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初中数学华师大版九年级上册1. 相似三角形优秀复习练习题
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这是一份初中数学华师大版九年级上册1. 相似三角形优秀复习练习题，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF=2FD，则BEEG的值为( )
A. 12B. 13C. 23D. 34
2.如图，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上，增加下列条件中的一个：①∠AED=∠B，②∠ADE=∠C，③AEAB=DEBC，④ADAC=AEAB，⑤AC2=AD⋅AE，使△ADE与△ACB一定相似的有
( )
A. ①②④B. ②④⑤C. ①②③④D. ①②③⑤
3.在5倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相此，三角形的周长( )
A. 没有发生变化B. 放大了5倍C. 放大了15倍D. 放大了25倍
4.大约在两千四五百年前，如图 ①，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验.并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”.如图 ②所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是6cm，则蜡烛火焰的高度是
( )
图 ① 图 ②
A. 3cmB. 4cmC. 6cmD. 9cm
5.如图，△ABC中，P为AB边上一点，下列条件中，不能判定△APC∽△ACB的是( )
A. ∠ACP=∠BB. ∠APC=∠ACB
C. AC2=AP⋅ABD. ACAB=CPBC
6.如图，在△ABC中，D、E分别在边AB、AC上，DE//BC，EF//CD交AB于F，那么下列比例式中正确的是( )
A. AFDF=DEBCB. DFDB=AFDFC. EFCD=DEBCD. AFBD=ADAB
7.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，在△ABC的内部，作一个正方形PQRS，若BC=3，AD=2，则正方形PQRS的边长为
( )
A. 65B. 54C. 1D. 32
8.如图，在△ABC中，D为边BC上一点，已知BDDC=53，E为AD的中点，延长BE交AC于F，则AFAC=( )
A. 35B. 58C. 313D. 513
9.如图，在△ABC中，AB=AC=8，BC=6，点P从点B出发以1个单位/s的速度向点A运动，同时点Q从点C出发以2个单位/s的速度向点B运动．当以B，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间为( )
A. 2411sB. 95sC. 2411s或95sD. 以上均不对
10.如图，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上，增加下列条件中的一个：①∠AED=∠B，②∠ADE=∠C，③AEAB=DEBC，④ADAC=AEAB，⑤AC2=AD⋅AE，使△ADE与△ACB一定相似的有
( )
A. ①②④B. ②④⑤C. ①②③④D. ①②③⑤
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
11.如图，在边长为2 2的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为______．
12.如图，等边三角形△ABC的边长为16，动点P从点B出发沿BC运动到点C，连接AP，作∠APD=60°，PD交AC于点D．
①若PC=12，则CD的长为______ ；
②动点P从点B运动到点C时，点D的运动路径长为______ ．
13.如图，在边长为1的正方形网格中，A、B、C、D、E各点均为格点，则图中能用字母表示的各三角形______∽△ABC．
14.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D在边AC上，点E在BD上，∠AED=45°，若BE=4，CD=5，则AB的长是_________．
三、解答题（本大题共6小题，共48.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.(本小题8.0分)
如图，△ABE中，∠B=90°，点C，D在BE边上，AB=BC=CD=DE=3，连接AC，AD，说明∠CAD=∠E的理由．
16.(本小题8.0分)
如图，在△ABC和△DEC中，∠BCE=∠ACD，∠B=∠CED．
(1)求证：△ABC∽△DEC；
(2)若S△ABC：S△DEC=4：9，BC=12，求EC的长．
17.(本小题8.0分)
如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，翻折∠C，使点C落在斜边AB上的某一点D处，折痕为EF(点E，F分别在边AC，BC上)．
(1)若△CEF与△ABC相似，
①当AC=BC=2时，AD的长为 ;
②当AC=3，BC=4时，AD的长为 ．
(2)当D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似吗?请说明理由．
18.(本小题8.0分)
如图，直线EF分别交△ABC的边AB，AC于点F，E，交BC的延长线于点D，已知BF⋅BA=BC⋅BD.求证：AE⋅CE=DE⋅EF．
19.(本小题8.0分)
如图，在矩形ABCD中，P是对角线BD上一点，过点P作PE//DC交BC于点E，作PF//BC交CD于点F．
(1)证明：△BPE∽△PDF；
