2023-2024学年安徽省合肥六中高二（下）月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年安徽省合肥六中高二（下）月考数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知An2=Cnn−3，则n=( )
A. 6B. 7C. 8D. 9
2.一班有5名棋手，出场次序已经排定，二班有2名棋手，现要排出这7人的出场顺序，如果不改变一班棋手出场次序，那么不同排法有( )种．
A. 12B. 20C. 30D. 42
3.若(2x+3)8=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+⋯+a8(x+1)8，则a0+a2+a4+a6+a8=( )
A. 6562B. 3281C. 3280D. 6560
4.已知函数f(x)=2x−tlnx存在两个零点，则实数t的取值范围为( )
A. (e2,+∞)B. (e,+∞)C. (2e,+∞)D. (3e,+∞)
5.现在有9名学生，其中3人只会唱歌，4人只会跳舞，2人既会唱歌又会跳舞.现要选唱歌的3人、跳舞的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有( )
A. 92种B. 68种C. 74种D. 56种
6.春天来了，万物复苏，合肥六中乐之楼楼下的花坛里种了不同颜色的花.如图，花坛内有五个花池，有五种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则最多有几种栽种方案数有( )
A. 180B. 240C. 360D. 420
7.定义域为(−π2,π2)的函数f(x)满足f(x)+f(−x)=0，其导函数为f′(x)，当0A. (−π2,−π4)∪(π4,π2)B. (π4,π2)
C. (−π4,0)∪(0,π4)D. (−π4,0)∪(π4,π2)
8.已知a=0.1e0.1，b=0.11，c=sin0.1，则a，b，c的大小顺序为( )
A. c二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题正确的有( )
A. 已知函数f(x)在R上可导，若f′(1)=1，则Δx→0limf(1+2Δx)−f(1)Δx=2
B. 已知函数f(x)=ln(2x+1)，若f′(x0)=1，则x0=0
C. 若函数f(x)=−13x3+x2+1，则f(x)的极大值为1
D. 设函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(x)=x2+3xf′(2)+lnx，则f′(2)=−94
10.A、B、C、D、E五个人并排站在一起，则下列说法正确的有( )
A. 若A、B两人站在一起有24种方法
B. 若A、B不相邻共有72种方法
C. 若A在B左边有60种排法
D. 若A不站在最左边，B不站最右边，有78种方法
11.∀x1，x2∈[1,e](x1≠x2)，均有x1lnx2−x2lnx1x2−x1A. (−∞,0)B. [1,+∞)C. (1e,+∞)D. [1e,1]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若函数f(x)=x+1+lnxxex极值点为x0，则f(x0)的值为______．
13.用0～9十个数字排成三位数，允许数字重复，把个位、十位、百位的数字之和等于9的三位数称为“长久数”，则“长久数”一共有______个.
14.设函数f(x)=(3−x)ex−tx+5t，t∈R，若有且仅有两个整数xi(i=1,2)满足f(xi)>0，则实数t的取值范围为______．
四、解答题：本题共4小题，共62分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知 x−2xn展开式中的第四项为常数项．
(1)求n的值；
(2)求展开式中所有项的系数和与二项式系数和．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=2(x−1)ex．
(1)若函数f(x)在区间(a,+∞)上单调递增，求f(a)的取值范围；
(2)设函数g(x)=ex−x+p，若存在x0∈[1,e]，使不等式g(x0)≥f(x0)−x0成立，求实数p的取值范围．
17.(本小题17分)
某中学高二年级计划假期开展历史类班级研学活动，共有6个名额，分配到历史类5个班级(可以有的班级没有名额，所有名额全部分完)．
(1)共有多少种分配方案？
(2)6名学生确定后，分成A，B，C，D4个小组，每小组至少1人，共有多少种方法？
(3)6名学生来到火车站，火车站共设有3个“安检”入口，每个入口每次只能进1个旅客，求6人进站的不同方案种数．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=xlnx−x．
(1)求函数f(x)的单调减区间；
