精品解析：重庆市沙坪坝区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题

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（全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟）
一、选择题（本大题12小题，每小题4分，共48分）
1. -2的绝对值是（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义进行求解即可．
【详解】解：在数轴上，点-2到原点的距离是2，所以-2的绝对值是2，
故选：A．
2. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】原式利用同底数幂的乘法法则计算即可得到结果．
【详解】解：原式，
故选：D．
【点睛】此题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解本题的关键．
3. 用不等式表示如图的解集，其中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据表示解集射线方向右，可知x大于2，从数字2出发，且为实心点可知x等于2，综上可知正确选项．
【详解】解：由数轴可知，表示解集射线方向右，从数字2出发，且为实心点，故x的值大于等于2，
故选：C．
【点睛】本题考查在数轴上表示不等式的解题，能够用在数轴上表示不等式的解集，并能根据数轴上表示的不等式解题还原不等式是解决此类题目的关键．
4. 如图，△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，△ABC与△DEF的面积之比为4∶9，则AO：OD的比值为（ ）
A. 2∶3B. 2∶5C. 4∶9D. 4∶13
【答案】A
【解析】
【分析】根据位似图形的性质得到，，再根据相似三角形的性质解答即可．
【详解】解：与位似，与的面积之比为，
，，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，掌握位似三角形的面积比等于位似比的平方是解题的关键．
5. 如图，△ABC内接于⊙O，若∠AOB＝120°，则∠C的度数是（ ）
A. 30°B. 45°C. 60°D. 75°
【答案】C
【解析】
【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论．
【详解】解：与是同弧所对圆周角与圆心角，，
．
故选：C．
【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，熟知圆周角定理是解答此题的关键．
6. 计算结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据乘法分配律可以将式子展开，然后化简即可．
【详解】解：
，
故选：B．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
7. 如图，AB＝ AD，AC＝ AE，添加一个条件，能够判断△ABC ≌△ADE的是（ ）
A. ∠DAB ＝ ∠EACB. ∠D＝∠BC. ∠E＝∠CD. ∠D＝∠C
【答案】A
【解析】
【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
【详解】解：A．，
，
即，
，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，故本选项符合题意；
B．，，，不符合全等三角形的判定定理，不能推出，故本选项不符合题意；
C．，，，不符合全等三角形的判定定理，不能推出，故本选项不符合题意；
D．，，，不符合全等三角形的判定定理，不能推出，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有等．
8. 已知，甲、乙两地相距720米，甲从A地去B地，乙从B地去A地，图中分别表示甲、乙两人离B地的距离y（单位：米），下列说法正确的是（ ）
A. 乙先走5分钟B. 甲的速度比乙的速度快
C. 12分钟时，甲乙相距160米D. 甲比乙先到2分钟
【答案】D
【解析】
【分析】根据图象可判断选项A、D，根据题意结合图象分别求出甲乙两人的速度，进而判断选项B、C．
【详解】解：A．由图象可知，甲先走5分钟，故本选项不合题意；
B．甲的速度为：（米分），乙的速度为：（米分），，故本选项不合题意；
C．12分钟时，甲乙相距：（米，故本选项不合题意；
D．由图象可知，甲比乙先到2分钟，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了函数的图象，掌握数形结合的方法是解题的关键．
9. 如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上的点，AB＝BF＝DE，则∠EAF的度数为（ ）
A. 22.5°B. 30°C. 45°D. 67.5°
【答案】C
