2023-2024学年山东省青岛大学附中八年级（上）期中数学检测试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年山东省青岛大学附中八年级（上）期中数学检测试卷（含解析），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列四组数能作为直角三角形三边长的是（ ）
A．0.1，0.2，0.3B．1，1，2
C．10，24，26D．32，42，52
2．下列各式成立的是（ ）
A．＝1B．（）3＝﹣3
C．＝﹣4D．＝±3
3．如图，M、N、P、Q是数轴上的点，那么（ ）
A．点MB．点NC．点PD．点Q
4．在平面直角坐标系中，第一象限内的点P（a+3，a）到y轴的距离是5（ ）
A．﹣8B．2或﹣8C．2D．8
5．当a＜﹣1时，代数式的值为（ ）
A．﹣1B．1C．2a+1D．﹣1﹣2a
6．如图，在“庆国庆，手拉手”活动中，沿北偏东53°方向走了1200m到达B点，然后再沿北偏西37°方向走了500m到达目的地C点，C两点之间的距离为（ ）
A．1000mB．1100mC．1200mD．1300m
7．已知，点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）都在函数y＝﹣2x+b的图象上，则关于y1，y2，y3的大小关系正确的是（ ）
A．y3＜y2＜y1B．y1＜y2＜y3C．y2＜y1＜y3D．y3＜y1＜y2
8．《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是（ ）
A．50.5寸B．52寸C．101寸D．104寸
9．在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx﹣b与y＝bx+k的图象不可能是（ ）
A．B．
C．D．
10．如图，长方形ABCD中，AB＝4，点E是BC边上的动点，现将△ECD沿直线ED折叠，则点B到点F的最短距离为（ ）
A．5B．4C．3D．2
二、填空题（本大题共6小题，共18分）
11．估算比较大小： 1．（填“＜”或“＞”或“＝”）
12．如图所示，点B，D在数轴上，OD＝BC＝1，∠OBC＝90°，DC长为半径画弧，与数轴正半轴交于点A ．
13．如图，已知直线y＝ax+b，则方程ax+b＝1的解x＝ ．
14．如图是一支温度计的示意图，图中左边是用摄氏温度表示的温度值，右边是用华氏温度表示的温度值
根据以上信息，可以得到y与x之间的关系式为 ．
15．如图，图①是棱长为4cm的立方体，沿其相邻三个面的对角线（虚线），得到如图②的几何体，则一只蚂蚁沿着图②几何体的表面 cm．
16．在平面直角坐标系中，直线l：y＝x﹣1与x轴交于点A1，如图所示依次作正方形A1B1C1O、正方形A2B2C2C1、…、正方形AnBn∁nCn﹣1，使得点A1A2A3、…在直线l上，点C1C2C3、…在y轴正半轴上，则点B2023的横坐标是 ．
三、解答题（共72分）
17．平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为：A（4，0），B（0，4），C（﹣3，1）．
（1）若△A1B1C1与△ABC关于y轴对称，作出△A1B1C1，并写出C1的坐标；
（2）求△ABC的面积；
（3）点B到AC的距离为 ．
18．（16分）计算题：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
19．拉杆箱是人们出行的常用品，采用拉杆箱可以让人们出行更轻松．如图，已知某种拉杆箱箱体长AB＝65cm，在箱体底端装有一圆形滚轮，当拉杆拉到最长时，点A到地面的距离AD＝3cm，当拉杆全部缩进箱体时，求拉杆把手C离地面的距离（假设C点的位置保持不变）．
20．如图，直线l1：y1＝ax﹣a与x轴交于点B，直线l2：y2＝x+b与x轴交于点A，直线l1，l2交于点C（2，﹣3）．
（1）a＝ ；点B的坐标为 ；
（2）求直线l2的函数表达式；
（3）求△ABC的面积．