(2)设g(x)=(x−1)f(x)−2x，求证：函数g(x)在(1,+∞)上有唯一零点．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：An2=Cnn−3，即n!(n−2)!=n!(n−3)!×3!，故n−2=3!=6，故n=8．
故选：C．
根据排列组合公式得到n!(n−2)!=n!(n−3)!×3!，解得答案．
本题主要考查组合、排列数公式，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：依题意，7名棋手作全排列为A77，其中原有5名棋手的排列有A55，
所以不改变一班棋手出场次序的不同排法种数有A77A55=7×6=42．
故选：D．
把7名棋手作全排列，而原有5名棋手的排列只有一种顺序，利用缩倍法列式计算即得．
本题考查排列组合的应用，是中档题．
3.【答案】B
【解析】解：令x=0有38=a0+a1+a2+⋯+a8=6561，令x=−2有1=a0−a1+a2−⋯+a8，故a0+a2+a4+a6+a8=6561+12=3281．
故选：B．
分别令x=0和x=−2再联立求解即可．
本题考查的知识点：赋值法，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：由题意函数f(x)的定义域是(0,+∞)，
∵函数f(x)=2x−tlnx存在两个零点，
∴2x=tlnx在(0,+∞)上存在两个不同的解，
当x=1时，2=0不成立，
故x=1不是方程2x=tlnx的解，
当x≠1时，化为t=2xlnx在(0,1)∪(1,+∞)上有两个不同的解，
即直线y=t与函数y=2xlnx的图像在(0,1)∪(1,+∞)上有两个不同的交点，
令g(x)=2xlnx，x∈(0,1)∪(1,+∞)，则g′(x)=2lnx−2ln2x，
令g′(x)>0，解得x>e，令g′(x)<0，解得0故函数g(x)在(0,1)，(1,e)递减，在(e,+∞)递增，
故函数g(x)在x=e处取得极小值为g(e)=2e，
当x>1时，x→1时，g(x)→+∞，x→+∞时，g(x)→+∞，
如图示：
，
结合图像，要使直线y=t和函数y=g(x)=2xlnx的图像有2个交点，
则t∈(2e,+∞)．
即实数t的取值范围是(2e,+∞)，
故选：C．
问题转化为直线y=t与函数y=2xlnx的图像在(0,1)∪(1,+∞)上有两个不同的交点，令g(x)=2xlnx，x∈(0,1)∪(1,+∞)，根据函数的单调性画出函数的图像，结合图像求出t的取值范围即可．
本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及数形结合思想，是中档题．
5.【答案】A
【解析】解：依题意，得不同的选派方法共有C33C63+C32C21C53+C31C22C43=20+60+12=92．
故选：A．
结合题意，利用分类法列式可求得答案．
本题考查排列、组合及简单计数问题，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：若5个花池栽了5种颜色的花卉，方法有A55种，
若5个花池栽了4种颜色的花卉，则2、4两个花池栽同一种颜色的花，
或者3、5两个花池栽同一种颜色的花，方法有2A54种，
若5个花池栽了3种颜色的花卉，方法有A53种，
所以最多有A55+2A54+A53=420种栽种方案．
故选：D．
依次求出5个花池栽了5种颜色的花卉，栽了4种颜色的花卉，栽了3种颜色的花卉的方法种数，再相加即得所求．
本题考查排列组合的应用，考查分类计数原理的运用，是中档题．
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查函数的奇偶性、单调性在研究不等式的应用，同时考查了导数在研究函数的单调性时的应用．
易知函数f(x)是奇函数，然后构造函数y=f(x)csx，该函数为奇函数，根据当0【解答】
解：因为定义域为(−π2,π2)的函数f(x)满足f(x)+f(−x)=0，
故函数f(x)为奇函数，且f(0)=0，
令函数g(x)=f(x)csx，x∈(−π2,π2)，显然该函数为奇函数，且g(0)=0．
又因为当0所以g′(x)=f′(x)csx+f(x)sinxcs2x<0，x∈(0,π2)，
故函数g(x)在(0,π2)递减，
所以g(x)在(−π2,π2)内单调递减，
且x∈(0,π2)时，g(x)<0；x∈(−π2,0)时，g(x)>0．
因为f(x)< 2f(π4)⋅csx，且−π20，
故g(x)=f(x)csx故π4故选：B．
8.【答案】A
【解析】解：设h(x)=ex−x−1(x>0)，则h′(x)=ex−1>0(x>0)，
即h(x)在(0,+∞)上单调递增，
故h(0.1)=e0.1−0.1−1>h(0)=e0−0−1=0，
即e0.1>1.1，故0.1e0.1>0.11，即a>b，
设g(x)=sinx−x(x>0)，则g′(x)=csx−1≤0(x>0)，