【解析】
【分析】根据正方形的性质可得，，，证明，即可解决问题．
【详解】解：在正方形中，，，，
，
，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的性质，解决本题的关键是掌握正方形的性质．
10. 某通信公司准备逐步在歌乐山上建设5G基站．如图，某处斜坡CB的坡度（或坡比）为i＝1∶2.4，通讯塔AB垂直于水平地面，在C处测得塔顶A的仰角为45°，在D处测得塔顶A的仰角为53°，斜坡路段CD长26米，则通讯塔AB的高度为（ ）（参考数据：，，）
A. 米B. 米C. 56米D. 66米
【答案】B
【解析】
【分析】通过作辅助线，利用斜坡的坡度为，，由勾股定理可求出的长，设出的长，根据坡度表示，进而表示出，由于是等腰直角三角形，可表示，在中由锐角三角函数可列方程求出，进而求出．
【详解】解：如图，延长与水平线交于，过作，为垂足，过作，为垂足，连接，，
斜坡的坡度为，
，
设米，则米，
在中，米，由勾股定理得，
，
即，
解得，
（米，（米，
斜坡的坡度为，
设米，则米，
，
米，
米，
在中，米，米，
，
，
解得，
（米，（米，
（米，
（米，
答：基站塔的高为米．
故选：B．
【点睛】本题考查解直角三角形仰角俯角问题，坡度坡角问题，通过作垂线构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系和坡度的意义进行计算是解题关键．
11. 若关于x的一元一次不等式组无解，且关于y的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A. 2B. 3C. 5D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】表示出不等式组的解集，由不等式组无解，得到的取值范围，表示出分式方程的解，由分式方程的解为正数确定出的值，相加即可．
【详解】解：不等式组整理得：，
由不等式组无解，
，
分式方程去分母得：，
解得：，
由分式方程解为正数，且
即
，而
为整数，
解得：3，
则满足题意的值有0或2或3，0+，
故选：C．
【点睛】此题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
12. 如图，梯形OABC的一个顶点为平面直角坐标系的坐标原点O，OA∥BC，反比例函数经过点A、点B，已知OA＝2BC，若△OAB的面积为，则k的值为（ ）
A. 1B. C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，则，所以，设，，则，，利用建立方程可求出的值．
【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，
则，
，
设，，则，，
反比例函数经过点、点，
，
，
，
，
解得，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义：从反比例函数图像上任意一点向轴和轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为．
二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）
13. 计算：_________
【答案】-1
【解析】
【分析】此题考查了零指数幂，熟练掌握零指数幂法则是解本题的关键．
【详解】解：原式
．
故答案为：．
【点睛】此题考查了零指数幂，熟练掌握零指数幂法则是解本题的关键．
14. 在一个不透明的盒子里有四个分别写有，，1，2数字的小球，它们除数字不同外其余全部相同，现从盒子里随机取出一个小球，将小球上的数字记为m
，然后在剩下的小球中随机再取出一个，将小球上的数字记为n，则的值为负数的概率是____________
【答案】
【解析】
【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，其中的值为负数的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中的值为负数的结果有4种，
的值为负数的概率为，
故答案为：．
【点睛】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
15. 关于x的方程与有相同的解，则__________
【答案】7
【解析】
【分析】先解方程，得，因为这个解也是方程的解，根据方程的解的定义，把代入方程中求出的值，再代入计算可求解．
【详解】解：，解得：．
把代入方程，
得：，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了同解方程，方程的解，方程的解的定义，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．解题的关键是正确解一元一次方程．
16. 如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝60°，点E为AB边的中点，连结DE，以D为圆心，DE长为半径画弧，与该菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为__________．（结果保留）