21．如图1，AC是一段遥控车直线双车道跑道．甲、乙两遥控车分别从A，B两处同时出发，7秒后甲车先到达C点．设两车行驶时间为x（秒），两车之间的距离为y（米），根据图象解决下列问题：
（1）甲车经过 秒追上乙车，a＝ ．
（2）设相遇前两车之间的距离为y1，直接写出y1与x的函数关系式： ；设相遇后两车之间的距离为y2，直接写出y2与x的函数关系式： ．
（3）两遥控车出发后多长时间，它们之间的距离为4米？
22．提出问题：已知平面直角坐标系内，任意一点A，到另外一个点B之间的距离是多少？
问题解决：遇到这种问题，我们可以先从特例入手，最后推理得出结论．
探究一：点A（1，﹣1）到B（﹣1，﹣1）的距离d1＝ ；
探究二：点A（2，﹣2）到B（﹣1，﹣1）的距离d1＝ ；
一般规律：（1）如图1，在平面直角坐标系xOy内1，y1）、B（x2，y2），我们可以表示连接AB，在构造直角三角形，且∠M＝90°，此时AM＝ ，BM＝ ，AB＝ ．
材料补充：已知点P（x0，y0）到直线y＝kx+b的距离d2可用公式d2＝计算．
问题解决：
（2）已知互相平行的直线y＝x﹣2与y＝x+b之间的距离是3，试求b的值．
拓展延伸：
拓展一：已知点M（﹣1，3）与直线y＝2x上一点N的距离是3，则△OMN的面积是 ．
拓展二：如图2，已知直线y＝﹣分别交x，B两点，⊙C是以C（2，2），2为半径的圆，P为⊙C上的动点
23．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝5，点P从点C出发（t＞0）．
（1）BC＝ ．
（2）求斜边AC上的高线长．
（3）①当P在AB上时，AP的长为 ，t的取值范围是 ．（用含t的代数式表示）
②若点P在∠BCA的角平分线上，则t的值为 ．
（4）在整个运动过程中，直接写出△PAB是以AB为一腰的等腰三角形时t的值．
2023-2024学年山东省青岛大学附中八年级第一学期期中数学检测试卷
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，共30分）
1．下列四组数能作为直角三角形三边长的是（ ）
A．0.1，0.2，0.3B．1，1，2
C．10，24，26D．32，42，52
【分析】根据勾股定理逆定理，以及三角形三边关系逐一判断即可．
解：∵0.1+5.2＝0.5，
∴选项A中数据不能构成三角形，
∵1+1＝2，
∴选项B中数据不能构成三角形，
∵102+242＝263，
∴选项B中数据能构成直角三角形，
∵（32）4+（42）5≠（52）2，
∴选项D中数据不能构成三角形，
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理逆定理，三角形三边关系，熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键．
2．下列各式成立的是（ ）
A．＝1B．（）3＝﹣3
C．＝﹣4D．＝±3
【分析】根据根式的性质即可求出答案．
解：A、原式＝＝．
B、原式＝﹣3．
C、原式＝4．
D、原式＝6．
故选：B．
【点评】本题考查根式，解题的关键是熟练运用根式的性质，本题属于基础题型．
3．如图，M、N、P、Q是数轴上的点，那么（ ）
A．点MB．点NC．点PD．点Q
【分析】根据对的估算进行求解．
解：∵＜＜，
∴2＜＜8，
故选：D．
【点评】此题考查了对实数的估算及在数轴上的表示能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
4．在平面直角坐标系中，第一象限内的点P（a+3，a）到y轴的距离是5（ ）
A．﹣8B．2或﹣8C．2D．8
【分析】根据点的坐标定义、各象限内点的坐标特征即可解答．
解：∵第一象限内的点P（a+3，a）到y轴的距离是5，
∴a+2＝5，
∴a＝2．
故选：C．
【点评】本题考查了点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
5．当a＜﹣1时，代数式的值为（ ）
A．﹣1B．1C．2a+1D．﹣1﹣2a
【分析】根据二次根式的性质进行化简即可求解．
