精品解析：陕西省汉中市洋县2021-2022学年九年级上学期期末考试数学试题

洋县2021~2022学年度第一学期期末考试九年级数学试题注意事项：1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共4页，总分120分．考试时间120分钟．2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号．3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效．4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑．5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题 共24分）一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）1. 已知，若是锐角，则的度数为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值即可求解．【详解】解：∵，且是锐角，∴，故选：A．【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．2. 如图所示几何体主视图是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据主视图：从物体前面向后面正投影得到的投影图，即可求解．【详解】解：该几何体主视图是 ．故选：D【点睛】本题主要考查了几何体的三视图，熟练掌握三视图是观测者从三个不同位置观察同一个几何体，画出的平面图形；（1）主视图：从物体前面向后面正投影得到的投影图，它反映了空间几何体的高度和长度；（2）左视图：从物体左面向右面正投影得到的投影图，它反映了空间几何体的高度和宽度；（3）俯视图：从物体上面向下面正投影得到的投影图，它反应了空间几何体的长度和宽度是解题的关键．3. 圆形物体在阳光下的投影可能是（ ）A. 三角形 B. 圆形 C. 矩形 D. 梯形【答案】B【解析】【分析】根据在不同时刻、同一物体的影子的方向和大小可能不同逐项进行排查即可．【详解】解：同一物体的影子的方向和大小可能不同，不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变．圆形物体在阳光下的投影可能是圆形、线段和椭圆形．故选：B．【点睛】本题主要考查了平行投影，掌握平行投影只改变大小和方向，不改变位置关系成为解答本题的关键．4. 如图，，直线和分别交于点A、B、C和点D、B、E，，则的长为（ ）A. 4 B. 5 C. 6 D. 9【答案】D【解析】【分析】根据平行线分线段成比例可得，即可求出的长，最后根据求解即可．【详解】∵，∴，∵∴，∴，∴，故选：D．【点睛】本题考查平行线分线段成比例，找准对应比例是解题的关键．5. 反比例函数图象上的两点为（x1，y1），（x2，y2），且x1＜x2＜0，则y1与y2的大小关系是（　　）A. y1＞y2 B. y1＜y2 C. y1＝y2 D. 不能确定【答案】B【解析】【分析】先根据反比例函数判断此函数图象所在的象限，再根据x1＜x2＜0判断出（x1，y1）、（x2，y2）所在的象限，根据此函数的增减性即可解答．【详解】解：∵反比例函数中，k＝﹣3＜0，∴此函数的图象在二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，∵x1＜x2＜0，∴（x1，y1）、（x2，y2）两点均位于第二象限，∴y1＜y2．故选：B．【点睛】此题主要考查反比例函数的图像与性质，解题的关键是熟知其图像性质．6. 如图，图形甲与图形乙是位似图形，点O是位似中心，点A、B的对应点分别为点，若，则图形乙的面积是图形甲的面积的（ ）A. 2倍 B. 3倍 C. 4倍 D. 5倍【答案】C【解析】【分析】由题意可得，甲、乙两图形相似，且相似比为，根据相似图形的面积比是相似比的平方，即可求解．【详解】解：由题意可得，甲乙两图形相似，且相似比为，根据相似图形的面积比是相似比的平方可得，图形乙的面积是图形甲的面积的4倍，故选：C【点睛】此题考查了相似图形的性质，解题的关键是掌握相似图形的面积比是相似比的平方这一性质．7. 如图，四边形为菱形，若为边垂直平分线，用的度数为（ ）A. 20° B. 25° C. 30° D. 40°【答案】C【解析】【分析】连接AC，证明△ABC为等边三角形，得到∠ABC=60°，根据菱形性质即可求解．【详解】解：连接AC，∵四边形为菱形，∴AB=BC，∵为边的垂直平分线，∴BC=AC，∴AB=BC=AC，∴△ABC为等边三角形，∴∠ABC=60°，∵四边形为菱形，∴∠ADB=．故选：C【点睛】本题考查了菱形的性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的性质，证明△ABC为等边三角形是解题关键．