高中物理人教版 (2019)必修 第二册2 万有引力定律随堂练习题

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合格考训练
1．物理学领域中具有普适性的一些常量，对物理学的发展有很大作用，引力常量G就是其中之一。1798年，卡文迪什首次利用如图所示的装置，比较精确地测量出了引力常量。下列说法错误的是( D )
A．引力常量不易测量的一个重要原因就是地面上普通物体间的引力太微小
B．月球上的引力常量等于地球上的引力常量
C．这个实验装置巧妙地利用放大原理，提高了测量精度
D．引力常量G的大小与两物体质量的乘积成反比，与两物体间距离的平方成正比
解析：引力常量不易测量的一个重要原因就是地面上普通物体间的引力太微小，选项A正确，不符合题意；引力常量是固定不变的量，与在月球上还是地球上无关，选项B正确，不符合题意；这个实验装置巧妙地利用放大原理，提高了测量精度，选项C正确，不符合题意；引力常量G的大小为定值，与两物体质量的乘积以及两物体间距离的平方无关，选项D错误，符合题意。
2. (多选)如图所示，三颗质量均为m的地球同步卫星等间隔分布在半径为r的圆轨道上，设地球质量为M、半径为R。下列说法正确的是( AC )
A．地球对一颗卫星的引力大小为eq \f(GMm,r2)
B．一颗卫星对地球的引力大小为eq \f(GMm,r－R2)
C．两颗卫星之间的引力大小为eq \f(Gm2,3r2)
D．三颗卫星对地球引力的合力大小为eq \f(3GMm,r2)
解析：根据万有引力定律可知卫星与地球之间的引力大小为F＝eq \f(GMm,r2)，r应为卫星到地球球心间的距离也就是卫星运行轨道半径r，故A正确，B错误；做出卫星之间的关系图如图
根据几何关系可知，两同步卫星间的距离d＝eq \r(3)r，故两卫星间的引力大小为F′＝Geq \f(mm,d2)＝eq \f(Gm2,3r2)，故C正确；卫星对地球的引力均沿卫星地球间的连线向外，由于三颗卫星质量大小相等，对地球的引力大小相等，又因为三颗卫星等间隔分布，根据几何关系可知，地球受到三个卫星的引力大小相等方向成120°角，所以合力为0，故D错误。
3．(2023·大庆市高一月考)2021年4 月 29 日 11 时 22 分我国空间站“天和”核心舱发射成功。在地球引力作用下，绕地球做匀速圆周运动，已知地球的质量为M，地球的半径为R，“天和”的质量为m，离地面的高度为h，引力常量为G，则地球对“天和”的万有引力大小为( A )
A．Geq \f(Mm,R＋h2) B．Geq \f(Mm,R2)
C．Geq \f(Mm,h2) D．Geq \f(Mm,R＋h)
解析：根据万有引力定律可知地球对“天和”的万有引力大小为F＝Geq \f(Mm,R＋h2)，故选A。
4．(2023·江苏淮安市高一月考)假设在宇宙中存在这样三个天体A、B、C，它们在一条直线上，天体A离天体B的高度为某值时，天体A和天体B就会以相同的角速度共同绕天体C运转，且天体A和天体B绕天体C运动的轨道都是圆轨道，如图所示，以下说法正确的是( D )
A．天体A做圆周运动的加速度小于天体B做圆周运动的加速度
B．天体A做圆周运动的速度小于天体B做圆周运动的速度
C．天体B做圆周运动的向心力等于天体C对它的万有引力
D．天体B做圆周运动的向心力小于天体C对它的万有引力
解析：由于天体A和天体B绕天体C运动的轨道都是圆轨道，角速度相同，由a＝rω2可知天体A做圆周运动的加速度大于天体B做圆周运动的加速度，A错误；由公式v＝ωr，角速度相同，可知天体A做圆周运动的线速度大于天体B做圆周运动的线速度，B错误；天体B做圆周运动的向心力是A、C的万有引力的合力提供的，即Fn＝FCB－FAB，所以天体B做圆周运动的向心力小于天体C对它的万有引力，C错误，D正确。
5．(2023·浙江省德清县高一月考)假设地球可视为质量均匀分布的球体，已知地球表面的重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g；地球自转的周期为T，引力常量为G，则地球的半径是( A )
A.eq \f(g0－gT2,4π2) B．eq \f(g0＋gT2,4π2)
C.eq \f(g0T2,4π2) D．eq \f(gT2,4π2)
解析：在两极，重力等于万有引力mg0＝Geq \f(Mm,R2)，在赤道，万有引力等于重力和随地球自转的向心力之和 Geq \f(Mm,R2)＝mg＋mR·eq \f(4π2,T2)，联立可得地球半径为R＝eq \f(g0－gT2,4π2)，A正确，B、C、D错误。
6．一物体在地面受到的重力为160 N，将它放置在航天飞机中，在航天飞机以a＝eq \f(g,2)的加速度随火箭向上加速升空的过程中，某一时刻测得物体与航天飞机中的支持物的相互作用力为90 N，求此时航天飞机距地面的高度。(地球半径取6.4×106 m，g取10 m/s2)
