山东省济南市莱芜凤城高级中学2023-2024学年高二上学期10月份月考数学试题

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一、 单选题 （本题共计8小题，总分40分）
1.（5分）直线x4+y2=1与x轴，y轴分别交于点A，B，以线段AB为直径的圆的方程为( )
A.x2+y2-4x-2y=0B.x2+y2-4x-2y-1=0
C.x2+y2-4x-2y+1=0D.x2+y2-2x-4y=0
2.（5分）已知正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为a，对角线AC'与BD'相交于点O，则有( )
A.AB→⋅A'C'→=a2B.AB→⋅AC→'=2a2C.AB→⋅AO→=12aD.BC→⋅DA'→=a2
3.（5分）如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，O为A1C1的中点，AB→=a→，AD→=b→，AA1→=c→，则AO→=( )
A.-12a→+12b→+c→B.12a→+12b→+c→C.-12a→-12b→+c→D.12a→-12b→+c→
4.（5分）已知a→=(1，0，1)，b→=(x，-1，2)，且a→⋅b→=3，则向量a→与b→的夹角为( )
A.5π6B.π6C.π3D.2π3
5.（5分）已知直线l的方程为xsinα+3y-1=0，α∈R，则直线l的倾斜角范围是( )
A.(0,π3]∪[23π,π)B.[0,π6]∪[5π6,π)C.[π6,5π6]D.[π3,2π3]
6.（5分）直线x+y-b=0与曲线x=4-y2有且仅有一个公共点，则b的取值范围是( )
A.|b|=22B.-2≤b≤2C.-2≤b≤2或b=22D.-2≤b<2或b=22
7.（5分）实数x，y满足x2+y2+2x=0，则yx-1的取值范围是( )
A.[-3,3]B.(-∞,-3]∪[3,+∞)
C.[-33,33]D.(-∞,-33]∪[33,+∞)
8.（5分）如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，AA1=4，P是侧面BCC1B1内的动点，且AP⊥BD1，记AP与平面BCC1B所成的角为θ，则tanθ的最大值为( )
A.43B.53C.2D.259
二、 多选题 （本题共计4小题，总分20分）
9.（5分）已知直线l1：ax+y-2=0，l2：(3a+2)x-ay+1=0，若l1//l2，则a=( )
A.-2B.-1C.0D.1
10.（5分）已知圆C：(x-1)2+(y-1)2=16，直线l：(2m-1)x+(m-1)y-3m+1=0.下列说法正确的是( )
A.直线l恒过定点(2,1)
B.圆C被y轴截得的弦长为215
C.直线l被圆C截得弦长存在最大值,此时直线l的方程为2x+y-3=0
D.直线l被圆C截得弦长存在最小值,此时直线l的方程为x-2y-4=0
11.（5分）未找到试题题干
12.（5分）如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为边AD的中点，点P为线段D1B上的动点，设D1P=λD1B，则( )
A.当λ=13时,EP//平面AB1C
B.当λ=12时,|PE|取得最小值,其值为2
C.|PA|+|PC|的最小值为463
D.当C1∈平面CEP时,λ=14
三、 填空题 （本题共计4小题，总分20分）
13.（5分）若空间向量a→=(x，2，2)和b→=(1，1，1)的夹角为锐角，则x的取值范围是________.
14.（5分）已知直线l：kx-y+2-k=0过定点M，点P(x，y)在直线2x+y-1=0上，则|MP|的最小值是________.
15.（5分）若P是圆C1：(x-4)2+(y-5)2=9上一动点，Q是圆C2：(x+2)2+(y+3)2=4上一动点，则|PQ|的最小值是________.
16.（5分）如图①，矩形ABCD中，AB=2，AD=4，E是BC的中点，将三角形ABE沿AE翻折，使得平面ABE和平面AECD垂直，如图②，连接BD，则异面直线BD和AE所成角的余弦值为________.
四、 解答题 （本题共计6小题，总分70分）
17.（10分）如图：在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，点M是线段A1D的中点，点N在线段C1D1上，且D1N=13D1C1，∠A1AD=∠A1AB=60°，∠BAD=90°，AB=AD=AA1=1.