即g(x)在(0,+∞)上单调递减，
故g(0.1)=sin0.1−0.1故sin0.1<0.1<0.11，即b>c，
于是a>b>c．
故选：A．
构造h(x)=ex−x−1(x>0)可以比较a，b，构造g(x)=sinx−x(x>0)可以比较b，c．
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，属于中档题．
9.【答案】AD
【解析】解：选项A，Δx→0limf(1+2Δx)−f(1)Δx=2，Δx→0limf(1+2Δx)−f(1)2Δx=2f′(1)=2，故选项A正确．
选项B，因为f′(x)=22x+1，令f′(x0)=22x0+1=1，则x0=12，故选项B错误．
选项C，函数f(x)=−13x3+x2+1，则f′(x)=−x2+2x=−x(x−2)，
令f′(x)=0，得x=0或x=2，令f′(x)>0，解得02或x<0．
所以函数f(x)的单调递减区间为(−∞,0)，(2,+∞)，单调递增区间为(0,2)．
所以当x=2时，函数f(x)有极大值为f(2)=73，故选项C错误．
选项D，由已知可得f′(x)=2x+3f′(2)+1x，
所以f′(2)=2×2+3f′(2)+12，则f′(2)=−94，故选项D正确．
故选：AD．
根据导数的运算性质对各个选项逐个求解即可判断．
本题考查导数的综合应用，属中档题．
10.【答案】BCD
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，将AB看成一个整体，与CDE全排列，有A22A44=48种排法，A错误；
对于B，将CDE排好，将AB安排在空位中，有A33A42=72种排法，B正确；
对于C，5人全排列，有A55=120种排法，A在B左边与A在B右边的情况数目相同，则A在B左边的排法有60种，C正确；
对于D，不考虑限制条件，5人有A55=120种不同的排法，A站在最左边的排法有A44=24种，B站在最右边的排法有A44=24种，
A站在最左边且B站在最右边的排法A33=6种，则有120−24−24+6=78种不同的排法，D正确；
故选：BCD．
根据题意，依次分析选项是否正确，综合可得答案．
本题考查排列组合的应用，涉及分步分类计数原理的应用，属于基础题．
11.【答案】ACD
【解析】解：不妨设1≤x10，
由x1lnx2−x2lnx1x2−x1则lnx2+ax2因此f(x)=lnx+ax在区间[1,e]上单调递减，求导得f′(x)=1−(lnx+a)x2≤0对于x∈[1,e]恒成立，
即1−lnx−a≤0对于x∈[1,e]恒成立，从而a≥1−lnx对于x∈[1,e]恒成立，
而函数y=1−lnx在区间[1,e]上单调递减，当x=1时，(1−lnx)max=1，则a≥1，
所以a的取值范围是a≥1，B正确，ACD错误．
故选：ACD．
对给定不等式作等价变形，构造函数f(x)=lnx+ax，利用函数f(x)在区间[1,e]上单调递减，借助导数求解即得．
本题主要考查了由不等式恒成立求解参数范围，体现了转化思想的应用，属于中档题．
12.【答案】1
【解析】解：f(x)=x+1+lnxxex，定义域是(0,+∞)，
f′(x)=−(x+1)(x+lnx)x2ex，
若f(x)的极值点是x0，
则f′(x0)=0，则x0=−lnx0，ex0=1x0，
故f(x0)=x0+1+lnx0x0ex0=x0+1−x0x0⋅1x0=1，
故答案为：1．
求出函数的导数，根据f′(x0)=0，得到x0=−lnx0，ex0=1x0，代入f(x0)计算即可．
本题考查了导数的应用，极值点问题，考查转化思想，是基础题．
13.【答案】45
【解析】解：设a1，a2，a3对应个位到百位上的数字，
则a3∈N*,ai∈N(i=1,2)且a1+a2+a3=9，
相当于将9个表示1的球与2个表示0的球排成一排，
如图，1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0，
这11个数有10个空，用2个隔板隔开分为3组，左起第一组数的和作为a3，第二组数的和作为a2，第三组数的和作为a1，
故共C102=45种．
故答案为：45．
将“长久数”的排列转化为将9个表示1的球与2个表示0的球排成一排，利用隔板法即可求解．
本题主要考查组合及简单的计数问题，考查运算求解能力，属于基础题．
14.【答案】(−e2,−35]
【解析】解：设g(x)=(3−x)ex，h(x)=t(x−5)，则g′(x)=ex(2−x)，
∴x∈(−∞,2)，g′(x)>0，g(x)在(−∞,2)上单调递增，
x∈(2,+∞)，g′(x)<0，g(x)在(2,+∞)上单调递减，
∴x=2时函数g(x)取极大值即最大值g(x)max=g(2)=e2，
又g(0)=3，g(1)=2e，g(3)=0，
直线h(x)=t(x−5)恒过定点(5,0)且斜率为t，
要使有且仅有两个整数xi(i=1,2)满足f(xi)>0，
即有且仅有两个整数xi(i=1,2)满足g(xi)>h(xi)，
