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吉林省名校调研2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷
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这是一份吉林省名校调研2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（4分）下列几组数中，不能作为三角形的三边长的是（ ）
A．6，6，6B．1，5，5C．3，4，5D．2，4，6
3．（4分）如图是由一副常规直角三角板摆放得到的图形，图中的∠ABF的度数为（ ）
A．30°B．15°C．60°D．25°．
4．（4分）如图，已知AB＝AC，不一定能使△ABD≌△ACD的条件是（ ）
A．∠1＝∠2
B．BD＝CD
C．∠B＝∠C
D．点B与点C关于AD所在的直线对称
5．（4分）如图，在正方形网格中有M，N两点，则点P应选在（ ）
A．A点B．B点C．C点D．D点
6．（4分）如图，△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（ ）
A．1.8B．2.2C．3.5D．3.8
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．（3分）点P（﹣6，﹣9）关于x轴对称的点P′的坐标是 ．
8．（3分）如图①是一把园林剪刀，把它抽象为图②，其中OA＝OB，则∠A＝ °．
9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE⊥AB于点E，AC＝9，则DE的长为 ．
10．（3分）如图，点E、C、F、B在一条直线上，EC＝BF，当添加条件 时，可由“角边角”判定△ABC≌△DEF．
11．（3分）如图，AC与BD交于点O，连接AB、CD，∠A＝∠C，若AC＝10cm则OA= cm．
12．（3分）如图，CA＝CB，AD＝BD，若△ADM的面积为，则图中阴影部分的面积为 ．
13．（3分）如图，等边△ABC的边长为2cm，D、E分别是AB、AC上的点，点A落在点A'处，且点A'在△ABC外部则阴影部分图形的周长为 cm．
14．（3分）如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，点C的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（1，4），则点A的坐标为 ．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．（5分）如图，已知点C、F、E、B在同一条直线上，DF⊥BC，DF＝AE，AB＝CD△CDF≌△BAE吗？说明理由
16．（5分）如图，这两个四边形关于某直线对称，根据图形的条件求x
17．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，CE∥AD交BA的延长线于点E，请说明△AEC是等腰三角形的理由．
18．（5分）一个多边形的每一个内角都相等，并且每个外角都等于与它相邻的内角的，求这个多边形的边数．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．（7分）如图，在△ABC中，BD是中线，使CE＝CD，若DB＝DE∠E=30°．求证：△ABC是等边三角形．
20．（7分）如图，在△ABC中，∠ACB＝3∠B，CE⊥AD于点E，若∠BAC＝60°．
（1）求∠ACB的度数；
（2）求∠DCE的度数．
21．（7分）如图，在6×8的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，请按下面要求完成画图．
（1）在图①中画一个△ABC，使点C在格点上，△ABC为轴对称图形；
（2）在图②中画一个与△ABD成轴对称，且顶点都在格点上的△ABE．
22．（7分）如图，线段AB与CF交于点E，点D为CE上一点，已知AD＝BC，∠1＝∠2．
（1）请添加一个条件 ，使△ADF≌△BCE，并说明理由．
（2）在（1）的条件下请探究AE与BE的数量关系，并说明理由．
五、解答题（每小题7分，共14分）
23．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC
（1）若∠A＝50°，求∠CBD的度数；
（2）若AE＝4.5，△CBD的周长为16，求BC的长．
24．（7分）如图，在△ABC和△ADE中，∠C＝∠E，∠1＝∠2，AD、BC相交于点F．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）若AB∥DE，∠D＝30°求∠AFB的度数．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．（10分）如图1．点E在BC的延长线上，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠EAD，AD＝AE，连接CD
（1）求证：∠DCE＝∠BAC；
（2）当∠BAC＝∠EAD＝30°，AD⊥AB时，如图2，AB交于点G，求证：△ACF是等腰三角形；
（3）在（2）的条件下，是否还存在除△ABC，如果存在，试将它们全都写出来．
26．（10分）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，以每秒2个单位长度的速度在射线AB上运动．点P出发后，连接CP，使∠DCP＝90°，连接BD．设点P的运动时间为t秒．
（1）△ABC的AB边上高为 ；
（2）求BP的长（用含t的式子表示）；
（3）就图中情形求证：△ACP≌△BCD；
（4）当BP：BD＝1：2时，直接写出t的值．
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4分，共24分）
1．（4分）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A，B，D选项中的图形都能找到一条或多条直线，直线两旁的部分能够互相重合；
C选项中的图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，所以不是轴对称图形；
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（4分）下列几组数中，不能作为三角形的三边长的是（ ）
A．6，6，6B．1，5，5C．3，4，5D．2，4，6
【分析】根据三角形的三边关系判断即可．
【解答】解：A、∵6+6＞6，
∴6，6，5能作为三角形的三边长；
B、∵1+5＞8，
∴1，5，4能作为三角形的三边长；
C、∵3+4＞5，
∴3，4，3能作为三角形的三边长；
D、∵2+4＝6，
∴2，4，7不能作为三角形的三边长；
故选：D．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边是解题的关键．
3．（4分）如图是由一副常规直角三角板摆放得到的图形，图中的∠ABF的度数为（ ）
