重庆市重庆市沙坪坝区重庆市凤鸣山中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试题（解析版）

这是一份重庆市重庆市沙坪坝区重庆市凤鸣山中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试题（解析版），共33页。试卷主要包含了考试时间，作图请一律用黑色2B铅笔完成；， 若自然数满足，则的值为， 下列四个命题中，是真命题的是等内容，欢迎下载使用。

重庆市凤鸣山中学教育集团2022—2023学年度上期初2020级数学期末考试试题
考试说明：1.考试时间：120分钟；2.试题总分150分；3.试卷页数8页
注意事项：
1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答；
2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项；
3.作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成；
4.考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回．
参考公式：抛物线（）的顶点坐标为，对称轴为.
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1. 下列四个数中，最大的数是（ ）
A. 2 B. 0 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
【详解】解：∵，
∴所给的四个数中最大的数是2．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了有理数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．
2. 下列图标中，是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A，B，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3. 下列计算结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法，单项式乘以单项式，单项式除以单项式，积的乘方，幂的乘方运算法则计算再进行判断即可得出答案．
【详解】解：A. ，计算正确，故该选项符合题意；
B. ，计算错误，故该选项不符合题意；
C. ，计算错误，故该选项不符合题意；
D. ，计算错误，故该选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查同底数幂的乘法，单项式乘以单项式，单项式除以单项式，积的乘方，幂的乘方，正确计算是解题的关键．
4. 如图，中，点，以原点为位似中心，将缩小后得到，若点，且的面积为16，则的面积为（ ）

A. 8 B. 4 C. 32 D. 64
【答案】B
【解析】
【分析】根据点A、D的坐标求出与的位似比，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
【详解】由题得，
∵原点是位似中心，
∴位似比为，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
5. 若自然数满足，则的值为（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】根据，得出的取值范围，可得，即可确定n的值．
【详解】解：∵，且，
∴，
∴即，
∴，
故选B．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，运用“夹逼法”是解决本题的关键．
6. 如图，为的弦，直径，交于点，连接、、、，若，的半径为2，则的长度为（ ）

A. 1 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆周角定理求出，再求出先求出，即可求出．
【详解】∵，
∴，
∵，

∴
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理，特殊三角函数等知识，熟练掌握相关定理是解答本题的关键．
7. 根据如图所示的程序计算，若输入的值是1时，则输出的值是5．若输入的值是2，则输出值为（ ）

A. 3 B. 4 C. D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用已知代入得出的值，进而求出输入2时，得出的值．
【详解】∵当输入的值是1，输出的值是5，
∴，
解得：，
故输入的值是2时，，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了函数值，正确得出的值是解题的关键．
8. 下列四个命题中，是真命题的是（ ）
A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 三角形的一个外角大于任何一个内角
C. 两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 D. 平行于同一条直线的两条直线平行
【答案】D
【解析】
【分析】根据矩形的判定方法、三角形外角的性质、平行线的性质、平行公理进行判断即可．
【详解】解：A．对角线相等的平行四边形是矩形，原命题是假命题，故A不符合题意；
B．三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角，原命题是假命题，故B不符合题意；
C．两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，原命题是假命题，故C不符合题意；
D．平行于同一条直线的两条直线平行是真命题，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了命题真假的判断，解题的关键是熟练掌握矩形的判定方法、三角形外角的性质、平行线的性质、平行公理．
9. 《九章算术》中记载“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？若设人数为人，羊价钱，则下面所列方程组正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设合伙人人数为人，羊价钱，根据羊价格不变列出方程组．
【详解】设合伙人人数为人，羊价钱，根据题意，可列方程组为：，即．
故选：B
【点睛】本题考查了实际问题抽象列出二元一次方程组，找准等量关系是解题的关键．
10. 如图，在正方形中，为对角线、的交点，、分别为边、上一点，且，连接．若，，则的长为（ ）


A. B. C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】由题意证明，所以，则是等腰直角三角形；过点F作，得出是等腰直角三角形，推出，，进而可求出．
【详解】解：在正方形中，和为对角线，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形；
过点F作，如图，

∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
故选：A
【点睛】本题主要考查正方形的性质，等腰直角三角形的性质，含30°的直角三角形的三边关系等相关知识，解题关键是得出是等腰直角三角形．
11. 若整数使关于的不等式组有解且最多有三个偶数解，且使关于的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数的和为（ ）
A. B. 2 C. 0 D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】先解一元一次不等式组可得，再解分式方程可得，结合题意求出满足条件的a的值分别为或或，，再求和即可．
【详解】解：，
解不等式得：，
解不等式得：
∴不等式组有解
∵不等式组有解且最多有三个偶数解，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵方程有整数解，
又由且a是整数，
∴或或或，
解得或或或，
∵，
∴，
∴，
∴满足条件的所有整数a之和是，
故选：A．
【点睛】本题考查分式方程的解，一元一次不等式组的解集，熟练掌握一元一次不等式组的解法，分式方程的解法，方程整数根的特点，分式方程增根是解题的关键．
12. 有个依次排列的整式，第一项为，第二项是，第二项减去第一项的差记为，将记为，将第二项加上作为第三项，将记为，将第三项与相加记为第四项，以此类推．以下结论正确的有（ ）个
①，
②当时第4项的值为49，
③若第三项与第四项的和为145，则，
④第2022项为
⑤当时，
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意可以得出规律，第项为，根据规律逐项求解判断即可．
【详解】由题意可知，第一项为，第二项为，
∴，
∴，
∴，第三项为，
类似地：，第四项为：，
，第五项为：，
故①正确，
当时，第四项为，
故②正确，
，
化简得：，
解得：，，
故③错误，
由前面结论，可得规律：第n项为，，
当时，第2022项为，
故④错误，
当时，


，
故⑤正确，
故正确的为：①②⑤；
故选：B．
【点睛】本题是数字类规律探索问题，考查了求代数式的值，解一元二次方程，理解题意，由特殊出发归纳出规律是解题的关键．
二、填空题：（本大题4个小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
13. 计算：____________．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及绝对值的性质分别化简得出答案．
【详解】解：

．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了特殊三角函数值，零指数幂，绝对值，二次根式的加减，正确化简各数是解题关键．
14. 现有四张正面分别标有数字，1，2，3的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将他们背面朝上洗均匀，随机抽取一张，记下数字后放回，洗均匀后再随机抽取一张记下数字，前后两次抽取的数字分别记为、，则反比例函数的图象在一、三象限的概率是_____________．
【答案】##
【解析】
【分析】画树状图展示所有16种等可能的结果数，其中的结果共有10种，即反比例函数的图象在一、三象限的情况有10种，然后根据概率公式求解．
【详解】解：画树状图为：

共有16种等可能的结果数，其中的结果共有10种，即反比例函数的图象在一、三象限的情况有10种，
∴反比例函数的图象在一、三象限的概率是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了反比例函数的性质．
15. 如图，在中，，，，以点为圆心，为半径画弧交于点，以点为圆心，为半径画弧交于点，则图中阴影部分的面积是___________（结果保留）

【答案】
【解析】
【分析】根据题意和图形可知阴影部分面积是扇形和扇形的面积之和与的面积之差．
【详解】在中，，，
，
，
，
，
，


．
故答案为：
【点睛】本题考查扇形的面积计算、含角的直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想进行解答．
16. 在2022卡塔尔世界杯期间，梅西、内马尔、姆巴佩等球星的球衣被众多球迷争相购买．某官方授权网店销售梅西、内马尔、姆巴佩三人球衣售价之比为，三种球衣售价都为整数，且售价之和大于300元且小于360元，每种球衣每人购买不超过6件．甲乙二人分别在该网店购买球衣，结算时，两人购物车中均有三种球衣若干件，已知两人购买内马尔球衣数量相同，姆巴佩球衣数量不同，乙购买梅西球衣数量大于甲购买的梅西球衣数量，甲选购球衣总价1200元，乙选购球衣总价1480元，求甲乙两人购买梅西球衣的费用之和最多是_______________元．
【答案】1760
【解析】
【分析】设梅西球衣售价为，内马尔球衣售价为，姆巴佩球衣售价为，根据不等关系得出，求出，设甲购买梅西球衣件，内马尔球衣件，姆巴佩球衣件；设乙购买梅西球衣件，内马尔球衣件，姆巴佩球衣件，根据等量关系得出，，求出，再分类进行讨论即可得出答案．
【详解】解：设梅西球衣售价为，内马尔球衣售价为，姆巴佩球衣售价为，
售价之和大于300元且小于360元，
，即，
设甲购买梅西球衣件，内马尔球衣件，姆巴佩球衣件；设乙购买梅西球衣件，内马尔球衣件，姆巴佩球衣件，则：
，
∴，
∵、、、、均为大于0，小于6的正整数，且1200元与1480元在38、39、40、41、42、43、44中只有一个公约数40，
∴，
∴，
即，，
∴，
若，则，
若，则（舍去），
若，则（舍去），
若，则，
若，则（舍去），
故，或，，
当，时，
则，；
若，则，，，符合题意，
此时两人购买的梅西球衣总件数为（件），
此时两人购买的梅西球衣总价为：
（元），
随着m的取值减小，x也相应减小，两人购买的梅西球衣总数量减小，因此总价也随之减小，
∴当，时，两人购买梅西球衣的费用之和最多是1760元；
当，，则，，
若，则，，，符合题意，
此时两人购买的梅西球衣总件数最多为，
∴两人购买梅西球衣的费用之和最多是1760元；
故答案为：1760．
【点睛】本题考查了三元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，找准等量关系，正确得出三元一次方程，是解题的关键．
三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先计算乘法，再合并，即可求解；
（2）先计算括号内的，再计算除法，即可求解．
【小问1详解】
解：；
原式

