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2020-2021学年浙江省金华市义乌市高一（上）期末数学试卷
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这是一份2020-2021学年浙江省金华市义乌市高一（上）期末数学试卷，共19页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年浙江省金华市义乌市高一（上）期末数学试卷
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．（5分）设集合A＝{m，n}，则集合A的子集个数为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
2．（5分）命题p：∀x＞0，2x＞1，则命题p的否定形式是（ ）
A．∀x＞0，2x≤1 B．∀x≤0，2x＞1
C．∃x0＞0，2≤1 D．∃x0≤0，2＞1
3．（5分）在单位圆中，已知角α的终边上与单位圆的交点为，则位于第几象限（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（5分）用一段长为50m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙a长25m．当这个矩形菜园ABCD的宽（矩形的较短边）为（ ）时，围成的矩形菜园ABCD的面积最大？
A． B． C．10 D．15
5．（5分）设A，B为△ABC的两个内角，则“A＞B”是“tanA＞tanB”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（5分）幂函数，指数函数，对数函数是生活中三类常见基本的初等函数，可以刻画客观世界不同的变化规律．已知函数y＝xa，y＝bx，y＝logcx的图象如图所示，则（ ）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．b＜c＜a
7．（5分）已知函数记作Φ，为了得到函数，只需（ ）
A．先将Φ的横坐标缩短到原来的2倍，再向右平移个单位
B．先将Φ横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位
C．先将Φ向右平移个单位，再将横坐标缩短到原来的
D．先将Φ向右平移个单位，再将横坐标缩短到原来的2倍
8．（5分）在人类用智慧架设的无数座从已知通向未知的金桥中，用二分法求方程的近似解是其中璀璨的一座．已知A为锐角△ABC的内角，满足sinA﹣2cosA+tanA＝1，则A∈（ ）
A．（0，） B．（，） C．（，） D．（，）
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．）
9．（5分）狄利克雷是德国著名数学家，是最早倡导严格化方法的数学家之一．狄利克雷函数f（x）＝（Q是有理数）的出现表示数学家对数学的理解开始了深刻的变化，从研究“算”到研究更抽象的“概念，性质，结构”．关于f（x）的性质，下列说法正确的是（ ）
A．f（π）＞f（0） B．函数f（x）是偶函数
C．f（f（x））＝1 D．函数f（x）是周期函数
10．（5分）已知f（x）＝2sinx+cosx+1．对任意的x∈R均有f（x1）≤f（x）≤f（x2），则（ ）
A．f（x1）﹣f（x2）＝﹣2 B．f（x1）+f（x2）＝2
C．sinx1＝ D．sinx2＝
11．（5分）下列等式中恒成立的是（ ）
A．＝ B．
C． D．
12．（5分）函数f（x）＝（x2﹣ax﹣1）（x﹣b），当x＞0时，f（x）≥0，则ab的取值可以是（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．﹣
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上2000m，游回产地产卵．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v（单位：m/s）可以表示为，其中O表示鱼的耗氧量的单位数．当一条鱼的耗氧量是8100个单位时，它的游速是 m/s．
14．（5分）英国数学家泰勒发现了如下公式：
sinx＝x﹣+…，
cosx＝1﹣…，
其中n!＝1×2×3×…×n．
这些公式可以利用多项式来逼近原函数，在近似计算上又独特的优势．比如，利用前三项计算cos1，就得到cos1≈1﹣．那么，利用前三项计算sin3可以得到它的近似值为 .（保留分数）
15．（5分）设f（x）是定义在R上的函数，对任意实数有f（x）f（x﹣2）＝1，又当0＜x≤2时，，则f（8）＝ ．
16．（5分）设函数f（x）＝|ln（x+2）|﹣（a∈R），若其定义域内不存在实数x，使得f（x）≤0，则a的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）设集合A＝{x|﹣1＜x＜a}，B＝{x|x2+x﹣6＜0}，全集U＝R．
（1）若a＝4，求A∩B，（∁UB）∩A；
（2）若A∩B＝A，求a的取值范围．
18．（12分）观察下列各等式：
tan10°tan20°+tan20°tan60°+tan60°tan10°＝1
tan20°tan30°+tan30°tan40°+tan40°tan20°＝1
tan33°tan44°+tan44°tan13°+tan33°tan13°＝1
（1）尝试再写出一个相同规律的式子；
（2）写出能反映以上式子一般规律的恒等式；
（3）并对你写出的（2）恒等式进行证明．
19．（12分）在①f（x）＝﹣；②f（x）＝+；③f（x）＝log2（+ax）这三个函数中任选一个，补充在下面问题中，并完成问题．