A．30°B．15°C．60°D．25°．
【分析】由题意可得∠DAE＝45°，由三角形的外角性质即可求∠ABF．
【解答】解：由题意得：∠DAE＝45°，
∵∠F＝30°，∠DAE是△ABF的外角，
∴∠ABF＝∠DAE﹣∠F＝45°﹣30°＝15°．
故选：B．
【点评】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是明确三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和．
4．（4分）如图，已知AB＝AC，不一定能使△ABD≌△ACD的条件是（ ）
A．∠1＝∠2
B．BD＝CD
C．∠B＝∠C
D．点B与点C关于AD所在的直线对称
【分析】根据全等三角形的判定方法，逐一进行判断即可．
【解答】解：由题意和图，可知：AB＝AC；
A、∠1＝∠2，不符合题意；
B、BD＝CD，不符合题意；
C、∠B＝∠C，符合题意；
D、点B与点C关于AD所在的直线对称，利用SSS可证△ABD≌△ACD；
故选：C．
【点评】本题考查全等三角形的判定，轴对称的性质．熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键．
5．（4分）如图，在正方形网格中有M，N两点，则点P应选在（ ）
A．A点B．B点C．C点D．D点
【分析】首先求得点M关于直线l的对称点M′，连接M′N，即可求得答案．
【解答】解：如图，点M′是点M关于直线l的对称点，则M′N与直线l的交点，此时PM+PN最短，
∵M′N与直线l交于点C，
∴点P应选C点．
故选：C．
【点评】此题考查了轴对称﹣最短路径问题．注意首先作出其中一点关于直线l的对称点，对称点与另一点的连线与直线l的交点就是所要找的点．
6．（4分）如图，△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，点P是BC边上的动点则AP长不可能是（ ）（ ）
A．1.8B．2.2C．3.5D．3.8
【分析】根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC，再根据垂线段最短求出AP的最小值，然后得到AP的取值范围，从而得解．
【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝4，
∴AC＝AB＝，
∵点P是BC边上的动点，
∴2＜AP＜4，
∴AP的值不可能是1.7．
故选：A．
【点评】本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，垂线段最短，熟记性质并求出AP的取值范围是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．（3分）点P（﹣6，﹣9）关于x轴对称的点P′的坐标是 （﹣6，9） ．
【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答．
【解答】解：点P（﹣6，﹣9）关于x轴对称的点P′的坐标是（﹣2．
故答案为：（﹣6，9）．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
8．（3分）如图①是一把园林剪刀，把它抽象为图②，其中OA＝OB，则∠A＝ 70 °．
【分析】由等腰三角形的性质可得∠A＝∠B，利用对顶角的性质可求∠AOB＝40°，再根据三角形的内角和定理可求解．
【解答】解：∵OA＝OB，
∴∠A＝∠B，
∵∠AOB＝40°，∠AOB+∠A+∠B＝180°，
∴∠A＝70°，
故答案为：70．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，掌握等腰三角形的性质是解题的恶关键．
9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE⊥AB于点E，AC＝9，则DE的长为 4 ．
【分析】由线段的和差关系可得CD的长，再根据角平分线的性质可得答案．
【解答】解：∵AC＝9，AD＝5，
∴CD＝7，
∵∠ACB＝90°，
∴DC⊥BC，
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，
∴DE＝CD＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
10．（3分）如图，点E、C、F、B在一条直线上，EC＝BF，当添加条件 ∠E＝∠B（答案不唯一） 时，可由“角边角”判定△ABC≌△DEF．
【分析】用“边角边”证明两个三角形全等，已知条件给出两组边相等，因此只需要添加一组对应角相等即可．
【解答】解：∵EC＝BF，
∴EF+CF＝BF+CF，
∴EF＝BC，
∵AC∥DF，
∠ACB＝∠EFD，
∴用“角边角”证明△ABC≌△DEF，
∴需要添加条件是：∠E＝∠B．
故答案为：∠E＝∠B（答案不唯一）．
【点评】本题考查的是三角形全等的判定，理解“角边角”定理是解题的关键．
11．（3分）如图，AC与BD交于点O，连接AB、CD，∠A＝∠C，若AC＝10cm则OA= 5 cm．
【分析】由“AAS”可证△AOB≌△COD，可得OA＝OC，即可求解．
【解答】解：在△AOB和△COD中，
，
∴△AOB≌△COD（AAS），
∴OA＝OC，
∵AC＝10cm，
∴OA＝5（cm），
故答案为：5．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
12．（3分）如图，CA＝CB，AD＝BD，若△ADM的面积为，则图中阴影部分的面积为 3 ．
【分析】连接CD，利用SSS证明△ACD≌△BCD，根据全等三角形的性质及三角形面积公式求解即可．
【解答】解：如图，连接CD，
在△ACD和△BCD中，
，
∴△ACD≌△BCD（SSS），
∴S△ACD＝S△BCD，
∵M、N分别是CA，
∴S△ADM＝S△CDM＝S△ACD，S△BDN＝S△CDN＝S△BCD，
∴阴影部分的面积＝2S△ADM，
∵△ADM的面积为，
∴阴影部分的面积＝2×＝3，
故答案为：6．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键．
13．（3分）如图，等边△ABC的边长为2cm，D、E分别是AB、AC上的点，点A落在点A'处，且点A'在△ABC外部则阴影部分图形的周长为 6 cm．
【分析】由将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处，根据折叠的性质，即可得AD＝A′D，AE＝A′E，又由等边三角形ABC的边长为2cm，易得阴影部分图形的周长为：BD+A′D+BC+A′E+EC＝BD+AD+BC+AE+EC＝AB+BC+AC，则可求得答案．
【解答】解：∵等边三角形ABC的边长为2cm，
∴AB＝BC＝AC＝2cm，
∵△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处，
∴AD＝A′D，AE＝A′E，
∴阴影部分图形的周长为：BD+A′D+BC+A′E+EC＝BD+AD+BC+AE+EC＝AB+BC+AC＝5+2+2＝4（cm）．