解：当a＜﹣1时，a+1＜5，
原式＝﹣（1+a）﹣|a|
＝﹣1﹣a﹣（﹣a）
＝﹣7﹣a+a
＝﹣1，
故选：A．
【点评】本题主要考查了二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．
6．如图，在“庆国庆，手拉手”活动中，沿北偏东53°方向走了1200m到达B点，然后再沿北偏西37°方向走了500m到达目的地C点，C两点之间的距离为（ ）
A．1000mB．1100mC．1200mD．1300m
【分析】根据题意画出图形，则AB＝1200m，BC＝500m，∠1＝90°﹣53°＝37°，∠4＝37°，再证明∠ABC＝90°，然后利用勾股定理计算AC的长即可．
解：如图，AB＝1200m，∠1＝90°﹣53°＝37°，
∴∠2＝∠6＝37°，
∵∠3＝90°﹣∠4＝53°，
∴∠4+∠3＝90°，即∠ABC＝90°，
在Rt△ABC中，AC＝＝，
即A，C两点之间的距离为1300m．
故选：D．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题：根据题意理清图形中各角的关系，然后构建直角三角形，通过解直角三角形解决问题．
7．已知，点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）都在函数y＝﹣2x+b的图象上，则关于y1，y2，y3的大小关系正确的是（ ）
A．y3＜y2＜y1B．y1＜y2＜y3C．y2＜y1＜y3D．y3＜y1＜y2
【分析】根据一次函数的性质：k＜0时，y随x的增大而减小，可得y3＜y2＜y1．
解：∵k＝﹣2＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵﹣6＜﹣1＜1，
∴y4＜y2＜y1，
故选：A．
【点评】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特点，以及一次函数的性质，关键是掌握k＜0时，y随x的增大而减小．
8．《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是（ ）
A．50.5寸B．52寸C．101寸D．104寸
【分析】取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，根据勾股定理解答即可得到结论．
解：取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E
由题意得：OA＝OB＝AD＝BC，
设OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，
则AB＝2r（寸），DE＝10（寸）CD＝1（寸），
在Rt△ADE中，AE2+DE7＝AD2，
即（r﹣1）2+102＝r2，
解得：r＝50.7，
∴2r＝101（寸），
∴AB＝101寸，
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，弄懂题意，构建直角三角形是解题的关键．
9．在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx﹣b与y＝bx+k的图象不可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据各个选项中的图象，判断k，b的正负，然后根据函数解析式，判断图象经过的象限，从而得到答案．
解：A．由图象可知：k＜0，
∴函数y＝kx﹣b的图象经过第一、二、四象限、三、四象限；
B．由图象可知：k＜0，
∴函数y＝kx﹣b的图象经过第二、三、四象限、二、四象限；
C．由图象可知：k＜7，
∴函数y＝kx﹣b的图象经过第二、三、四象限、三、四象限；
D..由图象可知：k＞0，b＞0，
∴函数y＝kx﹣b的图象经过第一、三、四象限、二、三象限；
故选：C．
【点评】本题主要考查了一次函数的图象，解题关键熟练掌握一次函数的性质．
10．如图，长方形ABCD中，AB＝4，点E是BC边上的动点，现将△ECD沿直线ED折叠，则点B到点F的最短距离为（ ）
