高中物理人教版 (2019)必修 第二册3 万有引力理论的成就练习题

这是一份高中物理人教版 (2019)必修 第二册3 万有引力理论的成就练习题，共7页。

1．土星最大的卫星叫“泰坦”(如图)，每16天绕土星一周，其公转轨道半径约为1.2×106 km，已知引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，则土星的质量约为( B )
A．5×1017kg B．5×1026kg
C．7×1033kg D．4×1036kg
解析： 由万有引力定律得Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2r,T2)，M＝eq \f(4π2r3,GT2)，代入数据得M＝5×1026kg，故选项B正确。
2．(多选)(2023·怀化高一期末)两颗互不影响的行星P1、P2，各有一颗在表面附近的卫星S1、S2绕其做匀速圆周运动。两颗行星周围卫星的线速度的二次方(v2)与轨道半径r的倒数eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,r)))的关系如图所示，已知S1、S2的线速度大小均为v0，则( BC )
A．S1的质量比S2的小
B．P1的质量比P2的大
C．P1的平均密度比P2的小
D．P1表面的重力加速度比P2的大
解析：根据题中条件无法比较S1、S2质量的大小，故A错误；由牛顿第二定律Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)，v2＝eq \f(GM,r)，故v2－eq \f(1,r)图像的斜率为GM，则P1的质量比P2的大，故B正确；由于P1、P2的近表面卫星的线速度大小均为v0，所以它们的第一宇宙速度也均为v0，Geq \f(Mm,R2)＝meq \f(v\\al(2,0),R)，M＝eq \f(v\\al(2,0)R,G)，平均密度ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(\f(v\\al(2,0)R,G),\f(4,3)πR3)＝eq \f(3v\\al(2,0),4πGR2)，由图知，P1的半径比P2的大，则P1的平均密度比P2的小，故C正确；根据meq \f(v\\al(2,0),R)＝mg，表面的重力加速度g＝eq \f(v\\al(2,0),R)，P1表面的重力加速度比P2的小，故D错误。故选BC。
3．通过观测冥王星的卫星，可以推算出冥王星的质量，假设卫星绕冥王星做匀速圆周运动，除了引力常量外，至少还需要两个物理量才能计算出冥王星的质量，这两个物理量可以是( D )
A．卫星的质量和轨道半径
B．卫星的运行周期和角速度
C．卫星的质量和角速度
D．卫星的线速度和角速度
解析：根据Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)，可知卫星的质量可以约去，只知道轨道半径不能求出冥王星质量，故A错误；卫星的运行周期和角速度关系是T＝eq \f(2π,ω)，也就是说知道周期，就知道了角速度，根据Geq \f(Mm,r2)＝mω2r可知，卫星的质量可以约去，只知道角速度或周期不能求出冥王星质量，所以知道卫星的运行周期和角速度或卫星的质量和角速度，没法计算出冥王星的质量，故B、C错误；卫星围绕冥王星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，已知卫星的线速度和角速度，则轨道半径r＝eq \f(v,ω)，根据Geq \f(Mm,r2)＝mωv，即可求解冥王星的质量，故D正确。
4．有一星球的密度与地球的密度相同，但它表面处的重力加速度是地面上的重力加速度的2倍，则该星球的质量将是地球质量的( B )
A.eq \f(1,4)倍 B．8倍
C．16倍 D．64倍
解析：根据在星球表面处的物体的重力和所受的万有引力相等，即mg＝Geq \f(Mm,R2)，得g＝eq \f(GM,R2)，其中M是星球的质量，R是星球的半径。根据密度与质量关系得M＝ρ·eq \f(4,3)πR3，该星球的密度跟地球密度相同，g＝eq \f(GM,R2)＝G·ρ·eq \f(4,3)πR，星球表面重力加速度是地球表面重力加速度的2倍，所以星球半径也是地球半径的2倍，再根据M＝ρ·eq \f(4,3)πR3，可得该星球质量是地球质量的8倍，故选项B正确。
5．科学家们推测，太阳系内除八大行星之外还有另一颗行星就在地球的轨道上，从地球上看，它永远在太阳的背面，人类一直未能发现它，可以说是“隐居”着的地球的“孪生兄弟”。由以上信息可确定( A )
A．这颗行星的公转周期与地球相等
B．这颗行星的半径等于地球的半径
C．这颗行星的密度等于地球的密度
D．这颗行星上同样存在着生命
解析：因只知道这颗行星的轨道半径，所以只能判断出其公转周期与地球的公转周期相等。由Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r可知，周期相同，轨道半径一定相同，天体本身半径无法确定，行星的质量在方程两边可以消去，因此无法知道其密度。
6．地球表面重力加速度为g，地球半径为R，引力常量为G，忽略自转影响，用上述物理量估算出来的地球平均密度是( A )
A.eq \f(3g,4πRG) B．eq \f(3g,4πR2G)
C．eq \f(g,RG) D．eq \f(g,RG2)
解析：设地球表面有一物体质量为m，地球的质量为M。物体在地球表面时，所受的重力近似等于地球对物体的万有引力，则有Geq \f(Mm,R2)＝mg，解得M＝eq \f(gR2,G)，地球体积V＝eq \f(4,3)πR3，地球密度ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(\f(gR2,G),\f(4,3)πR3)＝eq \f(3g,4πRG)，故A正确。