故答案为：6．
【点评】此题考查了折叠的性质与等边三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用，注意掌握折叠前后图形的对应关系．
14．（3分）如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，点C的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（1，4），则点A的坐标为 （﹣6，3） ．
【分析】作AE⊥x轴于点E，BF⊥x轴于点F，则∠AEC＝∠CFB＝∠ACB＝90°，所以∠ACE＝∠CBF＝90°﹣∠BCF，即可证明△ACE≌△CBF，得CE＝BF＝4，AE＝CF＝3，所以OE＝6，则A（﹣6，3）．
【解答】解：作AE⊥x轴于点E，BF⊥x轴于点F，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACE＝∠CBF＝90°﹣∠BCF，
在△ACE和△CBF中，
，
∴△ACE≌△CBF（AAS），
∵C（﹣2，0），7），
∴CE＝BF＝4，AE＝CF＝1﹣（﹣3）＝3，
∴OE＝CE+OC＝4+8＝6，
∴点A的坐标是（﹣6，3），
故答案为：（﹣6，3）．
【点评】此题重点考查图形与坐标、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线并且证明△ACE≌△CBF是解题的关键．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．（5分）如图，已知点C、F、E、B在同一条直线上，DF⊥BC，DF＝AE，AB＝CD△CDF≌△BAE吗？说明理由
【分析】根据全等三角形的判定定理HL即可得出△CDF≌△BAE．
【解答】解：△CDF≌△BAE．理由如下：
∵DF⊥BC，AE⊥BC，
∴∠DFC＝∠AEB＝90°，
在Rt△CDF与Rt△BAE中，
，
∴Rt△CDF≌Rt△RAE（HL）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
16．（5分）如图，这两个四边形关于某直线对称，根据图形的条件求x
【分析】两个图形关于某直线对称，则对应的角相等，对应的边相等；首先根据∠A＝∠G＝120°，∠D＝∠H＝100°，确定点C与点E是对应点，点B与点F是对应点，据此可求出x、y的值．
【解答】解：∵两个四边形关于某直线对称，
∴∠F＝∠B＝70°，EF＝BC＝4，
即x＝70°，y＝4．
【点评】此题主要考查了轴对称的性质，掌握轴对称图形对称轴两边的图形能完全重合是解题的关键．
17．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，CE∥AD交BA的延长线于点E，请说明△AEC是等腰三角形的理由．
【分析】根据等腰三角形的性质和判定定理以及平行线的性质即可得到结论．
【解答】证明：∵AB＝AC，AD是中线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵CE∥AD，
∴∠BAD＝∠E，
∠DAC＝∠ACE，
∴∠E＝∠ACE，
∴AC＝AE，
∴△AEC是等腰三角形．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键．
18．（5分）一个多边形的每一个内角都相等，并且每个外角都等于与它相邻的内角的，求这个多边形的边数．
【分析】根据正多边形的一个内角与一个外角的和为180°，一个外角等于与它相邻的内角的，列出方程组，从而求得外角的度数，最后根据任意正多边形的外角和是360°求解即可．
【解答】解：设这个多边形的一个内角为x，则外角为x．
根据题意得：x+，x＝180°．
解得：x＝108°，
x＝72°，
360°÷72°＝5．
答：这个多边形的边数为5．
【点评】本题主要考查的是多边形的内角与外角，根据题意列出方程组是解题的关键．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．（7分）如图，在△ABC中，BD是中线，使CE＝CD，若DB＝DE∠E=30°．求证：△ABC是等边三角形．
【分析】根据等腰三角形的性质，得到∠DBC＝∠E＝30°，∠CDE＝∠E＝30°，可得∠BCD＝60°，求出∠BDC＝90°，根据线段垂直平分线的性质得到AB＝BC，从而求出∠A＝∠ACB＝60°＝∠ABC，即可证明．
【解答】证明：∵DB＝DE，
∴∠DBC＝∠E＝30°，
∵CE＝CD，
∴∠CDE＝∠E＝30°，
∴∠BCD＝∠CDE+∠E＝60°，
∴∠BDC＝90°，
∵BD是中线，
∴AB＝BC，
∴∠A＝∠ACB＝60°，
∴∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
【点评】本题考查了等边三角形的判定：三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形．也考查了等腰三角形的性质．
20．（7分）如图，在△ABC中，∠ACB＝3∠B，CE⊥AD于点E，若∠BAC＝60°．
（1）求∠ACB的度数；
（2）求∠DCE的度数．
【分析】（1）根据三角形内角和定理求得∠ACB+∠B，再由∠ACB＝3∠B，求得∠ACB；
（2）根据角平分线定义求得∠CAD，由三角形内角和定理求得∠ACE，进而由角的和差求得结果．
【解答】解：（1）∵∠ACB+∠B+∠BAC＝180°，∠BAC＝60°，
∴∠ACB+∠B＝120°，
∵∠ACB＝3∠B，
∴∠B＝30°，∠ACB＝90°；
（2）∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠CAB＝30°，
∵CE⊥AD，
∴∠ACE＝90°﹣∠CAD＝60°，
∴∠DCE＝∠ACB﹣∠ACE＝30°．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线定义，关键是根据三角形的内角和定理求得∠ACB的度数．
21．（7分）如图，在6×8的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，请按下面要求完成画图．
（1）在图①中画一个△ABC，使点C在格点上，△ABC为轴对称图形；
（2）在图 ②中画一个与△ABD成轴对称，且顶点都在格点上的△ABE．
【分析】（1）以AB为腰，作等腰三角形ABC即可．
（2）作以AB为对角线的正方形ADBE即可．
【解答】解：（1）如图①，△ABC即为所求．
（2）如图②，△ABE即为所求．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，熟练掌握轴对称图形的性质是解答本题的关键．
22．（7分）如图，线段AB与CF交于点E，点D为CE上一点，已知AD＝BC，∠1＝∠2．
（1）请添加一个条件 CE＝DF ，使△ADF≌△BCE，并说明理由．
（2）在（1）的条件下请探究AE与BE的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）由SAS可得出结论；
