天津市西青南片联考2023-2024学年上学期九年级期中数学试题

这是一份天津市西青南片联考2023-2024学年上学期九年级期中数学试题，共4页。试卷主要包含了抛物线y=22+6的顶点坐标是，对抛物线等内容，欢迎下载使用。

A. x2?3x+2=0B. x2?xy=2C. x2+1x=2D. 2(x?1)=x
【答案】A
【解析】解：A、它是一元二次方程，故此选项符合题意；
B、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不合题意；
C、它是分式方程，不是整式方程，故此选项不合题意；
D、未知数次数为1，不是一元二次方程，故此选项不合题意；
故选：A．
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
2.抛物线y=2(x?1)2+6的顶点坐标是( )
A. (1,?6)B. (?1,?6)C. (1,6)D. (?1,6)
【答案】C
【解析】【分析】
根据抛物线的顶点式，可以直接写出顶点坐标．
本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握由顶点式直接写出顶点坐标．
【解答】
解：∵抛物线y=2(x?1)2+6，
∴该抛物线的顶点坐标为(1,6)，
故选：C．
3.若x=2是关于x的一元二次方程x2?mx+8=0的一个解．则m的值是( )
A. 6B. 5C. 2D. ?6
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程的解，此题比较简单，易于掌握．
先把x的值代入方程即可得到一个关于m的方程，解一元一次方程即可．
【解答】
解：把x=2代入方程得：4?2m+8=0，
解得m=6．
故选：A．
4.将抛物线y=?3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为( )
A. y=?3(x?2)2?1B. y=?3(x?2)2+1
C. y=?3(x+2)2?1D. y=?3(x+2)2+1
【答案】C
【解析】解：将抛物线y=?3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为：y=?3(x+2)2?1．
故选：C．
直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
5.对抛物线：y=?x2+2x?3而言，下列结论正确的是( )
A. 与x轴有两个交点B. 开口向上
C. 与y轴的交点坐标是(0,3)D. 顶点坐标是(1,?2)
【答案】D
【解析】解：A、∵△=22?4×(?1)×(?3)=?8<0，抛物线与x轴无交点，本选项错误；
B、∵二次项系数?1<0，抛物线开口向下，本选项错误；
C、当x=0时，y=?3，抛物线与y轴交点坐标为(0,?3)，本选项错误；
D、?y=?x2+2x?3=?(x?1)2?2，∴抛物线的顶点坐标为(1,?2)，本选项正确．
故选：D．
根据△的符号，可判断图象与x轴的交点情况，根据二次项系数可判断开口方向，令函数式中x=0，可求图象与y轴的交点坐标，利用配方法可求图象的顶点坐标．
本题考查了抛物线的性质与解析式的关系．关键是明确抛物线解析式各项系数与性质的联系．
6.二次函数y=ax2+bx?1(a?0)的图象经过点(1,1)，则a+b+1的值是( )
A. ?3B. ?1C. 2D. 3
【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
根据二次函数图象上点的坐标特征，把(1,1)代入解析式可得到a+b的值，然后计算a+b+1的值．
【解答】
解：∵二次函数y=ax2+bx?1(a?0)的图象经过点(1,1)，
∴a+b?1=1，
∴a+b=2，
∴a+b+1=3．
故选：D．
7.用配方法解方程x2?2x?1=0时，配方后得的方程为( )
A. (x+1)2=0B. (x?1)2=0C. (x+1)2=2D. (x?1)2=2
【答案】D
【解析】解：把方程x2?2x?1=0的常数项移到等号的右边，得到x2?2x=1，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2?2x+1=1+1
配方得(x?1)2=2．
故选：D．
在本题中，把常数项?1移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数?2的一半的平方．
考查了解一元二次方程?配方法，配方法的一般步骤：
(1)把常数项移到等号的右边；
(2)把二次项的系数化为1；
(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
8.关于x的一元二次方程kx2?6x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( )
A. k>9B. k<9C. 0【答案】D
【解析】解：∵关于x的一元二次方程kx2?6x+1=0有两个不相等的实数根，
且k≠0，
解得：k<9且k≠0，
故选：D．
