2023-2024学年安徽省安庆重点中学高一（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年安徽省安庆重点中学高一（上）月考数学试卷（10月份）（含解析），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.如图，阴影部分所表示的集合为( )
A. (∁UB)∩A
B. (∁UA)∩B
C. ∁U(B∩A)
D. ∁U(A∪B)
2.命题“∀x>1，都有x2−2x+2≤0”的否定是( )
A. ∃x>1，使得x2−2x+2>0B. ∀x>1，都有x2−2x+2>0
C. ∀x≤1，使得x2−2x+2>0D. ∃x≤1，使得x2−2x+2>0
3.已知集合A={x|ax2+2x+1=0,a∈R}只有一个元素，则a的取值集合为( )
A. {1}B. {0}C. {0,−1,1}D. {0,1}
4.已知集合M满足{1,2}⊆M⊆{1,2,3,4,5}，这样的集合M有个．( )
A. 7B. 8C. 9D. 10
5.下列四个命题：．
①∀x∈R,x2−x+14≥0；
②∃x∈R，x2+2x+3<0；
③∀n∈R，n2≥n；
④至少有一个实数x，使得x3+1=0．
其中真命题的序号是( )
A. ①③B. ②③C. ②④D. ①④
6.山东省自2017年入学的高中生实行选科走班，每名学生自高二起从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中任选三科作为选考科目.若某校高二1班由选考物理、化学、生物的学生组成，其中选物理的30人，选化学的20人，选生物的20人，既选物理又选化学的10人，既选物理又选生物的8人，既选化学又选生物的10人，三科都选的5人，则该班的学生总数为( )
A. 45B. 47C. 48D. 50
7.已知集合A={x|x2−px−2=0}，B={x|x2+qx+r=0}，且A∪B={−2,1,5}，A∩B={−2}，则p+q+r=( )
A. 12B. 6C. −14D. −12
8.定义集合运算：A⊕B={(x,y)|x2∈A，2y∈B}.若集合A=B={x∈N|1A. ⌀B. {(4,1)}C. {(1,32)}D. {(4,1)，(6,23)}
9.已知集合M={x|x=k4+14,k∈Z}，集合N={x|x=k8−14,k∈Z}，则( )
A. M∩N=⌀B. M⊆NC. N⊆MD. M∪N=M
二、多选题（本大题共3小题，共15.0分。在每小题有多项符合题目要求）
10.下列说法正确的是( )
A. 若a>b，则a2>b2
B. 若a>b，则a−2>b−3
C. 若ac2>bc2，则a>b
D. 若a>b>0，m>0，则ba11.下列条件可以作为x2<1的充分不必要条件的有( )
A. x<1B. x=0C. x>−1D. −112.若集合A具有以下性质：
(1)0∈A，1∈A；
(2)若x、y∈A，则x−y∈A，且x≠0时，1x∈A．
则称集合A是“完美集”.则下列说法正确的是( )
A. 集合B={−1,0,1}是“完美集”
B. 有理数集Q是“完美集”
C. 设集合A是“完美集”，x、y∈A，则x+y∈A
D. 设集合A是“完美集”，若x、y∈A，则xy∈A
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.设M={x|x2+5x−6=0}，N={x|ax+1=0}，若M⊇N，则实数a的值是______．
14.设集合A={x|−1≤x<2}，B={x|x15.已知1≤x−y≤2，3≤2x+y≤4，则4x−y的取值范围为______．
16.若x∈A，则1x∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M={−1,0,12,1,2,4}的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合个数为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10.0分)
求证：关于x的方程mx2−2x+2=0有两个同号且不相等的实数根的充要条件是018.(本小题12.0分)
已知集合A={x|a−2(1)若a=1，求A∪B，A∩(∁UB)；
(2)若x∈A是x∈B的充分条件，求实数a的取值范围．
19.(本小题12.0分)
设集合A={x|x2−4x+3=0}，B={x|x2−2(a+2)x+a2+3=0}．
(1)若A∩B={1}，求实数a的值；
(2)若A∩B=B，求实数a的取值范围．
20.(本小题12.0分)
已知命题p：“∃x∈R，使不等式mx2−mx−1≥0成立”．