（2）由全等三角形的性质得出∠F＝∠CEB，AF＝BE，证出∠AEF＝∠F，得出AE＝AF，则可得出结论．
【解答】解：（1）添加CE＝DF，△ADF≌△BCE，
理由：在△ADF和△BCE中，
，
∴△ADF≌△BCE（SAS）；
（2）AE＝BE．
理由：∵△ADF≌△BCE，
∴∠F＝∠CEB，AF＝BE，
∵∠AEF＝∠CEB，
∴∠AEF＝∠F，
∴AE＝AF，
∴AE＝BE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法并找出全等的条件是解题的关键．
五、解答题（每小题7分，共14分）
23．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC
（1）若∠A＝50°，求∠CBD的度数；
（2）若AE＝4.5，△CBD的周长为16，求BC的长．
【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠ABC＝∠C＝65°，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，求出∠ABD的度数，计算即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式计算即可．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠A＝50°，
∴∠ABC＝∠C＝65°，
又∵DE垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴∠ABD＝∠A＝50°，
∴∠CBD＝15°；
（2）∵DE垂直平分AB，
∴DA＝DB，AE＝BE＝4.5，
∴DB+DC＝DA+DC＝AC，
又∵AB＝AC＝5，△CBD周长为16，
∴BC＝16﹣9＝5．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
24．（7分）如图，在△ABC和△ADE中，∠C＝∠E，∠1＝∠2，AD、BC相交于点F．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）若AB∥DE，∠D＝30°求∠AFB的度数．
【分析】（1）由AAS证明△ABC≌△ADE，即可得结论；
（2）由平行线的性质得∠1＝∠D＝40°，再由（1）可知，∠B＝∠D＝30°，然后由三角形内角和定理即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵∠1＝∠2，
∴∠2+∠CAD＝∠2+∠CAD，
∴∠CAB＝∠EAD，
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（AAS）；
（2）解：∵AB∥DE，
∴∠1＝∠D＝30°，
由（1）可知，∠B＝∠D＝30°，
∴∠AFB＝180°﹣∠3﹣∠B＝180°﹣30°﹣30°＝120°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质以及三角形内角和定理等知识，掌握三角形全等的判定与性质是解题的关键．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．（10分）如图1．点E在BC的延长线上，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠EAD，AD＝AE，连接CD
（1）求证：∠DCE＝∠BAC；
（2）当∠BAC＝∠EAD＝30°，AD⊥AB时，如图2，AB交于点G，求证：△ACF是等腰三角形；
（3）在（2）的条件下，是否还存在除△ABC，如果存在，试将它们全都写出来．
【分析】（1）证明△ACD≌△ABE，则∠ACD＝∠ABC，进而可证∠DCE＝∠BAC；
（2）AB⊥AD，易求出∠CAE，由（1）∠DCE＝∠BAC，根据等腰三角形性质，可求出∠ACF＝∠AFC，进而可证△ACF是等腰三角形；
（3）由（2）可分别求出∠AGD＝∠ADG，∠DCE＝∠CDE，∠DFE＝DEF，进而可得△ADG、△DEF、△ECD都是等腰三角形．
【解答】证明：（1）∵∠BAC＝∠EAD，
∴∠BAC+∠CAE＝∠EAD+∠CAE，
∴∠BAE＝∠CAD，
在△ACD和△ABE中，
，
∴△ACD≌△ABE（SAS），
∴∠ADC＝∠BEA，
∵∠DAE＝180°﹣（∠ADC+∠AFD），∠DCE＝180°﹣（∠CFE+∠BEA），∠AFD＝∠CFE，
∴∠DAE＝∠DCE，
∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠BAC＝∠DCE；
（2）∵∠BAC＝∠EAD＝30°
∴∠ABC＝∠ACB＝∠AED＝∠ADE＝75°
由（1）知，∠DCE＝∠BAC＝30°
∴∠ACD＝75°．
∵AD⊥AB，
∴∠BAD＝90°
∴∠CAE＝30°
∴∠AFC＝180°﹣30°﹣75°＝75°，
∴∠ACF＝∠AFC，
∴△ACF是等腰三角形；
（3）存在，△ADG、△ECD都是等腰三角形．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质等知识点，证明三角形的全等是解本题的关键，此类试题可看成是顶角相等的等腰三角形手拉手模型，解题时注意图形的变化，综合性较强，难度较大．
26．（10分）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，以每秒2个单位长度的速度在射线AB上运动．点P出发后，连接CP，使∠DCP＝90°，连接BD．设点P的运动时间为t秒．
（1）△ABC的AB边上高为 3 ；
（2）求BP的长（用含t的式子表示）；
（3）就图中情形求证：△ACP≌△BCD；
（4）当BP：BD＝1：2时，直接写出t的值．
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质解答即可；
（2）根据两种情况，利用线段之间关系得出代数式即可；
（3）根据SAS证明△ACP与△CBD全等即可；
（4）利用全等三角形的性质解得即可．
【解答】（1）解：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，
∴△ABC的AB边上高＝AB＝8，
故答案为：3；
（2）解：∵AB＝6，动点P从点A出发，
∴点P在线段AB上运动的时间为＝3（秒），
当2＜t≤3时，PB＝6﹣2t，
当t＞3时，PB＝2t﹣4；
（3）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，
∴AC＝BC，
∵∠PCD＝90°，CP＝CD，
∴∠ACP+∠PCB＝90°，∠PCB+∠BCD＝90°，
∴∠ACP＝∠BCD，
在△ACP与△CBD中，
，
∴△ACP≌△CBD（SAS）；
（4）解：∵△ACP≌△CBD，
∴AP＝BD，
当BP：BD＝1：2时，当4＜t≤3时，，
解得：t＝2，
当BP：BD＝1：8时，当t＞3时，，
解得：t＝6，
综上所述，t的值为2或8．
