钝角
4．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BM是AC边的中线，作AD⊥BM，垂足为点E，交BC于点D，且AH平分∠BAC交BM于N，交BC于H，连接DM，则下列结论：
①∠AMB＝∠CMD；②HN＝HD；③BN＝AD；④∠BNH＝∠MDC；⑤MC＝DC中，正确的有（ ）个．
A．5个B．4个C．3个D．2个
5．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC交BC于E，BD⊥AE于D，DM⊥AC交AC的延长线于M，连接CD，给出四个结论：
①∠ADC＝45°；②BD＝AE；③AC+CE＝AB；④AB﹣BC＝2MC；其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．如图，下列条件中，不能证明△ABC≌△DCB的是（ ）
A．AB＝DC，AC＝DBB．AB＝DC，∠ABC＝∠DCB
C．AC＝BD，∠A＝∠DD．BO＝CO，∠A＝∠D
7．在直角坐标中有两点M（a，b），N（a，﹣b），则这两点（ ）
A．关于x轴对称B．关于y轴对称
C．关于原点对称D．上述结论都不正确
8．如图，将等腰直角三角形按图示方式翻折，若DE＝2，下列说法正确的个数有（ ）
①△BC′D是等腰三角形；②△CED的周长等于BC的长；③DC′平分∠BDE；④BE长为2+4．
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝36°，在直线AC或BC上取点M，使得△MAB为等腰三角形，符合条件的M点有（ ）
A．6个B．7个C．8个D．9个
10．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，BC＝10，EF是BC的垂直平分线，P是直线EF上的任意一点，则PA+PB的最小值是（ ）
A．6B．8C．10D．12
二．填空题（共7小题，满分21分，每小题3分）
11．已知等腰三角形ABC的一边等于5cm，一边等于6cm，则这个三角形的周长为 cm．
12．如图，在△ABC中，AD、CD是△ABC的角平分线且相交于点D，∠B＝80°，则∠ADC＝ ．
13．在△ABC中，AC＝5，中线AD＝7，则AB边的取值范围是 ．
14．如图，点A在线段DE上，AB⊥AC，垂足为A，且AB＝AC，BD⊥DE，CE⊥DE，垂足分别为D、E，若ED＝12，BD＝8，则CE长为 ．
15．连接轴对称图形中任意一对对应点的线段都被该图形的对称轴 ．
16．如图，在△ABC中，点D是BC边上的点，且DA＝DB，将△ABD沿着AD翻折得到△AED，若∠CDE＝30°，则∠B的度数为 ．
17．如图，在△ABC中，BC＝8cm，∠BPC＝118°，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是 cm，∠DPE＝ °．
三．解答题（共8小题，满分62分）
18．（6分）如图：小亮从A点出发，沿直线前进10米后向左转30度，再沿直线前进10米，又向左转30度，…照这样走下去，他第一次回到出发点A点时，一共走了多少米？
19．（6分）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，点P为∠ABC、∠ACB的角平分线的交点．
（1）∠BPC的度数是 ．
（2）请问点P是否在∠BAC的角平分线上？请说明理由．
（3）证明：AB＝PC．
20．（6分）如图，AC平分∠BCD，AB＝AD，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．
（1）若∠ABE＝60°，求∠CDA；
（2）若AE＝2，BE＝1，CD＝3，求四边形AECD的面积．
21．（8分）如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，BE＝CF，AC∥DE，∠A＝∠D．
（1）求证：△ABC≌△DFE；
（2）若BF＝20，EC＝8，求BC的长．
22．（8分）如图，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠C＝50°，∠A＝100°，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图．（保留画图痕迹，不写画法）
（1）在图（1）中，以AD为腰画一个等腰三角形ADE，且点E与点B不重合；
（2）在图（2）中画一个60°的角．
23．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，△BAP中，∠BAP＝90°，已知∠CBO＝∠ABP，BP交AC于点O，E为AC上一点，且AE＝OC．