问题：已知a∈R*，函数______是奇函数，求不等式f（x）+≥0的解集．
20．（12分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，，是函数的两个相邻的零点，且图象过（0，﹣1）点．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数g（x）＝f（x）•f（x﹣）的单调增区间以及对称轴方程．
21．（12分）定义在（0，+∞）上的函数f（x）对于任意的x，y∈R*，总有f（x）+f（y）＝f（xy），且当x＞1时，f（x）＜0且f（e）＝﹣1．
（1）求f（1）的值；
（2）判断函数在（0，+∞）上的单调性，并证明；
（3）求函数f（x）在上的最大值与最小值．
22．（12分）全球新冠疫情蔓延，对呼吸机需求暴增．浙江某企业接到生产1000台呼吸机的α，β，γ型零配件的订单，每台呼吸机分别需要α，β，γ型零配件各3，3，1件．已知每个工人每天可以生产4件α型零配件，或2件β型零配件，或1件γ型零配件．该企业计划安排100名工人分成三组分别生产者α，β，γ型零配件，且安排生产β型零配件的人数是生产α型零配件的人数的k（k∈N*，k＞1）倍．
（1）生产α型零配件的人数为x，分别写出α，β，γ型零配件生产所需要的时间；
（2）假设生产α，β，γ型零配件同时开工，请确定整数k，使得在最短时间内完成订单任务；并给出时间最短时的人数分组方案．
2020-2021学年浙江省金华市义乌市高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．（5分）设集合A＝{m，n}，则集合A的子集个数为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
【解答】解：集合A＝{m，n}，则其子集有22＝4个，
故选：C．
2．（5分）命题p：∀x＞0，2x＞1，则命题p的否定形式是（ ）
A．∀x＞0，2x≤1 B．∀x≤0，2x＞1
C．∃x0＞0，2≤1 D．∃x0≤0，2＞1
【解答】解：命题p：∀x＞0，2x＞1，
则命题p的否定形式是∃x0＞0，2≤1．
故选：C．
3．（5分）在单位圆中，已知角α的终边上与单位圆的交点为，则位于第几象限（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：在单位圆中，已知角α的终边上与单位圆的交点为，∴cosα＝﹣，sinα＝．
则，即 Q（sinα﹣cosα，﹣sinα），即 Q（，﹣），
故点Q位于第四象限，
故选：D．
4．（5分）用一段长为50m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙a长25m．当这个矩形菜园ABCD的宽（矩形的较短边）为（ ）时，围成的矩形菜园ABCD的面积最大？
A． B． C．10 D．15
【解答】解：设矩形的宽为x米，矩形的面积为S，
则由题意可得矩形的长为50﹣2x，则12.5≤x＜25，
所以矩形的面积为S＝x（50﹣2x）＝﹣2x2+50x，
因为0＜x＜25，所以当x＝＝时，矩形面积取得最大值，
故选：B．
5．（5分）设A，B为△ABC的两个内角，则“A＞B”是“tanA＞tanB”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：当A＞B时，若A是钝角，B为锐角，则tanA＜0＜tanB，
当A＝，B＝时，满足tanA＞tanB，但此时A＜B，
所以“A＞B”是“tanA＞tanB”的既不充分也不必要条件．
故选：D．
6．（5分）幂函数，指数函数，对数函数是生活中三类常见基本的初等函数，可以刻画客观世界不同的变化规律．已知函数y＝xa，y＝bx，y＝logcx的图象如图所示，则（ ）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．b＜c＜a
【解答】解：对数函数y＝logcx过（1，0）点，为增函数，则c＞1，
指数函数y＝bx过（0，1）点，为减函数，则0＜b＜1，
幂函数在第一象限为减函数，则a＜0，
则a＜b＜c，
故选：A．
7．（5分）已知函数记作Φ，为了得到函数，只需（ ）
A．先将Φ的横坐标缩短到原来的2倍，再向右平移个单位
B．先将Φ横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位
C．先将Φ向右平移个单位，再将横坐标缩短到原来的
D．先将Φ向右平移个单位，再将横坐标缩短到原来的2倍
【解答】解：函数记作Φ，为了得到函数，
只需先将Φ横坐标缩短到原来的倍，得到y＝2sin（2x﹣）的图象，
再向右平移个单位，即可得到函数的图象，
故选：B．
8．（5分）在人类用智慧架设的无数座从已知通向未知的金桥中，用二分法求方程的近似解是其中璀璨的一座．已知A为锐角△ABC的内角，满足sinA﹣2cosA+tanA＝1，则A∈（ ）
A．（0，） B．（，） C．（，） D．（，）
【解答】解：A为锐角△ABC的内角，满足sinA﹣2cosA+tanA＝1，
设f（A）＝sinA﹣2cosA+tanA﹣1，
在（0，）中取A＝，得f（）＝sin﹣2cos+tan﹣1＝﹣，
在（0，）中取，得f（）＝sin﹣2cos+tan﹣1＝﹣，
f（0）＝sin0﹣2cos0+tan0﹣1＝﹣3，
f（）＝sin﹣2cos+tan﹣1＝，
∵f（）f（）＜0，
∴A∈（）．
故选：C．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．）
9．（5分）狄利克雷是德国著名数学家，是最早倡导严格化方法的数学家之一．狄利克雷函数f（x）＝（Q是有理数）的出现表示数学家对数学的理解开始了深刻的变化，从研究“算”到研究更抽象的“概念，性质，结构”．关于f（x）的性质，下列说法正确的是（ ）