【小问2详解】
解：
原式



【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，分式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
18. 如图，在平行四边形中，平分交于E．

（1）用尺规作图完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交，于点M，N．连接；（保留作图痕迹，不写作法和结论．）
（2）根据（1）中作图，证明四边形是菱形，请你补全证明过程．
证明：∵四边形是平行四边形，
∴
∴
又∵平分
∴ ①
∴
∴ ②
∴点A在直线上
又∵
∴ ③
∴
又∵，
∴四边形是平行四边形
又∵
∴ ④
【答案】（1）见解析 （2）①；②；③；④四边形是菱形
【解析】
【分析】（1）分别以，为圆心，大于长为半径作弧，在两侧分别得到一个交点，过这两个交点的直线即为的垂直平分线，由此作图即可；
（2）观察所给证明过程可知，先利用平行四边形和平行线的性质证明，再利用角平分线的定义得出，进而得出，根据等角对等边得出，证明点A在直线上；再利用证明，推出，结合证明四边形是平行四边形，再根据，证明四边形是菱形．
【小问1详解】
解：作图如下：
【小问2详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
又∵平分，
∴①，
∴，
∴②，
∴点A在直线上．
又∵，
∴③，
∴，
又∵，，
∴四边形平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形④．
故答案为：①；②；③；④四边形是菱形．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的作法，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定等，解题的关键是能够综合运用上述知识．
四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19. 凤鸣山中学组织全校学生参加国家禁毒知识学习，现让八年级和九年级参与学习的学生参加禁毒知识竞赛，再从中各随机选出20名同学的成绩进行分析．（单位：分，满分100分），将学生竞赛成绩分为，，，四个等级，分别是：
，，，．下面给出了部分信息：
其中，八年级学生的竞赛成绩为：66，75，76，78，79，81，82，83，84，86，86，88，88，88，91，92，94，95，96，96：
九年级等级的学生成绩为：86，88，83，81，87，82，89．
两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表所示：
学生
平均数
中位数
众数
方差
八年级
85.2
86
b
5966
九年级
85.2
a
91
91.76

根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：___________，___________，___________；
（2）根据以上数据，你认为在此次禁毒知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）；
（3）若八年级有700名学生参加禁毒知识学习，九年级有800名学生参加禁毒知识学习，请估计两个年级参赛学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有多少人？
【答案】（1）87.5，88，40
（2）九年级的知识竞赛成绩更好，理由见解析
（3）估计两个年级成绩优秀学生有530人
【解析】
【分析】（1）分别根据中位数和众数的定义可得和的值，用1分别减去其他三个等级所占百分比即可得出的值；
（2）依据表格中的平均数、中位数、众数、方差做出判断即可；
（3）用样本估计总体即可．
【小问1详解】
九年级20名同学的成绩从小到大排列，排中间的两个数分别为87、88，故中位数；
八年级20名同学的成绩出现次数最多的是88，故众数；
由题意得，
故，
故答案为：87.5；88；40
【小问2详解】
答：我认为九年级的知识竞赛成绩更好．
理由：九年级知识竞赛成绩的中位数87.5大于八年级知识竞赛成绩的中位数86；所以九年级知识竞赛成绩更好；
【小问3详解】
（人）
答：估计两个年级成绩优秀学生有530人．
【点睛】本题考查平均数、中位数、众数以及样本估计总体，理解中位数、众数的定义，掌握中位数、众数、平均数的计算方法是正确解答的关键．
20. 已知，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点．

