湖北省武汉市洪山高级中学2023-2024学年高一数学上学期10月月考试题（Word版附解析）

这是一份湖北省武汉市洪山高级中学2023-2024学年高一数学上学期10月月考试题（Word版附解析），共3页。试卷主要包含了单项选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题（本大题共8小题，共40分.在每个小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，求得，结合集合交集的运算，即可求解.
【详解】由题意，集合，可得，
所以
故选：D
2. 已知不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题可得和2是方程的两个根，利用韦达定理可得，则不等式等价于，即可求出.
【详解】不等式的解集为，
和2是方程的两个根，且，
， 可得，
则不等式等价于，
即，解得或，
故不等式的解集为.
故选：C.
3. 已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意可知，命题“，”是真命题，分和两种情况讨论，结合参变量分离法可求得实数的取值范围.
【详解】由题意可知，命题“，”是真命题.
当时，则有，不合乎题意；
当时，由，可得，则有，
，当且仅当时，等号成立，
所以，.
综上所述，实数的取值范围是.
故选：C.
【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
4. 下列选项中，表示的是同一函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用同一函数的定义对每一选项的函数分析得解.
【详解】A. 函数定义域为R，函数的定义域为,两个函数的定义域不同，所以它们不是同一函数；
B. 两函数的定义域相同，但是对应关系不同，所以它们不是同一函数；
C. 函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数的定义域不同，所以它们不是同一函数；
D. 两函数的定义域都是R,函数，所以两函数的对应关系相同，所以两函数是同一函数.
故选D
【点睛】本题主要考查同一函数的定义及判断，考查函数定义域的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.
5. 已知函数的值域是，则实数m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数的图像和性质可求得答案
【详解】解：由于， 所以当时，取得最大值，
由，解得或，
所以当时，函数的值域为，且，
因为二次函数的图像开口向下，
所以要使函数在上的值域为，只需，
故选：C
6. 若对任意满足的正数，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意知利用基本不等式求出，解不等式即可求解.
【详解】若对任意满足的正数，都有成立，
则，
当且仅当即时等号成立，所以，
所以，即，即，解得或，
所以实数的取值范围是，
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题的关键点是由不等式恒成立转化为， 再由再利用基本不等式可以求出最值，变形很关键，最后解分式不等式需要先移项，注意分母不为，避免出错.
7. 若对，，有，函数，则的值
A. 0B. 4C. 6D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】可令，可得，再令，可得，计算，即可得结果．
【详解】令，可得，即，
可令，可得，
则．
故选C．
【点睛】本题考查抽象函数的运用，注意运用赋值法，考查方程思想和运算能力，属于基础题．抽象函数常见赋值思路：（1）；（2）；（3）.
8. 设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的取值范围是
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置，精准运算得到解决．
【详解】时，，，，即右移1个单位，图像变为原来的2倍．
如图所示：当时，，令，整理得：，（舍），时，成立，即，，故选B．
【点睛】易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力．
二、多选题（本大题共4小题，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
9. 设全集，则下面四个命题中是“”的充要条件的命题是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据集合的补集，两个集合的交集、并集的定义，再由充要条件的定义判断哪些选项符合条件．
【详解】解：由 A∩B＝A，可得A⊆B．由 A⊆B 可得A∩B＝A，故A∩B＝A是命题A⊆B的充要条件，故A满足条件．
由可得A⊆B，由A⊆B 可得，故 是命题A⊆B的充要条件，故 B满足条件．
由，可得A⊆B，由A⊆B 可得，故 是命题A⊆B的充要条件，故C满足条件．
由，可得B⊆A，不能推出A⊆B，故④不是命题A⊆B的充要条件，故D不满足条件．
故选：ABC．
【点睛】本题主要考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合的交集、并集的定义，充要条件的判定，属于基础题．
10. 函数的大致图像为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据题意，分，，三种情况讨论，即可得到结果.
【详解】当时，，对应选项A;
当时，当时，，为对勾函数的一部分，
当时，单调递减，对应选项B;
当时，当时，单调递增，
当时，，其中为对勾函数的一部分，对应选项D.