答案：1.92×107 m
解析：航天飞机离地面的距离为h时，物体受到地球的万有引力F＝Geq \f(Mm,R地＋h2)
在地球表面有Geq \f(Mm,R\\al(2,地))＝mg ①
在升至离地面h高度时，FN－Geq \f(Mm,R地＋h2)＝ma ②
由①②式得eq \f(R地＋h2,R\\al(2,地))＝eq \f(mg,FN－ma)
则h＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(\f(mg,FN－ma))－1))R地 ③
由mg＝160 N，得m＝16 kg，将m＝16 kg，FN＝90 N，a＝eq \f(1,2)g＝5 m/s2，R地＝6.4×103 km，g＝10 m/s2代入③式得h＝1.92×107 m。
7．(2022·辽源市第五中学校高一月考)火星半径是地球半径的eq \f(1,2)，火星质量大约是地球质量的eq \f(1,9)，那么地球表面上质量为50 kg的宇航员(地球表面的重力加速度g取10 m/s2)
(1)在火星表面上受到的重力是多少？
(2)若宇航员在地球表面能跳1.5 m高，那他在火星表面能跳多高？
答案：(1)222.2 N (2)3.375 m
解析：(1)在地球表面有mg＝Geq \f(Mm,R2)，在火星表面上有mg′＝Geq \f(M′m,R′2)，
代入数据，联立解得g′＝eq \f(40,9) m/s2，
则宇航员在火星表面上受到的重力
G′＝mg′＝50×eq \f(40,9) N≈222.2 N。
(2)在地球表面宇航员跳起的高度H＝eq \f(v\\al(2,0),2g)，
在火星表面宇航员能够跳起的高度h＝eq \f(v\\al(2,0),2g′)，
联立解得h＝eq \f(g,g′)H＝eq \f(9,4)×1.5 m＝3.375 m。
等级考训练
8．(2022·黄梅国际育才高级中学高一月考)据报道，在太阳系外发现了首颗“宜居”行星，设其质量为地球质量的k倍，其半径为地球半径的p倍，由此可推知该行星表面的重力加速度与地球表面重力加速度之比为( B )
A.eq \f(k,p) B．eq \f(k,p2)
C.eq \f(k2,p) D．eq \f(k2,p2)
解析：由天体表面上的物体所受到的重力近似等于万有引力，即mg＝Geq \f(Mm,R2)，可得g地＝Geq \f(M地,R\\al(2,地))，g星＝Geq \f(M星,R\\al(2,星))，所以有eq \f(g星,g地)＝eq \f(M星,M地)·eq \f(R\\al(2,地),R\\al(2,星))＝eq \f(k,p2)，选项B正确。
9．如图所示为一质量为M的球形物体，质量分布均匀，半径为R，在距球心2R处有一质量为m的质点。若将球体挖去一个半径为eq \f(R,2)的小球，两球心和质点在同一直线上，且挖去的球的球心在原来球心和质点连线外，两球表面相切。已知引力常量为G，则剩余部分对质点的万有引力的大小为( C )
A.eq \f(7GMm,36R2) B．eq \f(11GMm,36R2)
C.eq \f(23GMm,100R2) D．eq \f(29GMm,100R2)
解析：根据m＝ρV＝ρeq \f(4,3)πr3，由于挖去的球体半径是原球体半径的eq \f(1,2)，则挖去的球体质量是原球体质量的eq \f(1,8)，所以挖去的球体质量M′＝eq \f(1,8)M，未挖时，原球体对质点的万有引力F1＝eq \f(GMm,4R2)，挖去部分对质点的万有引力F2＝eq \f(GM′m,2.5R2)＝eq \f(GMm,50R2)，则剩余部分对质点的万有引力大小F＝F1－F2＝eq \f(23GMm,100R2)，故A、B、D错误， C正确。
10．(2022·朝阳区高一校联考期中)牛顿利用他的运动规律把行星的向心加速度与太阳对它的引力联系起来，并深入思考了月球受到的引力与地面物体受到的引力的关系。设太阳质量m1，地球质量m2，月球质量m3，地球与太阳间距离为R，月球与地球间距离为r。若地球绕太阳的运动及月球绕地球的运动可以看作匀速圆周运动。关于得出万有引力定律的推理，下列说法正确的是( C )
A．根据地球绕太阳的运动规律及开普勒第三定律得出，太阳对地球的吸引力F∝eq \f(m1,R2)
B．根据牛顿第三定律及对称性，地球对太阳的吸引力F′∝eq \f(m2,R2)与太阳对地球的吸引力F∝eq \f(m1,R2)的比例系数相同
C．类比地球绕太阳的运动规律及开普勒第三定律得出，地球对月球的吸引力f∝eq \f(m3,r2)
D．若地球对苹果的吸引力与地球对月球的力是同一种力，则苹果自由落体加速度与月球绕地球做圆周运动的向心加速度之比为eq \f(r2,R2)