(2)已知AB=6，AD=8，当四边形PECF是正方形时，求此正方形的边长．
20.(本小题8.0分)
如图，设D为锐角△ABC内一点，∠ADB=∠ACB+90°，过点B作BE⊥BD，BE=BD，连接EC．
(1)求∠CAD+∠CBD的度数；
(2)若AC·BD=AD·BC，
①求证：△ACD∽△BCE；
②求AB⋅CDAC⋅BD的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：由AF=2DF，可以假设DF=k，则AF=2k，AD=3k，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB//CD，AB=CD，
∴∠AFB=∠FBC=∠DFG，∠ABF=∠G，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBG，
∴∠ABF=∠AFB=∠DFG=∠G，
∴AB=CD=2k，DF=DG=k，
∴CG=CD+DG=3k，
∵AB//DG，
∴△ABE∽△CGE，
∴BEEG=ABCG=2k3k=23，
故选：C．
由AF=2DF，可以假设DF=k，则AF=2k，AD=3k，证明AB=CD=2k，DF=DG=k，再利用相似三角形的判定和性质即可解决问题．
本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了相似三角形的判定定理：(1)两角对应相等的两个三角形相似；(2)两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；(3)三边对应成比例的两个三角形相似；(4)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．
由两角相等的两个三角形相似得出①②正确，由两边成比例且夹角相等的两个三角形相似得出④正确；③⑤不能证出△ADE与△ACB一定相似；即可得出结果．【解答】
解：∵∠A=∠A，∠AED=∠B，
∴△ADE∽△ACB，①正确；
∵∠A=∠A，∠ADE=∠C，
∴△ADE∽△ACB，②正确；
∵∠A=∠A，
=
，
∴△ADE∽△ACB，④正确；
由AEAB=DEBC，或AC2=AD⋅AE，不能满足两边成比例且夹角相等，不能证明△ADE与△ACB相似，③⑤不正确．
故选A．
3.【答案】B
【解析】解：∵在5倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相似，相似比为5：1，
∴根据相似三角形的性质，三角形的周长比等于相似比，
∴三角形的周长被放大了5倍．
故选：B．
由5倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相似，相似比为5：1，根据相似三角形的性质，周长比等于相似比，即可得出结论．
本题考查相似三角形的性质在实际中的运用，掌握相似三角形的性质是解题关键．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查的是相似三角形的应用有关知识，直接利用相似三角形的对应边成比例解答．【解答】
解：设蜡烛火焰的高度是x cm，
由相似三角形的性质得到：1015=x6
解得x=4．
即蜡烛火焰的高度是4cm．
5.【答案】D
【解析】解：A.∵∠ACP=∠B，∠PAC=∠CAB，
∴△APC∽△ACB(两角分别相等的两个三角形相似)，
故本选项不符合题意；
B.∵∠APC=∠ACB，∠PAC=∠CAB，
∴△APC∽△ACB(两角分别相等的两个三角形相似)，
故本选项不符合题意；
C.∵AC2=AP⋅AB，
∴ACAB=APAC，
又∵∠PAC=∠CAB，
∴△APC∽△ACB(两边对应成比例夹角相等的两个三角形相似)，
故本选项不符合题意；
D.当ACAB=CPBC，∠PAC=∠CAB时，即两边对应成比例，其中一边的对角相等，此时两个三角形不一定相似，
故本选项符合题意．
故选：D．
根据相似三角形的判定对四个选项逐个判断即可作出选择．
本题考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，熟练运用相似三角形的性质是本题的关键．根据相似三角形的判定和性质以及平行线分线段成比例定理对各选项进行判断即可求解．
【解答】
解：∵DE//BC，EF//CD，
∴△ADE∽△ABC，△AFE∽△ADC，
∴DEBC=AEAC，EFDC=AEAC，
∴EFDC=DEBC，故C选项符合题意；
∵EF//CD，
∴AFDF=AEEC，
∵△ADE∽△ABC，
∴DEBC=AEAC，
∴AEAC≠AEEC
∴AFDF≠DEBC，故A选项不符合题意；
∵EF//CD，
∴AFDF=AEEC，
∵DE//BC，
∴ADDB=AEEC，
∴ADDB=AFDF，
∴DFDB≠AFDF，故B选项不符合题意；
∵△ADE∽△ABC，
∴AEAC=ADAB，
∵EF//CD，
∴AFAD=AEAC，
∴ADAB=AFAD，
∵AD不一定等于BD，
∴AFBD不一定等于ADAB，故D选项不符合题意
故选：C．
7.【答案】A
【解析】【分析】
此题考查了相似三角形的判定与性质以及正方形的性质．注意掌握方程思想的应用是解此题的关键．由四边形PQRS是正方形，可得SR//BC，即可证得△ASR∽△ABC，设正方形PQRS的边长为x，然后由相似三角形对应高的比等于相似比，得方程：x3=2−x2，解此方程即可求得答案．
【解答】
解：如图：
设正方形PQRS的边长为x，
∵AD是△ABC的高，SR//BC，
∴AE是△ASR的高，
则AE=AD−ED=2−x，
∵四边形PQRS是正方形，
∴SR//BC，
∴△ASR∽△ABC，
∴SRBC=AEAD，
∴x3=2−x2，
解得：x=65，
∴正方形PQRS的边长为65．
故选A．