（1）求证：△AOP是等腰三角形；
（2）求证：PE⊥AO．
24．（10分）如图，在△ABC中，AB＝BC＝AC＝BF，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB，BD＝DA，∠1＝∠2，求∠BFD的度数．
25．（10分）如图①，点M为锐角三角形ABC内任意一点，连接AM、BM、CM．以AB为一边向外作等边三角形△ABE，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN．
（1）求证：△AMB≌△ENB；
（2）若AM+BM+CM的值最小，则称点M为△ABC的费马点．若点M为△ABC的费马点，试求此时∠AMB、∠BMC、∠CMA的度数；
（3）小翔受以上启发，得到一个作锐角三角形费马点的简便方法：如图②，分别以△ABC的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M即为△ABC的费马点．试说明这种作法的依据．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．解：根据三角形三边关系，
∴三角形的第三边x满足：70﹣30＜x＜30+70，即40＜x＜100，
故选：B．
2．解：∵△ABD与△ACD等高，BD：CD＝2：3，
∴S△ACD＝S△ABC＝×8＝，
∵△CDE与△DAE等高，DE：AE＝1：4，
∴S△DEC＝S△ACD＝×＝．
故选：A．
3．解：A、只有锐角三角形的高都在三角形的内部，直角三角形的两条高在三角形的边上，一条高在三角形的内部，钝角三角形的两条高在三角形的外部，一条高在三角形的内部，故本选项不符合题意；
B、△ABC的角平分线AD是自A出发的一条线段，故本选项不符合题意；
C、三角形的最大的内角不能小于60°，故本选项符合题意；
D、三角形的三个外角中，最多有3个钝角，故本选项不符合题意；
故选：C．
4．解：如图，作KC⊥CA交AD的延长线于K．
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，AH平分∠BAC，
∴AH⊥BC，BH＝CH，
∴AH＝BH＝CH，
∵AD⊥BM，
∴∠BHN＝∠AEN＝∠AHD＝90°，
∵∠BNH＝∠ANE，
∴∠HBN＝∠DAH，
∴△BHN≌△AHD（ASA），
∴HN＝DH，BN＝AD，∠BNH＝∠ADH＝∠CDK，故②③正确，
∵∠BAM＝∠ACK＝90°，
∴∠BAE+∠CAK＝90°，∴∠BAE+∠ABM＝90°，
∴∠ABM＝∠CAK，
∵AB＝AC，
∴△ABM≌△CAK（ASA），
∴∠AMB＝∠K，AM＝CK＝CM，
∵∠DCM＝∠DCK＝45°，CD＝CD，
∴△CDM≌△CDK（SAS），
∴∠CDK＝∠CDM，∠K＝∠CMD，
∴∠AMB＝∠CMD，∠BNH＝∠MDC，故①④正确，
假设MC＝CD，则∠CMD＝∠CDM＝67.5°，推出∠ABM＝22.5°，推出∠ABM＝∠MBH＝22.5°，题目未说明BM是∠ABC的角平分线，故⑤错误，
故选：B．
5．解：过E作EQ⊥AB于Q，
∵∠ACB＝90°，AE平分∠CAB，
∴CE＝EQ，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠CBA＝∠CAB＝45°，
∵EQ⊥AB，
∴∠EQA＝∠EQB＝90°，
由勾股定理得：AC＝AQ，
∴∠QEB＝45°＝∠CBA，
∴EQ＝BQ，
∴AB＝AQ+BQ＝AC+CE，
∴③正确；
作∠ACN＝∠BCD，交AD于N，
∵∠CAD＝∠CAB＝22.5°＝∠BAD，
∴∠ABD＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∴∠DBC＝67.5°﹣45°＝22.5°＝∠CAD，
∴∠DBC＝∠CAD，
∵AC＝BC，∠ACN＝∠DCB，
∴△ACN≌△BCD，
∴CN＝CD，AN＝BD，
∵∠ACN+∠NCE＝90°，
∴∠NCB+∠BCD＝90°，
∴∠CND＝∠CDA＝45°，
∴∠ACN＝45°﹣22.5°＝22.5°＝∠CAN，
∴AN＝CN，
∴∠NCE＝∠AEC＝67.5°，
∴CN＝NE，
∴CD＝AN＝EN＝AE，
∵AN＝BD，
∴BD＝AE，
∴①正确，②正确；
过D作DH⊥AB于H，
∵∠MCD＝∠CAD+∠CDA＝67.5°，
∠DBA＝90°﹣∠DAB＝67.5°，
∴∠MCD＝∠DBA，
∵AE平分∠CAB，DM⊥AC，DH⊥AB，
∴DM＝DH，
在△DCM和△DBH中
∠M＝∠DHB＝90°，∠MCD＝∠DBA，DM＝DH，
∴△DCM≌△DBH，
∴BH＝CM，
由勾股定理得：AM＝AH，
∴＝＝＝＝2，
∴AC+AB＝2AM，
AC+AB＝2AC+2CM，
