湖北省武汉市第四中学2023-2024学年高一数学上学期10月月考试题（Word版附解析）

这是一份湖北省武汉市第四中学2023-2024学年高一数学上学期10月月考试题（Word版附解析），共3页。试卷主要包含了 若，且，则， 集合，，则， 若，则实数的取值范围是等内容，欢迎下载使用。
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1. 若，且，则（ ）.
A. B. 或0C. 或1或0D. 或或0
【答案】B
【解析】
【分析】利用条件，得或，求解之后进行验证即可．
【详解】解：因为，，
若，则或，解得x＝2或−2或1或0．
①当x＝0，集合A＝{1，4，0}，B＝{1，0}，满足．
②当x＝1，集合A＝{1，4，1}，不成立．
③当x＝2，集合A＝{1，4，2}，B＝{1，4}，满足．
④当x＝−2，集合A＝{1，4，−2}，B＝{1，4}，满足．
综上，x＝2或−2或0．
故选：B．
【点睛】本题主要考查集合关系的应用，考查分类讨论的思想，属于基础题．
2. 集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求函数的定义域求得集合，求函数的值域求得集合，由此求得.
【详解】由于，所以.
对于函数，由于，所以，所以，
所以.
故选：B
3. 若，则实数的取值范围是（ ）
A B. C. 或D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】当时，解分式不等式可求得的范围，取补集即可得到结果.
详解】若，则，，
则当时，实数的取值范围为.
故选：B.
4. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】不等式的解集即为所求函数的定义域．
【解答】函数的定义域为，函数中，，解得，
函数的定义域为．
故选：D
5. 在关于的方程和中，已知至少有一个方程有实数根，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】可以采用补集思想．三个判别式均小于0的条件下取交集后再取补集即可．
【详解】若方程和都没有实数根.
则 ，解得：.
则方程和中，已知至少有一个方程有实数根.
所以或
故选：C
【点睛】本题考查了命题与命题的否定，考查补集的方法解题，属于基础题．
6. 已知＝2x＋3，f(m)＝6，则m等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设，求出，进而可得，由此可求出的值
【详解】解：设，则，
所以，
所以，解得
故选：A
【点睛】此题考查由函数值求自变量，考查了换元法的应用，属于基础题
7. 某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润（单位：10万元）与营运年数为二次函数关系（如图所示），则每辆客车营运（ ）年时，其营运的年平均利润最大.
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】先根据题意求出总利润（单位：10万元）与营运年数为二次函数关系式，从而可得，化简后利用基本不等式可求得其最大值.
【详解】根据二次函数的图象设二次函数为，
因为图象过，
所以，解得，
所以（），
所以
，当且仅当，即时取等号，
所以每辆客车营运5年时，其营运的年平均利润最大，
故选：C.
8. 已知函数，若存在两相异实数使，且，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意，是方程的两个不等实数根，利用根与系数的关系把化为含有的代数式，令，进一步转化为关于的二次函数，再由配方法求最值.
【详解】由题意，当，
有，
，
是方程的两个不等实数根，
，，
而，
，即，
，
令，则，
则当时，有最小值且为.
故选：B
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列各组函数表示同一个函数的是（ ）．
A. 与
B. 与
C. 与
D. 与
【答案】BC
【解析】
【分析】判断两个函数的定义域是否相同，对应关系是否完全一致即可.
【详解】选项A，当时，，，
所以与对应关系不完全一致，故不是同一个函数；
选项B，与定义域都为，
且对应关系完全一致，故是同一个函数；
选项C，与的定义域都为，
且，对应关系完全一致，故是同一个函数；
选项D，对，由，解得，
所以的定义域为，
对，由，解得或，
所以的定义域为，
两函数定义域不同，故不是同一个函数.
故选：BC.
10. 已知函数的定义域为A，集合．则“使得成立”的充分条件可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】可得，，然后可得“使得成立”的充要条件，然后可选出答案.
【详解】由可得，即
所以“使得成立”的充要条件是，解得
故选：AD
11. 已知，为正实数，且，则（ ）
A. 的最大值为2B. 的最小值为4
C. 的最小值为3D. 的最小值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】对条件进行变形，利用不等式的基本性质对选项一一分析即可.
【详解】解：因为，当且仅当时取等号，
解得，即，故的最大值为2，A正确；
由得，
所以，
当且仅当，即时取等号，此时取得最小值4，B正确；
，当且仅当，
即时取等号，C错误；
，当且仅当时取等号，此时取得最小值，D正确．
故选：ABD．
12. 若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数m的取值可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据一元二次不等式的解法进行求解即可.
【详解】由，得
当时，不等式的解为，要想有3个整数解，只需；
当时，不等式的解集为，不符合题意；
当时，不等式的解为，要想有3个整数解，只需；
综上所述：实数的取值范围是.
对选项逐一检验，只有，符合.