A．f（π）＞f（0） B．函数f（x）是偶函数
C．f（f（x））＝1 D．函数f（x）是周期函数
【解答】解：根据题意，狄利克雷函数f（x）＝（Q是有理数），
依次分析选项：
对于A，f（π）＝0，f（0）＝1，则f（π）＜f（0），A错误，
对于B，若x∈Q，则﹣x∈Q，有f（﹣x）＝f（x），若x∉Q，则﹣x∉Q，有f（﹣x）＝f（x），综合可得f（x）＝f（﹣x），
函数f（x）为偶函数，B正确，
对于C，f（x）＝，f（x）的值为有理数，则f（f（x））＝1，C正确，
对于D，对于∀T∈Q，满足x+T与x同时为有理数或无理数，f（x+T）＝f（x），函数f（x）是周期函数，D正确，
故选：BCD．
10．（5分）已知f（x）＝2sinx+cosx+1．对任意的x∈R均有f（x1）≤f（x）≤f（x2），则（ ）
A．f（x1）﹣f（x2）＝﹣2 B．f（x1）+f（x2）＝2
C．sinx1＝ D．sinx2＝
【解答】解：∵f（x1）≤f（x）≤f（x2），
∴f（x1）是最小值，f（x2）是最大值，
f（x）＝2sinx+cosx+1＝（sinx+cosx）+1，
设cosα＝，则sinα＝，
则f（x）＝（sinxcosα+cosxsinα）+1＝sin（x+α）+1，
所以f（x2）＝+1，f（x1）＝﹣+1，
所以f（x1）﹣f（x2）＝﹣2，故A错误，
f（x1）+f（x2）＝2，故B正确，
当x1+α＝2kπ﹣时，f（x1）是最小值，则x1＝2kπ﹣﹣α，
所以sinx1＝sin（2kπ﹣﹣α）＝sin（﹣﹣α）
＝﹣sin（+α）＝﹣cosα＝﹣＝﹣，故C错误，
当x2+α＝2kπ+时，f（x2）是最大值，则x2＝2kπ+﹣α，
所以sinx2＝sin（2kπ+﹣α）＝sin（﹣α）＝cosα＝＝，故D正确，
故选：BD．
11．（5分）下列等式中恒成立的是（ ）
A．＝
B．
C．
D．
【解答】解：A．在A中，1+cosα≠0，则cosα≠﹣1，此时sinα≠0，
∵（1+cosα）（1﹣cosα）＝1﹣cos2α＝sin2α，∴＝成立，故A正确，
B.＝＝sinαcosβ，故B错误，
C．左边＝﹣＝＝＝＝右边，故C正确，
D．D中由cos2x﹣sin2x≠0，得tan2x≠1，则1+tanx≠0，
左边＝＝＝＝右边，故D正确故选：ACD．
12．（5分）函数f（x）＝（x2﹣ax﹣1）（x﹣b），当x＞0时，f（x）≥0，则ab的取值可以是（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．﹣
【解答】解：设g（x）＝x2﹣ax﹣1，h（x）＝x﹣b，
则h（x）在（0，+∞）上为增函数，且h（b）＝0，
当x＞0时，f（x）≥0，则有x＞b时，g（x）≥0，
当0＜x＜b时，g（x）≤0，
即g（x）必过点（b，0），
则g（b）＝b2﹣ab﹣1＝0，即a＝b﹣，
此时g（x）＝x2+（﹣b）x﹣1＝（x+）（x﹣b），
则满足g（x）的另一个零点﹣≤0，
即b＞0，
所以ab＝b（b﹣）＝b2﹣1＞﹣1，
所以ab的取值可以是0，1．
故选：AB．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上2000m，游回产地产卵．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v（单位：m/s）可以表示为，其中O表示鱼的耗氧量的单位数．当一条鱼的耗氧量是8100个单位时，它的游速是 2 m/s．
【解答】解：当O＝8100时，
v＝，
故答案为：2．
14．（5分）英国数学家泰勒发现了如下公式：
sinx＝x﹣+…，
cosx＝1﹣…，
其中n!＝1×2×3×…×n．
这些公式可以利用多项式来逼近原函数，在近似计算上又独特的优势．比如，利用前三项计算cos1，就得到cos1≈1﹣．那么，利用前三项计算sin3可以得到它的近似值为 .（保留分数）
【解答】解：由题意，sin3＝3﹣＝3﹣+＝．
故答案为：．
15．（5分）设f（x）是定义在R上的函数，对任意实数有f（x）f（x﹣2）＝1，又当0＜x≤2时，，则f（8）＝ ．
【解答】解：根据题意，f（x）满足f（x）f（x﹣2）＝1，即f（x）＝，
则有f（x）＝＝f（x﹣4），即函数f（x）是周期为4的周期函数，
则f（8）＝f（4）＝，
又由当0＜x≤2时，，则f（2）＝，
故f（8）＝＝；
故答案为：．
16．（5分）设函数f（x）＝|ln（x+2）|﹣（a∈R），若其定义域内不存在实数x，使得f（x）≤0，则a的取值范围是 [﹣，0] ．
【解答】解：由题意，其定义域内任意实数x，使得f（x）＞0，
f（x）＝|ln（x+2）|﹣，解析式要有意义，则有，
①当a＝0时，f（x）＝|ln（x+2）|+2，定义域为（﹣2，+∞），满足f（x）＞0恒成立；
②当a＝﹣时，f（x）＝|ln（x+2）|+，定义域为（﹣2，+∞），满足f（x）＞0恒成立；
③当a＜0时，有﹣＞0在（﹣2，+∞）上恒成立，
所以，解得﹣＜a＜0；
④当a＞0时，在x＞时，有f（x）＜0，不符合题意．
综上，a的取值范围是[﹣，0]．
故答案为：[﹣，0]．
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）设集合A＝{x|﹣1＜x＜a}，B＝{x|x2+x﹣6＜0}，全集U＝R．
（1）若a＝4，求A∩B，（∁UB）∩A；
（2）若A∩B＝A，求a的取值范围．
【解答】解：（1）若a＝4，则A＝{x|﹣1＜x＜4}，B＝{x|﹣3＜x＜2}，
则A∩B＝{x|﹣1＜x＜2}，（∁UB）∩A＝{x|2≤x＜4}；
（2）若A∩B＝A，则A⊆B，
当A是空集时，即a≤﹣1时，满足条件，
当A不是空集时，则﹣1＜a≤2，