【答案】
【解析】
【分析】连接，根据菱形的性质得出，，根据等边三角形的判定得出的等边三角形，求出，，根据勾股定理求出，分别求出菱形和扇形的面积即可．
【详解】解：连接，
四边形是菱形，，
，
，
是等边三角形，
，
点为边的中点，
，，
由勾股定理得：，
四边形是菱形，
，
，
，
，
阴影部分的面积
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的性质，扇形的面积计算和等边三角形的性质和判定等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键．
17. 如图，等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，点E为BC边的中点，连结AE，将△ABE沿直线AE翻折至△ABC所在的平面内，得△AFE，连结FC，若BC＝5，则FC的长度为__________
【答案】
【解析】
【分析】由折叠的性质可得是的垂直平分线，即，，由面积法可求的长，由勾股定理可求的长，由三角形中位线定理可求的长．
【详解】解：如图，连接，延长交于点，
，，
，
点为边的中点，
，，
，
将沿直线翻折至所在的平面内，得，
，，
是的垂直平分线，
，，
，
，
，
，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，三角形中位线的性质，线段垂直平分线的性质，求出的长是解题的关键．
18. 一家快餐店销售A、B、C三种套餐，其中A套餐包含一荤两素，B套餐包含两荤一素，C套餐包含两荤两素，每份套餐中一荤成本相同，一素的成本也相同，一份A套餐售价是一份B套餐售价的，一份C套餐的利润率是100%．一天下来，发现A套餐和B套餐的销量相同，C套餐销售总价是B套餐销售总价的12倍，且C套餐的销售总利润是A、B套餐销售总利润之和的8倍，则C套餐与A套餐这一天的销量之比为_________．
【答案】
【解析】
【分析】可设一荤成本为，一素成本为，、的销量为，的销量为，根据一份套餐售价是一份套餐售价的，套餐销售总价是套餐销售总价的12倍，套餐的销售总利润是、套餐销售总利润之和的8倍，列出等式，进一步即可求解．
【详解】解：设一荤成本为，一素成本为，的利润为，的利润为，、的销量为，
的销量为，依题意有：
，即，
，
①②得：，
，
，
，
，
将代入①中，得：，
．
故套餐与套餐这一天的销量之比为．
故答案为：．
【点睛】本题考查应用类问题，解题关键是分别列出各套餐成本及利润．
三、解答题（本大题7个小题，每小题10分，共70分）
19. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）1
【解析】
【分析】（1）先根据单项式乘多项式和完全平方公式进行计算，再合并同类项即可；
（2）先根据分式的加法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算即可．
【小问1详解】
解：（1）
；
【小问2详解】
原式
．
【点睛】本题考查了整式的混合运算和分式的混合运算，能正确根据分式的运算法则和整式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
20. 为了落实立德树人根本任务，积极响应“双减”政策要求，某校开设了丰富的劳动教育课程． 某日，学生处对学校菜圃耕作情况进行了一次评分．从七、八年级各随机抽取20块菜圃，对这部分菜圃的评分进行整理和分析（采圃评分均为整数，满分为10分，9分（含9分）以上为“五星菜圃”）． 相关数据统计、整理如下：
抽取八年级菜圃的评分（单位：分）：
7，7，7，7，7，8，8，8，8，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，10．
七、八年级抽取的菜圃评分统计
七、八年级抽取的菜圃评分扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ ，b＝ ；
（2）该校七年级共19个班，每班有4块菜圃，估计该校七年级“五星菜圃”的数量；
（3）根据以上数据分析，从一个方面评价两个年级的菜圃耕种情况谁更好．
【答案】（1）8；10
（2）42块 （3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据中位数定义、众数的定义即可找到、的值．
（2）用七年级总共的菜圃数乘以样本中9分以上的菜圃所占的百分比即可；
（3）根据优秀率进行评价即可．
【小问1详解】
解：（1）抽取20块八年级菜圃的评分（单位：分）
7，7，7，7，7，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，9，9，9，9，10，
第10，11个数均为8，故八年级中位数．
根据扇形统计图可知七、八年级抽取的菜圃，
七、八年级评为6分的共有（块），评为7分的共有（块），评为8分的共有（块），