(1)求满足MN→=xAB→+yAD→+zAA1→的实数x、y、z的值.
(2)求AC1的长.
18.（12分）已知圆C过点P(1，4)，Q(3，2)，且圆心C在直线x+y-3=0上.
(1)求圆C的标准方程；
(2)若过点(2，3)的直线m被圆C截得的弦MN的长是23，求直线m的方程.
19.（12分）已知直线l过点P(-1，2).
(1)若直线l在两坐标轴上截距和为零，求l方程；
(2)设直线l的斜率k>0，直线l与两坐标轴交点分别为A、B，求△AOB面积最小值.
20.（12分）已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A，B.
(1)求圆C1的圆心的坐标；
(2)求线段AB的中点M的轨迹方程.
21.（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD为直角梯形，侧面PAD为等边三角形，M，N分别为AD，PD的中点，PM⊥平面ABCD，AB//CD，AD⊥AB，PD=CD=2，AB=1.
(1)求证：AN//平面PBC；
(2)求异面直线PB与NC所成角的余弦值；
(3)求点B到平面MNC的距离.
22.（12分）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥平面BB1C1C，已知∠BCC1=π3，BC=1，AB=C1C=2，点E是棱CC1的中点.
(1)求证：C1B⊥平面ABC；
(2)求平面AB1E与平面A1B1E夹角的余弦值；
(3)在棱CA上是否存在一点M，使得EM与平面A1B1E所成角的正弦值为21111?若存在，求出CMCA的值；若不存在，请说明理由.
答案
一、 单选题 （本题共计8小题，总分40分）
1.（5分）【答案】A
2.（5分）【答案】A
3.（5分）【答案】B
4.（5分）【答案】B
5.（5分）【答案】B
6.（5分）【答案】D
7.（5分）【答案】C
8.（5分）【答案】B
二、 多选题 （本题共计4小题，总分20分）
9.（5分）【答案】AB
10.（5分）【答案】BD
11.（5分）【答案】ABD
12.（5分）【答案】BC
三、 填空题 （本题共计4小题，总分20分）
13.（5分）【答案】x>-4且x≠2
14.（5分）【答案】355
15.（5分）【答案】5
16.（5分）【答案】66
四、 解答题 （本题共计6小题，总分70分）
17.（10分）(1)MN→=MD1→+D1N→=12(AA1→+AD→)+13AB→
=13AB→+12AD→+12AA1→，
所以x=13，y=12，z=12；
(2)∵AC1→=AD→+AB→+AA1→，
∴|AC1→|2=(AD→+AB→+AA1→)2
=AD→2+AB→2+AA1→2+2AD→⋅AB→+2AD→⋅AA1→+2AB→⋅AA1→
=1+1+1+0+1+1
=5，∴AC1=5.
18.（12分）(1)设圆C的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)，
依题意可得，{a+b-3=0，(1-a)2+(4-b)2=(3-a)2+(2-b)2，
解得{a=1，b=2，
∴r=|CP|
=(1-1)2+(4-2)2=2，
∴圆C的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=4.
(2)∵|MN|=23，
∴圆心到直线m的距离d=r2-(3)2=4-3=1.
①直线m的斜率不存在时，直线m的方程为x=2，满足题意；
②直线m的斜率存在时，设直线m的方程为y-3=k(x-2)，
即kx-y-2k+3=0，
∴d=|k-2-2k+3|k2+1=1，解得k=0，
∴直线m的方程为y=3.
综上，直线m的方程为x=2或y=3.
19.（12分）(1)设直线l的方程为y-2=k(x+1)，即kx-y+2+k=0.
则它在两坐标轴上截距分别为-1-2k和k+2，
由题意，-1-2k+k+2=0，解得：k=-2或k=1，
直线l的方程为2x+y=0或x-y+3=0.
(2)设直线l的斜率k>0，
则直线l：kx-y+2+k=0与两坐标轴交点分别为A(-2k-1，0)、B(0，k+2)，
S△AOB=12|-2k-1|·|k+2|=(k+2)22k=k2+2+2k≥2k2·2k+2=4，
当且仅当k=2时，等号成立，
故△AOB面积最小值为4.