综上a≤2．
18．（12分）观察下列各等式：
tan10°tan20°+tan20°tan60°+tan60°tan10°＝1
tan20°tan30°+tan30°tan40°+tan40°tan20°＝1
tan33°tan44°+tan44°tan13°+tan33°tan13°＝1
（1）尝试再写出一个相同规律的式子；
（2）写出能反映以上式子一般规律的恒等式；
（3）并对你写出的（2）恒等式进行证明．
【解答】解：（1）∵tan30°tan45°+tan45°tan15°+tan30°tan15°
＝+1×tan（45°﹣30°）+×tan（45°﹣30°）
＝++×＝+（）+（）＝1，
故tan30°tan45°+tan45°tan15°+tan30°tan15°＝1．
（2）若，则tanαtanβ+tanβtanγ+tanβtanγ＝1．
（3）∵tan（﹣γ）＝＝＝，又，
∴tan（α+β）×tanγ＝＝1，
整理得tanαtanβ+tanβtanγ+tanβtanγ＝1．
19．（12分）在①f（x）＝﹣；②f（x）＝+；③f（x）＝log2（+ax）这三个函数中任选一个，补充在下面问题中，并完成问题．
问题：已知a∈R*，函数______是奇函数，求不等式f（x）+≥0的解集．
【解答】解：若选择①：
因为f（x）＝﹣是奇函数，
则有f（0）＝，解得a＝，当a＝时，
验证符合奇函数的定义，
不等式f（x）+≥0，即，即（ex）2﹣1≥﹣ex，
令t＝ex＞0，
所以不等式变形为t2+t﹣1≥0，解得，
所以，解得，
所以不等式f（x）+≥0的解集为；
若选择②：
因为f（x）＝+是奇函数，
则有f（1）+f（﹣1）＝，解得，
当时，符合奇函数的定义，
所以不等式f（x）+≥0，即，即，
变形为，解得2x＜1，所以x＜0，
故不等式f（x）+≥0的解集为（﹣∞，0）；
若选③：因为f（x）＝log2（+ax）是奇函数，
所以
＝恒成立，
故恒成立，解得，
又a＞0，所以，
不等式f（x）+≥0，即，所以，
移项得，
当时，解得；
当时，解得，
综上可得，不等式f（x）+≥0的解集为．
20．（12分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，，是函数的两个相邻的零点，且图象过（0，﹣1）点．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数g（x）＝f（x）•f（x﹣）的单调增区间以及对称轴方程．
【解答】解：（1）由图可知周期T＝π，所以ω＝＝2
由f（0）＝Asinφ＝﹣1，f（）＝Asin（+φ）＝A，
两式联立可得A＝2，φ＝﹣，
所以f（x）＝2sin（2x﹣）．
（2）g（x）＝2sin（2x﹣）•2sin（2x﹣﹣）＝﹣4sin（2x﹣）cos（2x﹣）＝﹣2sin（4x﹣），
令+2kπ≤4x﹣≤+2kπ，k∈Z，
解得+≤x≤+，k∈Z，
所以g（x）的单调增区间为[+，+]，k∈Z，
令4x﹣＝+kπ，k∈Z，解得x＝+，k∈Z，
即对称轴方程为x＝+，k∈Z．
21．（12分）定义在（0，+∞）上的函数f（x）对于任意的x，y∈R*，总有f（x）+f（y）＝f（xy），且当x＞1时，f（x）＜0且f（e）＝﹣1．
（1）求f（1）的值；
（2）判断函数在（0，+∞）上的单调性，并证明；
（3）求函数f（x）在上的最大值与最小值．
【解答】解：（1）因为f（x）+f（y）＝f（xy），
令x＝y＝1，则有f（1）+f（1）＝f（1），故f（1）＝0；
（2）f（x）在（0，+∞）上单调递减，证明如下：
令xy＝x1，x＝x2，y＞1，有xy＞x，f（y）＜0，
可得f（x2）+f（y）＝f（x1），则f（x1）﹣f（x2）＝f（y）＜0，
故对任意x1，x2∈（0，+∞），若x1＞x2，则f（x1）＜f（x2），
所以f（x）在（0，+∞）上单调递减；
（3）因为f（x）+f（y）＝f（xy），
令x＝y＝e，则有f（e2）＝f（e）+f（e）＝﹣2，
令x＝e，y＝，则有f（1）＝f（e）+f（）＝0，所以f（）＝1，
因为函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，
所以．
22．（12分）全球新冠疫情蔓延，对呼吸机需求暴增．浙江某企业接到生产1000台呼吸机的α，β，γ型零配件的订单，每台呼吸机分别需要α，β，γ型零配件各3，3，1件．已知每个工人每天可以生产4件α型零配件，或2件β型零配件，或1件γ型零配件．该企业计划安排100名工人分成三组分别生产者α，β，γ型零配件，且安排生产β型零配件的人数是生产α型零配件的人数的k（k∈N*，k＞1）倍．
（1）生产α型零配件的人数为x，分别写出α，β，γ型零配件生产所需要的时间；
（2）假设生产α，β，γ型零配件同时开工，请确定整数k，使得在最短时间内完成订单任务；并给出时间最短时的人数分组方案．
【解答】解：（1）设完成α、β、γ型零配件生产所需要的时间分别为f（x），g（x），h（x），
所以，，，
其中x，kx，100﹣（1+k）x均为1到100之间的正整数；
（2）完成订单任务的事件为m（x）＝max{f（x），g（x），h（x）}，其中定义域为，
所以f（x），g（x）为减函数，h（x）为增函数，且，
①当k＝2时，g（x）＝f（x），，
因为f（x）为减函数，h（x）为增函数，
所以当时，m（x）取得最小值，
此时，因为，
则m（23）＝f（23）＝，，
所以m（23）＜m（24），
所以当x＝23时，完成订单任务的事件最短为；
②当k≥3时，g（x）＜f（x），，
及，则T（x）为增函数，
令，
则，
因为f（x）为减函数，T（x）为增函数，
所以当时，φ（x）取得最小值，此时，
因为，
又φ（18）＝f（18）＝，φ（19）＝T（19）＝，
所以完成订单任务的时间大于，