根据一元二次方程kx2?6x+1=0有两个不相等的实数根得出Δ>0且k≠0，求出即可．
本题考查了根的判别式，解一元二次方程的应用，能运用知识点进行计算是解此题的关键，注意：一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c为常数，a≠0)，当b2?4ac>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根，当b2?4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实数根，当b2?4ac<0时，一元二次方程没有实数根．
9.如图，将等边三角形OAB放在平面直角坐标系中，A点坐标(1,0)，将△OAB绕点O逆时针旋转60°，则旋转后点B的对应点B′的坐标为( )
A. (?12, 32)
B. (?1,12)
C. (?32, 32)
D. (? 32,12)
【答案】A
【解析】解：如图，故点B作BH⊥OA于H，设BB′交y轴于J．
∵A(1,0)，
∴OA=1，
∵△AOB是等边三角形，BH⊥OA，
，BH= 3OH= 32，
∴B(12, 32)，
∵∠AOB=∠BOB′=60°，∠JOA=90°，
∴∠BOJ=∠JOB′=30°，
∵OB=OB′，
∴BB′⊥OJ，
∴BJ=JB′，
∴B，B′关于y轴对称，
，
故选：A．
如图，故点B作BH⊥OA于H，设BB′交y轴于J.求出点B的坐标，证明B，B′关于y轴对称，即可解决问题．
本题考查坐标与图形的性质，旋转变换，轴对称，等边三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
10.2020年，新型冠状病毒感染的肺炎疫情牵动着全国人民的心．雅礼中学某学生写了一份预防新型冠状病毒倡议书在微信朋友圈传播，规则为：将倡议书发表在自己的朋友圈，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有931人参与了传播活动，则方程列为( )
A. (1+n)2=931B. n(n?1)=931
C. 1+n+n2=931D. n+n2=931
【答案】C
【解析】解：由题意，得
n2+n+1=931，
故选：C．
设邀请了n个好友转发倡议书，第一轮传播了n个人，第二轮传播了n2个人，根据两轮传播后，共有931人参与列出方程即可．
本题考查了一元二次方程的应用，解答时先由条件表示出第一轮增加的人数和第二轮增加的人数，根据两轮总人数为931人建立方程是关键．
11.如图所示是抛物线型的拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽4米，如果水面宽为2 6米，则水面下降米．( )
A. 1米
B. 2米
C. 3米
D. 10米
【答案】A
【解析】解：建立平面直角坐标系如图所示，
由题意可得：顶点坐标为(0,0)，
设抛物线的解析式为y=ax2，
把点坐标(?2,?2)代入得出：a=?12，
所以抛物线解析式为y=?0.5x2，
当x= 6时，y=?0.5x2=?3，
所以水面高度下降?2?(?3)=1(米)，
故选：A．
根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再把x= 6代入抛物线解析式得出水面高度，即可得出答案．
本题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系，从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．
12.已知二次函数y=ax2+bx+c(a?0)的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c<0；②a?b+c<0；③b+2a<0；④abc>0.其中所有正确结论的序号是( )
A. ③④
B. ②③
C. ①④
D. ①②③
【答案】B
【解析】解：①当x=1时，y=a+b+c=0，故①错误；
②当x=?1时，图象与x轴交点负半轴明显大于?1，
∴y=a?b+c<0，
故②正确；
③由抛物线的开口向下知a<0，
∵对称轴为0∴2a+b<0，
故③正确；
④对称轴为x=?b2a>0，a<0
∴a、b异号，即b>0，
由图知抛物线与y轴交于正半轴，∴c>0
∴abc<0，
故④错误；
∴正确结论的序号为②③．
故选：B．
由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定：
(1)a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a>0；否则a<0；
(2)b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=?b2a判断符号；
(3)c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c>0；否则c<0；
(4)当x=1时，可以确定y=a+b+c的值；当x=?1时，可以确定y=a?b+c的值．