【点评】此题考查三角形的综合题，关键是根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质解答．
1．（4分）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（4分）下列几组数中，不能作为三角形的三边长的是（ ）
A．6，6，6B．1，5，5C．3，4，5D．2，4，6
3．（4分）如图是由一副常规直角三角板摆放得到的图形，图中的∠ABF的度数为（ ）
A．30°B．15°C．60°D．25°．
4．（4分）如图，已知AB＝AC，不一定能使△ABD≌△ACD的条件是（ ）
A．∠1＝∠2
B．BD＝CD
C．∠B＝∠C
D．点B与点C关于AD所在的直线对称
5．（4分）如图，在正方形网格中有M，N两点，则点P应选在（ ）
A．A点B．B点C．C点D．D点
6．（4分）如图，△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（ ）
A．1.8B．2.2C．3.5D．3.8
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．（3分）点P（﹣6，﹣9）关于x轴对称的点P′的坐标是 ．
8．（3分）如图①是一把园林剪刀，把它抽象为图②，其中OA＝OB，则∠A＝ °．
9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE⊥AB于点E，AC＝9，则DE的长为 ．
10．（3分）如图，点E、C、F、B在一条直线上，EC＝BF，当添加条件 时，可由“角边角”判定△ABC≌△DEF．
11．（3分）如图，AC与BD交于点O，连接AB、CD，∠A＝∠C，若AC＝10cm则OA= cm．
12．（3分）如图，CA＝CB，AD＝BD，若△ADM的面积为，则图中阴影部分的面积为 ．
13．（3分）如图，等边△ABC的边长为2cm，D、E分别是AB、AC上的点，点A落在点A'处，且点A'在△ABC外部则阴影部分图形的周长为 cm．
14．（3分）如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，点C的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（1，4），则点A的坐标为 ．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．（5分）如图，已知点C、F、E、B在同一条直线上，DF⊥BC，DF＝AE，AB＝CD△CDF≌△BAE吗？说明理由
16．（5分）如图，这两个四边形关于某直线对称，根据图形的条件求x
17．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，CE∥AD交BA的延长线于点E，请说明△AEC是等腰三角形的理由．
18．（5分）一个多边形的每一个内角都相等，并且每个外角都等于与它相邻的内角的，求这个多边形的边数．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．（7分）如图，在△ABC中，BD是中线，使CE＝CD，若DB＝DE∠E=30°．求证：△ABC是等边三角形．
20．（7分）如图，在△ABC中，∠ACB＝3∠B，CE⊥AD于点E，若∠BAC＝60°．
（1）求∠ACB的度数；
（2）求∠DCE的度数．
21．（7分）如图，在6×8的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，请按下面要求完成画图．
（1）在图①中画一个△ABC，使点C在格点上，△ABC为轴对称图形；
（2）在图②中画一个与△ABD成轴对称，且顶点都在格点上的△ABE．
22．（7分）如图，线段AB与CF交于点E，点D为CE上一点，已知AD＝BC，∠1＝∠2．
（1）请添加一个条件 ，使△ADF≌△BCE，并说明理由．
（2）在（1）的条件下请探究AE与BE的数量关系，并说明理由．
五、解答题（每小题7分，共14分）
23．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC
（1）若∠A＝50°，求∠CBD的度数；
（2）若AE＝4.5，△CBD的周长为16，求BC的长．
24．（7分）如图，在△ABC和△ADE中，∠C＝∠E，∠1＝∠2，AD、BC相交于点F．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）若AB∥DE，∠D＝30°求∠AFB的度数．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．（10分）如图1．点E在BC的延长线上，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠EAD，AD＝AE，连接CD
（1）求证：∠DCE＝∠BAC；
（2）当∠BAC＝∠EAD＝30°，AD⊥AB时，如图2，AB交于点G，求证：△ACF是等腰三角形；
（3）在（2）的条件下，是否还存在除△ABC，如果存在，试将它们全都写出来．
26．（10分）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，以每秒2个单位长度的速度在射线AB上运动．点P出发后，连接CP，使∠DCP＝90°，连接BD．设点P的运动时间为t秒．
（1）△ABC的AB边上高为 ；
（2）求BP的长（用含t的式子表示）；
（3）就图中情形求证：△ACP≌△BCD；
（4）当BP：BD＝1：2时，直接写出t的值．
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4分，共24分）
1．（4分）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A，B，D选项中的图形都能找到一条或多条直线，直线两旁的部分能够互相重合；
C选项中的图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，所以不是轴对称图形；
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（4分）下列几组数中，不能作为三角形的三边长的是（ ）
A．6，6，6B．1，5，5C．3，4，5D．2，4，6
【分析】根据三角形的三边关系判断即可．
【解答】解：A、∵6+6＞6，
∴6，6，5能作为三角形的三边长；
B、∵1+5＞8，
∴1，5，4能作为三角形的三边长；
C、∵3+4＞5，
∴3，4，3能作为三角形的三边长；
D、∵2+4＝6，
∴2，4，7不能作为三角形的三边长；
故选：D．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边是解题的关键．
3．（4分）如图是由一副常规直角三角板摆放得到的图形，图中的∠ABF的度数为（ ）
A．30°B．15°C．60°D．25°．
【分析】由题意可得∠DAE＝45°，由三角形的外角性质即可求∠ABF．
【解答】解：由题意得：∠DAE＝45°，
∵∠F＝30°，∠DAE是△ABF的外角，