综上所述，当k＝2时，完成订单任务的时间最短，此时生产α、β、γ型零配件的人数分别为23，46，31．
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2020-2021学年浙江省金华市义乌市高一（上）期末数学试卷
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．（5分）设集合A＝{m，n}，则集合A的子集个数为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
2．（5分）命题p：∀x＞0，2x＞1，则命题p的否定形式是（ ）
A．∀x＞0，2x≤1 B．∀x≤0，2x＞1
C．∃x0＞0，2≤1 D．∃x0≤0，2＞1
3．（5分）在单位圆中，已知角α的终边上与单位圆的交点为，则位于第几象限（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（5分）用一段长为50m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙a长25m．当这个矩形菜园ABCD的宽（矩形的较短边）为（ ）时，围成的矩形菜园ABCD的面积最大？
A． B． C．10 D．15
5．（5分）设A，B为△ABC的两个内角，则“A＞B”是“tanA＞tanB”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（5分）幂函数，指数函数，对数函数是生活中三类常见基本的初等函数，可以刻画客观世界不同的变化规律．已知函数y＝xa，y＝bx，y＝logcx的图象如图所示，则（ ）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．b＜c＜a
7．（5分）已知函数记作Φ，为了得到函数，只需（ ）
A．先将Φ的横坐标缩短到原来的2倍，再向右平移个单位
B．先将Φ横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位
C．先将Φ向右平移个单位，再将横坐标缩短到原来的
D．先将Φ向右平移个单位，再将横坐标缩短到原来的2倍
8．（5分）在人类用智慧架设的无数座从已知通向未知的金桥中，用二分法求方程的近似解是其中璀璨的一座．已知A为锐角△ABC的内角，满足sinA﹣2cosA+tanA＝1，则A∈（ ）
A．（0，） B．（，） C．（，） D．（，）
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．）
9．（5分）狄利克雷是德国著名数学家，是最早倡导严格化方法的数学家之一．狄利克雷函数f（x）＝（Q是有理数）的出现表示数学家对数学的理解开始了深刻的变化，从研究“算”到研究更抽象的“概念，性质，结构”．关于f（x）的性质，下列说法正确的是（ ）
A．f（π）＞f（0） B．函数f（x）是偶函数
C．f（f（x））＝1 D．函数f（x）是周期函数
10．（5分）已知f（x）＝2sinx+cosx+1．对任意的x∈R均有f（x1）≤f（x）≤f（x2），则（ ）
A．f（x1）﹣f（x2）＝﹣2 B．f（x1）+f（x2）＝2
C．sinx1＝ D．sinx2＝
11．（5分）下列等式中恒成立的是（ ）
A．＝ B．
C． D．
12．（5分）函数f（x）＝（x2﹣ax﹣1）（x﹣b），当x＞0时，f（x）≥0，则ab的取值可以是（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．﹣
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上2000m，游回产地产卵．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v（单位：m/s）可以表示为，其中O表示鱼的耗氧量的单位数．当一条鱼的耗氧量是8100个单位时，它的游速是 m/s．
14．（5分）英国数学家泰勒发现了如下公式：
sinx＝x﹣+…，
cosx＝1﹣…，
其中n!＝1×2×3×…×n．
这些公式可以利用多项式来逼近原函数，在近似计算上又独特的优势．比如，利用前三项计算cos1，就得到cos1≈1﹣．那么，利用前三项计算sin3可以得到它的近似值为 .（保留分数）
15．（5分）设f（x）是定义在R上的函数，对任意实数有f（x）f（x﹣2）＝1，又当0＜x≤2时，，则f（8）＝ ．
16．（5分）设函数f（x）＝|ln（x+2）|﹣（a∈R），若其定义域内不存在实数x，使得f（x）≤0，则a的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）设集合A＝{x|﹣1＜x＜a}，B＝{x|x2+x﹣6＜0}，全集U＝R．
（1）若a＝4，求A∩B，（∁UB）∩A；
（2）若A∩B＝A，求a的取值范围．
18．（12分）观察下列各等式：
tan10°tan20°+tan20°tan60°+tan60°tan10°＝1
tan20°tan30°+tan30°tan40°+tan40°tan20°＝1
tan33°tan44°+tan44°tan13°+tan33°tan13°＝1
（1）尝试再写出一个相同规律的式子；
（2）写出能反映以上式子一般规律的恒等式；
（3）并对你写出的（2）恒等式进行证明．
19．（12分）在①f（x）＝﹣；②f（x）＝+；③f（x）＝log2（+ax）这三个函数中任选一个，补充在下面问题中，并完成问题．
问题：已知a∈R*，函数______是奇函数，求不等式f（x）+≥0的解集．