故选：BD
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知函数，若，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】分，两种情况，根据分段函数代入求解，即可
【详解】由题意，当时，，即（舍去）；
当时，，即，即（舍正）.
综上：.
故答案为：.
14. 已知，则的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】，
当且仅当，解得，，
又因为，所以时等号成立.
因此，的最小值为.
故答案为：.
【点睛】本题考查基本不等式求代数式的最值，考查了“”的代换的应用，考查计算能力，属于基础题.
15. 已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】参变分离，得到在上有解，由基本不等式求出，从而得到实数的取值范围.
【详解】变形为，
故在上有解，
因为，所以，则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，
故答案为：
16. 设为非空实数集满足：对任意给定的（可以相同），都有，，，则称为幸运集.
①集合为幸运集；②集合为幸运集；
③若集合、为幸运集，则为幸运集；④若集合为幸运集，则一定有；
其中正确结论的序号是________
【答案】②④
【解析】
分析】
①取判断；②设判断；③举例判断；④由可以相同判断；
【详解】①当，，所以集合P不是幸运集，故错误；
②设，则，所以集合P是幸运集，故正确；
③如集合为幸运集，但不为幸运集，如时，，故错误；
④因为集合为幸运集，则，当时，，一定有，故正确；
故答案为：②④
【点睛】关键点点睛：读懂新定义的含义，结合“给定的（可以相同），都有，，”，灵活运用举例法.
四､解答题：本题共6小题，第17题10分，其余各题12分，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 设集合，，，求：
（1）；
（2）；
（3）.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据并集定义可直接求得结果；
（2）根据补集和并集定义可求得结果；
（3）根据补集和交集定义可求得结果.
【小问1详解】
由并集定义知：.
【小问2详解】
，.
【小问3详解】
，或，
.
18. 已知集合，不等式的解集为，集合.
（1）当时，求集合
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1），，
（2）
【解析】
【分析】（1）解各集合中的不等式，可得这三个集合；
（2）解集合中的不等式，得到集合，由，得，列不等式求实数的取值范围.
【小问1详解】
由，得，解得，则有，
由，解得，则有，
由，解得，则有.
【小问2详解】
或，
因为，所以，即，
由，得，
所以或
所以的范围为.
19. 已知集合 ，，且．
（1）若命题p：“，”是真命题，求实数m的取值范围；
（2）若命题q：“，”是真命题，求实数m的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由命题p：“，”是真命题，可知，根据子集的含义解决问题；
（2）命题q：“，”是真命题，所以，通过关系解决.
【小问1详解】
由命题p：“，”是真命题，可知，
又，所以 ，解得．
【小问2详解】
因为，所以，得．
因为命题q：“，”是真命题，所以，
所以，或，得．
综上，．
20. 已知命题：“，都有不等式成立”是真命题.
（1）求实数的取值集合；
（2）设不等式的解集为，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）依题意，在时恒成立，求在时的最大值即可；
（2）分类讨论解不等式，由题意，是的真子集，列不等式求实数的取值范围.
【小问1详解】
由题意得在时恒成立，
令，对称轴，结合图像可知，取得最大值，
则有，得，即.
【小问2详解】
不等式，
①当，即时，解集，
若是的充分不必要条件，则是的真子集，有，此时；
②当，即时，解集，
若是的充分不必要条件，则是的真子集，有，此时，
综上①②可得实数的取值范围为.
21. 地铁给市民出行带来很多便利．已知某条线路通车后，地铁的发车时间间隔t（单位：分钟）满足，．经测算，地铁载客量与发车时间间隔t相关，当时地铁为满载状态，载客量为1200人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为560人，记地铁载客量为．
（1）求的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，地铁的载客量
（2）若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？
【答案】（1），
（2）当发车时间间隔为分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为120元．
【解析】
【分析】（1）由题意知，，为常数），再由（2）求得，则可求，进一步求得（6）得答案；
（2）由，可得，分段求最值得答案．
【详解】（1）由题意知，，为常数），
（2），
，
，
（6）；
（2）由，可得
，
当时，，
当且仅当时等号成立；
当时，，当时等号成立，
当发车时间间隔为分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为120元．
答：当发车时间间隔为分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为120元．
【点睛】方法点睛：在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.
22. （1）已知求函数最小值，并求出最小值时的值；
（2）问题：正数满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号.学习上述解法并解决下列问题：若实数满足，试比较和的大小，并指明等号成立的条件；
（3）利用（2）的结论，求的最小值，并求出使得最小的的值.
【答案】（1）当函数最小值为（2），当且仅当且，同号时等号成立.（3）当时，取得最小值
【解析】
【分析】根据乘1法，构造法，基本不等式和 的转换思想解决即可.
【详解】解：
当且仅当时取“=”
所以当函数最小值
（2），
又，当且仅当时等号成立，
所以，
所以，当且仅当且，同号时等号成立.此时，满足；
（3）令，，构造求出，，
因为，所以，
所以M=
取等号时，解的，，即
所以时，取得最小值