（1）求一次函数和反比例函数的解析式，并在网格中画出这个一次函数的图象（不需要列表）；
（2）根据函数图象直接写出不等式的解集；
（3）平面内一点，连接、，求的面积．
【答案】（1）一次函数解析式为，反比例函数解析式为，画图见解析
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）待定系数法求出，得出，再利用待定系数法求出，然后画出图象即可；
（2）根据图象可以直接得出结论；
（3）过C作轴交直线于D，得出，利用三角形的面积公式即可得出结论．
【小问1详解】
解：∵点在反比例函数的图象上，
，
，
∴ ，
又∵点在上，
∴，
∴，
又∵过A，B两点，
∴，
解得，
∴，
【小问2详解】
根据图象，当时，自变量x的取值范围为：或；
【小问3详解】
如图，过C作轴交直线于D，
∴D点坐标为，
∴，
∴．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，求三角形的面积，待定系数法求函数的解析式，正确掌握反比例函数的性质是解题的关键．
21. 回家过年，一家团聚，是我们每个中国人的信仰．在这春节来临之际，置办年货当然也是每个家庭必需要做的事情．某商家看准商机，购进，两种春节大礼包进行销售，已知一个礼包比礼包的进价多元，其中购买礼包花费元，购买礼包花费元，且购买礼包的数量是购买礼包数量的倍．
（1）求一个礼包的进价是多少元；
（2）商家第一次购进的礼包很快售完，决定再次购进同种类型的，两种礼包共个，但礼包的进价比第一次购买时提高了，而礼包的进价在第一次购买时进价的基础上打折，如果商家此次两种礼包的总费用不超过元，那么此次最多可购买多少个礼包？
【答案】（1）一个礼包的进价是元
（2）此次最多可购买个礼包
【解析】
【分析】（1）设一个礼包的进价是元，则一个礼包比礼包的进价为元，根据“购买礼包的数量是购买礼包数量的倍”列出分式方程，解方程即可求解；
（2）设此次购买y个B礼包，根据题意列出一元一次不等式，解不等式，根据y是整数，求得最大整数解，即可求解．
【小问1详解】
解：设一个礼包的进价是元，则一个礼包比礼包的进价为元，根据题意得，

解得，
经检验：是原方程的解
答；一个礼包进价是元．
【小问2详解】
设此次购买个礼包，依题意得：

解得
∵是整数
∴最大为
答：此次最多可购买个礼包．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程与不等式是解题的关键．
22. 黄果树是重庆的市树，走在重庆的大街小巷，总能看到它巨大的身影．某天凤鸣山中学九年级某班的两名同学小语和小航在校园的操场边看见一颗特别高大的黄果树，他们便准备测量这颗黄果树的高度．如图小宇在点A处观测到黄果树最高点的仰角为，再沿正对黄果树的方向前进至处测得最高点的仰角为，小航先在点处竖立一根标杆，再后退至其眼睛所在位置点、标杆顶、最高点在一条直线上，此时测得最高点的仰角为，已知两人身高均为（头顶到眼睛的距离忽略不计）．

（1）求黄果树的高度．（结果保留一位小数）；（参考数据：）
（2）测量结束时小宇站在点处，小航在点处，两人相约在树下点见面，小宇的速度为，小航速度是其2倍，你认为谁先到达点？请说明理由．
【答案】（1）黄果树的高度约为15.8米
（2）小宇先到Q点，理由见解析
【解析】
【分析】（1）设米，根据三角函数用x表示出，，根据米列出关于x方程，求出x的值，求出米，即可得出答案；
（2）分解求出小宇和小航分别到达Q点所用的时间进行比较即可得出答案．
【小问1详解】
解：设米，
在中，，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
又∵米，
∴，
解得：，
∴米，
又∵米，
∴（米），
答，黄果树的高度约为15.8米．
【小问2详解】
解：在中，，，米，
，
∴米，
∴小宇所用时间秒，
小航所用时间秒，
∵，
∴小宇先到达Q点，
答：小宇先到Q点．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义，数形结合．
23. 阅读材料，回答问题：
材料一：对于一个四位正整数，如果百位数字大于千位数字，且个位数字大于十位数字，则称这个数是“双增数”；如果百位数字小于千位数字，且个位数字小于十位数字，则称这个数是“双减数”．例如：1624、3747是“双增数”，5132、9240是“双减数”．
材料二：将一个四位正整数的百位数字和十位数字交换位置后，得到一个新的四位数
规定：
（1）最大的“双增数”是____________，最小的“双减数”是____________；
（2）已知“双增数”（，，，是整数），“双减数”（，，，是整数）且的各个数位上的数字之和能被12整除，现规定，求的值．
【答案】（1）8989，1010
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据“双增数”和“双减数”的定义即可求解；
（2）根据已知条件可得，再根据“的各个数位上的数字之和能被12整除”求出t的值，进而求出，即可求解．
【小问1详解】
解：由材料一可知，最大的“双增数”千位和十位数字是8，百位和个位数字是9；
最小的“双增数”千位和十位数字是1，百位和个位数字是0，
因此最大的“双增数”是8989，最小的“双减数”是1010，
故答案为：8989，1010；
【小问2详解】
解：是双增数，
，
，
，
．
，，，
t各数位上数字和为，
，
又能被12整除，
，
，
t是双减数，
，
或，
或，
或者，
，
或．
【点睛】本题考查新定义下的阅读理解，解题的关键是理解新定义中各个量之间的关系，并根据关系进行分类讨论求解．
24. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于、两点，交轴于点，连接．