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
13.方程x2=2的根是______．
【答案】± 2
【解析】解：x2=2
解得：．
故答案为：± 2．
直接利用开平方法求出方程的根即可．
此题主要考查了直接开平方法解方程，正确开平方是解题关键．
14.若正方形的边长为x，面积为y，则y与x之间的关系式为______(x>0)．
【答案】y=x2
【解析】解：∵正方形的面积等于边长乘以边长，
，
故答案为：y=x2；
根据正方形的面积计算公式可得面积与边长之间的函数关系式．
本题考查列函数关系式，掌握正方形的面积公式是得出函数关系式的前提．
15.已知x1、x2是一元二次方程x2+2x?1=0的两个实数根，则x1+x2的值是______．
【答案】?2
【解析】解：∵x1、x2是一元二次方程x2+2x?1=0的两个实数根，
?x1+x2=?2，
故答案为：?2．
根据一元二次方程根与系数的关系直接可得答案．
本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系式．
16.若抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标是(?1,0)，(3,0)，则此抛物线的对称轴是直线______．
【答案】x=1
【解析】解：?y=ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标是(?1,0)和(3,0)，
∴抛物线的对称轴为直线x=?1+32=1，即x=1．
故答案为：x=1．
由抛物线与x轴的两个交点，利用对称性确定出对称轴即可．
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
17.如图，当一喷灌架为一农田喷水时，喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线y=?110(x?5)2+3.6，则该喷灌架喷出的水可到达的最远距离OA= ______ 米.
【答案】11
【解析】解：，
∴当y=0时，即?110(x?5)2+3.6=0，
解得x1=11，x2=?1(不合题意舍去)，
答：该喷灌架喷出的水可到达的最远距离OA=11米，
故答案为：11．
根据题意得到?110(x?5)2+3.6=0，解方程即可得到结论．
本题考查了二次函数的实际应用，根据题意求得解析式是解题的关键．
18.如图，点E在正方形ABCD的边CD上，将△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，连接EF，过点A作EF的垂线，垂足为点H，与BC交于点G.若BG=3，CG=2，则CE的长为______．
【答案】154
【解析】解：如图所示，连接EG，
由旋转可得，△ADE≌△ABF，
∴AE=AF，DE=BF，
又∵AG⊥EF，
∴H为EF的中点，
∴AG垂直平分EF，
∴EG=FG，
设CE=x，则DE=5?x=BF，FG=8?x，
∴EG=8?x，
∵∠C=90°，
∴Rt△CEG中，CE2+CG2=EG2，
即x2+22=(8?x)2，
解得x=154，
∴CE的长为154，
故答案为：154．
连接EG，根据AG垂直平分EF，即可得出EG=FG，设CE=x，则DE=5?x=BF，FG=EG=8?x，再根据Rt△CEG中，CE2+CG2=EG2，即可得到CE的长．
本题考查了正方形的性质，勾股定理以及旋转的性质，解题时注意：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19.(本小题10.0分)
用适当的方法解下列方程．
?(x+3)2=2x+6；
?x2+5x+7=3x+11．
【答案】解：?(x+3)2=2(x+3)，
∴(x+3)(x+1)=0，
∴x+3=0或x+1=0，
所以x1=?3，x2=?1；
?x2+2x?4=0，
∵a=1，b=2，c=?4，
∵Δ=4+16=20>0，
，
解得：x1=?1+ 5，x2=?1? 5．
【解析】①利用直接开平方法求解即可得出答案；
②利用因式分解法解方程即可；
③利用因式分解法解方程即可；
④利用公式法解方程即可．
本题考查一元二次方程的解法，灵活掌握一元二次方程的各种解法与步骤是解题关键．
20.(本小题8.0分)
注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路按下面的要求填空，完成本题的解答也可以选用其他的解题方案，此时不必填空，只需按照解答题的一般要求进行解答．
青山村种的水稻2007年平均每公顷产8000kg，2009年平均每公顷产9680kg，求该村水稻每公顷产量的年平均增长率．
解题方案：
设该村水稻每公顷产量的年平均增长率为x．
(1)用含x的代数式表示：
①2008年种的水稻平均每公顷的产量为______；
②2009年种的水稻平均每公顷的产量为______；
(2)根据题意，列出相应方程______；
(3)解这个方程，得______；
(4)检验：______；
(5)答：该村水稻每公顷产量的年平均增长率为______%.