20．（12分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，，是函数的两个相邻的零点，且图象过（0，﹣1）点．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数g（x）＝f（x）•f（x﹣）的单调增区间以及对称轴方程．
21．（12分）定义在（0，+∞）上的函数f（x）对于任意的x，y∈R*，总有f（x）+f（y）＝f（xy），且当x＞1时，f（x）＜0且f（e）＝﹣1．
（1）求f（1）的值；
（2）判断函数在（0，+∞）上的单调性，并证明；
（3）求函数f（x）在上的最大值与最小值．
22．（12分）全球新冠疫情蔓延，对呼吸机需求暴增．浙江某企业接到生产1000台呼吸机的α，β，γ型零配件的订单，每台呼吸机分别需要α，β，γ型零配件各3，3，1件．已知每个工人每天可以生产4件α型零配件，或2件β型零配件，或1件γ型零配件．该企业计划安排100名工人分成三组分别生产者α，β，γ型零配件，且安排生产β型零配件的人数是生产α型零配件的人数的k（k∈N*，k＞1）倍．
（1）生产α型零配件的人数为x，分别写出α，β，γ型零配件生产所需要的时间；
（2）假设生产α，β，γ型零配件同时开工，请确定整数k，使得在最短时间内完成订单任务；并给出时间最短时的人数分组方案．
2020-2021学年浙江省金华市义乌市高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．（5分）设集合A＝{m，n}，则集合A的子集个数为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
【解答】解：集合A＝{m，n}，则其子集有22＝4个，
故选：C．
2．（5分）命题p：∀x＞0，2x＞1，则命题p的否定形式是（ ）
A．∀x＞0，2x≤1 B．∀x≤0，2x＞1
C．∃x0＞0，2≤1 D．∃x0≤0，2＞1
【解答】解：命题p：∀x＞0，2x＞1，
则命题p的否定形式是∃x0＞0，2≤1．
故选：C．
3．（5分）在单位圆中，已知角α的终边上与单位圆的交点为，则位于第几象限（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：在单位圆中，已知角α的终边上与单位圆的交点为，∴cosα＝﹣，sinα＝．
则，即 Q（sinα﹣cosα，﹣sinα），即 Q（，﹣），
故点Q位于第四象限，
故选：D．
4．（5分）用一段长为50m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙a长25m．当这个矩形菜园ABCD的宽（矩形的较短边）为（ ）时，围成的矩形菜园ABCD的面积最大？
A． B． C．10 D．15
【解答】解：设矩形的宽为x米，矩形的面积为S，
则由题意可得矩形的长为50﹣2x，则12.5≤x＜25，
所以矩形的面积为S＝x（50﹣2x）＝﹣2x2+50x，
因为0＜x＜25，所以当x＝＝时，矩形面积取得最大值，
故选：B．
5．（5分）设A，B为△ABC的两个内角，则“A＞B”是“tanA＞tanB”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：当A＞B时，若A是钝角，B为锐角，则tanA＜0＜tanB，
当A＝，B＝时，满足tanA＞tanB，但此时A＜B，
所以“A＞B”是“tanA＞tanB”的既不充分也不必要条件．
故选：D．
6．（5分）幂函数，指数函数，对数函数是生活中三类常见基本的初等函数，可以刻画客观世界不同的变化规律．已知函数y＝xa，y＝bx，y＝logcx的图象如图所示，则（ ）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．b＜c＜a
【解答】解：对数函数y＝logcx过（1，0）点，为增函数，则c＞1，
指数函数y＝bx过（0，1）点，为减函数，则0＜b＜1，
幂函数在第一象限为减函数，则a＜0，
则a＜b＜c，
故选：A．
7．（5分）已知函数记作Φ，为了得到函数，只需（ ）
A．先将Φ的横坐标缩短到原来的2倍，再向右平移个单位
B．先将Φ横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位
C．先将Φ向右平移个单位，再将横坐标缩短到原来的
D．先将Φ向右平移个单位，再将横坐标缩短到原来的2倍
【解答】解：函数记作Φ，为了得到函数，
只需先将Φ横坐标缩短到原来的倍，得到y＝2sin（2x﹣）的图象，
再向右平移个单位，即可得到函数的图象，
故选：B．
8．（5分）在人类用智慧架设的无数座从已知通向未知的金桥中，用二分法求方程的近似解是其中璀璨的一座．已知A为锐角△ABC的内角，满足sinA﹣2cosA+tanA＝1，则A∈（ ）
A．（0，） B．（，） C．（，） D．（，）
【解答】解：A为锐角△ABC的内角，满足sinA﹣2cosA+tanA＝1，
设f（A）＝sinA﹣2cosA+tanA﹣1，
在（0，）中取A＝，得f（）＝sin﹣2cos+tan﹣1＝﹣，
在（0，）中取，得f（）＝sin﹣2cos+tan﹣1＝﹣，
f（0）＝sin0﹣2cos0+tan0﹣1＝﹣3，
f（）＝sin﹣2cos+tan﹣1＝，
∵f（）f（）＜0，
∴A∈（）．
故选：C．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．）
9．（5分）狄利克雷是德国著名数学家，是最早倡导严格化方法的数学家之一．狄利克雷函数f（x）＝（Q是有理数）的出现表示数学家对数学的理解开始了深刻的变化，从研究“算”到研究更抽象的“概念，性质，结构”．关于f（x）的性质，下列说法正确的是（ ）
A．f（π）＞f（0） B．函数f（x）是偶函数
C．f（f（x））＝1 D．函数f（x）是周期函数
【解答】解：根据题意，狄利克雷函数f（x）＝（Q是有理数），