AB﹣AC＝2CM，
∵AC＝CB，
∴AB﹣CB＝2CM，
∴④正确．
故选：D．
6．解：A、AB＝DC，AC＝DB，BC＝CB，符合全等三角形的判定定理SSS，能推出△ABC≌△DCB，故本选项不符合题意；
B、AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DCB，故本选项不符合题意；
C、AC＝BD，BC＝CB，∠A＝∠D不能推出△ABC≌△DCB，不符合全等三角形的判定定理，故本选项符合题意．反例如下：
如图所示，AC＝BD，∠A＝∠D，但△ABC与△DCB不全等；
D、∵OB＝OC，∴∠DBC＝∠ACB．∵∠A＝∠D，∴根据三角形内角和定理得出∠ABC＝∠DCB．∠A＝∠D，∠ABC＝∠DCB，BC＝BC，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ABC≌△DCB，故本选项不符合题意．
故选：C．
7．解：根据轴对称的性质，已知两点M（a，b），N（a，﹣b），则这两点关于x轴对称．
故选：A．
8．解：①∠DC'E＝∠C＝45°＝2∠DBC'，因此（1）的结论成立；
②正确；
③不成立；
④若DE＝2，可得DC＝DC′＝2，C′E＝2；故AD＝2，可得AC＝2+2，可得BC＝4+2，而根据图示知BC≠BE，故④不正确．
故选：B．
9．解：如图，
①以A为圆心，AB为半径画圆，交直线AC有二点M1，M2，交BC有一点M3，（此时AB＝AM）；
②以B为圆心，BA为半径画圆，交直线BC有二点M5，M4，交AC有一点M6（此时BM＝BA）．
③AB的垂直平分线交AC一点M7（MA＝MB），交直线BC于点M8；
∴符合条件的点有8个，
故选：C．
10．解：当P为EF与AC交点时，连接BP，如图，
∵EF是BC的垂直平分线，
∴BP＝CP，
根据两点之间线段最短知，PA+PB＝PA+PC＝AC，其值最小，
所以PA+PB的最小值即为AC的长，
∵∠A＝90°，BC＝10，AB＝6，
∴AC＝，
所以PA+PB的最小值为8．
故选：B．
二．填空题（共7小题，满分21分，每小题3分）
11．解：当腰长是5cm时，三边分别是：5cm，5cm，6cm，则周长是：5+5+6＝16cm；
当腰长是6cm时，三边分别是：5cm，6cm，6cm，则周长是：5+6+6＝17cm．
故答案是：16或17．
12．解：∵AD、CD是△ABC的角平分线，
∴∠CAD＝∠CAB，∠ACD＝∠ACB，
∴∠ADC＝180°﹣（∠CAD+∠ACD）
＝180°﹣（∠CAB+ACB）
＝180°﹣（180°﹣∠B）
＝90°+∠B
＝90°+×80°
＝130°，
故答案为：130°．
13．解：延长AD到E使DE＝AD，连接BE，
∵D是BC的中点，
∴CD＝BD．
在△ACD和△EBD中，
∴△ACD≌△EBD（SAS），
∴AC＝EB＝5．
∵AD＝7，
∴AE＝14．
由三角形的三边关系为：
14﹣5＜AB＜14+5，
即9＜AB＜19．
故答案为：9＜AB＜19．
14．解：∵BD⊥DE，CE⊥DE，
∴∠D＝∠E＝90°，∠ABD+∠BAD＝90°，
∵AB⊥AC，
∴∠BAD+∠EAC＝90°，
∴∠ABD＝∠EAC，
在△ABD和△CAE中，，
∴△ABD≌△CAE（ASA），
∴BD＝AE＝8，AD＝CE，
∴AD＝ED﹣AE＝12﹣8＝4，
∴CE＝4
故答案为：4．
15．解：连接轴对称图形中任意一对对应点的线段都被该图形的对称轴垂直平分．
故答案为：垂直平分．
16．解：∵DA＝DB，
∴∠BAD＝∠B，
∴∠ADC＝∠BAD+∠B＝2∠B，
∵将△ABD沿着AD翻折得到△AED，
∴∠ADE＝∠ADB＝∠ADC+∠CDE，
∵∠CDE＝30°，
∴∠ADB＝∠ADC+30°＝2∠B+30°，
∵∠ADB+∠ADC＝180°，
∴2∠B+30°+2∠B＝180°，
∴∠B＝37.5°，
故答案为：37.5°．
17．解：（1）∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠ABP＝∠PBD，∠ACP＝∠PCE，
∵PD∥AB，PE∥AC，
∴∠ABP＝∠BPD，∠ACP＝∠CPE，
∴∠PBD＝∠BPD，∠PCE＝∠CPE，
∴BD＝PD，CE＝PE，
∴△PDE的周长＝PD+DE+PE＝BD+DE+EC＝BC＝8cm．
故答案为8
（2）∵∠PBD＝∠BPD，∠PCE＝∠CPE，∠BPC＝118°，
∴∠DPE＝118°﹣∠PBC﹣∠PCB
∵∠BPC+∠PBC+∠PCB＝180°，
∴∠PBC+∠PCB＝180°﹣118°，
∴∠DPE＝118°﹣（∠PBC+∠PCB）＝118°﹣180°+118°＝56°．
故答案为56．
三．解答题（共8小题，满分62分）
18．解：∵小亮每次都是沿直线前进10米后向左转30度，