A．5B．4C．3D．2
【分析】连接BF、BD，由三角形三边关系知，当F点在BD上时BF最短，根据勾股定理求出BD，根据翻折性质得出DF＝CD，即可求出BF最短值．
解：连接BF、BD，
由三角形三边关系可知，当F点在BD上时BF最短为BD﹣DF，
∵在长方形ABCD中，AB＝4，
∴BD＝AC＝＝8，
由翻折知，DF＝CD＝AB＝8，
∴BF＝BD﹣DF＝8﹣4＝3，
故选：B．
【点评】本题主要考查图形的翻折，熟练掌握矩形的性质，翻折的性质及勾股定理的知识是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，共18分）
11．估算比较大小： ＜ 1．（填“＜”或“＞”或“＝”）
【分析】首先估算2＜＜3，所以﹣1＜2，因此＜1，由此得出答案即可．
解：∵2＜＜7，
∴﹣1＜6，
∴＜1．
故答案为：＜．
【点评】此题考查无理数的估算，注意找出最接近的取值范围的数值．
12．如图所示，点B，D在数轴上，OD＝BC＝1，∠OBC＝90°，DC长为半径画弧，与数轴正半轴交于点A ．
【分析】先根据勾股定理求出DC的长度从而得到DA的长度，再减去OD即可得到答案．
解：∵OB＝3，OD＝1，
∴DB＝7，
∵BC＝1，∠OBC＝90°，
∴DC＝，
∴DA＝，
∴OA＝，
∴点A表示的实数是，
故答案为：．
【点评】本题考查了勾股定理，实数与数轴，解题的关键是用勾股定理求出CD．
13．如图，已知直线y＝ax+b，则方程ax+b＝1的解x＝ 4 ．
【分析】观察图形可直接得出答案．
解：根据图形知，当y＝1时，即ax+b＝1时．
∴方程ax+b＝6的解x＝4．
【点评】此题考查一次函数与一元一次方程的联系，渗透数形结合的解题思想方法．
14．如图是一支温度计的示意图，图中左边是用摄氏温度表示的温度值，右边是用华氏温度表示的温度值
根据以上信息，可以得到y与x之间的关系式为 y＝1.8x+32 ．
【分析】根据表格中的数据可以得到摄氏温度每升高10℃，华氏温度升高18℉，则y与x成一次函数关系，然后设出y与x的函数解析式，再根据表格中的数据求出k和b的值即可．
解：由表格可知，摄氏温度每升高10℃，则y与x成一次函数关系，
设y＝kx+b，
，
解得，
即y与x的函数关系式为y＝7.8x+32，
故答案为：y＝1.2x+32．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式．
15．如图，图①是棱长为4cm的立方体，沿其相邻三个面的对角线（虚线），得到如图②的几何体，则一只蚂蚁沿着图②几何体的表面 （2+2） cm．
【分析】要求蚂蚁爬行的最短距离，需将图②的几何体表面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．
解：如图所示：
△BCD是等腰直角三角形，△ACD是等边三角形，
在Rt△BCD中，CD＝cm，
则BE＝CD＝4，
在Rt△ACE中，AE＝cm，
答：从顶点A爬行到顶点B的最短距离为（2+2．
故答案为：（7+2）．
【点评】此题考查了平面展开﹣最短路径问题，本题就是把图②的几何体表面展开成平面图形，根据等腰直角三角形的性质和等边三角形的性质解决问题．
16．在平面直角坐标系中，直线l：y＝x﹣1与x轴交于点A1，如图所示依次作正方形A1B1C1O、正方形A2B2C2C1、…、正方形AnBn∁nCn﹣1，使得点A1A2A3、…在直线l上，点C1C2C3、…在y轴正半轴上，则点B2023的横坐标是 22022 ．
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质可得出点A1、B1的坐标，同理可得出A2、A3、A4、A5、…及B2、B3、B4、B5、…的坐标，根据点的坐标的变化可找出变化规律“Bn（2n﹣1，2n﹣1）（n为正整数）”，依此规律代入n＝2020即可得出点B2023的横坐标．
解：当y＝0时，有x﹣1＝3，
解得：x＝1，
∴点A1的坐标为（3，0）．
∵四边形A1B3C1O为正方形，