故选:ABD
11. 下列四个命题中是真命题的是（ ）
A. 若命题某班所有男生都爱踢足球，则某班至少有一个女生爱踢足球；
B. 函数与直线（常数）至多有一个交点；
C. “”是“”的必要不充分条件；
D. 函数的定义域为，则的定义域为．
【答案】BC
【解析】
【分析】根据命题的否定概念，可判断A；根据函数定义即可判断B；根据必要不充分条件的判定即可判断C；根据抽象函数定义域即可判断D.
【详解】对于A，若命题：某班所有男生都爱踢足球，则：某班至少有一个男生不爱踢足球，故A错误；
对于B，若在函数的定义域内，则直线与函数有一个交点，
若不在函数的定义域内，则直线与函数没有交点，
则函数与直线（常数）至多有一个交点，故B正确；
对于C，若，则，则正向无法推出；
，则，则反向可以推出，
则”是“”必要不充分条件；故C正确；
对D，由题意得，则的定义域为，
令，解得，则则的定义域为，故D错误.
故选：BC.
12. 下列求最值的运算中，运算方法错误的有（ ）
A. 当时，，故时的最大值是
B. 当时，，当且仅当取等，解得或2，又由，所以，故时，的最小值为4
C. 由于，故的最小值是2
D. 当，且时，由于，∴，又，故当，且时，的最小值为4.
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用基本不等式的性质逐项检查即可，需要注意取等的条件，即“一正二定三相等”．
【详解】解：对于A，符合基本不等式中的“一正二定三相等”，即A的运算方法正确；
对于B，当时，，
当且仅当，即时，等号成立，即B的运算方法错误；
对于C，取等的条件是，即，显然均不成立，即C的运算方法错误；
对于D，第一次使用基本不等式的取等条件为，而第二次使用基本不等式的取等条件为，两者不能同时成立，即D的运算方法错误．
故选：BCD．
三、填空题（本大题共4小题．每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上）
13. 若函数的值域是，则函数的最小值是_______________.
【答案】
【解析】
【分析】利用换元法以及二次函数的性质即可求解.
【详解】令，则
所以
当时，函数取最小值
故答案为
【点睛】本题主要考查了求函数的最值，关键是利用换元法来求解，属于中档题.
14. 函数的定义域和值域分别是，则______________.
【答案】1
【解析】
【分析】求出函数的对称轴，通过m，n与对称轴讨论，结合函数的定义域与值域，列出方程求解即可．
【详解】二次函数f（x）x2+2x．的对称轴为x＝1，
当m＜n＜1时，，∴；
当1＜m＜n时，，方程无解；
当n＞1＞m时，f（1）3n，方程无解；
综上所述，n＝0，m＝﹣1．
∴
故答案为﹣1
【点睛】本题考查二次函数的简单性质的应用，涉及二次函数的对称轴与函数的定义域与值域的关系，属于基础题．
15. 已知函数.若存在使得关于x的不等式成立，则实数a的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】对的取值进行分类讨论，将问题转化为求函数的最大值以及最小值的问题，即可求得参数的取值范围.
【详解】由题意，当时，不等式可化为显然不成立；
当时，不等式可化为，所以，
又当时，，
当且仅当，即时，等号成立；
当时，不等式可化为，
即；
因为存在使得关于x的不等式成立，
所以，只需或.
故答案为：.
【点睛】本题考查由不等式能成立求参数的范围，属综合中档题.
16. 若不等式对任意及恒成立，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】将不等式通过分离参数化为对任意及恒成立，
所以只需当时，；构造函数，，利用一次函数的性质求实数的范围.
【详解】由题意得对任意及恒成立，
所以对任意恒成立，即对恒成立，
令，则是关于的一次函数，
所以只需，即，解得或或，
所以实数的取值范围是．
故答案为：.
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤）
17. （1）已知，求取值范围；
（2）已知函数，若的值域为，求实数a的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）变换得到，再根据不等式性质得到范围.
（2）的值域为等价于函数的最小值，讨论为一次函数还是二次函数，求出实数的取值范围即可．
【详解】（1）设，
故，
解得，即，
因为，，则，
则，即；
（2）的值域为等价于函数的最小值，
即①当时，，不成立，
②当时，，满足题意，
③当时，为二次函数，开口必须朝上，
即解得，对称轴 ，
所以解得
综上所述
18. 已知不等式的解集为，，值域为．
（1）记，其中为整数集，写出的所有子集；
（2）且，求实数的取值范围．
【答案】（1）、、、
（2）或
【解析】
【分析】（1）求出集合、，利用交集的定义可求得集合，由此可写出集合的所有子集；
（2）分、两种情况讨论，根据题意可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围.