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查了相似三角形的判定与性质.熟练掌握通过作平行线构造相似是解题的关键．过D作DG//AC，相似三角形的性质得到DG=AF，再由△BDG∽△BCF可得对应线段成比例，进而即可求解AF与AC的比值．
【解答】
解：过D作DG//AC交BF于G，
∵DG//AF，
∴△AEF∽△DEG，
又∵E是AD的中点，
∴AFGD=EFEG=AEDE=1，
∴DG=AF，
∵DG//AC，BDDC=53，
∴△BDG∽△BCF，
∴GDCF=BDBC=58，
∴DGCF=AFCF=58，
∴AFAC=513．
故选D．
9.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了相似三角形的判定，注意数形结合思想与分类讨论思想．
首先设t秒钟△ABC与以B、P、Q为顶点的三角形相似，则BP=t，CQ=2t，BQ=BC−CQ=6−2t，然后分两种情况当△BAC∽△BPQ和当△BCA∽△BPQ讨论．
【解答】
解：设运动时间为t秒．
BP=t，CQ=2t，BQ=BC−CQ=6−2t，
当△BAC∽△BPQ时，BPAB=BQBC，
即t8=6−2t6，
解得t=2411；
当△BCA∽△BPQ时，BPBC=BQAB，
即t6=6−2t8，
解得t=95，
综上所述，当以B，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间为2411s或95s，
故选：C．
10.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了相似三角形的判定定理：(1)两角对应相等的两个三角形相似；(2)两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；(3)三边对应成比例的两个三角形相似；(4)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．
由两角相等的两个三角形相似得出①②正确，由两边成比例且夹角相等的两个三角形相似得出④正确；③⑤不能证出△ADE与△ACB一定相似；即可得出结果．【解答】
解：∵∠A=∠A，∠AED=∠B，
∴△ADE∽△ACB，①正确；
∵∠A=∠A，∠ADE=∠C，
∴△ADE∽△ACB，②正确；
∵∠A=∠A，
=
，
∴△ADE∽△ACB，④正确；
由AEAB=DEBC，或AC2=AD⋅AE，不能满足两边成比例且夹角相等，不能证明△ADE与△ACB相似，③⑤不正确．
故选A．
11.【答案】1
【解析】【分析】
本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
设DF，CE交于O，根据正方形的性质得到∠B=∠DCF=90°，BC=CD=AB，根据线段中点的定义得到BE=CF，根据全等三角形的性质得到CE=DF，∠BCE=∠CDF，求得DF⊥CE，根据勾股定理得到CE=DF= (2 2)2+( 2)2= 10，点G，H分别是EC，FD的中点，根据相似三角形的判定和性质列出比例式，即可得到结论．
【解答】
解：设DF，CE交于O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠DCF=90°，BC=CD=AB，
∵点E，F分别是边AB，BC的中点，
∴BE=CF，
∴△CBE≌△DCF(SAS)，
∴CE=DF，∠BCE=∠CDF，
∵∠CDF+∠CFD=90°，
∴∠BCE+∠CFD=90°，
∴∠COF=90°，
∴DF⊥CE，
∴CE=DF= (2 2)2+( 2)2= 10，
∵点G，H分别是EC，FD的中点，
∴CG=FH= 102，
∵∠DCF=90°，CO⊥DF，∠BCE=∠CDF，
∴△COF∽△DCF，
∴CF2=OF⋅DF，
∴OF=CF2DF=( 2)2 10= 105，
∴OH=3 1010，OD=4 105，
∵CO⊥DF，∠BCE=∠CDF，
∴△COF∽△DOC，
∴OC2=OF⋅OD，
∴OC= 105×4 105=2 105，
∴OG=CG−OC= 102−2 105= 1010，
∴HG= OG2+OH2= 110+910=1，
故答案为：1．
12.【答案】3 8
【解析】解：①∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，AB=BC=16，
∵∠APD+∠DPC=∠B+∠BAP，∠APD=60°，
∴∠DPC=∠BAP，
∴△PCD∽△ABP，
∴CD：PB=PC：AB，
∵PC=12，
∴PB=BC−PC=16−12=4，
∴CD：4=12：16，
∴CD=3，
故答案为：3．
②设PB=x，CD=y，
∵△PCD∽△ABP，
∴CD：PB=PC：AB，
∵PC=BC−PB=16−x，
∴y：x=(16−x)：16，
∴y=116(16−x)x=−116(x−8)2+4，
∴当x=8时，y有最大值4，
∴当P运动到BC中点时，CD最大是4，
∴当P从BC中点运动到C时，D又回到C，
∴点D的运动路径长为4+4=8．
故答案为：8．
①由三角形外角的性质，等边三角形的性质，可以证明△PCD∽△ABP，即可求出CD的长．
②设PB=x，CD=y，由△PCD∽△ABP，得到y关于x的函数关系式，即可求出CD的最大值，从而求出D运动路径长．
本题考查等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，轨迹，关键是明白D运动的轨迹．
13.【答案】△DBE
【解析】解：∵AB=1，AC= 2，BC= 5，DE=2，BD=2 2，BE=2 5，
∴ABDE=ACBD=BCBE=12，
∴△ABC∽△DEB．
故答案为：△DBE．
求出△ABC，△BDE的各边的长，利用三边成比例两三角形相似判断即可．
本题考查相似三角形的判定，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型．