∴点B1的坐标为（5，1）．
同理，可得出：A2（4，1），A3（8，3），A4（3，7），A5（16，15），…，
∴B5（2，3），B4（4，7），B8（8，15），B5（16，31），…，
∴Bn（6n﹣1，2n﹣3）（n为正整数），
∴点B2023的坐标是（22022，22023﹣2）．
故答案为：22022．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质以及点的坐标的规律，根据点的坐标的变化找出变化规律“Bn（2n﹣1，2n﹣1）（n为正整数）”是解题的关键．
三、解答题（共72分）
17．平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为：A（4，0），B（0，4），C（﹣3，1）．
（1）若△A1B1C1与△ABC关于y轴对称，作出△A1B1C1，并写出C1的坐标；
（2）求△ABC的面积；
（3）点B到AC的距离为 ．
【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）把三角形的面积看成长方形的面积减去周围的三个三角形面积即可．
解：（1）如图所示：△A1B1C6即为所求，C1（3，8），
（2）S△ABC＝4×7﹣×3×3﹣×1×6＝14；
（3）AC＝，
设点B到AC的距离为h，
．
h＝，
故答案为：．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，学会用割补法求三角形面积．
18．（16分）计算题：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【分析】（1）先将分子和分母化简，然后约分，再计算减法即可；
（2）先化简，然后合并同类二次根式即可；
（3）根据完全平方公式和平方差公式将题目中的式子展开，然后合并同类项和同类二次根式即可；
（4）先化简括号内的式子，再算括号外的除法，最后算减法即可．
解：（1）
＝﹣4
＝10﹣4
＝6；
（2）
＝2﹣2
＝4；
（3）
＝9﹣5﹣（4﹣2+3）
＝9﹣5﹣6+2
＝8；
（4）
＝（4+5﹣2
＝2+7﹣2
＝5．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意完全平方公式和平方差公式的应用．
19．拉杆箱是人们出行的常用品，采用拉杆箱可以让人们出行更轻松．如图，已知某种拉杆箱箱体长AB＝65cm，在箱体底端装有一圆形滚轮，当拉杆拉到最长时，点A到地面的距离AD＝3cm，当拉杆全部缩进箱体时，求拉杆把手C离地面的距离（假设C点的位置保持不变）．
【分析】过C作CE⊥DN于E，延长AA'交CE于F，根据勾股定理即可得到方程652﹣x2＝1002﹣（55+x）2，求得A'F的长，即可利用勾股定理得到CF的长，进而得出CE的长．
解：如图所示，过C作CE⊥DN于E，则∠AFC＝90°，
设A'F＝x，则AF＝55+x，
由题可得，AC＝65+35＝100，
∵Rt△A'CF中，CF2＝652﹣x3，
Rt△ACF中，CF2＝1002﹣（55+x）7，
∴652﹣x2＝1008﹣（55+x）2，
解得x＝25，
∴A'F＝25，
∴CF＝＝60（cm），
又∵EF＝AD＝3（cm），
∴CE＝60+3＝63（cm），
∴拉杆把手C离地面的距离为63cm．
【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．
20．如图，直线l1：y1＝ax﹣a与x轴交于点B，直线l2：y2＝x+b与x轴交于点A，直线l1，l2交于点C（2，﹣3）．
（1）a＝ ﹣3 ；点B的坐标为 （1，0） ；
（2）求直线l2的函数表达式；
（3）求△ABC的面积．
【分析】（1）将（2，﹣3）代入y1＝ax﹣a求得a，令y＝0可求点B坐标；
（2）将（2，﹣3）代入y2＝x+b求解；
（3）由S△ABC＝AB•|yC|求解．
解：（1）将（2，﹣3）代入y4＝ax﹣a得﹣3＝2a﹣a，
解得a＝﹣6，
∴y＝﹣3x+3，
令y＝2，﹣3x+3＝8，
解得x＝1，