【答案】(1)①8000(1+x)；
；
(2) 8000(1+x)2=9680 ；
(3)?x1=0.1，x2=?2.1 ；
(4)?x1=0.1，x2=?2.1都是原方程的根，但x2=?2.1不符合题意，所以只取x=0.1 ；
(5)?10 ．
【解析】解：(1)①8000(1+x)；；
(2)8000(1+x)2=9680；
(3)x1=0.1，x2=?2.1；
(4)x1=0.1，x2=?2.1都是原方程的根，但x2=?2.1不符合题意，所以只取x=0.1；
(5)10．
解此类题时，先将所求问题设为x，根据增长后的产值=增长前的产值(1+增长率)，即可用含x的代数式表示，再求解，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
解此类题时，先将所求问题设为x，然后用含x的代数式表示，再求解，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．
21.(本小题8.0分)
某商场以每件220元的价格购进一批商品，当每件商品售价为280元时，每天可售出30件，为了迎接“618购物节”，扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每天就可以多售出3件．设每件商品降价x元．
(1)商场日销售量增加______件，每件商品盈利______元(用含x的代数式表示)；
(2)要使商场每天销售这种商品的利润达3600元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？
【答案】3x (60?x)
【解析】解：(1)根据题意得：商场日销售量增加3x件，每件商品盈利为280?x?220=(60?x)元，
故答案为：3x，(60?x)；
(2)根据题意得：(30+3x)(60?x)=3600，
解得x1=20，x2=30，
∵要更有利于减少库存，
∴x=30．
答：每件商品应降价30元．
(1)根据每件商品降价1元，商场每天就可以多售出3件可得商场日销售量增加的件数，由售价减进价可得每件商品利润；
(2)根据总利润=单件利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22.(本小题10.0分)
如图，若要建一个矩形场地，场地的一面靠墙，墙长10m，另三边用篱笆围成，篱笆总长20m，设垂直于墙的一边为x?m，矩形场地的面积为Sm2．
(Ⅰ)S与x的函数关系式为S=______，其中x的取值范围是______；
(Ⅱ)当矩形场地的面积最大时，求矩形场地的长与宽，并求出矩形场地面积的最大值．
【答案】?2x2+20x 5≤x<10
【解析】解：(1)∵AD=BC=x，
∴AB=20?2x．
又∵墙长10米，
，
∴5≤x<10．
．
故答案为：?2x2+20x，5≤x<10；
，
∴当x=5时，S最大是50，
此时20?2x=10，
答：当矩形场地的面积最大时，矩形场地的长是10m，宽是5m，矩形场地面积的最大值是50m2．
(1)由AD=x，可得出AB=20?2x，由墙长10米，可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，再利用矩形的面积公式即可得出s关于x的函数关系式；
(2)把二次函数的解析式配方成顶点式，求出长与宽．
本题考查了一元二次方程的应用、函数关系式以及函数自变量的取值范围，解题的关键是：(1)利用矩形的面积公式，找出s关于x的函数关系式；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程．
23.(本小题10.0分)
二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应值如表：
(1)该二次函数解析式为______，m=______，n=______；
(2)请在给出的平面直角坐标系中，画出二次函数y=ax2+bx+c的图象；
(3)根据图象直接写出下列问题：
①当x=______时，y有最______值(填“大”或“小”)是______．
②若该二次函数图象上有两点P1(x1,y1)和P2(x2,y2)满足2，=中选择一个填空)