(1)若命题p是假命题，求实数m的取值集合A；
(2)若q：−421.(本小题12.0分)
(1)比较3x2−x+1与2x2+x−1的大小；
(2)已知c>a>b>0，求证：ac−a>bc−b．
22.(本小题12.0分)
设命题p：对任意x∈[0,1]，不等式2x−3≥m2−4m恒成立，命题q：存在x∈[−1,1]，使得不等式x2−2x+m−1≤0成立．
(1)若p为真命题，求实数m的取值范围；
(2)若命题p与命题q一真一假，求实数m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：阴影部分所表示的集合为B∩(∁UA)，
故选：B．
根据Venn图直接求解即可．
本题主要考查了Venn图的应用，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：“∀x>1，都有x2−2x+2≤0”的否定是∃x>1，使得x2−2x+2>0．
故选：A．
任意改存在，将结论取反，即可求解．
本题主要考查全称命题的否定，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：∵A只有一个元素，
∴方程ax2+2x+1=0只有一个解，
①a=0时满足题意；
②a≠0时，△=4−4a=0，解得a=1，
∴a的取值集合为{0,1}．
故选：D．
根据题意可知方程ax2+2x+1=0只有一解，a=0显然可以，a≠0时，△=4−4a=0，解出a=1，这样即可得出a的取值集合．
本题考查了集合的描述法和列举法的定义，一元二次方程只有一解时，△=0，考查了计算能力，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：由题意知集合M中的元素1，2必取，另外可从3，4，5中取，
取0个，取1个，取2个，取三个，故有C30+C31+C32+C33=8(个)．
故选：B．
由题意知集合M中的元素必有1，2，另外可从3，4，5中取，必须注意符号“⊆”的含义．
本题主要考查了元素与集合关系的判断，同时考查了分类讨论的思想，是个基础题．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查全称量词命题与存在量词命题的真假判断，属于基础题．
利用配方法、特例法逐项判断即可．
【解答】
解：对于①：x2−x+14=(x−12)2≥0恒成立，故①正确；
对于②：x2+2x+3=(x+1)2+2>0恒成立，故②错误；
对于③：取n=12，则(12)2<12，故③错误；
对于④：易知x=−1是x3+1=0的根，故④正确．
故选D．
6.【答案】B
【解析】解：某校高二1班由选考物理、化学、生物的学生组成，其中选物理的30人，选化学的20人，
选生物的20人，既选物理又选化学的10人，既选物理又选生物的8人，既选化学又选生物的10人，
作出韦恩图，
因为三科都选的5人，所以只选物理和化学，不选生物的有x=10−5=5人，
只选化学和生物，不选物理的有z=10−5=5人，
只选物理和生物，不选化学的有y=8−5=3人，
则只选物理的有m=30−x−y−5=30−5−3−5=17人，
只选化学的有n=20−x−z−5=20−5−5−5=5人，
只选生物的有e=20−y−z−5=20−3−5−5=7人，
所以该班学生总数为m+n+e+x+y+z+5=17+5+7+5+3+5+5=47人．
故选：B．
根据题目条件结合韦恩图求出只选物理和化学，不选生物，只选化学和生物，不选物理，只选物理和生物，不选化学，只选物理，只选化学，只选生物的人数，从而计算出总人数．
本题考查集合的运算，考查韦恩图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7.【答案】C
【解析】解：∵A={x|x2−px−2=0}，B={x|x2+qx+r=0}，
又A∪B={−2,1,5}，A∩B={−2}，
−2∈A，
∴4+2p−2=0，∴p=−1，∴A={x|x2+x−2=0}={−2,1}，
∴B={−2,5}，
∴−2+5=−q，−2×5=r，
∴q=−3，r=−10，又p=−1，
∴p+q+r=−14．
故选：C．
根据A∪B={−2,1,5}，A∩B={−2}，可得−2∈A，从而建立方程求出p，再由A∪B={−2,1,5}，A∩B={−2}，可得B={−2,5}，从而建立方程求出q，r，从而得解．
本题考查集合的基本运算，属基础题．
8.【答案】D
【解析】解：因为集合A=B={x∈N|1由x2∈A可得：x2=2或3，则x=4或6，
由2y∈B可得：2y=2或3，则y=1或23，
所以A⊕B={(4,1)，(6,1)，(4,23)，(6,23)}，