14.【答案】20
【解析】【分析】
本题考查相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的有关知识，找出相似三角形是解题关键.过点D作DF⊥CD，根据等腰直角三角形的性质得出ABBC，得出△DFC是等腰直角三角形，进而得出DF=CD=5，然后得出△ABE∽△BDF，再根据相似三角形的性质得出AB和BD之间的关系，然后利用勾股定理求解即可．
【解答】
解：如图，过点D作DF⊥CD，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴ABBC=1 2= 22，∠ABC=∠ACB=45°，
∴△DFC是等腰直角三角形，
∴DF=DC=5，
∵∠AED=45°，
∴∠ABE+∠BAE=45°，
∵∠ABE+∠CBD=45°，∠CBD+∠BDF=45°，
∴∠BAE=∠CBD，∠ABE=∠BDF，
∴△ABE∽△BDF，
∴ABBD=BEDF=45，
∴BD=54AB，
在Rt△ABD中，AB2+AD2=BD2，
即AB2+(AB−5)2=(54AB)2，
解得AB=20或AB=207(不合题意，舍去)，
故AB的长是20．
故答案为20．
15.【答案】证明：∵∠B=90°，AB=BC=CD=DE=3，
∴AC= 32+32=3 2，CE=3+3=6，
∴ACCD=3 23= 2，CEAC=63 2= 2，
∴ACCD=CEAC，
又∠ACD=∠ECD，
∴△ACD∽△ECD，
∴∠CAD=∠E．
【解析】先利用勾股定理求得AC=3 2，得到ACCD=CEAC，再证明△ACD∽△ECD，即可得到结论．
本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握“两边成比例且夹角相等两个三角形相似”是解题的关键．
16.【答案】解(1)∵∠BCE=∠ACD，
∴∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE，
∴∠ACB=∠DCE，
∵∠B=∠CED，
∴△ABC∽△DEC．
(2)由(1)得，△ABC～△DEC，
∵S△ABC：S△DEC=4：9，
∴S△ABCS△DEC=49=(BCEC)2，
∵BC=12，
∴EC=18．
【解析】(1)根据相似三角形的判定，即可；
(2)根据相似三角形的判定和性质，即可．
本题考查相似三角形的知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质．
17.【答案】解：(1)① 2；
②1.8或2.5．
(2)相似.理由：连结CD，与EF交于点O．
∵CD是Rt△ABC的中线，
∴CD=DB=12AB，
∴∠DCB=∠B.
由折叠知，∠COF=∠DOF=90∘，
∴∠DCB+∠CFE=90．
∵∠B+∠A=90∘，
∴∠CFE=∠A.
又∵∠ECF=∠BCA，
∴△CEF∽△CBA．
【解析】见答案
18.【答案】证明：∵BF⋅BA=BC⋅BD，
∴BABC=BDBF．
∵∠B=∠B，
∴△BAC∽△BDF．
∴∠A=∠D．
∵∠AEF=∠CED，
∴△AEF∽△DEC．
∴AEEF=DECE．
∴AE⋅CE=DE⋅EF．
【解析】先证明△BAC∽△BDF，从而得到对应角相等，再根据两角对应相等两三角形相似得到△AEF∽△DEC，根据相似三角形对应边成比例即可求得结论．
本题考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判断方法和乘积和比例的相互转化是本题的关键．
19.【答案】(1)证明：∵PE//DC，
∴∠BPE=∠PDF，
∵PF//BC，
∴∠PBE=∠DPF，
∴△BPE∽△PDF；
(2)解：当四边形PECF是正方形，设此正方形的边长为x，则PE=PF=CE=CF=x，
在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，
∴BE=8−x，DF=6−x，
由(2)知，△BPE∽△PDF，
∴BEPF=PEDF，
∴8−xx=x6−x，
∴x=247，
即当四边形PECF是正方形时，正方形的边长为247．
【解析】(1)由平行线的性质判断出∠BPE=∠PDF，∠PBE=∠DPF，即可得出结论；
(2)设正方形的边长为x，则PE=PF=CE=CF=x，进而得出BE=8−x，DF=6−x，再由△BPE∽△PDF，得出BEPF=PEDF，即8−xx=x6−x，解方程即可求出答案．
此题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，判断出△BPE∽△PDF是解本题的关键．
20.【答案】解：(1)如图，延长CD交AB于F，
∵∠ADF=∠CAD+∠ACD，
∠BDF=∠CBD+∠BCD，
∴∠ADB=∠ADF+∠BDF=∠CAD+∠CBD+∠ACB，
∵∠ADB=∠ACB+90°．
∴∠CAD+∠CBD=90°；
(2)①∵∠CAD+∠CBD=90°，∠CBD+∠CBE=90°，
∴∠CAD=∠CBE，
∵AC⋅BD=AD⋅BC，BD=BE，
∴ACAD=BCBE，
∴△ACD∽△BCE；
②如图2，连接DE，
∵BE⊥BD，BE=BD，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴DEBD= 2，
∵△ACD∽△BCE，
∴∠ACD=∠BCE，ACBC=CDCE，
∴∠ACB=∠DCE，
∴△ACB∽△DCE，
∴ACAB=DCDE，
∴AB⋅CDAC⋅BD=ABAC⋅CDBD=DECD⋅CDBD=DEBD= 2．
【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是②中，需要将比例式变形后才能得出结论．
(1)根据三角形外角的性质可得结论；
(2)①根据两边成比例且夹角相等证明△ACD∽△BCE；