依次分析选项：
对于A，f（π）＝0，f（0）＝1，则f（π）＜f（0），A错误，
对于B，若x∈Q，则﹣x∈Q，有f（﹣x）＝f（x），若x∉Q，则﹣x∉Q，有f（﹣x）＝f（x），综合可得f（x）＝f（﹣x），
函数f（x）为偶函数，B正确，
对于C，f（x）＝，f（x）的值为有理数，则f（f（x））＝1，C正确，
对于D，对于∀T∈Q，满足x+T与x同时为有理数或无理数，f（x+T）＝f（x），函数f（x）是周期函数，D正确，
故选：BCD．
10．（5分）已知f（x）＝2sinx+cosx+1．对任意的x∈R均有f（x1）≤f（x）≤f（x2），则（ ）
A．f（x1）﹣f（x2）＝﹣2 B．f（x1）+f（x2）＝2
C．sinx1＝ D．sinx2＝
【解答】解：∵f（x1）≤f（x）≤f（x2），
∴f（x1）是最小值，f（x2）是最大值，
f（x）＝2sinx+cosx+1＝（sinx+cosx）+1，
设cosα＝，则sinα＝，
则f（x）＝（sinxcosα+cosxsinα）+1＝sin（x+α）+1，
所以f（x2）＝+1，f（x1）＝﹣+1，
所以f（x1）﹣f（x2）＝﹣2，故A错误，
f（x1）+f（x2）＝2，故B正确，
当x1+α＝2kπ﹣时，f（x1）是最小值，则x1＝2kπ﹣﹣α，
所以sinx1＝sin（2kπ﹣﹣α）＝sin（﹣﹣α）
＝﹣sin（+α）＝﹣cosα＝﹣＝﹣，故C错误，
当x2+α＝2kπ+时，f（x2）是最大值，则x2＝2kπ+﹣α，
所以sinx2＝sin（2kπ+﹣α）＝sin（﹣α）＝cosα＝＝，故D正确，
故选：BD．
11．（5分）下列等式中恒成立的是（ ）
A．＝
B．
C．
D．
【解答】解：A．在A中，1+cosα≠0，则cosα≠﹣1，此时sinα≠0，
∵（1+cosα）（1﹣cosα）＝1﹣cos2α＝sin2α，∴＝成立，故A正确，
B.＝＝sinαcosβ，故B错误，
C．左边＝﹣＝＝＝＝右边，故C正确，
D．D中由cos2x﹣sin2x≠0，得tan2x≠1，则1+tanx≠0，
左边＝＝＝＝右边，故D正确故选：ACD．
12．（5分）函数f（x）＝（x2﹣ax﹣1）（x﹣b），当x＞0时，f（x）≥0，则ab的取值可以是（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．﹣
【解答】解：设g（x）＝x2﹣ax﹣1，h（x）＝x﹣b，
则h（x）在（0，+∞）上为增函数，且h（b）＝0，
当x＞0时，f（x）≥0，则有x＞b时，g（x）≥0，
当0＜x＜b时，g（x）≤0，
即g（x）必过点（b，0），
则g（b）＝b2﹣ab﹣1＝0，即a＝b﹣，
此时g（x）＝x2+（﹣b）x﹣1＝（x+）（x﹣b），
则满足g（x）的另一个零点﹣≤0，
即b＞0，
所以ab＝b（b﹣）＝b2﹣1＞﹣1，
所以ab的取值可以是0，1．
故选：AB．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上2000m，游回产地产卵．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v（单位：m/s）可以表示为，其中O表示鱼的耗氧量的单位数．当一条鱼的耗氧量是8100个单位时，它的游速是 2 m/s．
【解答】解：当O＝8100时，
v＝，
故答案为：2．
14．（5分）英国数学家泰勒发现了如下公式：
sinx＝x﹣+…，
cosx＝1﹣…，
其中n!＝1×2×3×…×n．
这些公式可以利用多项式来逼近原函数，在近似计算上又独特的优势．比如，利用前三项计算cos1，就得到cos1≈1﹣．那么，利用前三项计算sin3可以得到它的近似值为 .（保留分数）
【解答】解：由题意，sin3＝3﹣＝3﹣+＝．
故答案为：．
15．（5分）设f（x）是定义在R上的函数，对任意实数有f（x）f（x﹣2）＝1，又当0＜x≤2时，，则f（8）＝ ．
【解答】解：根据题意，f（x）满足f（x）f（x﹣2）＝1，即f（x）＝，
则有f（x）＝＝f（x﹣4），即函数f（x）是周期为4的周期函数，
则f（8）＝f（4）＝，
又由当0＜x≤2时，，则f（2）＝，
故f（8）＝＝；
故答案为：．
16．（5分）设函数f（x）＝|ln（x+2）|﹣（a∈R），若其定义域内不存在实数x，使得f（x）≤0，则a的取值范围是 [﹣，0] ．
【解答】解：由题意，其定义域内任意实数x，使得f（x）＞0，
f（x）＝|ln（x+2）|﹣，解析式要有意义，则有，
①当a＝0时，f（x）＝|ln（x+2）|+2，定义域为（﹣2，+∞），满足f（x）＞0恒成立；
②当a＝﹣时，f（x）＝|ln（x+2）|+，定义域为（﹣2，+∞），满足f（x）＞0恒成立；
③当a＜0时，有﹣＞0在（﹣2，+∞）上恒成立，
所以，解得﹣＜a＜0；
④当a＞0时，在x＞时，有f（x）＜0，不符合题意．
综上，a的取值范围是[﹣，0]．
故答案为：[﹣，0]．
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）设集合A＝{x|﹣1＜x＜a}，B＝{x|x2+x﹣6＜0}，全集U＝R．
（1）若a＝4，求A∩B，（∁UB）∩A；
（2）若A∩B＝A，求a的取值范围．
【解答】解：（1）若a＝4，则A＝{x|﹣1＜x＜4}，B＝{x|﹣3＜x＜2}，
则A∩B＝{x|﹣1＜x＜2}，（∁UB）∩A＝{x|2≤x＜4}；
（2）若A∩B＝A，则A⊆B，
当A是空集时，即a≤﹣1时，满足条件，
当A不是空集时，则﹣1＜a≤2，
综上a≤2．
18．（12分）观察下列各等式：
tan10°tan20°+tan20°tan60°+tan60°tan10°＝1
tan20°tan30°+tan30°tan40°+tan40°tan20°＝1