∴∠ABF＝∠DAE﹣∠F＝45°﹣30°＝15°．
故选：B．
【点评】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是明确三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和．
4．（4分）如图，已知AB＝AC，不一定能使△ABD≌△ACD的条件是（ ）
A．∠1＝∠2
B．BD＝CD
C．∠B＝∠C
D．点B与点C关于AD所在的直线对称
【分析】根据全等三角形的判定方法，逐一进行判断即可．
【解答】解：由题意和图，可知：AB＝AC；
A、∠1＝∠2，不符合题意；
B、BD＝CD，不符合题意；
C、∠B＝∠C，符合题意；
D、点B与点C关于AD所在的直线对称，利用SSS可证△ABD≌△ACD；
故选：C．
【点评】本题考查全等三角形的判定，轴对称的性质．熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键．
5．（4分）如图，在正方形网格中有M，N两点，则点P应选在（ ）
A．A点B．B点C．C点D．D点
【分析】首先求得点M关于直线l的对称点M′，连接M′N，即可求得答案．
【解答】解：如图，点M′是点M关于直线l的对称点，则M′N与直线l的交点，此时PM+PN最短，
∵M′N与直线l交于点C，
∴点P应选C点．
故选：C．
【点评】此题考查了轴对称﹣最短路径问题．注意首先作出其中一点关于直线l的对称点，对称点与另一点的连线与直线l的交点就是所要找的点．
6．（4分）如图，△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，点P是BC边上的动点则AP长不可能是（ ）（ ）
A．1.8B．2.2C．3.5D．3.8
【分析】根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC，再根据垂线段最短求出AP的最小值，然后得到AP的取值范围，从而得解．
【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝4，
∴AC＝AB＝，
∵点P是BC边上的动点，
∴2＜AP＜4，
∴AP的值不可能是1.7．
故选：A．
【点评】本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，垂线段最短，熟记性质并求出AP的取值范围是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．（3分）点P（﹣6，﹣9）关于x轴对称的点P′的坐标是 （﹣6，9） ．
【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答．
【解答】解：点P（﹣6，﹣9）关于x轴对称的点P′的坐标是（﹣2．
故答案为：（﹣6，9）．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
8．（3分）如图①是一把园林剪刀，把它抽象为图②，其中OA＝OB，则∠A＝ 70 °．
【分析】由等腰三角形的性质可得∠A＝∠B，利用对顶角的性质可求∠AOB＝40°，再根据三角形的内角和定理可求解．
【解答】解：∵OA＝OB，
∴∠A＝∠B，
∵∠AOB＝40°，∠AOB+∠A+∠B＝180°，
∴∠A＝70°，
故答案为：70．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，掌握等腰三角形的性质是解题的恶关键．
9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE⊥AB于点E，AC＝9，则DE的长为 4 ．
【分析】由线段的和差关系可得CD的长，再根据角平分线的性质可得答案．
【解答】解：∵AC＝9，AD＝5，
∴CD＝7，
∵∠ACB＝90°，
∴DC⊥BC，
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，
∴DE＝CD＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
10．（3分）如图，点E、C、F、B在一条直线上，EC＝BF，当添加条件 ∠E＝∠B（答案不唯一） 时，可由“角边角”判定△ABC≌△DEF．
【分析】用“边角边”证明两个三角形全等，已知条件给出两组边相等，因此只需要添加一组对应角相等即可．
【解答】解：∵EC＝BF，
∴EF+CF＝BF+CF，
∴EF＝BC，
∵AC∥DF，
∠ACB＝∠EFD，
∴用“角边角”证明△ABC≌△DEF，
∴需要添加条件是：∠E＝∠B．
故答案为：∠E＝∠B（答案不唯一）．
【点评】本题考查的是三角形全等的判定，理解“角边角”定理是解题的关键．
11．（3分）如图，AC与BD交于点O，连接AB、CD，∠A＝∠C，若AC＝10cm则OA= 5 cm．
【分析】由“AAS”可证△AOB≌△COD，可得OA＝OC，即可求解．
【解答】解：在△AOB和△COD中，
，
∴△AOB≌△COD（AAS），
∴OA＝OC，
∵AC＝10cm，
∴OA＝5（cm），
故答案为：5．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
12．（3分）如图，CA＝CB，AD＝BD，若△ADM的面积为，则图中阴影部分的面积为 3 ．
【分析】连接CD，利用SSS证明△ACD≌△BCD，根据全等三角形的性质及三角形面积公式求解即可．
【解答】解：如图，连接CD，
在△ACD和△BCD中，
，
∴△ACD≌△BCD（SSS），
∴S△ACD＝S△BCD，
∵M、N分别是CA，
∴S△ADM＝S△CDM＝S△ACD，S△BDN＝S△CDN＝S△BCD，
∴阴影部分的面积＝2S△ADM，
∵△ADM的面积为，
∴阴影部分的面积＝2×＝3，
故答案为：6．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键．
13．（3分）如图，等边△ABC的边长为2cm，D、E分别是AB、AC上的点，点A落在点A'处，且点A'在△ABC外部则阴影部分图形的周长为 6 cm．
【分析】由将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处，根据折叠的性质，即可得AD＝A′D，AE＝A′E，又由等边三角形ABC的边长为2cm，易得阴影部分图形的周长为：BD+A′D+BC+A′E+EC＝BD+AD+BC+AE+EC＝AB+BC+AC，则可求得答案．
【解答】解：∵等边三角形ABC的边长为2cm，
∴AB＝BC＝AC＝2cm，
∵△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处，
∴AD＝A′D，AE＝A′E，
∴阴影部分图形的周长为：BD+A′D+BC+A′E+EC＝BD+AD+BC+AE+EC＝AB+BC+AC＝5+2+2＝4（cm）．
故答案为：6．
【点评】此题考查了折叠的性质与等边三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用，注意掌握折叠前后图形的对应关系．