②先根据等腰直角三角形的性质得：DEBD= 2，证明△ACB∽△DCE，得ACAB=DCDE，代入所求的式子可得结论．AD
AC
AE
AB
AD
AC
AE
AB
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF=2FD，则BEEG的值为( )
A. 12B. 13C. 23D. 34
2.如图，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上，增加下列条件中的一个：①∠AED=∠B，②∠ADE=∠C，③AEAB=DEBC，④ADAC=AEAB，⑤AC2=AD⋅AE，使△ADE与△ACB一定相似的有
( )
A. ①②④B. ②④⑤C. ①②③④D. ①②③⑤
3.在5倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相此，三角形的周长( )
A. 没有发生变化B. 放大了5倍C. 放大了15倍D. 放大了25倍
4.大约在两千四五百年前，如图 ①，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验.并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”.如图 ②所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是6cm，则蜡烛火焰的高度是
( )
图 ① 图 ②
A. 3cmB. 4cmC. 6cmD. 9cm
5.如图，△ABC中，P为AB边上一点，下列条件中，不能判定△APC∽△ACB的是( )
A. ∠ACP=∠BB. ∠APC=∠ACB
C. AC2=AP⋅ABD. ACAB=CPBC
6.如图，在△ABC中，D、E分别在边AB、AC上，DE//BC，EF//CD交AB于F，那么下列比例式中正确的是( )
A. AFDF=DEBCB. DFDB=AFDFC. EFCD=DEBCD. AFBD=ADAB
7.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，在△ABC的内部，作一个正方形PQRS，若BC=3，AD=2，则正方形PQRS的边长为
( )
A. 65B. 54C. 1D. 32
8.如图，在△ABC中，D为边BC上一点，已知BDDC=53，E为AD的中点，延长BE交AC于F，则AFAC=( )
A. 35B. 58C. 313D. 513
9.如图，在△ABC中，AB=AC=8，BC=6，点P从点B出发以1个单位/s的速度向点A运动，同时点Q从点C出发以2个单位/s的速度向点B运动．当以B，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间为( )
A. 2411sB. 95sC. 2411s或95sD. 以上均不对
10.如图，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上，增加下列条件中的一个：①∠AED=∠B，②∠ADE=∠C，③AEAB=DEBC，④ADAC=AEAB，⑤AC2=AD⋅AE，使△ADE与△ACB一定相似的有
( )
A. ①②④B. ②④⑤C. ①②③④D. ①②③⑤
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
11.如图，在边长为2 2的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为______．
12.如图，等边三角形△ABC的边长为16，动点P从点B出发沿BC运动到点C，连接AP，作∠APD=60°，PD交AC于点D．
①若PC=12，则CD的长为______ ；
②动点P从点B运动到点C时，点D的运动路径长为______ ．
13.如图，在边长为1的正方形网格中，A、B、C、D、E各点均为格点，则图中能用字母表示的各三角形______∽△ABC．
14.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D在边AC上，点E在BD上，∠AED=45°，若BE=4，CD=5，则AB的长是_________．
三、解答题（本大题共6小题，共48.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.(本小题8.0分)
如图，△ABE中，∠B=90°，点C，D在BE边上，AB=BC=CD=DE=3，连接AC，AD，说明∠CAD=∠E的理由．
16.(本小题8.0分)
如图，在△ABC和△DEC中，∠BCE=∠ACD，∠B=∠CED．
(1)求证：△ABC∽△DEC；
(2)若S△ABC：S△DEC=4：9，BC=12，求EC的长．
17.(本小题8.0分)
如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，翻折∠C，使点C落在斜边AB上的某一点D处，折痕为EF(点E，F分别在边AC，BC上)．
(1)若△CEF与△ABC相似，
①当AC=BC=2时，AD的长为 ;
②当AC=3，BC=4时，AD的长为 ．
(2)当D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似吗?请说明理由．
18.(本小题8.0分)
如图，直线EF分别交△ABC的边AB，AC于点F，E，交BC的延长线于点D，已知BF⋅BA=BC⋅BD.求证：AE⋅CE=DE⋅EF．
19.(本小题8.0分)
如图，在矩形ABCD中，P是对角线BD上一点，过点P作PE//DC交BC于点E，作PF//BC交CD于点F．
(1)证明：△BPE∽△PDF；
(2)已知AB=6，AD=8，当四边形PECF是正方形时，求此正方形的边长．
20.(本小题8.0分)
如图，设D为锐角△ABC内一点，∠ADB=∠ACB+90°，过点B作BE⊥BD，BE=BD，连接EC．