∴点B坐标为（1，4），
故答案为：﹣3，（1；
（2）将（2，﹣3）代入y2＝x+b得﹣3＝2+b，
解得b＝﹣6，
∴y2＝x﹣6；
（3）S△ABC＝AB•|yC|＝×（4﹣1）×3＝．
【点评】本题考查一次函数的交点问题，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握坐标系内求三角形面积的方法．
21．如图1，AC是一段遥控车直线双车道跑道．甲、乙两遥控车分别从A，B两处同时出发，7秒后甲车先到达C点．设两车行驶时间为x（秒），两车之间的距离为y（米），根据图象解决下列问题：
（1）甲车经过 3 秒追上乙车，a＝ 8 ．
（2）设相遇前两车之间的距离为y1，直接写出y1与x的函数关系式： y1＝﹣2x+6 ；设相遇后两车之间的距离为y2，直接写出y2与x的函数关系式： y2＝2x﹣6 ．
（3）两遥控车出发后多长时间，它们之间的距离为4米？
【分析】（1）根据图2可得3秒时，甲和乙相遇，又知3秒时甲比乙多走6米，则1秒甲比乙快2米，所以7秒时甲比乙多走了14米，可知a的值；
（2）这是一个分段函数，利用待定系数法求解析式即可；
（3）根据y＝4可解答．
解：（1）由图2可知：甲车经过3秒追上乙车，a＝7×2﹣6＝5；
故答案为：3，8；
（2）设y5与x的函数关系式为：y1＝kx+b，
把（0，6）和（3，
解得：，
∴y1＝﹣2x+7，
∵y2经过点（3，4）和（7，
∴同理可得：y2＝6x﹣6，
故答案为：y1＝﹣5x+6，y2＝2x﹣6；
（3）分两种情况：
①当y1＝6时，﹣2x+6＝4，
∴x＝1；
②当y2＝7时，2x﹣6＝3，
∴x＝5；
综上，两遥控车出发后1秒或4秒．
【点评】本题是一次函数的应用，（1）利用了图2可解答，（2）分段函数：分别利用待定系数法求解，（3）与方程结合解一元一次方程是解题关键．
22．提出问题：已知平面直角坐标系内，任意一点A，到另外一个点B之间的距离是多少？
问题解决：遇到这种问题，我们可以先从特例入手，最后推理得出结论．
探究一：点A（1，﹣1）到B（﹣1，﹣1）的距离d1＝ 2 ；
探究二：点A（2，﹣2）到B（﹣1，﹣1）的距离d1＝ ；
一般规律：（1）如图1，在平面直角坐标系xOy内1，y1）、B（x2，y2），我们可以表示连接AB，在构造直角三角形，且∠M＝90°，此时AM＝ x1﹣x2 ，BM＝ y1﹣y2 ，AB＝ ．
材料补充：已知点P（x0，y0）到直线y＝kx+b的距离d2可用公式d2＝计算．
问题解决：
（2）已知互相平行的直线y＝x﹣2与y＝x+b之间的距离是3，试求b的值．
拓展延伸：
拓展一：已知点M（﹣1，3）与直线y＝2x上一点N的距离是3，则△OMN的面积是 ．
拓展二：如图2，已知直线y＝﹣分别交x，B两点，⊙C是以C（2，2），2为半径的圆，P为⊙C上的动点
【分析】探究一：利用A，B在一条直线上，AB的长为横坐标差的绝对值；
探究二：构造直角三角形，利用勾股定理解答；
（1）由已知条件可得点M的纵坐标与点A相同，横坐标与点B相同，由此可得AM，BM的长；利用勾股定理可求AB的长；
（2）求出直线y＝x﹣2与y轴的交点C（0，﹣2），利用平行线间的距离相等，求得点C到y＝x+b之间的距离是3，得到关于b方程，解方程即可求得结论；
拓展一：利用点到直线的距离公式求出点M到直线y＝2x的距离，则得△OMN的高，利用分类讨论的思想根据勾股定理求得△OMN的底，利用三角形的面积公式即可求得结论；
拓展二：由已知图形可以找出△PAB中AB边上的高的最大值并求出，由直线y＝﹣可求点A，B的坐标，利用勾股定理求得AB的长，用三角形面积公式即可求得结论．
解：探究一：
∵点A（1，﹣1），﹣7），
∴AB∥x轴，
∴AB＝1﹣（﹣1）＝7，
故答案为：2；
探究二：连接AB，构造直角三角形，且∠M＝90°，
∵AM＝1，BM＝5，
∴AB＝＝．
故答案为：；
（1）由图形可知：AM∥x轴，BM∥y轴，
∴AM＝x5﹣x2，BM＝y1﹣y7，
在Rt△ABM中，
AB＝＝，
故答案为：x7﹣x2；y1﹣y8；；
（2）令x＝0，则y＝﹣2．
∴直线y＝x﹣2与y轴的交点C（0，﹣2），