14．（3分）如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，点C的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（1，4），则点A的坐标为 （﹣6，3） ．
【分析】作AE⊥x轴于点E，BF⊥x轴于点F，则∠AEC＝∠CFB＝∠ACB＝90°，所以∠ACE＝∠CBF＝90°﹣∠BCF，即可证明△ACE≌△CBF，得CE＝BF＝4，AE＝CF＝3，所以OE＝6，则A（﹣6，3）．
【解答】解：作AE⊥x轴于点E，BF⊥x轴于点F，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACE＝∠CBF＝90°﹣∠BCF，
在△ACE和△CBF中，
，
∴△ACE≌△CBF（AAS），
∵C（﹣2，0），7），
∴CE＝BF＝4，AE＝CF＝1﹣（﹣3）＝3，
∴OE＝CE+OC＝4+8＝6，
∴点A的坐标是（﹣6，3），
故答案为：（﹣6，3）．
【点评】此题重点考查图形与坐标、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线并且证明△ACE≌△CBF是解题的关键．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．（5分）如图，已知点C、F、E、B在同一条直线上，DF⊥BC，DF＝AE，AB＝CD△CDF≌△BAE吗？说明理由
【分析】根据全等三角形的判定定理HL即可得出△CDF≌△BAE．
【解答】解：△CDF≌△BAE．理由如下：
∵DF⊥BC，AE⊥BC，
∴∠DFC＝∠AEB＝90°，
在Rt△CDF与Rt△BAE中，
，
∴Rt△CDF≌Rt△RAE（HL）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
16．（5分）如图，这两个四边形关于某直线对称，根据图形的条件求x
【分析】两个图形关于某直线对称，则对应的角相等，对应的边相等；首先根据∠A＝∠G＝120°，∠D＝∠H＝100°，确定点C与点E是对应点，点B与点F是对应点，据此可求出x、y的值．
【解答】解：∵两个四边形关于某直线对称，
∴∠F＝∠B＝70°，EF＝BC＝4，
即x＝70°，y＝4．
【点评】此题主要考查了轴对称的性质，掌握轴对称图形对称轴两边的图形能完全重合是解题的关键．
17．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，CE∥AD交BA的延长线于点E，请说明△AEC是等腰三角形的理由．
【分析】根据等腰三角形的性质和判定定理以及平行线的性质即可得到结论．
【解答】证明：∵AB＝AC，AD是中线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵CE∥AD，
∴∠BAD＝∠E，
∠DAC＝∠ACE，
∴∠E＝∠ACE，
∴AC＝AE，
∴△AEC是等腰三角形．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键．
18．（5分）一个多边形的每一个内角都相等，并且每个外角都等于与它相邻的内角的，求这个多边形的边数．
【分析】根据正多边形的一个内角与一个外角的和为180°，一个外角等于与它相邻的内角的，列出方程组，从而求得外角的度数，最后根据任意正多边形的外角和是360°求解即可．
【解答】解：设这个多边形的一个内角为x，则外角为x．
根据题意得：x+，x＝180°．
解得：x＝108°，
x＝72°，
360°÷72°＝5．
答：这个多边形的边数为5．
【点评】本题主要考查的是多边形的内角与外角，根据题意列出方程组是解题的关键．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．（7分）如图，在△ABC中，BD是中线，使CE＝CD，若DB＝DE∠E=30°．求证：△ABC是等边三角形．
【分析】根据等腰三角形的性质，得到∠DBC＝∠E＝30°，∠CDE＝∠E＝30°，可得∠BCD＝60°，求出∠BDC＝90°，根据线段垂直平分线的性质得到AB＝BC，从而求出∠A＝∠ACB＝60°＝∠ABC，即可证明．
【解答】证明：∵DB＝DE，
∴∠DBC＝∠E＝30°，
∵CE＝CD，
∴∠CDE＝∠E＝30°，
∴∠BCD＝∠CDE+∠E＝60°，
∴∠BDC＝90°，
∵BD是中线，
∴AB＝BC，
∴∠A＝∠ACB＝60°，
∴∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
【点评】本题考查了等边三角形的判定：三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形．也考查了等腰三角形的性质．
20．（7分）如图，在△ABC中，∠ACB＝3∠B，CE⊥AD于点E，若∠BAC＝60°．
（1）求∠ACB的度数；
（2）求∠DCE的度数．
【分析】（1）根据三角形内角和定理求得∠ACB+∠B，再由∠ACB＝3∠B，求得∠ACB；
（2）根据角平分线定义求得∠CAD，由三角形内角和定理求得∠ACE，进而由角的和差求得结果．
【解答】解：（1）∵∠ACB+∠B+∠BAC＝180°，∠BAC＝60°，
∴∠ACB+∠B＝120°，
∵∠ACB＝3∠B，
∴∠B＝30°，∠ACB＝90°；
（2）∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠CAB＝30°，
∵CE⊥AD，
∴∠ACE＝90°﹣∠CAD＝60°，
∴∠DCE＝∠ACB﹣∠ACE＝30°．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线定义，关键是根据三角形的内角和定理求得∠ACB的度数．
21．（7分）如图，在6×8的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，请按下面要求完成画图．
（1）在图①中画一个△ABC，使点C在格点上，△ABC为轴对称图形；
（2）在图 ②中画一个与△ABD成轴对称，且顶点都在格点上的△ABE．
【分析】（1）以AB为腰，作等腰三角形ABC即可．
（2）作以AB为对角线的正方形ADBE即可．
【解答】解：（1）如图①，△ABC即为所求．
（2）如图②，△ABE即为所求．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，熟练掌握轴对称图形的性质是解答本题的关键．
22．（7分）如图，线段AB与CF交于点E，点D为CE上一点，已知AD＝BC，∠1＝∠2．
（1）请添加一个条件 CE＝DF ，使△ADF≌△BCE，并说明理由．
（2）在（1）的条件下请探究AE与BE的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）由SAS可得出结论；
（2）由全等三角形的性质得出∠F＝∠CEB，AF＝BE，证出∠AEF＝∠F，得出AE＝AF，则可得出结论．
【解答】解：（1）添加CE＝DF，△ADF≌△BCE，
理由：在△ADF和△BCE中，