因为C={(x,y)|y=−16x+53}，当x=4时，y=−16×4+53=1，
当x=6时，y=−16×6+53=23，
所以(4,1)，(6,23)∈C，
所以(A⊕B)∩C={(4,1)，(6,23)}，
故选：D．
由已知求出集合A，B的元素，然后根据新定义求出x与y的值，由此求出集合A⊕B的元素，再把集合A⊕B的元素的x的值代入集合C，根据交集的定义即可求解．
本题考查了集合的运算关系，考查了学生的逻辑推理能力以及运算求解能力，属于中档题．
9.【答案】B
【解析】解：M={x|x=k4+14,k∈Z}={x|x=14(k+1),k∈Z}={x|x=18(2k+2),k∈Z}，
N={x|x=k8−14,k∈Z}={x|x=18(k−2),k∈Z}，
2k+2可以表示偶数，而k−2可以表示全部整数，
故M⊆N，
对于A，M∩N=M，故A错误，
对于BC，M⊆N，故B正确，C错误，
对于C，M∪N=N，故D正确．
故选：B．
根据已知条件，先对M，N化简，推得M⊆N，即可依次求解．
本题主要考查集合的包含关系，考查转化能力，属于基础题．
10.【答案】BCD
【解析】解：对于A，令a=2，b=−2，满足a>b，但a2=b2，故A错误；
对于B，∵a>b，
∴a−2>b−2>b−3，即a−2>b−3，故B正确；
对C，∵ac2>bc2，则1c2>0，
∴a>b，故C正确；
对D，b+ma+m−ba=m(a−b)a(a+m)，
∵a>b>0，m>0，
则a+m>0，a−b>0，
∴m(a−b)a(a+m)>0，即ba故选：BCD．
根据作差法分析判断A、D，根据不等式的性质分析判断B、C．
本题主要考查不等式的性质，属于基础题．
11.【答案】BD
【解析】【分析】
本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系，属于基础题．
根据充分必要条件的定义以及集合的包含关系判断即可．
【解答】
解：由x2<1，解得−1故可以作为x2<1的充分不必要条件的有：x=0，−1故本题选BD．
12.【答案】ABC
【解析】解：对A，B，由“完美集”的定义，
可得A，B中的集合都满足“完美集”的两个条件，∴A，B正确；
对C，∵集合A是“完美集”，∴0∈A，又x、y∈A，
∴0−y∈A，∴x−(−y)∈A，即x+y∈A，∴C正确；
对D，由“完美集”的定义可得：若x、y∈A，则不能得到xy∈A，
∴D错误．
故选：ABC．
根据“完美集”的定义即可求解．
本题考查新定义“完美集”，属基础题．
13.【答案】−1，0，16
【解析】解：M={x|x2+5x−6=0}={−6,1}，
①当N=⌀时，ax+1=0无解，a=0，
②当N={−6}时，−6a+1=0，a=16，
③当N={1}时，a+1=0，a=−1，
故实数a的值是−1，0，16．
故答案为：−1，0，16．
化简M={x|x2+5x−6=0}={−6,1}，分N=⌀、N={−6}、N={1}讨论即可．
本题考查了集合的化简与运算及集合间关系的应用，考查了分类讨论的思想方法应用，是基础题．
14.【答案】(−∞,−1]
【解析】解：集合A={x|−1≤x<2}，B={x|x则a≤−1，
故a的取值范围是(−∞,−1]．
故答案为：(−∞,−1]．
根据已知条件，结合交集的定义，即可求解．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
15.【答案】[5,8]
【解析】解：由题意可设4x−y=a(x−y)+b(2x+y)，
则4=a+2b−1=−a+b，解得a=2，b=1，
所以2≤2(x−y)≤4，
则5≤4x−y≤8，即为[5,8]，
故答案为：[5,8]．
由题意可设4x−y=a(x−y)+b(2x+y)，然后建立方程求出a，b的值，再根据不等式的性质即可求解．
本题考查了不等式的性质，考查了学生的运算能力，属于基础题．
16.【答案】7
【解析】解：由题意可知，满足条件的集合为：{−1}、{1}、{2,12}、{−1,1}、{−1,2,12}、{1,2,12}、{−1,1,2,12}，共7个．
故答案为：7．
列举出满足条件的集合，即可得解．
本题考查集合新定义，属于基础题．
17.【答案】证明：①充分性：
因为0所以方程mx2−2x+2=0的判别式Δ=4−4×m×2>0，且两根积2m>0，
所以方程mx2−2x+2=0有两个同号且不相等的实根．
②必要性：
若方程mx2−2x+2=0有两个同号且不相等的实根，
设两根为x1，x2，
则有Δ=4−8m>0,x1⋅x2=2m>0,解得0综合①②可知，方程mx2−2x+2=0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0【解析】根据充分条件的证明，先证明充分性，再证明必要性，即可得出结论．