∴他走过的图形是正多边形，
∴边数n＝360°÷30°＝12，
∴他第一次回到出发点A时，一共走了12×10＝120（米）．
故他一共走了120米．
19．解：（1）∵P点是∠ABC和∠ACB角平分线的交点，
∴∠CBP＝∠ABP＝∠ABC，∠BCP＝∠ACP＝∠ACB，
∵∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，
∴∠PBC+∠PCB＝∠ABC+∠ACB＝30°+20°＝50°，
∴∠BPC＝180°﹣50°＝130°，
故答案为：130°；
（2）答：点P在∠BAC的角平分线上，理由如下：
过点p分别作三角形三边的垂线，垂足分别为D、E、F，
∵PB、PC分别是∠ABC、∠ACB 的角平分线，
∴PD＝PE PE＝PF，
∴PD＝PF，
∴点P在∠BAC的角平分线上；
（3）证明：延长AP，在AP延长线上取PG＝PC，连接GC，
∵AP、CP分别为∠BAC、∠ACB的平分线，
∴∠PAC＝40°，∠ACP＝20°，
∴∠GPC＝∠PAC+∠ACP＝60°，
∴△PGC为等边三角形，
∴∠G＝60°＝∠ABC，PC＝CG，
在△ABC和△CGA中，
∴△ABC≌△CGA（AAS），
∴AB＝CG，
又∵PC＝CG，
故AB＝PC．
20．解：（1）∵AC平分∠BCD，AE⊥BC，AF⊥CD，
∴AF＝AE，∠AFD＝∠AEB＝90°，
在Rt△AFD和Rt△AEB中，
∴Rt△AFD≌Rt△AEB（HL），
∴∠ABE＝∠FAD＝60°，
∵∠AFD＝90°，
∴∠CDA＝∠FAD+∠AFD＝150°；
（2）∵Rt△AFD≌Rt△AEB，
∴DF＝BE＝1，AF＝AE＝2，
∴CF＝CD+DF＝3+2＝5，
∵CA平分∠BCD，
∴∠ACF＝∠ACE，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AFC＝∠AEC＝90°，
在Rt△AFC和Rt△AEC中，
∴Rt△AFC≌Rt△AEC（HL），
∴CF＝CE＝3+1＝4，
∴四边形AECD的面积S＝S△AEC+S△ADC＝×CE×AE+×CD×AF＝×4×2+×3×2＝7．
21．（1）证明：∵AC∥DE，
∴∠ACB＝∠DEF，
∵BE＝CF，
∴BE+CE＝CF+CE，
即BC＝FE，
在△ABC和△DFE中，
∴△ABC≌△DFE（AAS）．
（2）解：∵BF＝20，EC＝8，
∴BE+CF＝20﹣8＝12，
∵BE＝CF，
∴BE＝CF＝6，
∴BC＝BE+EC＝6+8＝14．
22．解：（1）如图1，△ADE为所作；
（2）如图2，∠BDF为所作．
23．证明：（1）∵∠C＝90°，∠BAP＝90°，
∴∠CBO+∠BOC＝90°，∠ABP+∠APB＝90°，
又∵∠CBO＝∠ABP，
∴∠BOC＝∠APB，
∵∠BOC＝∠AOP，
∴∠AOP＝∠APB，
∴AP＝AO，
∴△AOP是等腰三角形；
（2）证明：如图，过点O作OD⊥AB于D，
∵∠CBO＝∠ABP，OC⊥BC，OD⊥BA，
∴CO＝DO，
∵AE＝OC，
∴AE＝OD，
∵∠AOD+∠OAD＝90°，∠PAE+∠OAD＝90°，
∴∠AOD＝∠PAE，
在△AOD和△PAE中，
∴△AOD≌△PAE（SAS），
∴∠AEP＝∠ADO＝90°，
∴PE⊥AO．
24．解：连接AD，
∵在△ADC和△BDC中，
∴△ADC≌△BDC（SSS），
∴∠ACD＝∠BCD，
∵∠BAC＝∠ABC＝∠ACB，
∴∠ACB＝60°，
∴∠BCD＝30°，
在△BDF和△BDC中，
∴△BFD≌△BCD（SAS），
∴∠BFD＝∠BCD＝30°．
25．解：（1）证明：∵△ABE为等边三角形，
∴AB＝BE，∠ABE＝60°．
而∠MBN＝60°，
∴∠ABM＝∠EBN．
在△AMB与△ENB中，
∵，
∴△AMB≌△ENB（SAS）．
（2）连接MN．由（1）知，AM＝EN．
∵∠MBN＝60°，BM＝BN，
∴△BMN为等边三角形．
∴BM＝MN．
∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．
∴当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小．
此时，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；
∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°；
∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°．
（3）由（2）知，△ABC的费马点在线段EC上，同理也在线段BF上．
因此线段EC与BF的交点即为△ABC的费马点．