8. 已知反比例函数的图象在每个象限内y随x的增大而增大，则关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定【答案】C【解析】【分析】根据反比例函数的性质确定，再根据判别式确定方程的根．【详解】∵在每一个象限内y随着x增大而增大，∴∴一元二次方程的判别式∴方程有两个不相等的实数根，故选：C．【点睛】此题考查了反比例函数的性质和一元二次方程根的判别，解题的关键是熟记一元二次方程根的判别式．第二部分（非选择题 共96分）二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）9. 若关于方程的一个根是–1，则的值是__________．【答案】【解析】【分析】把代入方程进行求解即可．【详解】解：把代入方程可得：，解得：；故答案为．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键．10. 如图，在正方形网格中，的顶点均在格点上，则的值为___________．【答案】【解析】【分析】直接根据图象计算即可．【详解】∵正方形网格中，的顶点均在格点上，∴，∴，故答案为．【点睛】本题考查了锐角三角函数的概念，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．在中，若，则，，，．11. 在一个不透明的盒子中装有黑球和白球共200个，这些球除颜色外其余均相同，将球搅匀后任意摸出一个球，记下颜色后放回，通过大量重复摸球试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.2，则盒子中的白球有________．【答案】40【解析】【分析】概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率．【详解】解：概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率，∴摸到白球的概率约为0.2．∴白球的个数=200×0.2=40个故答案为：40．【点睛】本题主要考查了利用频率估计概率，熟知大量反复试验下频率稳定值即概率是解题的关键．12. 如图，点A为反比例函数的图像上一点，连接并延长交反比例函数的图像于另一点B，过点A、B分别作x轴、y轴的平行线，两平行线交于点C，则的面积为______________．【答案】12【解析】【分析】设点A的坐标为，根据反比例函数和正比例函数的对称性质求得点B的坐标为，求得点C的坐标为，利用三角形面积公式求解即可．【详解】解：设点A的坐标为，根据中心对称的性质知点B的坐标为，∴点C的坐标为，∴，，则的面积为，故答案为：12．【点睛】本题考查了反比例函数和正比例函数的性质，数形结合是解题的关键．13. 如图，将矩形ABCD放置在平面直角坐标系的第一象限内，使顶点A，B分别在x轴、y轴上滑动，矩形的形状保持不变，若AB=2，BC=1，则顶点C到坐标原点O的最大距离为______．【答案】##【解析】【分析】取AB的中点E，连接OE，CE，求得，OE=1，再根据OC≤，即可得到点C到原点O距离的最大值是．【详解】解：如图，取AB的中点E，连接OE，CE，由矩形可得 ∵∠AOB=90°， ∴Rt△AOB中，， ∴Rt△CBE中， 又∵OC≤∴OC的最大值为，即点C到原点O距离的最大值是， 故答案为．【点睛】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、三角形的三边关系，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半等知识点．解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形．三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）14. 解方程：．【答案】【解析】【分析】先移项，然后因式分解法解一元二次方程即可求解．【详解】解：方程移项得：，分解因式得：，所以或，解得：．【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．15. 如图，是的高，，求及的长．【答案】，【解析】【分析】根据直角三角形的三角函数的正弦值求出，余弦求出．【详解】解：在中，，∵，∴，∴．在中，，∴，∴．∴，∴，∴．【点睛】此题考查了直角三角形的三角函数，解题的关键是确定直角三角形并会应用三角函数值．16. 如图，在四边形中，，点E在上，．（1）求证：；（2）若，求与的周长之比．【答案】（1）见解析 （2）【解析】【分析】（1）得，再由，即可得出结论；（2）由相似三角形的性质列出比例式即可求解．【小问1详解】证明：∵，∴，又∵，∴；【小问2详解】解：由（1）知，，∴与的周长之比．