浙江省金华市义乌市第二中学2023-2024学年高一数学上学期10月统测试题（Word版附解析）

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分
1. 已知全集，集合，那么阴影部分表示的集合为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据韦恩图知阴影部分为，结合集合交集、补集的运算求集合即可.
【详解】由题图，阴影部分为，而或，且，
所以.
故选：A
2. 已知集合，集合，若，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由即可求实数a的取值范围.
【详解】因为集合，集合，
若，则，
故选：D.
3. 不等式的解集是（ ）.
A. B.
C. ，或D. ，或
【答案】B
【解析】
【分析】先将不等式的右边化为零，然后根据一元二次不等式的解法求得不等式的解集.
【详解】由题意，∴，
即，解得：，
∴该不等式的解集是.
故选：B
【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，属于基础题.
4. 已知命题：“”为假命题，则实数a的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由“”为假命题得到“方程无实根”，即可求解.
【详解】解：“”为假命题等价于“方程无实根”，
即，
解得：.
故选：B.
5. 若，则的取值范围是（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据不等式的性质求解．
【详解】因为
所以，，
所以，即．
故选：C．
【点睛】本题考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题关键．
6. 下列不等式恒成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据作差法判断AC，举反例判断BD.
【详解】由于，可得，当且仅当a=b时，等号成立，可知选项A错误；
若可得则，可知选项B错误；
由于，可得，可知选项C正确；
若可得则，可知选项D错误；
故选：C.
7. 已知不等式成立的充分不必要条件是，则m的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出不等式的解集，再由集合间的包含关系即可求出m的取值范围.
【详解】解不等式可得，
又不等式成立的充分不必要条件是，所以可得；
即，解得；
经检验不等式两边不会同时取到等号，
所以m的取值范围是.
故选：D
8. 已知，其中，若，则正实数a的取值范围为（ ）
A. 或B. 或C. 或D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意得出分段函数，分类解不等式即可.
【详解】令，解得，
当时，，，即，且，解得或（舍去）；
当时，，，即，且，解得，
当时，， ，因为为正实数，所以此种情况无解.
综上正实数a的取值范围为：或.
故选：B
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9. 下列不等式的解集为R的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用一元二次不等式的解法逐个分析判断即可.
【详解】对于A，因为，，
所以不等式的解集为，所以A正确，
对于B，因为，
所以不等式的解集为，所以B正确，
对于C，因为，
所以不等式的解集为，所以C正确，
对于D，因为，
而方程的根为，
所以不等式的解集为，所以D错误，
故选：ABC
10. 下列结论正确的是（ ）
A. 若，则“”是“”的必要不充分条件
B. 记集合和，则
C. 若x，y，m均为正实数且，则
D. 若，则
【答案】BD
【解析】
【分析】对选项A，首先解不等式得到与异号，即可判断A错误，对选项B，根据集合子集和并集概念即可判断B正确，对选项C，D，利用作差法即可判断C错误，D正确.
【详解】对选项A，与异号.
所以“”是“”的充分不必要条件，故A错误；
对选项B：集合和，则，故B正确.
对选项C，，
因为x，y，m均为正实数且，所以，即，故C错误.
对选项D，，
因为，
所以，即，故D正确.
故选：BD
11. 已知函数的值域是[1，2]，则其定义域可能是（ ）
A. []B. [ ]C. D. []
【答案】ABC
【解析】
【分析】
由可得或，由可得，然后可得答案.
【详解】因为函数的值域是[1，2]，由可得或，由可得
所以其定义域可以为A、B、C中的集合
故选：ABC
12. 已知关于x的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】由一元二次不等式的解集可得判断A、D，再将题设转化为，结合二次函数的性质，应用数形结合的方法判断B、C.
【详解】由题设，的解集为，
∴，则，
∴，，则A、D正确；
原不等式可化为的解集为，而的零点分别为且开口向下，又，如下图示，
∴由图知：，，故B错误，C正确
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：由根与系数关系得，结合二次函数的性质及数形结合思想判断各选项的正误.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 若，则_________；________．
【答案】 ①. 24 ②.
【解析】
【分析】利用换元法求函数的解析式即可求解
【详解】令，则
故，则24
故答案为 24 ；
【点睛】本题考查换元法求函数解析式，注意换元时新元的范围，是中档题
14. 若命题“”是假命题，则实数的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，得到命题“”是真命题，进而求得实数的取值范围.