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2．点为线段上方的抛物线上一动点，点为轴上一个动点，连接、，当面积最大时，求的最小值，并求出此时点的坐标．
（3）在（2）的条件下，将抛物线沿着射线方向平移个单位，得到新抛物线，点是新抛物线对称轴上一点，点是新抛物线上一点，直接写出所有使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形的点的坐标．
【答案】（1）
（2）的最小值为，点坐标为
（3），，
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法将，代入抛物线解析式，即可求出二次函数的解析式．
（2）过点作轴交于，利用待定系数法求出直线的解析式，设点的坐标为，则坐标为，表示的长，根据面积最大可以求出有最小值，进而得到点的坐标．
（3）将抛物线沿着方向平移个单位，得到抛物线，当从而得到抛物线向右平移个单位长度，向上平移个单位长度得到新抛物线解析式，即可得到对称轴，从而根据平行四边形的性质可以得到N点的坐标．
【小问1详解】
解：∵点、在抛物线上

解得
∴抛物线的解析式为：
【小问2详解】
解：由题意可知点坐标为
∵A点坐标
∴直线表达式为：
如图过作轴交于
设点坐标为
则坐标为
∴

∴

∵，对称轴为直线，
∴时面积最大，此时点坐标为
过作直线，过作于，交轴于点

则解析式为：
∵
∴
∴
∴
当且仅当三点共线时取等分
过作轴交直线与点，易得
∴
∴
【小问3详解】
解：，
∴将抛物线沿着射线方向平移个单位，即向右平移2个单位，向上平移2个单位，得到新抛物线为，
设，，
以，为对角线时，则，
解得，
∴，
∴；
以，为对角线时，则，
解得，
∴，
∴；
以，为对角线时，则，
解得，
∴，
∴；
综上，点的坐标分别为：，，．
【点睛】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图像及性质，平行四边形的性质和判定，三角形的面积，最值等知识是解题关键，并运用分类讨论的思想．
25. 如图，和分别位于两侧，为中点，连接，．

（1）如图1，若，求的长；
（2）如图2，连接交于点F，在上取一点G使得．若，．猜想与之间存在的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，是以为斜边的等腰直角三角形，若，，请直接写出当取最大值时的面积．
【答案】（1）
（2），证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）过点E作，交延长线于F，证明是等腰直角三角形，求出，同时推出是等腰直角三角形，结合直角三角形斜边中线性质得到，求出，利用勾股定理求出即可；
（2）延长至，使，作于，证明是等边三角形，推出是等边三角形，通过线段关系推出，证明，得到，，从而得到，再证明，可得，从而得到；
（3）取的中点，连接，可推出点在以为圆心，半径是1的圆上运动，在上截取，构造，从而得出，确定当、、在同一直线上时，最小，进而解，从而进一步求出结果．
【小问1详解】
解：如图，过点E作，交延长线于F，

∵，，
∴是等腰直角三角形，且，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵E是中点，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
，理由如下：
如图2，延长至，使，作于，

∵，
是等边三角形，
，，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
∵E为AD中点，
∴
，
，
，，
，
，
，
，
；
【小问3详解】
如图3，取的中点，连接，

是的中点，
，
点在以为圆心，半径是1的上运动，
在上截取，
，
，
，
，
，
，
当、、在一条直线上时，
最大，
，
，
如图4，

连接，作于，
，
，
设，，
在中，
，
，
，（舍去），



．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，圆的有关概念和性质，解决问题的关键是构造辅助线及熟悉“阿氏圆”模型．