(1)求∠CAD+∠CBD的度数；
(2)若AC·BD=AD·BC，
①求证：△ACD∽△BCE；
②求AB⋅CDAC⋅BD的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：由AF=2DF，可以假设DF=k，则AF=2k，AD=3k，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB//CD，AB=CD，
∴∠AFB=∠FBC=∠DFG，∠ABF=∠G，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBG，
∴∠ABF=∠AFB=∠DFG=∠G，
∴AB=CD=2k，DF=DG=k，
∴CG=CD+DG=3k，
∵AB//DG，
∴△ABE∽△CGE，
∴BEEG=ABCG=2k3k=23，
故选：C．
由AF=2DF，可以假设DF=k，则AF=2k，AD=3k，证明AB=CD=2k，DF=DG=k，再利用相似三角形的判定和性质即可解决问题．
本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了相似三角形的判定定理：(1)两角对应相等的两个三角形相似；(2)两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；(3)三边对应成比例的两个三角形相似；(4)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．
由两角相等的两个三角形相似得出①②正确，由两边成比例且夹角相等的两个三角形相似得出④正确；③⑤不能证出△ADE与△ACB一定相似；即可得出结果．【解答】
解：∵∠A=∠A，∠AED=∠B，
∴△ADE∽△ACB，①正确；
∵∠A=∠A，∠ADE=∠C，
∴△ADE∽△ACB，②正确；
∵∠A=∠A，
=
，
∴△ADE∽△ACB，④正确；
由AEAB=DEBC，或AC2=AD⋅AE，不能满足两边成比例且夹角相等，不能证明△ADE与△ACB相似，③⑤不正确．
故选A．
3.【答案】B
【解析】解：∵在5倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相似，相似比为5：1，
∴根据相似三角形的性质，三角形的周长比等于相似比，
∴三角形的周长被放大了5倍．
故选：B．
由5倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相似，相似比为5：1，根据相似三角形的性质，周长比等于相似比，即可得出结论．
本题考查相似三角形的性质在实际中的运用，掌握相似三角形的性质是解题关键．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查的是相似三角形的应用有关知识，直接利用相似三角形的对应边成比例解答．【解答】
解：设蜡烛火焰的高度是x cm，
由相似三角形的性质得到：1015=x6
解得x=4．
即蜡烛火焰的高度是4cm．
5.【答案】D
【解析】解：A.∵∠ACP=∠B，∠PAC=∠CAB，
∴△APC∽△ACB(两角分别相等的两个三角形相似)，
故本选项不符合题意；
B.∵∠APC=∠ACB，∠PAC=∠CAB，
∴△APC∽△ACB(两角分别相等的两个三角形相似)，
故本选项不符合题意；
C.∵AC2=AP⋅AB，
∴ACAB=APAC，
又∵∠PAC=∠CAB，
∴△APC∽△ACB(两边对应成比例夹角相等的两个三角形相似)，
故本选项不符合题意；
D.当ACAB=CPBC，∠PAC=∠CAB时，即两边对应成比例，其中一边的对角相等，此时两个三角形不一定相似，
故本选项符合题意．
故选：D．
根据相似三角形的判定对四个选项逐个判断即可作出选择．
本题考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，熟练运用相似三角形的性质是本题的关键．根据相似三角形的判定和性质以及平行线分线段成比例定理对各选项进行判断即可求解．
【解答】
解：∵DE//BC，EF//CD，
∴△ADE∽△ABC，△AFE∽△ADC，
∴DEBC=AEAC，EFDC=AEAC，
∴EFDC=DEBC，故C选项符合题意；
∵EF//CD，
∴AFDF=AEEC，
∵△ADE∽△ABC，
∴DEBC=AEAC，
∴AEAC≠AEEC
∴AFDF≠DEBC，故A选项不符合题意；
∵EF//CD，
∴AFDF=AEEC，
∵DE//BC，
∴ADDB=AEEC，
∴ADDB=AFDF，
∴DFDB≠AFDF，故B选项不符合题意；
∵△ADE∽△ABC，
∴AEAC=ADAB，
∵EF//CD，
∴AFAD=AEAC，
∴ADAB=AFAD，
∵AD不一定等于BD，
∴AFBD不一定等于ADAB，故D选项不符合题意
故选：C．
7.【答案】A
【解析】【分析】
此题考查了相似三角形的判定与性质以及正方形的性质．注意掌握方程思想的应用是解此题的关键．由四边形PQRS是正方形，可得SR//BC，即可证得△ASR∽△ABC，设正方形PQRS的边长为x，然后由相似三角形对应高的比等于相似比，得方程：x3=2−x2，解此方程即可求得答案．
【解答】
解：如图：
设正方形PQRS的边长为x，
∵AD是△ABC的高，SR//BC，
∴AE是△ASR的高，
则AE=AD−ED=2−x，
∵四边形PQRS是正方形，
∴SR//BC，
∴△ASR∽△ABC，
∴SRBC=AEAD，
∴x3=2−x2，
解得：x=65，
∴正方形PQRS的边长为65．
故选A．
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查了相似三角形的判定与性质.熟练掌握通过作平行线构造相似是解题的关键．过D作DG//AC，相似三角形的性质得到DG=AF，再由△BDG∽△BCF可得对应线段成比例，进而即可求解AF与AC的比值．
【解答】