20.（12分）(1)由x2+y2-6x+5=0得(x-3)2+y2=4，所以圆C1的圆心的坐标为(3，0).
(2)设M(x，y)，因为点M为线段AB的中点，所以C1M⊥AB，所以kC1M⋅kAB=-1，当x≠3时，可得yx-3⋅yx=-1，整理得(x-32)2+y2=94，又当直线l与x轴重合时，点M的坐标为(3，0)，代入上式成立.
设直线l的方程为y=kx，与x2+y2-6x+5=0联立，消去y得(1+k2)x2-6x+5=0，
令Δ=(-6)2-4(1+k2)×5=0，得k2=45，
此时方程为95x2-3x=0，
解得x=53或x=0(舍去)，
因此53所以线段AB的中点M的轨迹方程为(x-32)2+y2=94(5321.（12分）(1)证明：由题意，以M为坐标原点，分别以MA，MP所在直线为x，z轴，以过M且平行于AB的直线为y轴建立空间直角坐标系.
则M(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，
D(-1，0，0)，C(-1，2，0)，P(0，0，3)，N(-12，0，32).
PB→=(1，1，-3)，BC→=(-2，1，0)，AN→=(-32，0，32)，
设平面PBC的一个法向量为m→=(x，y，z)，
由{m→⋅PB→=x+y-3z=0m→⋅BC→=-2x+y=0，取x=1，得m→=(1，2，3).
∵AN→⋅m→=-32+32=0，且AN⊄平面PBC，∴AN//平面PBC；
(2)∵PB→=(1，1，-3)，NC→=(-12，2，-32)，
∴|PB→|=5，|NC→|=5，PB→⋅NC→=3，
则异面直线PB与NC所成角的余弦值为|cs|=|PB→⋅NC→|PB→|⋅|NC→||=35；
(3)NC→=(-12，2，-32)，MC→=(-1，2，0)，
设平面MNC的一个法向量为n→=(x1，y1，z1)，
由{n→⋅MC→=-x1+2y1=0n→⋅NC→=-12x1+2y1-32z1=0，取y1=1，得n→=(2，1，233).
又MB→=(1，1，0)，
∴B到平面MNC的距离为|n→⋅MB→||n→|=3193=35719.
22.（12分）(1)证明：∵BC=1，CC1=2，∠BCC1=π3，∴BC1=3，∴BC2+BC12=CC12，∴BC1⊥BC，∵AB⊥平面BB1C1C，又BC1⊂平面BB1C1C，∴AB⊥BC1.又∵AB∩BC=B，AB，BC⊂平面ABC，∴C1B⊥平面ABC.
(2)以B为原点，BC→，BC1→，BA→的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，0，2)，B1(-1，3，0)，E(12，32，0)，
A1(-1，3，2)，C(1，0，0)，设平面AB1E的法向量为n→=(x1，y1，z1)，
∵AB1→=(-1，3，-2)，AE→=(12，32，-2)，
∴{n→⋅AB1→=0，n→⋅AE→=0，
∴{-x1+3y1-2z1=0，12x1+32y1-2z1=0，令y1=3，则x1=1，z1=1，∴n→=(1，3，1).设平面A1B1E的法向量为m→=(x2，y2，z2)，∵A1B1→=(0，0，-2)，A1E→=(32，-32，-2)，∴{m→⋅A1B1→=0m→⋅A1E→=0
∴{-2z2=0，32x2-32y2-2z2=0，令y2=3，则x2=1，z2=0，∴m→=(1，3，0)，
∴cs=m→⋅n→|m→n→|=425=255，∴平面AB1E与平面A1B1E夹角的余弦值为255.
(3)假设存在点M，设M(x，y，z)，∵CM→=λCA→，λ∈[0，1]，
∴(x-1,y,z)=λ(-1,0,2)，∴M(1-λ,0,2λ)，
∴EM→=(12-λ,-32,2λ).由(2)知平面A1B1E的一个法向量为m→=(1，3，0)，
由|cs|=|12-λ-32|2(12-λ)2+34+4λ2=21111，得69λ2-38λ+5=0，
即(3λ-1)·(23λ-5)=0，
∴λ=13或λ=523，∴CMCA=13或CMCA=523.