tan33°tan44°+tan44°tan13°+tan33°tan13°＝1
（1）尝试再写出一个相同规律的式子；
（2）写出能反映以上式子一般规律的恒等式；
（3）并对你写出的（2）恒等式进行证明．
【解答】解：（1）∵tan30°tan45°+tan45°tan15°+tan30°tan15°
＝+1×tan（45°﹣30°）+×tan（45°﹣30°）
＝++×＝+（）+（）＝1，
故tan30°tan45°+tan45°tan15°+tan30°tan15°＝1．
（2）若，则tanαtanβ+tanβtanγ+tanβtanγ＝1．
（3）∵tan（﹣γ）＝＝＝，又，
∴tan（α+β）×tanγ＝＝1，
整理得tanαtanβ+tanβtanγ+tanβtanγ＝1．
19．（12分）在①f（x）＝﹣；②f（x）＝+；③f（x）＝log2（+ax）这三个函数中任选一个，补充在下面问题中，并完成问题．
问题：已知a∈R*，函数______是奇函数，求不等式f（x）+≥0的解集．
【解答】解：若选择①：
因为f（x）＝﹣是奇函数，
则有f（0）＝，解得a＝，当a＝时，
验证符合奇函数的定义，
不等式f（x）+≥0，即，即（ex）2﹣1≥﹣ex，
令t＝ex＞0，
所以不等式变形为t2+t﹣1≥0，解得，
所以，解得，
所以不等式f（x）+≥0的解集为；
若选择②：
因为f（x）＝+是奇函数，
则有f（1）+f（﹣1）＝，解得，
当时，符合奇函数的定义，
所以不等式f（x）+≥0，即，即，
变形为，解得2x＜1，所以x＜0，
故不等式f（x）+≥0的解集为（﹣∞，0）；
若选③：因为f（x）＝log2（+ax）是奇函数，
所以
＝恒成立，
故恒成立，解得，
又a＞0，所以，
不等式f（x）+≥0，即，所以，
移项得，
当时，解得；
当时，解得，
综上可得，不等式f（x）+≥0的解集为．
20．（12分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，，是函数的两个相邻的零点，且图象过（0，﹣1）点．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数g（x）＝f（x）•f（x﹣）的单调增区间以及对称轴方程．
【解答】解：（1）由图可知周期T＝π，所以ω＝＝2
由f（0）＝Asinφ＝﹣1，f（）＝Asin（+φ）＝A，
两式联立可得A＝2，φ＝﹣，
所以f（x）＝2sin（2x﹣）．
（2）g（x）＝2sin（2x﹣）•2sin（2x﹣﹣）＝﹣4sin（2x﹣）cos（2x﹣）＝﹣2sin（4x﹣），
令+2kπ≤4x﹣≤+2kπ，k∈Z，
解得+≤x≤+，k∈Z，
所以g（x）的单调增区间为[+，+]，k∈Z，
令4x﹣＝+kπ，k∈Z，解得x＝+，k∈Z，
即对称轴方程为x＝+，k∈Z．
21．（12分）定义在（0，+∞）上的函数f（x）对于任意的x，y∈R*，总有f（x）+f（y）＝f（xy），且当x＞1时，f（x）＜0且f（e）＝﹣1．
（1）求f（1）的值；
（2）判断函数在（0，+∞）上的单调性，并证明；
（3）求函数f（x）在上的最大值与最小值．
【解答】解：（1）因为f（x）+f（y）＝f（xy），
令x＝y＝1，则有f（1）+f（1）＝f（1），故f（1）＝0；
（2）f（x）在（0，+∞）上单调递减，证明如下：
令xy＝x1，x＝x2，y＞1，有xy＞x，f（y）＜0，
可得f（x2）+f（y）＝f（x1），则f（x1）﹣f（x2）＝f（y）＜0，
故对任意x1，x2∈（0，+∞），若x1＞x2，则f（x1）＜f（x2），
所以f（x）在（0，+∞）上单调递减；
（3）因为f（x）+f（y）＝f（xy），
令x＝y＝e，则有f（e2）＝f（e）+f（e）＝﹣2，
令x＝e，y＝，则有f（1）＝f（e）+f（）＝0，所以f（）＝1，
因为函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，
所以．
22．（12分）全球新冠疫情蔓延，对呼吸机需求暴增．浙江某企业接到生产1000台呼吸机的α，β，γ型零配件的订单，每台呼吸机分别需要α，β，γ型零配件各3，3，1件．已知每个工人每天可以生产4件α型零配件，或2件β型零配件，或1件γ型零配件．该企业计划安排100名工人分成三组分别生产者α，β，γ型零配件，且安排生产β型零配件的人数是生产α型零配件的人数的k（k∈N*，k＞1）倍．
（1）生产α型零配件的人数为x，分别写出α，β，γ型零配件生产所需要的时间；
（2）假设生产α，β，γ型零配件同时开工，请确定整数k，使得在最短时间内完成订单任务；并给出时间最短时的人数分组方案．
【解答】解：（1）设完成α、β、γ型零配件生产所需要的时间分别为f（x），g（x），h（x），
所以，，，
其中x，kx，100﹣（1+k）x均为1到100之间的正整数；
（2）完成订单任务的事件为m（x）＝max{f（x），g（x），h（x）}，其中定义域为，
所以f（x），g（x）为减函数，h（x）为增函数，且，
①当k＝2时，g（x）＝f（x），，
因为f（x）为减函数，h（x）为增函数，
所以当时，m（x）取得最小值，
此时，因为，
则m（23）＝f（23）＝，，
所以m（23）＜m（24），
所以当x＝23时，完成订单任务的事件最短为；
②当k≥3时，g（x）＜f（x），，
及，则T（x）为增函数，
令，
则，
因为f（x）为减函数，T（x）为增函数，
所以当时，φ（x）取得最小值，此时，
因为，
又φ（18）＝f（18）＝，φ（19）＝T（19）＝，
所以完成订单任务的时间大于，
综上所述，当k＝2时，完成订单任务的时间最短，此时生产α、β、γ型零配件的人数分别为23，46，31．
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