，
∴△ADF≌△BCE（SAS）；
（2）AE＝BE．
理由：∵△ADF≌△BCE，
∴∠F＝∠CEB，AF＝BE，
∵∠AEF＝∠CEB，
∴∠AEF＝∠F，
∴AE＝AF，
∴AE＝BE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法并找出全等的条件是解题的关键．
五、解答题（每小题7分，共14分）
23．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC
（1）若∠A＝50°，求∠CBD的度数；
（2）若AE＝4.5，△CBD的周长为16，求BC的长．
【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠ABC＝∠C＝65°，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，求出∠ABD的度数，计算即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式计算即可．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠A＝50°，
∴∠ABC＝∠C＝65°，
又∵DE垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴∠ABD＝∠A＝50°，
∴∠CBD＝15°；
（2）∵DE垂直平分AB，
∴DA＝DB，AE＝BE＝4.5，
∴DB+DC＝DA+DC＝AC，
又∵AB＝AC＝5，△CBD周长为16，
∴BC＝16﹣9＝5．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
24．（7分）如图，在△ABC和△ADE中，∠C＝∠E，∠1＝∠2，AD、BC相交于点F．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）若AB∥DE，∠D＝30°求∠AFB的度数．
【分析】（1）由AAS证明△ABC≌△ADE，即可得结论；
（2）由平行线的性质得∠1＝∠D＝40°，再由（1）可知，∠B＝∠D＝30°，然后由三角形内角和定理即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵∠1＝∠2，
∴∠2+∠CAD＝∠2+∠CAD，
∴∠CAB＝∠EAD，
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（AAS）；
（2）解：∵AB∥DE，
∴∠1＝∠D＝30°，
由（1）可知，∠B＝∠D＝30°，
∴∠AFB＝180°﹣∠3﹣∠B＝180°﹣30°﹣30°＝120°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质以及三角形内角和定理等知识，掌握三角形全等的判定与性质是解题的关键．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．（10分）如图1．点E在BC的延长线上，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠EAD，AD＝AE，连接CD
（1）求证：∠DCE＝∠BAC；
（2）当∠BAC＝∠EAD＝30°，AD⊥AB时，如图2，AB交于点G，求证：△ACF是等腰三角形；
（3）在（2）的条件下，是否还存在除△ABC，如果存在，试将它们全都写出来．
【分析】（1）证明△ACD≌△ABE，则∠ACD＝∠ABC，进而可证∠DCE＝∠BAC；
（2）AB⊥AD，易求出∠CAE，由（1）∠DCE＝∠BAC，根据等腰三角形性质，可求出∠ACF＝∠AFC，进而可证△ACF是等腰三角形；
（3）由（2）可分别求出∠AGD＝∠ADG，∠DCE＝∠CDE，∠DFE＝DEF，进而可得△ADG、△DEF、△ECD都是等腰三角形．
【解答】证明：（1）∵∠BAC＝∠EAD，
∴∠BAC+∠CAE＝∠EAD+∠CAE，
∴∠BAE＝∠CAD，
在△ACD和△ABE中，
，
∴△ACD≌△ABE（SAS），
∴∠ADC＝∠BEA，
∵∠DAE＝180°﹣（∠ADC+∠AFD），∠DCE＝180°﹣（∠CFE+∠BEA），∠AFD＝∠CFE，
∴∠DAE＝∠DCE，
∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠BAC＝∠DCE；
（2）∵∠BAC＝∠EAD＝30°
∴∠ABC＝∠ACB＝∠AED＝∠ADE＝75°
由（1）知，∠DCE＝∠BAC＝30°
∴∠ACD＝75°．
∵AD⊥AB，
∴∠BAD＝90°
∴∠CAE＝30°
∴∠AFC＝180°﹣30°﹣75°＝75°，
∴∠ACF＝∠AFC，
∴△ACF是等腰三角形；
（3）存在，△ADG、△ECD都是等腰三角形．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质等知识点，证明三角形的全等是解本题的关键，此类试题可看成是顶角相等的等腰三角形手拉手模型，解题时注意图形的变化，综合性较强，难度较大．
26．（10分）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，以每秒2个单位长度的速度在射线AB上运动．点P出发后，连接CP，使∠DCP＝90°，连接BD．设点P的运动时间为t秒．
（1）△ABC的AB边上高为 3 ；
（2）求BP的长（用含t的式子表示）；
（3）就图中情形求证：△ACP≌△BCD；
（4）当BP：BD＝1：2时，直接写出t的值．
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质解答即可；
（2）根据两种情况，利用线段之间关系得出代数式即可；
（3）根据SAS证明△ACP与△CBD全等即可；
（4）利用全等三角形的性质解得即可．
【解答】（1）解：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，
∴△ABC的AB边上高＝AB＝8，
故答案为：3；
（2）解：∵AB＝6，动点P从点A出发，
∴点P在线段AB上运动的时间为＝3（秒），
当2＜t≤3时，PB＝6﹣2t，
当t＞3时，PB＝2t﹣4；
（3）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，
∴AC＝BC，
∵∠PCD＝90°，CP＝CD，
∴∠ACP+∠PCB＝90°，∠PCB+∠BCD＝90°，
∴∠ACP＝∠BCD，
在△ACP与△CBD中，
，
∴△ACP≌△CBD（SAS）；
（4）解：∵△ACP≌△CBD，
∴AP＝BD，
当BP：BD＝1：2时，当4＜t≤3时，，
解得：t＝2，
当BP：BD＝1：8时，当t＞3时，，
解得：t＝6，
综上所述，t的值为2或8．
【点评】此题考查三角形的综合题，关键是根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质解答．
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