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．17. 已知反比例函数（k为常数）．（1）若函数图象在第二、四象限，求k的取值范围；（2）若时，y随x的增大而减小，求k的取值范围．【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据反比例函数的图象在第二、四象限列出关于k的不等式，求出k的取值范围即可；（2）根据反比例函数的增减性列出关于k的不等式，求出k的取值范围即可得出结论．【小问1详解】解：∵反比例函数的图象在第二、四象限，∴，解得：，∴k的取值范围是；【小问2详解】解：∵若时，y随x增大而减小，∴，解得：，∴k的取值范围是．【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．18. 如图，在正方形中，E，F分别为，上的点，且，点M是的中，点，连接、、．求证：．【答案】证明见解析．【解析】【分析】利用正方形的性质证明，得到，再利用点M是的中点，即可证明．【详解】证明：∵四边形是正方形∴，∵，∴．在和中，∴，∴，∵点M是的中点，∴．【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定及性质，解题的关键是理解正方形性质，掌握三角形全等的判定方法及性质．19. 《城镇污水处理厂污染物排放标准》中硫化物的排放标准为．某污水处理厂在自查中发现，所排污水中硫化物浓度超标．因此立即整改，并开始实时监测．据监测，整改开始第60小时时，所排污水中硫化物的浓度为；从第60小时开始，所排污水中硫化物的浓度是监测时间x（小时）的反比例函数，其图像如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）按规定所排污水中疏化物的浓度不超过时，才能解除实时监测，此次整改实时监测的时间至少要多少小时？【答案】（1） （2）375小时【解析】【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为，根据题意，求解即可；（2）利用反比例函数的性质，求解即可．【小问1详解】解：设y与x之间的函数关系式为，根据题意，得：，∴y与x之间的函数关系式为；【小问2详解】解：当时，．对于反比例函数，当时，y随x的增大而减小，所以当时，，即此次整改实时监测的时间至少要375小时．【点睛】此题考查了反比例函数的应用，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质．20. 如图，的对角线交于点O，点E在边的延长线上，连接，且，．求证：四边形是矩形．【答案】见解析【解析】【分析】根据两边对应成比例、夹角相等的两个三角形相似证明，再根据相似三角形的性质求出，进而证明，根据矩形的判定定理证明结论．【详解】证明：∵，∴，又∵，∴，∴，而，∴，又∵，∴，∵四边形是平行四边形，∴四边形是矩形．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质、矩形的判定，熟记相似三角形的判定定理是解题的关键．21. 2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育活动．据了解，某展览中心3月份的参观人数为10万人，5月份的参观人数增加到12.1万人．求参观人数的月平均增长率．【答案】【解析】【分析】根据公式：（其中a表示增长前的量，b表示增长后的量，x表示月平均增长率，n表示月数），列式即可．【详解】解：设这两个月参观人数的月平均增长率为x，根据题意，得：，解得：或（舍去），答：这两个月参观人数的月平均增长率为．【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握关于增长率的公式是解答此题的关键．22. 一个阳光明媚的午后，王婷和李力两个人去公园游玩，看见公园里有一棵古老的大树，于是，他们想运用所学知识测量这棵树的高度，如图，李力站在大树的影子的末端C处，同一时刻，王婷在李力的影子的末端E处做上标记，随后两人找来米尺测得米，米．已知李力的身高米，B、C、E在一条直线上，，请你运用所学知识，帮助王婷和李力求出这棵树的高度．【答案】这棵树的高度为8米．【解析】【分析】根据相似三角形的判定与性质得出比例式求解即可．【详解】解：根据题意可得，，∴．又∵，即，∴，∴．∵米，米，米．∴，∴米，即这棵树的高度为8米．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．23. 随着信息技术的迅猛发展，移动支付已成为一种常见的支付方式．在一次购物中，陈老师和陆老师都随机从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付．