③当ax2+bx+c>n时，x的取值范围是______．
④当?2【答案】y=?12x2+2x+6 8 6 2 大 8 > 0【解析】解：(1)把点(?2,0)，(0,6)，(6,0)代入y=ax2+bx+c得4a?2b+c=0c=636a+6b+c=0，
解得a=?12b=2c=6，
∴该二次函数解析式为y=?12x2+2x+6，
把(2,m)代入得，m=?12×4+2×2+6=8，
把(4,n)代入得，n=?12×16+2×4+6=6，
故答案为：y=?12x2+2x+6，8，6；
(2)描点、连线画出函数图象如图：
(3)观察函数的图象，
①当x=2时，y有最大值是8；
②若该二次函数图象上有两点P1(x1,y1)和P2(x2,y2)满足2y2；
③当ax2+bx+c>n时，x的取值范围是0④当?2故答案为：①2，大，8；②>；③0(1)利用待定系数法即可求解函数的解析式，进而利用解析式即可求得m、n的值；
(3)利用五点画出函数的图象即可；
(3)根据图象即可得出结论．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键．
24.(本小题10.0分)
在平面直角坐标系中，O为原点，点A(3,0)，点B(0,4)，把△ABO绕点B逆时针旋转，得△A′BO′.点A，O旋转后的对应点为A′，O′，记旋转角为α．
(Ⅰ)如图①，若α=90°，求AA′的长；
(Ⅱ)如图②.若α=45°，求点O′的坐标．
【答案】解：(1)∵点A(3,0)，点B(0,4)，
∴AO=3，OB=4，
，
∵把△ABO绕点B逆时针旋转90°，得△A′BO′，
∴∠ABA′=90°，AB=A′B=5，
；
(2)如图②，若α=45°，则∠CBO′=90°，过点O′作O′C⊥OB于点C，
则∠CO′B=90°，
∴BC=CO′，
∵把△ABO绕点B逆时针旋转45°，得△A′BO′，
∴OB=OB′=4，
，
，
?O'(2 2,4?2 2).
【解析】(1)由勾股定理求出AB的长，由旋转的性质得出∠ABA′=90°，AB=A′B=5，由勾股定理可得出答案；
(2)过点O′作O′C⊥OB于点C，由旋转的性质及直角三角形的性质可求出OC，O′C的长，则可得出答案；
本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
25.(本小题10.0分)
在平面直角坐标系xOy中，关于x的二次函数y=x2+px+q的图象过点(?1,0)，(3,0)．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)求当?2≤x≤6时，y的最大值与最小值的差；
(3)一次函数y=(2?m)x+2?m的图象与二次函数y=x2+px+q图象交点的横坐标分别是a和b，且a<3【答案】解：(1)由二次函数y=x2+px+q的图象过点(?1,0)，(3,0)．
∴y=(x+1)(x?3)，
∴此二次函数的表达式为y=x2?2x?3；
(2)∵抛物线开口向上，对称轴为直线x=?1+32=1，
∴在?2≤x≤6范围内，当x=6，函数有最大值为：y=36?2×6?3=21；当x=1时函数有最小值：y=1?2×1?3=?4，
∴y的最大值与最小值的差为：21?(?4)=25；
(3)y=(2?m)x+2?m与二次函数y=x2?2x?3图象交点的横坐标为a和b，
?x2?2x?3=(2?m)x+2?m，整理得x2+(m?4)x+m?5=0，
解得：x1=?1，x2=5?m，
∵a<3∴a=?1，b=5?m>3，
解得m<2，即m的取值范围是m<2．
【解析】(1)由二次函数的图象经过(?1,0)和(3,0)两点，利用交点式即可求得二次函数的表达式；
(2)求得抛物线的对称轴，根据图象即可得出当x=6，函数有最大值21；当x=1时函数有最小值?4，进而求得它们的差；
(3)由题意得x2?2x?3=(2?m)x+2?m，整理得x2+(m?4)x+m?5=0，解方程求得x1=?1，x2=5?m，根据题意得到5?m>3，解得m<2．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，数形结合是解题的关键．
x
…
?2
0
2
4
6
…
y=ax2+bx+c
…
0
6
m
n
0
…