7．(多选)如图所示，美国的“卡西尼”号探测器经过长达7年的“艰苦”旅行，进入绕土星飞行的轨道。若“卡西尼”号探测器在半径为R的土星上空离土星表面高h的圆形轨道上绕土星飞行，环绕n周飞行时间为t，已知引力常量为G，则下列关于土星质量M和平均密度ρ的表达式正确的是( AD )
A．M＝eq \f(4π2n2R＋h3,Gt2) B．M＝eq \f(4π2t2R＋h3,Gn2)
C．ρ＝eq \f(3πt2R＋h3,Gn2R2) D．ρ＝eq \f(3πn2R＋h3,Gt2R3)
解析：探测器绕土星飞行，环绕n周飞行时间为t，则探测器运行的周期为T＝eq \f(t,n)，由万有引力提供向心力得，Geq \f(Mm,R＋h2)＝meq \f(4π2,T2)(R＋h)，得M＝eq \f(4π2n2R＋h3,Gt2)，选项A正确，B错误；由ρ＝eq \f(M,V)，V＝eq \f(4,3)πR3，得ρ＝eq \f(3πn2R＋h3,Gt2R3)，选项D正确，C错误。
8．为了研究太阳演化进程，需知道目前太阳的质量M，已知地球半径R＝6.4×106 m，地球质量m＝6.0×1024 kg，日地中心距离r＝1.5×1011 m，地球表面的重力加速度g取10 m/s2。1年约为3.2×107 s，但引力常量G未知，试估算目前太阳的质量M。(结果保留两位有效数字)
答案：1.9×1030 kg
解析：设T为地球绕太阳运动的周期，则由太阳对地球的引力提供地球围绕太阳做圆周运动的向心力得Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r①
设在地球表面附近有质量为m′物体，则Geq \f(mm′,R2)＝m′g②
联立①②解得M＝eq \f(4π2r3,T2)·eq \f(m,R2g)≈1.9×1030 kg。
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9．一物体从某行星表面某高度处自由下落。从物体开始下落计时，得到物体离行星表面高度h随时间t变化的图像如图所示，不计阻力。则根据h－t图像可以计算出( C )
A．行星的质量
B．行星的半径
C．行星表面重力加速度的大小
D．物体受到行星引力的大小
解析：物体离行星表面的高度为25 m，落地时间为2.5 s，根据h＝eq \f(1,2)gt2，得出重力加速度g；由题中条件不能知道行星的半径，所以也不能求出行星的质量。由于不知道物体的质量，所以不能求出物体受到行星的引力大小。故选C。
10．(多选)组成星球的物质是靠引力吸引在一起的，这样的星球有一个最大的自转的速率，如果超出了该速率，星球的万有引力将不足以维持其赤道附近的物体随星球做圆周运动，由此能得到半径为R，密度为ρ、质量为M且均匀分布的星球的最小自转周期T，下列表达式正确的是( BC )
A．T＝2πeq \r(\f(3R3,GM)) B．T＝2πeq \r(\f(R3,GM))
C．T＝eq \r(\f(3π,Gρ)) D．T＝eq \r(\f(π,Gρ))
解析：当周期小到一定值时，压力为零，此时万有引力充当向心力，即eq \f(GMm,R2)＝meq \f(4π2R,T2)，解得T＝2πeq \r(\f(R3,GM)) ①，故B正确，A错误；星球的质量M＝ρV＝eq \f(4,3)πρR3，代入①式可得T＝eq \r(\f(3π,Gρ))，故C正确，D错误。
11．(2023·绵阳高一期末)石墨烯是一种具有超轻超高强度的新型材料。有人设想：用石墨烯制作超级缆绳连接地球赤道上的固定基地与同步空间站，利用超级缆绳承载太空电梯从地球基地向空间站运送物资。已知地球半径R，自转周期T，地球北极表面重力加速度g0，引力常量G。
(1)求地球的质量M；
(2)太空电梯停在距地3R的站点，求该站点处的重力加速度g的大小。
答案：(1)eq \f(g0R2,G) (2)eq \f(g0,16)－eq \f(16Rπ2,T2)。
解析：(1)设质量为m0的物体北极地面静止，则m0g0＝Geq \f(Mm0,R2)，解得M＝eq \f(g0R2,G)。
(2)设货物质量为m，在距地面高3R站点受到的万有引力为F，则F＝Geq \f(Mm,4R2)
货物绕地球做匀速圆周运动，设太空电梯对货物的支持力为FN，则
F－FN＝mω24R
FN＝mg
ω＝eq \f(2π,T)
解得g＝eq \f(g0,16)－eq \f(16Rπ2,T2)。
12．在星球M上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把物体P轻放在弹簧上端，P由静止向下运动，物体的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图中实线所示。在另一星球N上用完全相同的弹簧，改用物体Q完成同样的过程，其a－x关系如图中虚线所示，假设两星球均为质量均匀分布的球体。已知星球M的半径是星球N的3倍，求：
(1)Q和P的质量之比是多少；
(2)星球M和星球N的密度之比为多少。
答案：(1)eq \f(mQ,mP)＝6 (2)eq \f(ρM,ρ N)＝1
解析：(1)设星球M和星球N表面重力加速度分别为gM和gN，P、Q两物体质量分别为mP和mQ，由牛顿第二定律可知
mg－kx＝ma，a＝－eq \f(kx,m)＋g，
由图可知eq \f(k,mP)＝eq \f(3a0,x0)，eq \f(k,mQ)＝eq \f(a0,2x0)，解得eq \f(mQ,mP)＝6。
(2)由(1)可知eq \f(gM,gN)＝3，由Geq \f(mM,R2)＝mg，即GM＝gR2，M＝eq \f(4,3)ρπR3，
联解可得eq \f(ρM,ρN)＝1。