解析：若地球绕太阳的运动为圆周运动，则太阳对地球的吸引力提供向心力，即F＝m2eq \f(4π2,T2)R，根据开普勒第三定律eq \f(R3,T2)＝k，联立可得F＝4π2k·eq \f(m2,R2)∝eq \f(m2,R2)，故A错误；同理可得，地球对太阳的吸引力为F′＝4π2k′·eq \f(m1,R2)∝eq \f(m1,R2)，其比例系数中的k只与中心天体的质量有关，所以二者的比例系数不相同，故B错误；类比地球绕太阳的运动规律及开普勒第三定律得出，地球对月球的吸引力为f＝4π2k″·eq \f(m3,r2)∝eq \f(m3,r2)，故C正确；若地球对苹果的吸引力与地球对月球的力是同一种力，则a月＝eq \f(F月,m月)＝eq \f(Gm2,r2)，a苹＝eq \f(F苹,m苹)＝eq \f(Gm2,R\\al(2,地))，所以苹果自由落体加速度与月球绕地球做圆周运动的向心加速度之比为eq \f(a苹,a月)＝eq \f(r2,R\\al(2,地))，故D错误。故选C。
11．(多选)(2022·长沙高一期末)太空中的两颗小行星(S星和N星)的运动可视为在同一平面内沿相同方向绕太阳做匀速圆周运动，测得两小行星之间的距离Δr随时间变化的关系如图所示。已知S星距太阳的距离大于N星距太阳的距离，仅考虑两小行星与太阳之间的引力。则关于S星和N星的说法正确的是( AB )
A．S星的轨道半径为3r
B．S星与N星的周期之比为2eq \r(2)∶1
C．S星与N星的线速度之比为1∶eq \r(3)
D．S星的角速度为eq \f(2\r(2),2\r(2)－1)·eq \f(2π,T)
解析：设S星距太阳的距离为r1，N星距太阳的距离为r2，r1>r2，根据图像有r1＋r2＝4.5r，r1－r2＝1.5r，联立解得r1＝3r，r2＝1.5r，故A正确；两小行星均绕太阳运动，设S星与N星的周期分别为T1、T2，根据开普勒第三定律有eq \f(r\\al(3,1),T\\al(2,1))＝eq \f(r\\al(3,2),T\\al(2,2))，可解得eq \f(T1,T2)＝2eq \r(2)，故B正确；根据v＝eq \f(2πr,T)，可得eq \f(v1,v2)＝eq \f(r1,r2)·eq \f(T2,T1)＝eq \f(\r(2),2)，故C错误；根据图像可知，经过时间T两小行星再次相距最近，有ω2·T－ω1·T＝2π，结合eq \f(ω1,ω2)＝eq \f(T2,T1)，联立解得ω1＝eq \f(1,2\r(2)－1)·eq \f(2π,T)，故D错误。故选AB。
12．(2023·厦门一中高一阶段练习)牛顿利用行星围绕太阳的运动可看作匀速圆周运动，借助开普勒三定律推导出两物体间的引力与它们质量的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比。牛顿思考月球绕地球运行的原因时，苹果的偶然落地引起了他的遐想：拉住月球使它围绕地球运动的力与拉着苹果下落的力，是否都与太阳吸引行星的力性质相同，即都遵循着平方反比规律？因此，牛顿开始了著名的“月—地检验”。
(1)将月球绕地球运动看作匀速圆周运动。已知月球质量为m，月球半径为r，地球质量为M，地球半径为R，地球和月球质心间的距离为L，月球绕地球公转的周期T，求地球和月球之间的相互作用力F；
(2)在牛顿的时代，L和T都能较精确地测定，已知L≈3.84×108 m、T≈2.36×106 s，地面附近的重力加速度g＝9.80 m/s2，请据此写出计算月球公转的向心加速度a的表达式并计算比值eq \f(a,g)；
(3)已知月球与地球的距离约为地球半径的60倍，如果牛顿的猜想正确，请你据此计算月球公转的向心加速度a和苹果下落的加速度g的比值，并与(2)中的结果相比较，你认为牛顿的猜想是正确的吗？(2)(3)问在数字计算过程中可用近似π2≈g。(结果保留两位有效数字)
答案：(1)meq \f(4π2,T2)L (2)2.7×10－4 (3)2.8×10－4；正确
解析：(1)月球绕地球运动看作匀速圆周运动，则地球和月球之间的相互作用力
F＝meq \f(4π2,T2)L。
(2)根据向心加速度的表达式得a＝ω2L＝eq \f(4π2,T2)L
代入相关数据得eq \f(a,g)≈2.7×10－4。
(3)根据牛顿的猜想，若两个引力都与太阳吸引行星的力性质相同，遵循着统一的规律，都是由地球的吸引产生的，则Geq \f(Mm,r2)＝ma
地球表面的物体Geq \f(Mm0,R2)＝m0g
所以eq \f(a,g)＝eq \f(R2,r2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(R,r)))2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,60)))2＝eq \f(1,3 600)≈2.8×10－4，与(2)的结果比较可知，两种情况下的计算的结果是近似相等的，可知牛顿的猜想是正确的。