解：过D作DG//AC交BF于G，
∵DG//AF，
∴△AEF∽△DEG，
又∵E是AD的中点，
∴AFGD=EFEG=AEDE=1，
∴DG=AF，
∵DG//AC，BDDC=53，
∴△BDG∽△BCF，
∴GDCF=BDBC=58，
∴DGCF=AFCF=58，
∴AFAC=513．
故选D．
9.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了相似三角形的判定，注意数形结合思想与分类讨论思想．
首先设t秒钟△ABC与以B、P、Q为顶点的三角形相似，则BP=t，CQ=2t，BQ=BC−CQ=6−2t，然后分两种情况当△BAC∽△BPQ和当△BCA∽△BPQ讨论．
【解答】
解：设运动时间为t秒．
BP=t，CQ=2t，BQ=BC−CQ=6−2t，
当△BAC∽△BPQ时，BPAB=BQBC，
即t8=6−2t6，
解得t=2411；
当△BCA∽△BPQ时，BPBC=BQAB，
即t6=6−2t8，
解得t=95，
综上所述，当以B，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间为2411s或95s，
故选：C．
10.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了相似三角形的判定定理：(1)两角对应相等的两个三角形相似；(2)两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；(3)三边对应成比例的两个三角形相似；(4)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．
由两角相等的两个三角形相似得出①②正确，由两边成比例且夹角相等的两个三角形相似得出④正确；③⑤不能证出△ADE与△ACB一定相似；即可得出结果．【解答】
解：∵∠A=∠A，∠AED=∠B，
∴△ADE∽△ACB，①正确；
∵∠A=∠A，∠ADE=∠C，
∴△ADE∽△ACB，②正确；
∵∠A=∠A，
=
，
∴△ADE∽△ACB，④正确；
由AEAB=DEBC，或AC2=AD⋅AE，不能满足两边成比例且夹角相等，不能证明△ADE与△ACB相似，③⑤不正确．
故选A．
11.【答案】1
【解析】【分析】
本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
设DF，CE交于O，根据正方形的性质得到∠B=∠DCF=90°，BC=CD=AB，根据线段中点的定义得到BE=CF，根据全等三角形的性质得到CE=DF，∠BCE=∠CDF，求得DF⊥CE，根据勾股定理得到CE=DF= (2 2)2+( 2)2= 10，点G，H分别是EC，FD的中点，根据相似三角形的判定和性质列出比例式，即可得到结论．
【解答】
解：设DF，CE交于O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠DCF=90°，BC=CD=AB，
∵点E，F分别是边AB，BC的中点，
∴BE=CF，
∴△CBE≌△DCF(SAS)，
∴CE=DF，∠BCE=∠CDF，
∵∠CDF+∠CFD=90°，
∴∠BCE+∠CFD=90°，
∴∠COF=90°，
∴DF⊥CE，
∴CE=DF= (2 2)2+( 2)2= 10，
∵点G，H分别是EC，FD的中点，
∴CG=FH= 102，
∵∠DCF=90°，CO⊥DF，∠BCE=∠CDF，
∴△COF∽△DCF，
∴CF2=OF⋅DF，
∴OF=CF2DF=( 2)2 10= 105，
∴OH=3 1010，OD=4 105，
∵CO⊥DF，∠BCE=∠CDF，
∴△COF∽△DOC，
∴OC2=OF⋅OD，
∴OC= 105×4 105=2 105，
∴OG=CG−OC= 102−2 105= 1010，
∴HG= OG2+OH2= 110+910=1，
故答案为：1．
12.【答案】3 8
【解析】解：①∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，AB=BC=16，
∵∠APD+∠DPC=∠B+∠BAP，∠APD=60°，
∴∠DPC=∠BAP，
∴△PCD∽△ABP，
∴CD：PB=PC：AB，
∵PC=12，
∴PB=BC−PC=16−12=4，
∴CD：4=12：16，
∴CD=3，
故答案为：3．
②设PB=x，CD=y，
∵△PCD∽△ABP，
∴CD：PB=PC：AB，
∵PC=BC−PB=16−x，
∴y：x=(16−x)：16，
∴y=116(16−x)x=−116(x−8)2+4，
∴当x=8时，y有最大值4，
∴当P运动到BC中点时，CD最大是4，
∴当P从BC中点运动到C时，D又回到C，
∴点D的运动路径长为4+4=8．
故答案为：8．
①由三角形外角的性质，等边三角形的性质，可以证明△PCD∽△ABP，即可求出CD的长．
②设PB=x，CD=y，由△PCD∽△ABP，得到y关于x的函数关系式，即可求出CD的最大值，从而求出D运动路径长．
本题考查等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，轨迹，关键是明白D运动的轨迹．
13.【答案】△DBE
【解析】解：∵AB=1，AC= 2，BC= 5，DE=2，BD=2 2，BE=2 5，
∴ABDE=ACBD=BCBE=12，
∴△ABC∽△DEB．
故答案为：△DBE．
求出△ABC，△BDE的各边的长，利用三边成比例两三角形相似判断即可．
本题考查相似三角形的判定，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型．
14.【答案】20
【解析】【分析】