评为9分的共有（块），评为10分的共有（块），
则七年级评为6分的有（块），评为7分的有（块），评为8分的有（块），
评为9分的有（块），评为10分的有（块），
七年级评为10分的最多，故众数．
故答案为：8；10；
【小问2详解】
（块）．
故可估计该校七年级“五星菜圃”的数量约为42块；
【小问3详解】
七年级的菜圃耕种情况更好．理由如下：
七年级菜圃平均分比八年级高（或七年级菜圃的中位数高于八年级；七年级菜圃的众数高于八年级）．
或八年级的菜圃耕种情况更好．因为八年级菜圃的方差小于七年级．
【点睛】本题考查平均数、中位数、众数、方差的定义，以及用样本估算总体．关键在于从统计图表中获取信息．
21. 如图，在□ABCD中，，点E在线段AD 上，连结CE．
（1）用尺规完成以下基本作图，过点E作AC的垂线交AC于点F、交BC于点G．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图形中，若点F为线段AC的中点，证明：BG＋CE＝AD．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）利用基本作图作于；
（2）连接，根据线段垂直平分线的性质得到，，根据等腰三角形的性质得到，，推出四边形是平行四边形，得到四边形是菱形，根据菱形的性质即可得到结论．
【小问1详解】
解：如图，为所作；
【小问2详解】
证明：连接，
，点为线段的中点，
垂直平分，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，
．
【点睛】本题考查了作图基本作图，平行四边形的性质，菱形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
22. 探究函数性质，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．以下是我们研究函数性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
（1）请把下表补充完整，观察当自变量取值互为相反数时，函数值的变化特点，并在给出的图中补全该函数的大致图象；
（2）请根据这个函数的图象，写出该函数的一条性质；
（3）已知函数的图象如图所示．根据函数图象，直接写出不等式的解集．（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）或
【解析】
分析】（1）将、、、代入计算即可，描点连线可补全图象；
（2）根据图象判定即可；
（3）根据和图象的交点横坐标，即可得到答案．
【小问1详解】
解：时，，
时，，
时，，
当时，，
观察当自变量取值互为相反数时，函数值也是互为相反数，
补全该函数图象如下：
【小问2详解】
由函数图象可知，该函数的图象关于原点成中心对称；
【小问3详解】
由图象可得，
不等式的解集为：或．
【点睛】本题考查函数图象，函数的性质，解题的关键是准确画出函数图象．
23. 某公司有种产品今年11月销往国内的销售单价比销往国外的销售单价低50元；该产品销往国内1件与销往国外2件的售价和为400元．
（1）求11月这种产品销往国内、国外的销售单价分别是多少元？
（2）今年11月，该公司这种产品销往国内的销售数量为1000件，销往国外的销售数量为2000件． 12月受疫情等各种因素的影响，该产品销往国内的销售单价比原来下降，销往国外的销售单价比原来上涨，结果销往国内的销售数量比上月增加，销往国外的销售数量比上月减少．该产品12月的销售总金额与11月的销售总金额相同．求的值．
【答案】（1）国内的销售单价为100元，国外的销售单价为150元
（2）20
【解析】
【分析】（1）设11月这种产品销往国内的销售单价为元，则销往国外的销售单价为元，根据该产品销往国内1件与销往国外2件的售价和为400元，即可得出关于的一元一次方程，解之即可求出11月这种产品销往国内的销售单价，再将其代入中即可求出销往国外的销售单价；
（2）利用销售总金额销售单价销售数量，结合该产品12月的销售总金额与11月的销售总金额相同，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出的值．
【小问1详解】
解：设11月这种产品销往国内的销售单价为元，则销往国外的销售单价为元，
依题意得：，
解得：，
．
答：11月这种产品销往国内的销售单价为100元，销往国外的销售单价为150元．
【小问2详解】
依题意得：，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：的值为20．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
24. 阅读材料，回答问题：
材料一：一个自然数的各个数位数字之和为8，则称这个数为“幸运数”．
材料二：把一个原始数据经过某种算法处理成另外一个数据称为加密，原始数据称为明文，处理后的数据称为密文．已知明文是个位数字不为零的三位自然数，经过加密后的密文为，加密算法为：①将的百位数字与个位数字对调后得到新的三位数；②密文为新的三位数与的个位数字的4倍的差．