（1）陆老师选择用“微信”支付的概率是__________________；（2）请用画树状图或列表的方法表示所有结果，并求出两位老师恰好一人用“微信”支付，一人用“银行卡”支付的概率．【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）直接利用概率公式求解可得．（2）将“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式分别记为：A、B、C，画出树状图可得共有9种等可能的结果，其中一人选择“微信”支付，一人选择“银行卡”支付的结果有2种，利用概率公式求解可得．【小问1详解】解：陆老师选择用“微信”支付的概率是；故答案为：【小问2详解】解：将“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式分别记为：A、B、C，画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中两位老师恰好一人用“微信”支付，一人用“银行卡”支付的结果有2种，∴两位老师恰好一人用“微信”支付，一人用“银行卡”支付的概率为．【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．24. 晓琳想用所学知识测量塔的高度．她找到一栋与塔在同一水平面上的楼房，在楼房的A处测得塔底部D的俯角为，测得塔顶部C的仰角为，，，，求塔的高度．（参考数据：）【答案】【解析】【分析】过A点作于E点，在中求出，再在中求出，最后根据求解即可．【详解】过A点作于E点，由题意得，四边形为矩形，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴塔的高度是．【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．25. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点，其中点A的坐标为，点B的坐标为．（1）求这两个函数的表达式；（2）一次函数的图象交y轴于点C，若点P在反比例函数的图象上，使得，求点P的坐标．【答案】（1）反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为 （2）点P的坐标或【解析】【分析】（1）先把点代入反比例函数求出，再求出点B的坐标，最后求出一次函数解析式；（2）先根据面积求出点P的横坐标，再代入解析式计算即可．【小问1详解】把点代入反比例函数得，，∴，∴反比例函数的表达式为，将点代入得，，∴，将A、B的坐标代入得解得∴一次函数的表达式为．【小问2详解】在中，令，则，∴直线与y轴的交点C为，设，由题意得，∴，∴或，当时，，此时点P的坐标为；当时，，此时点P的坐标为．∴点P的坐标或．【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的交点，待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，三角形的面积，熟练掌握待定系数法是解题的关键．26. 如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．（1）当点Q在线段CA上时，如图1，求证：△BPE∽△CEQ；（2）当点Q在线段CA的延长线上时，如图2，△BPE和△CEQ是否相似？说明理由；（3）在（2）的条件下，若BP＝1，CQ＝，求PQ的长．【答案】（1）见解析；（2）△BPE∽△CEQ；见解析；（3）【解析】【分析】（1）由∠BEQ＝∠BEP＋∠DEF＝∠EQC＋∠C及∠B＝∠C＝∠DEF＝45°，所以∠BEP＝∠EQC，所以△BPE∽△CEQ，结论得证；（2）同（1）方法；（3）根据△BPE∽△CEQ，所以，因为 ,将BP＝1，CQ＝问题即可求解．【详解】解：（1）证明：∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∴∠B＝∠C＝∠DEF＝45°，∵∠BEQ＝∠BEP＋∠DEF＝∠EQC＋∠C，∴∠BEP＋45°＝∠EQC＋45°，∴∠BEP＝∠EQC，∵∠B＝∠C，∴△BPE∽△CEQ；（2）△BPE∽△CEQ；理由如下：∵∠BEQ＝∠EQC＋∠C，即∠BEP＋∠DEF＝∠EQC＋∠C，∴∠BEP＋45°＝∠EQC＋45°，∴∠BEP＝∠EQC，又∵∠B＝∠C，∴△BPE∽△CEQ；（3） ∵△BPE∽△CEQ，∴，∵BE＝CE，∴，解得：BE＝CE＝，∴BC＝，∴AB＝AC＝，∴AQ＝CQ﹣AC＝，AP＝AB﹣BP＝3﹣1＝2，在Rt△APQ中，PQ＝．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形外角的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，根据两角对应相等的两个三角形相似是解本题的关键.