2023-2024学年山东省东营市利津县高级中学高二上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年山东省东营市利津县高级中学高二上学期12月月考数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知直线过点、，则直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先用斜率公式求得斜率，然后利用直线的倾斜角与斜率的关系即可求解.
【详解】因为直线过点、，
所以直线斜率为.
设直线的倾斜角为，，
所以，即.
故选：A.
2．已知椭圆C：的左､右焦点分别为F1，F2，过点F1作直线l交椭圆C于M，N两点，则的周长为（ ）
A．3B．4C．6D．8
【答案】D
【分析】由的周长为，结合椭圆的定义，即可求解.
【详解】由题意，椭圆，可得，即，
如图所示，根据椭圆的定义，可得的周长为
故选：D.
3．已知圆与圆，则两圆的位置关系是（ ）
A．外切B．内切C．相交D．相离
【答案】A
【分析】求得两圆的圆心和半径，再根据圆心距与半径之和半径之差的关系，即可判断位置关系.
【详解】对圆，其圆心，半径；
对圆，其圆心，半径；
又，故两圆外切.
故选：A.
4．在平行六面体中，M为AC与BD的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用空间向量线性运算法则进行运算即可.
【详解】因为在平行六面体中，，
所以.
故选：A.
5．若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则（ ）
A．2B．4C．D．
【答案】C
【分析】先求出双曲线的右焦点，此焦点是抛物线的焦点，求出
【详解】在双曲线中，,所以右焦点，
是抛物线的焦点，
故选：C
6．已知A（2，1），抛物线C：的焦点为F，P是抛物线C上任意一点，则△PAF周长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】借助抛物线的定义，将转化成，三点共线时，周长最小.
【详解】
抛物线的准线，过点P作垂直于准线，由题可知，△PAF的周长为,
，易知当三点共线时，△PAF的周长最小，且最小值为.
故选：C.
7．已知双曲线 (，)，点为其右焦点，点，若所在直线与双曲线的其中一条渐近线垂直，则该双曲线的离心率为（ ）
A．+1B．C．D．-1
【答案】B
【分析】由已知条件可得，，所以，即，解方程即可求解.
【详解】右焦点，点，所以，
若所在直线与双曲线的其中一条渐近线垂直，
则，可得，
又因为，所以，即，
解得：或（舍）
所以该双曲线的离心率为，
故选：B.
8．已知O为坐标原点，F是椭圆C：的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】试题分析：如图取与重合，则由直线同理由,故选A.
【解析】1、椭圆及其性质；2、直线与椭圆.
【方法点晴】本题考查椭圆及其性质、直线与椭圆，涉及特殊与一般思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型.
二、多选题
9．关于双曲线与双曲线，下列说法正确的是（ ）.
A．它们有相同的渐近线B．它们有相同的顶点
C．它们的离心率不相等D．它们的焦距相等
【答案】CD
【分析】根据双曲线的几何性质，逐一分析选项即可.
【详解】双曲线的渐近线为：，双曲线的渐近线方程为：，故A错误；
双曲线的顶点坐标为，双曲线的顶点坐标为，故B错误；
双曲线的离心率，双曲线的离心率，，故C正确；
双曲线的焦距2c=10，双曲线的焦距2c=10，故D正确.
故选：CD．
【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，考查学生对基础知识的掌握程度，属基础题.
10．已知曲线C的方程为，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，曲线C为圆
B．曲线C为椭圆的充要条件是
C．若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则
D．存在实数k使得曲线C为抛物线
【答案】AC
【分析】根据圆、椭圆、双曲线、抛物线标准方程的特征即可逐项判断求解.
【详解】对于A，当时，曲线C的方程为，此时曲线C表示圆心在原点，半径为的圆，所以A正确；
对于B，若曲线C为椭圆，则，且，所以B错误；
对于C，若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则，，解得，所以C正确；
对于D，曲线C不存在x，y的一次项，所以曲线C不可能是抛物线，所以D错误．
故选：AC.
11．已知椭圆，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则椭圆的离心率为
B．若椭圆的离心率越趋近于0，椭圆越接近于圆
C．若点分别为椭圆的左､右焦点，直线l过点且与椭圆交于A，B两点，则的周长为
D．若点分别为椭圆的左､右顶点，点P为椭圆上异于点的任意一点，则直线的斜率之积为.
【答案】BCD
【分析】根据椭圆的方程和几何性质，逐项验证得出结果.
【详解】，且,解得离心率 ，选项A错误；
根据椭圆离心率的性质“离心率越小椭圆越圆”，选项B正确；
根据椭圆的定义，
所以的周长为，选项C正确；
根据题意，，设点 ，其中
所以，选项D正确.
故答案为：BCD.
12．已知正方体的棱长为4，点分别是BC，，的中点，则（ ）
A．异面直线与所成的角的正切值为
B．平面截正方体所得截面的面积为18
C．四面体的外接球表面积为
D．三棱锥的体积为
【答案】ABC
【分析】对于A中，取的中点，取的中点，连接，证得，把异面直线与所成的角转化为直线与所成的角，在直角中，可判定A正确；延长交于点，连接交于点，连接，挣得多平面截正方体所得截面为等腰梯形，求得其面积，可判定B正确；画出以为对角线的长方体，得到该长方体的外接球即为四面体的外接球，结合长方体的性质和球的表面公式，可判定C正确；结合，可判定D错误.
【详解】对于A中，取的中点，连接，再取的中点，连接，
因为且，所以四边形为平行四边形，所以，
所以异面直线与所成的角，即为直线与所成的角，即，
因为正方体的棱长为4，可得，
可得为等腰三角形，取的中点，则，
在直角中，可得，所以，
直线与所成的角的正切值为，所以A正确；