【详解】由命题“”是假命题，因此其否定“”是真命题，
所以，所以实数的取值范围是.
故答案为：.
15. 已知函数（，为实数），.若方程有两个正实数根，，则的最小值是_________ .
【答案】
【解析】
【分析】由求得，再由方程有两个正实数根，，利用根的分布得到，然后利用韦达定理求解.
【详解】因为函数（，为实数），，
所以，
解得，
所以，
因为方程有两个正实数根，，
所以，解得，
又，，
所以，
当时，等号成立，所以的最小值是.
故答案为：
16. 已知实数，且，则的最小值是____________．
【答案】
【解析】
【分析】利用“1”的代换及基本不等式求目标式的最小值即可.
【详解】因为，所以，，
所以，
当且仅当，即，时等号成立，
所以，即，
所以的最小值是，
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 求下列函数的值城
（1）y＝
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由二次函数性质得分母范围，再求原函数值域，
（2）设，得到，利用二次函数性质，即可求解．
【小问1详解】
∵，
则，即原函数值域为，
【小问2详解】
设，则且，得．
因为，所以，即该函数的值域为．
18. 已知p：，q：．
（1）若p为真，求x的取值范围;
（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先将分式不等式化为一元二次不等式，然后求解出解集即可；
（2）根据对应的的取值集合间的真子集关系将问题转化为“对任意，恒成立”，利用基本不等式以及恒成立思想求解出的取值范围.
【小问1详解】
因为为真，所以，所以，
所以，
解得，即的取值范围是；
【小问2详解】
由题意得对应的取值集合是对应的取值集合的真子集，
即对任意，恒成立，
所以对任意，，即，
又因为，当且仅当取等号，
所以.
19. 已知集合．．
（1）若，求实数m的取值范围：
（2）若，求实数m的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由分类讨论、，分别列不等式求的范围，取并集即可.
（2）由条件知，讨论、，分别列不等式求的范围，取并集即可.
【小问1详解】
时，知：
当时，得；
当时，或，
解得；
综上，∴的取值范围为；
【小问2详解】
因为，所以，所以，
当时，得；
当时，解得；
综上可得，即m的取值范围是；
20. 现有A，B，C，D四个长方体容器，A，B的底面积均为，高分别为a和b；C，D的底面积均为，高分别为a和b（其中）．现规定游戏规则：甲从这四个容器中选择两个，剩下的两个给乙，盛水多者为胜，则甲有没有必胜的方案？若有的话，有几种？请写出计算过程．（提示：）
【答案】有一种，甲先取、是唯一必胜的方案.
【解析】
【分析】分3种情况：①若甲先取、，乙只能取、；②若甲先取、，乙只能取、；③若甲先取、，乙只能取、；分别作差比较大小可得．
【详解】①若甲先取、，则乙只能取、或反之，
因为，
显然，而，的大小不定，所以正负不确定，
所以这种取法没有必胜的把握；
②若甲先取、，乙只能取、或反之，
因为，
显然，而，的大小不定，所以正负不确定，
所以这种取法没有必胜的把握；
③若甲先取、，乙只能取、或反之，
因为，
又，，，所以，即，
故甲先取、是唯一必胜的方案．
21. 已知函数，.
（1）若不等式的解集为，求不等式的解集；
（2）若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据不等式的解集转化为一元二次方程，利用根与系数之间的关系求出，然后解一元二次不等式即可；
（2）问题转化为在恒成立，令，，根据函数的单调性求出的范围即可；
【小问1详解】
若不等式的解集为，
即1，2是关于的方程的两个根，
则，即，
则，由得，
即，得，解得或，
即不等式的解集为．
【小问2详解】
不等式对于任意的恒成立，
即对于任意的恒成立，
令，，
则，
令，解得，
当时，当时时
故在上单调递增，在上单调递减，
又，，
故，所以．
22. 设a为实数，函数．
（1）若，解不等式;
（2）求的最小值．
【答案】（1）
（2）1
【解析】
【分析】（1）时原函数为 由得，分类讨论求解即可；
（2）化为分段函数，分类讨论求解.
【小问1详解】
时原函数为
由得，
①时，，解得；
②时，，解得，
综上，不等式解集为.
【小问2详解】
由原函数可得，
易知，当时，，
①当时，在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故；
②当，在上单调递增，
在上单调递减，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故；
③当，在上单调递减，在上单调递增，
在上单调递减，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故；