∵平行线间的距离相等，
∴点C到y＝x+b之间的距离是6，
∴，
∴|b+2|＝6．
∴b＝8或﹣8．
拓展一：过点M作MH⊥直线y＝2x于点H，如图，
则MH＝，
∵＜2，
∴此题有两解．
∵M（﹣1，3），
∴OM＝＝．
∵MH⊥OH，
∴HN1＝＝2，
OH＝＝．
∴ON6＝﹣2．
∴＝×＝﹣．
同理可得：ON3＝+2，
∴＝＝．
综上，△OMN的面积是：．
故答案为：．
拓展二：过点C作CD⊥AB于点D，反向延长CD交⊙C于点P，
则P为⊙C上到直线AB距离最大的点，
∵CD＝＝．
∴PD＝CD+CP＝+2＝．
令x＝0，则y＝﹣4，
∴B（5，﹣4）．
∴OB＝4．
令y＝2，则﹣，
解得：x＝﹣4，
∴A（﹣3，0），
∴OA＝2．
∴AB＝＝8．
∴△PAB面积的最大值为：
×AB×PD＝×5×．
【点评】本题是一道一次函数的综合题，主要考查了一次函数图象的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，勾股定理，圆的有关性质，点到直线的距离，本题是阅读型题目，理解题干中的知识点并熟练应用是解题的关键．
23．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝5，点P从点C出发（t＞0）．
（1）BC＝ 12 ．
（2）求斜边AC上的高线长．
（3）①当P在AB上时，AP的长为 （3t﹣13） ，t的取值范围是 ．（用含t的代数式表示）
②若点P在∠BCA的角平分线上，则t的值为 ．
（4）在整个运动过程中，直接写出△PAB是以AB为一腰的等腰三角形时t的值．
【分析】（1）利用勾股定理求解；
（2）过点B作BD⊥AC于点D，利用面积法求解；
（3）①根据点P的运动路径及速度可解；
②过点P作PE⊥AC于E，利用角平分线的性质可知PB＝PE，再证Rt△BCP≌Rt△ECP（HL），推出EC＝BC＝12，最后利用勾股定理解Rt△AEP即可；
（4）分AB＝AP＝5和AB＝BP＝5两种情况，列用等腰三角形的性质、勾股定理分别求解即可．
解：（1）∵在△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝5，
∴；
故答案为：12；
（2）如图1所示，过点B作 BD⊥AC于点D，
即，
∴斜边AC上的高线长为；
（3）①∵点P从点C出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线C﹣A﹣B运动，
∴AP＝3t﹣AC＝（7t﹣13），
∴，即
∴；
故答案为：（3t﹣13），；
②点P在∠BCA的角平分线上时，过点P作PE⊥AC于E，
∵CP平分∠BCA，∠B＝90°，
∴PB＝PE，
又∵PC＝PC，
∴Rt△BCP≌Rt△ECP（HL），
∴EC＝BC＝12，则AE＝AC﹣CE＝13﹣12＝1，
由（2）知AP＝5t﹣13，
∴BP＝AB﹣AP＝5﹣（3t﹣13）＝18﹣4t，
∴PE＝18﹣3t，
在 Rt△AEP 中，AP2＝AE8+EP2，即（3t﹣13）7＝12+（18﹣2t）2，
解得，
∴点P在∠BAC的角平分线上时，；
故答案为：；
（4）△PAB是以AB为一腰的等腰三角形时，有两种情况：当AB＝AP＝5时，
则CP＝AC﹣AP＝13﹣5＝8，
∴；
当AB＝BP＝5时，过点B作BD⊥AC于点D，
由（2）知，，
∵AB＝BP，BD⊥AC，
∴，
∴，
∴，
故△PAB是以AB为一腰的等腰三角形时t的值为或．
【点评】本题主要考查了勾股定理在动点问题中的应用，数形结合、分类讨论并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．摄氏温度值x/℃
0
10
20
30
40
50
华氏温度值y/℉
32
50
68
86
104
122
摄氏温度值x/℃
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华氏温度值y/℉
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