对于B中，延长交于点，连接交于点，连接，
因为，为的中点，所以，可得为的中点，
又因为，所以为的中点，所以，
因为，所以为平行四边形，所以，
所以，平面截正方体所得截面为等腰梯形，
在等腰梯形中，，
所以梯形的高为，
所以梯形的面积为，所以B正确.

对于C中，画出以为对角线的长方体，
则该长方体的外接球即为四面体的外接球，
可得外接球的直径为，
所以外接球的表面积为，所以C正确；

对于D中，连接，则，
因为平面，平面，所以，
又因为且平面，所以平面，
因为为的中点，
所以三棱锥的高为，，
所以，所以D错误.
故选：ABC.

三、填空题
13．若坐标原点到抛物线的准线距离为2，则 .
【答案】
【解析】根据抛物线性质可得结果.
【详解】由化为标准方程，准线方程，故由题意，
得.
故答案为：
14．已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为 ．
【答案】或
【分析】分两种情况，焦点在轴上，焦点在轴上，两种情况，分别代入即可求解.
【详解】当双曲线为时，，．
当双曲线为时，，．
故答案为：或.
15．直线与双曲线相交于两点，若点为线段的中点，则直线的方程是 .
【答案】
【分析】由中点坐标公式可知，；利用点差法可求得直线斜率，进而得到直线方程.
【详解】设，
为中点 ，
由两式作差可得：
直线斜率
直线方程为：，即
故答案为
【点睛】本题考查根据弦中点求解直线方程的问题，关键是能够熟练应用点差法，将直线的斜率与中点坐标之间的关系表示出来，从而求得直线斜率.
16．已知抛物线C的方程为：，F为抛物线C的焦点，倾斜角为的直线过点F交抛物线C于A、B两点，则线段AB的长为
【答案】8
【分析】根据给定条件求出抛物线C的焦点坐标，准线方程，再求出点A，B的横坐标和即可计算作答.
【详解】抛物线C：的焦点，准线方程为，
依题意，直线l的方程为：，由消去x并整理得：，
设，则，于是得，
所以线段AB的长为8.
故答案为：8
四、解答题
17．已知在平面直角坐标系中，圆.
(1)过点作圆的切线，求切线方程；
(2)求过点的圆的弦长的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据点在圆上，求出直线的斜率；再根据圆的性质可得出所求切线的斜率和方程.
（2）先根据点在圆内，求出圆心到点的距离；再利用几何法可得圆心到直线距离的最大值；最后利用勾股定理即可求出过点的圆的弦长的最小值.
【详解】（1）
由圆可得：圆心，半径.
，
点在圆上，即点为切点.
直线的斜率为
所求切线斜率为.
切线方程为，即.
（2）
点在圆内.
设直线过点，圆心到直线距离为，
圆半径
则.
结合图形可知当时，取得最大值，为，.
过点的圆的弦长的最小值.
18．（1）焦点在轴上的椭圆过点，离心率，求椭圆的标准方程；
（2）已知双曲线过点，它的渐近线方程为，求双曲线的标准方程.
【答案】（1）；（2）.
【解析】(1)设椭圆的标准方程，代入已知点，再由离心率及可解得基本量.
(2)由渐近线方程可设双曲线方程为，代入点的坐标即可.
【详解】(1)设椭圆标准方程为：，过点，则
，又 ，，联立解得，
所以椭圆标准方程为:
(2)由双曲线的渐近线方程，可设双曲线方程为:
又双曲线过点，所以，解得‘
所以双曲线的标准方程为:
【点睛】此题为基础题，考查椭圆和双曲线标准方程的求法.
19．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动．
（1）证明：D1E⊥A1D；
（2）若EB，求二面角D1﹣EC﹣D的大小．
【答案】（1）见解析（2）30°．
【分析】（1）以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
设AE＝t，（0≤t≤2），证明0即得证；（2）利用向量法求二面角D1﹣EC﹣D的大小．
【详解】证明：（1）以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
设AE＝t，（0≤t≤2），则D1（0，0，1），E（1，t，0），A1（1，0，1），D（0，0，0），
（1，t，﹣1），（﹣1，0，﹣1），
所以0，
∴D1E⊥A1D．
（2）∵EB，∴E（1，2，0），C（0，2，0），
（1，，0），（0，﹣2，1），
设平面CED1的法向量（x，y，z），
则，取y＝3，得（，6），
平面CDE的法向量（0，0，1），
设二面角D1﹣EC﹣D的平面角为θ，
则csθ，所以θ＝30°，
∴二面角D1﹣EC﹣D的大小为30°．
【点睛】本题主要考查空间线面位置关系的证明，考查空间二面角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.
20．已知椭圆经过．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线交椭圆于不同两点，，是坐标原点，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将两点坐标代入椭圆方程中，求出，的值，可求出椭圆的方程；
（2）直线方程与椭圆方程联立，消去，得到一元二次方程，解这个方程，求出两点的纵坐标，，设直线与轴交于点，利用进行求解．
【详解】（1）椭圆经过，将两点坐标代入椭圆方程中，得，解得：，，
即椭圆的方程为；
（2）记，，可设的方程为，
由，消去得，解得，
直线与轴交于点，则 .
21．如图，在五面体中，平面平面，，，且，.