∴g(1)−h(1)=2e−t(1−5)>0且g(0)−h(0)=3−t(0−5)≤0，
解得−e2故答案为：(−e2,−35]．
设g(x)=(3−x)ex，h(x)=t(x−5)，利用导数求出g(x)的单调区间，即可求出其最大值，依题意有且仅有两个整数xi(i=1,2)满足g(xi)>h(xi)，即可得到g(1)−h(1)>0且g(0)−h(0)≤0，从而求出参数的取值范围．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与极值，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．
15.【答案】解：(1)根据二项展开式：Tr+1=Cnr⋅xn−r2⋅(−2)r⋅(x)−r=Cnr⋅(−2)r⋅xn−3r2；
由于第四项为常数项；所以n−92=0，故n=9；
(2)由(1)得：( x−2x)9的系数的和，当x=1时，系数的和为−1；
二项式系数的和为29=512．
【解析】本题考查二项展开式的系数，组合数的应用，赋值法的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
(1)直接利用二项式系数的展开式的应用求出结果；
(2)利用赋值法和组合数的应用求出结果．
16.【答案】解：(1)由f′(x)=2xex>0得x>0，
∴f(x)在(0,+∞)上单调递增，∴a≥0，
∴f(a)≥f(0)=−2，
∴f(a)的取值范围是[−2,+∞)．
(2)∵存在x0∈[1,e]，使不等式g(x0)≥f(x0)−x0成立，
∴存在x0∈[1,e]，使p≥(2x0−3)ex0成立，
令h(x)=(2x−3)ex，从而p≥h(x)min(x∈[1,e])，h′(x)=(2x−1)ex，
∵x≥1，∴2x−1≥1，ex>0，∴h′(x)>0，
∴h(x)=(2x−3)ex在[1,e]上单调递增，
∴h(x)min=h(1)=−e，∴p≥−e．
∴实数p的取值范围为[−e,+∞)．
【解析】(1)求出导函数，通过f′(x)=2xex>0得x>0，然后求解a的范围，利用函数的单调性求解f(a)的取值范围．
(2)存在x0∈[1,e]，使不等式g(x0)≥f(x0)−x0成立，即p≥(2x0−3)ex0成立，构造函数h(x)=(2x−3)ex，通过导数求解函数的最小值，即可顶点实数p的取值范围．
本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．
17.【答案】解：(1)某中学高二年级计划假期开展历史类班级研学活动，共有6个名额，分配到历史类5个班级(可以有的班级没有名额，所有名额全部分完)，
等价于将11个相同的元素分成5组，每组至少1个，
由隔板法可得：共有C104=10×9×8×74×3×2×1=210种分配方案；
(2)先把6名学生分成4组，
则有C63+24C62CA22=20+45=65种不同的分法，
然后将这4组分到A，B，C，D4个小组，
则共有65A44=65×24=1560种方法；
(3)6名学生来到火车站，火车站共设有3个“安检”入口，每个入口每次只能进1个旅客，
因为每名学生有3种进站方法，
所以6人进站有36=729种不同的方案．
【解析】(1)问题等价于将11个相同的元素分成5组，每组至少1个，然后结合隔板法求解即可；
(2)先把6名学生分成4组，然后将这4组分到A，B，C，D4个小组即可；
(3)每名学生有3种进站方法，然后结合分步计数乘法原理求解即可．
本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了平均分组问题及分类计数加法原理，属基础题．
18.【答案】解：(1)函数f(x)=xlnx−x的定义域为(0,+∞)，求导得f′(x)=lnx，
由f′(x)<0，即lnx<0，解得0所以函数f(x)的单调减区间是(0,1)．
证明：(2)依题意，g(x)=x(x−1)(lnx−1)−2x=x[(x−1)lnx−x−1]，令h(x)=(x−1)lnx−x−1，
函数g(x)在(1,+∞)上有唯一零点，当且仅当函数h(x)在(1,+∞)上有唯一零点，
求导得h′(x)=lnx−1x，显然函数h′(x)在(1,+∞)上单调递增，而h′(1)=−1<0,h′(2)=ln2−12>0，
则存在x0∈(1,2)，使得h′(x0)=0，当1x0时，h′(x)>0，
于是函数h(x)在(1,x0)上单调递减，在(x0,+∞)上单调递增，
显然h(x0)0，因此函数h(x)在(x0,+∞)上存在唯一零点，
从而函数h(x)在(1,+∞)上存在唯一零点，
所以函数g(x)在(1,+∞)上有唯一零点．
【解析】(1)求出函数f(x)的导数，再解导函数小于0的不等式即得．
(2)求出g(x)并变形，构造函数h(x)=(x−1)lnx−x−1，x>1，利用导数探讨h(x)的零点个数即得．
本题主要考查了导数与单调性关系的应用，还考查了导数与函数性质及零点存在定理在函数零点个数判断中的应用，属于中档题．