本题考查相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的有关知识，找出相似三角形是解题关键.过点D作DF⊥CD，根据等腰直角三角形的性质得出ABBC，得出△DFC是等腰直角三角形，进而得出DF=CD=5，然后得出△ABE∽△BDF，再根据相似三角形的性质得出AB和BD之间的关系，然后利用勾股定理求解即可．
【解答】
解：如图，过点D作DF⊥CD，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴ABBC=1 2= 22，∠ABC=∠ACB=45°，
∴△DFC是等腰直角三角形，
∴DF=DC=5，
∵∠AED=45°，
∴∠ABE+∠BAE=45°，
∵∠ABE+∠CBD=45°，∠CBD+∠BDF=45°，
∴∠BAE=∠CBD，∠ABE=∠BDF，
∴△ABE∽△BDF，
∴ABBD=BEDF=45，
∴BD=54AB，
在Rt△ABD中，AB2+AD2=BD2，
即AB2+(AB−5)2=(54AB)2，
解得AB=20或AB=207(不合题意，舍去)，
故AB的长是20．
故答案为20．
15.【答案】证明：∵∠B=90°，AB=BC=CD=DE=3，
∴AC= 32+32=3 2，CE=3+3=6，
∴ACCD=3 23= 2，CEAC=63 2= 2，
∴ACCD=CEAC，
又∠ACD=∠ECD，
∴△ACD∽△ECD，
∴∠CAD=∠E．
【解析】先利用勾股定理求得AC=3 2，得到ACCD=CEAC，再证明△ACD∽△ECD，即可得到结论．
本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握“两边成比例且夹角相等两个三角形相似”是解题的关键．
16.【答案】解(1)∵∠BCE=∠ACD，
∴∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE，
∴∠ACB=∠DCE，
∵∠B=∠CED，
∴△ABC∽△DEC．
(2)由(1)得，△ABC～△DEC，
∵S△ABC：S△DEC=4：9，
∴S△ABCS△DEC=49=(BCEC)2，
∵BC=12，
∴EC=18．
【解析】(1)根据相似三角形的判定，即可；
(2)根据相似三角形的判定和性质，即可．
本题考查相似三角形的知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质．
17.【答案】解：(1)① 2；
②1.8或2.5．
(2)相似.理由：连结CD，与EF交于点O．
∵CD是Rt△ABC的中线，
∴CD=DB=12AB，
∴∠DCB=∠B.
由折叠知，∠COF=∠DOF=90∘，
∴∠DCB+∠CFE=90．
∵∠B+∠A=90∘，
∴∠CFE=∠A.
又∵∠ECF=∠BCA，
∴△CEF∽△CBA．
【解析】见答案
18.【答案】证明：∵BF⋅BA=BC⋅BD，
∴BABC=BDBF．
∵∠B=∠B，
∴△BAC∽△BDF．
∴∠A=∠D．
∵∠AEF=∠CED，
∴△AEF∽△DEC．
∴AEEF=DECE．
∴AE⋅CE=DE⋅EF．
【解析】先证明△BAC∽△BDF，从而得到对应角相等，再根据两角对应相等两三角形相似得到△AEF∽△DEC，根据相似三角形对应边成比例即可求得结论．
本题考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判断方法和乘积和比例的相互转化是本题的关键．
19.【答案】(1)证明：∵PE//DC，
∴∠BPE=∠PDF，
∵PF//BC，
∴∠PBE=∠DPF，
∴△BPE∽△PDF；
(2)解：当四边形PECF是正方形，设此正方形的边长为x，则PE=PF=CE=CF=x，
在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，
∴BE=8−x，DF=6−x，
由(2)知，△BPE∽△PDF，
∴BEPF=PEDF，
∴8−xx=x6−x，
∴x=247，
即当四边形PECF是正方形时，正方形的边长为247．
【解析】(1)由平行线的性质判断出∠BPE=∠PDF，∠PBE=∠DPF，即可得出结论；
(2)设正方形的边长为x，则PE=PF=CE=CF=x，进而得出BE=8−x，DF=6−x，再由△BPE∽△PDF，得出BEPF=PEDF，即8−xx=x6−x，解方程即可求出答案．
此题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，判断出△BPE∽△PDF是解本题的关键．
20.【答案】解：(1)如图，延长CD交AB于F，
∵∠ADF=∠CAD+∠ACD，
∠BDF=∠CBD+∠BCD，
∴∠ADB=∠ADF+∠BDF=∠CAD+∠CBD+∠ACB，
∵∠ADB=∠ACB+90°．
∴∠CAD+∠CBD=90°；
(2)①∵∠CAD+∠CBD=90°，∠CBD+∠CBE=90°，
∴∠CAD=∠CBE，
∵AC⋅BD=AD⋅BC，BD=BE，
∴ACAD=BCBE，
∴△ACD∽△BCE；
②如图2，连接DE，
∵BE⊥BD，BE=BD，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴DEBD= 2，
∵△ACD∽△BCE，
∴∠ACD=∠BCE，ACBC=CDCE，
∴∠ACB=∠DCE，
∴△ACB∽△DCE，
∴ACAB=DCDE，
∴AB⋅CDAC⋅BD=ABAC⋅CDBD=DECD⋅CDBD=DEBD= 2．
【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是②中，需要将比例式变形后才能得出结论．
(1)根据三角形外角的性质可得结论；
(2)①根据两边成比例且夹角相等证明△ACD∽△BCE；
②先根据等腰直角三角形的性质得：DEBD= 2，证明△ACB∽△DCE，得ACAB=DCDE，代入所求的式子可得结论．AD
AC
AE
AB
AD
AC
AE
AB
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