(1)求证：平面平面.
(2)线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值等于？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【分析】（1）首先根据垂直关系，建立空间直角坐标系，分别求平面和平面的法向量，证明法向量垂直，即可证明面面垂直；
（2）首先求平面的法向量，根据法向量的夹角的余弦值，即可求解点的位置.
【详解】（1）如图，设中点为，过作，
由于，所以，由于，则有，
又平面平面，平面平面,平面，
所以平面，又平面，所以.
又，故，，三条直线两两垂直.
如图，以为原点，，，分别为轴，建立空间直角坐标系，

依题意可得，，,
，，
设平面的法向量
则有，即，令，得，
取平面的一个法向量，
因为，所以平面平面；
（2）设，
由（1）知，，，，，，
所以，
则,
设平面的法向量，则有，
因为，
所以，即，
令，可得，则，
因为平面与平面的夹角的余弦值等于，
所以，
化简得，解得或（舍去），所以.
所以线段上存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值等于，此时
22．已知椭圆）过点A（0，），且与双曲线有相同的焦点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设M，N是椭圆C上异于A的两点，且满足，试判断直线MN是否过定点，并说明理由．
【答案】(1)
(2)直线过定点；理由见解析
【分析】（1）根据题意可求得 ，进而求得椭圆方程；
（2）考虑直线斜率是否存在，设直线方程并联立椭圆方程，得到根与系数的关系式，然后利用，将根与系数的关系式代入化简得到，结合直线方程,化简可得结论.
【详解】（1）依题意，，
所以，故椭圆方程为：．
（2）当直线MN的斜率不存在时，设M（），N（，），
则，,此时M，N重合，不符合题意；
当直线MN的斜率存在时，
设MN的方程为：，M（，），N（），
与椭圆方程联立可得：，
即，
∴，即，
∴
，
∴，
∴，当时，,
直线MN：，
即，令 ，则 ，
∴直线过定点．
【点睛】本题考查了椭圆方程的求法以及直线和椭圆相交时过定点的问题，解答时要注意解题思路的顺畅，解答的难点在于运算量较大且复杂，需要十分细心.