本题考查了简易逻辑，充分必要条件，学生的数学运算能力，逻推理能力，属于基础题．
18.【答案】解：(1)当a=1时，A={x|a−2则A∪B={x|−1故A∩(∁UB)={x|−1(2)∵x∈A是x∈B的充分条件，
∴A⊆B，
当A=⌀时，a−2≥2a+1，解得a≤−3，
当A≠⌀时，a−2<2a+1a−2≥02a+1≤7，解得2≤a≤3，
综上所述，实数a的取值范围为{a|a≤−3或2≤a≤3}．
【解析】(1)先求出集合A，再结合并集、交集、补集的定义，即可求解．
(2)由已知条件，推得A⊆B，再分A是否为空集，即可求解．
本题主要考查并集、交集、补集的运算，属于基础题．
19.【答案】解：(1)A={1,3}，A∩B={1}，
∴1∈B，∴1−2(a+2)+a2+3=0，解得a=0或a=2，
当a=0时，B={1,3}，不符题意舍；
当a=2时，集合B={1,7}，符合题意，
综上可得，实数a的值为2；
(2)∵A∩B=B，∴B⊆A，
①当B=⌀时，则△=[−2(a+2)]2−4(a2+3)=16a+4<0，
解得a<−14；
②当B≠⌀时，集合B={1}或B={3}或B={1,3}，
若B={1}或B={3}，
则△=[−2(a+2)]2−4(a2+3)=16a+4=0，
解得a=−14，此时B={74}，不符合题意；
若B={1,3}，由根与系数的关系定理，
可得2(a+2)=1+3a2+3=1×3，解得a=0，
综上所述，实数a的取值范围是{a|a<−14或a=0}．
【解析】(1)可求出A={1,3}，根据A∩B={1}可得出1∈B，从而可得出a=0或2，经验证即可求出a的值；
(2)根据A∩B=B可得出B⊆A，然后可讨论B：B=⌀时，△=16a+4<0，解出a<−14；B≠⌀时，可得出B={1}或{3}或{1,3}，经检验，B={1}或{3}不合题意，B={1,3}时，可求出a=0，最后即可得出a的取值范围．
本题考查了交集及其运算，元素与集合的关系，一元二次方程无解和二重根时，判别式△的取值情况，韦达定理，考查了计算能力，属于基础题．
20.【答案】解：(1)因为命题p：“∃x∈R，使不等式mx2−mx−1≥0成立”是假命题，
所以￢p：“∀x∈R，使不等式mx2−mx−1<0成立”是真命题，
当m=0时，−1<0恒成立，满足题意；
当m≠0时，由题意可得m<0Δ=m2+4m<0，解得−4综上，m的取值范围为：(−4,0]；
(2)由(1)可得−4由−4又因为q是￢p的必要不充分条件，
所以a−4≤−4a+4≥0，解得−4≤a≤0，
所以实数a的取值范围为：[−4,0]．
【解析】(1)将问题转化为￢p：“∀x∈R，使不等式mx2−mx−1<0成立”是真命题，再分m=0和m≠0求解即可；
(2)由q可得a−4本题考查了转化思想、集合思想，属于基础题．
21.【答案】解：(1)∵(3x2−x+1)−(2x2+x−1)=x2−2x+2=(x−1)2+1>0，
∴3x2−x+1>2x2+x−1．
(2)证明：ac−a−bc−b=a(c−b)−b(c−a)(c−a)(c−b)=(a−b)c(c−a)(c−b)，
∵c>a>b>0，∴a−b>0，c−a>0，c−b>0，
∴(a−b)c(c−a)(c−b)>0，
∴ac−a>bc−b．
【解析】(1)根据已知条件，结合作差法，即可求解．
(2)根据已知条件，结合作差法，即可求解．
本题主要考查不等式的证明，掌握作差法是解本题的关键，属于基础题．
22.【答案】解：(1)因为p为真命题，
所以对任意x∈[0,1]，不等式2x−3≥m2−4m恒成立，
所以(2x−3)min≥m2−4m，其中x∈[0,1]，
所以−3≥m2−4m，解得1≤m≤3，
所以m的取值范围[1,3]；
(2)若q为真命题，即存在x∈[−1,1]，使得不等式x2−2x+m−1≤0成立，
则(x2−2x+m−1)min≤0，其中x∈[−1,1]，
而(x2−2x+m−1)min=−2+m，
所以−2+m≤0，故m≤2；
因为p，q一真一假，
所以p为真命题，q为假命题或p为假命题，q为真命题，
若p为真命题，q为假命题，则1≤m≤3m>2，所以2若p为假命题，q为真命题，则m<1m≤2或m>3m≤2，所以m<1．
综上，m<1或2所以m的取值范围为(−∞,1)∪(2,3]．
【解析】(1)p为真命题时，任意x∈[0,1]，不等式2x−3≥m2−4m恒成立可转化为(2x−3)min≥m2−4m，求解即可；
(2)化简命题q，由(1)结合条件列不等式即可求出m的取值范围．
本题考查复合命题的真假判断，考查运算能力和推理能力，属于中档题．