【小问1详解】
由可得，解得，即，
因为，
所以，函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，，
又因为，，所以，，故，
所以，，故，
所以，集合的所有子集为：、、、.
【小问2详解】
由题意，且.
当时，则，解得，合乎题意；
当时，即，可得，
因为，则或，解得或，此时，或.
综上所述，或.
19. 对于实数a和b，定义运算“*”：，设.
（1）求的解析式；
（2）关于x的方程恰有三个互不相等的实数根，求m的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据代数式和之间的大小关系，结合题中所给的定义，用分段函数的形式表示函数的解析式；
（2）画出函数的图象，将方程的解的个数转化为与的交点个数问题，利用数形结合求出的取值范围．
【小问1详解】
解：由可得，由可得，
所以根据题意得，
即．
【小问2详解】
解：作出函数的图象如图，
当时，开口向下，对称轴为，
所以当时，函数的最大值为，
因为方程恰有三个互不相等的实数根，所以函数的图象和直线有三个不同的交点，可得的取值范围是．
20. 已知函数，从下面两问中任选一问求解，写出详细解答过程．选____________________．
（1）当时，若对任意的，总存在，使得，求实数t的取值范围．
（2）若对任意，总存在，使得，求实数m的取值范围；
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）即转化为的值域是值域的子集；
（2）即求
【小问1详解】
，
令，解得或，
则在，，单调递增，
,,所以值域为
当时，，开口向上，对称轴为，
则在单调递减，单调递增，
最小值为，最大值为，所以值域为，
若对任意的，总存在，使得，
即值域是值域的子集，
则，即，
解得或，又因为，
所以实数t的取值范围：
【小问2详解】
对任意，总存在，使得，
即，
，
令，解得或，
则在，，单调递增，
；
，开口向上，对称轴为，
当时，单调递增，，,,满足题意；
当，即，在单调递减，单调递增，，则，解得；
当，单调递减，，则，
解得，又，无解；
综上,实数m的取值范围：.
21. 某企业参加项目生产的工人为人，平均每人每年创造利润万元.根据现实的需要，从项目中调出人参与项目的售后服务工作，每人每年可以创造利润万元（），项目余下的工人每人每年创造利图需要提高
（1）若要保证项目余下的工人创造的年总利润不低于原来名工人创造的年总利润，则最多调出多少人参加项目从事售后服务工作？
（2）在（1）的条件下，当从项目调出的人数不能超过总人数的时，才能使得项目中留岗工人创造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）根据题意，列出不等式，求解即可；
（2）求出的范围，得出不等式，整理可得恒成立，根据的范围，可知函数在定义域内为减函数，当时，函数取得最小值．
【详解】设调出人参加项目从事售后服务工作
（1）由题意得：，
即，又，所以．即最多调整500名员工从事第三产业．
（2）由题知，，
从事第三产业的员工创造的年总利润为万元，
从事原来产业的员工的年总利润为万元，
则，
所以，
所以，
即恒成立，
因为，
所以，
所以，
又，所以，
即的取值范围为．
【点睛】考查了利用不等式解决实际问题，难点是建立不等式关系，利用函数单调性求出最值．
22. 定义：若函数对于其定义域内的某一数，有，则称是的一个不动点.已知函数.
（1）当，时，求函数的不动点；
（2）若对任意的实数b，函数恒有两个不动点，求实数a的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若图象上两个点A、B的横坐标是函数的不动点，且线段AB的中点C在函数的图象上，求实数b的最小值.
【答案】（1）和3
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）按照不动点定义计算即可；
（2）方程有两个不等实根，，得到关于二次函数，再利用判别式求解即可；
（3）求出点C坐标，代入，结合，得到，借助二次函数求出最小值即可.
【小问1详解】
当，时，由，解得或，
故所求的不动点为和3.
【小问2详解】
令，则①
由题意，方程①恒有两个不等实根，所以，
即对任意的恒成立，
则，∴.
【小问3详解】
依题意设，，则AB中点C的坐标为，
又AB的中点在直线上，
∴，∴，
又，是方程①的两个根，∴，即，
∴，
∵，∴.所以时，b的最小值为.