例如：当＝231时，＝＝128．
（1）判断明文152是否是“幸运数”，说明理由并求出加密后的密文；
（2）已知某个数是个位数字不为零的三位“幸运数”，将这个数按材料二中的方法加密后得到的密文能被8整除，诸求出这个数的所有可能结果．
【答案】（1）是，加密后的密文为243；
（2）611，233，422
【解析】
【分析】（1）根据幸运数的定义判断，然后根据加密方法求出密文即可；
（2）设这个三位数的百位数字为，十位数字为，个位数字为，根据题意列出代数式求出符合条件的正整数解即可．
【小问1详解】
解：明文152是幸运数，
理由：，
是幸运数，
将152百位数字和个位数字对调后为251，
，
加密后的密文为243；
【小问2详解】
设这个三位数的百位数字为，十位数字为，个位数字为，
，
这个三位数，
根据密文求法可知，对调百位数和个位数后为：，
密文为：，
密文能被8整除，
能被8整除，且，
满足条件的有：，，；
，，；
，，；
即这个数可能为611，233，422．
【点睛】本题主要考查列代数式的知识，正确理解幸运数的定义及密文加密方法是解题的关键．
25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A（，6），B（2，0）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点Р为直线AB上方抛物线上一动点，过点P作PQ⊥x轴，交AB于点Q，过点P作PM⊥AB于M﹐当线段PM的长度取得最大值时，求点Р的坐标和线段PM的长度；
（3）把抛物线沿射线AB方向平移个单位，c是新抛物线对称轴上一点，D为平面上任意一点，直接写出所有使得以A、B、C、D为顶点的四边形为菱形的点D的坐标，并把求其中一个点D的坐标的过程写出来．
【答案】（1）
（2），，
（3），或，或，或，
【解析】
分析】（1）将点，代入，即可求解；
（2）延长交轴于点，求出直线的解析式为，由，设，则，，则，可得，当时，有最大值，此时，；
（3）设向右平移个单位，则向下平移个单位，由抛物线沿射线方向平移个单位，可得，平移后的函数为，设，，，分两种情况讨论：①当与是对角线，，由，可得，求得，或，；②当与是对角线，，由，得，可得，或，．
【小问1详解】
解：将点，代入，
7
解得，
；
【小问2详解】
如图1，延长交轴于点，
设直线的解析式为，
，
解得，
，
与轴的交点为，
，轴，
，
设，则，
，
，
，
，
当时，有最大值，此时，；
【小问3详解】
设向右平移个单位，则向下平移个单位，
沿射线方向平移个单位，
，
∵，
∴，
对称轴为直线，
设，，，
，，
，
①如图2，当与是对角线，
，
，
，
，
，
或，
，或，；
②如图3，当与是对角线，
，
，
，
，
，
，或，；
综上所述：点坐标为，或，或，或，．
【点睛】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数是图象及性质，平移变换的特点，菱形的性质，分类讨论是解题的关键．
四、解答题（本大题1个小题，共8分）
26. 在等腰Rt△ABC中，AB⊥AC，点D为AC边上一点，连接DB ．
（1）如图1，若∠ABD ＝15°，BD＝2，求线段AD的长度；
（2）如图2，将线段DB绕点D顺时针旋转90°得到线段DE，连接BE、CE，将线段DC绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接BF，线段CE、BF交于点G，连接AG，猜想线段AG、BG、CG的数量关系并证明你的结论；
（3）如图3，将线段DB绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，连接AE，直接写出的最小值．
【答案】（1）
（2），证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）作于，则解和，即可解决问题；
（2）首先利用证明，得，作，交于，再利用证明，得，，从而得出结论；
（3）以为边作等边三角形，连接，，利用证明，则
，可知点在射线上运动，从而解决问题．
【小问1详解】
解：作于，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
，
将线段绕点顺时针旋转得到线段，
，，
将线段绕点逆时针旋转得到线段，
，，
，
，
，
，
作，交于，
，
，
，
，
又，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
；
【小问3详解】
如图，以为边作等边三角形，连接，，
和是等边三角形，
，，，
，
，
，
点在射线上运动，
作，交的延长线于，
当点与重合时，最小，
的最小值值为．
【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，构造全等三角形是解题的关键．
年级
七年级
八年级
平均数
8.25
8.15
中位数
8.5
a
众数
b
8
方差
1.6875
0.4275
…
1
2
3
…
…
0
2
…
…
1
2
3
…
…
0
2
-2
0
2
…