重庆市沙坪坝区南开中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)

这是一份重庆市沙坪坝区南开中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)，共35页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年重庆市沙坪坝区南开中学九年级（上）期中数学试卷
一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。
1．下列各数中，最小的一个数是（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C．0 D．2
2．下列图形是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．下列问题中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（　　）
A．调查一批灯泡的使用寿命
B．调查一架“歼20”飞机各零部件的质量
C．调查全国中学生对“天宫课堂”的了解情况
D．调查重庆市空气质量情况
4．如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，位似比为2：3，若△DEF的周长为6，则△ABC的周长是（　　）

A．16 B．9 C．6 D．4
5．下列计算中，正确的是（　　）
A．2+＝2 B．÷＝ C．4﹣3＝ D．×＝
6．如图，曲线表示某同学身高的增长速度（厘米/年）随年龄（岁）的变化情况，则该同学身高增长速度最快的年龄约为（　　）

A．5.5岁 B．6.5岁 C．7岁 D．10岁
7．老牛和小马各驮几个包裹一同赶路，老牛驮的包裹数比小马的多2个，若从小马驮的包裹中拿下1个包裹给老牛，则老牛驮的包裹数是小马驮的包裹数的2倍，问老牛和小马各驮了几个包裹？小南准备用二元一次方程组解决这个问题，他已列出一个方程是x﹣y＝2，则符合题意的另一个方程为（　　）
A．x+1＝2y B．2（x﹣1）＝y+1 C．2（x+1）＝y﹣1 D．x+1＝2（y﹣1）
8．用五角星按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有3个五角星，第②个图案中有7个五角星，第③个图案中有12个五角星，第④个图案中有18个五角星，按此规律排列下去，则第⑧个图案中五角星的个数为（　　）


A．42 B．52 C．56 D．63
9．如图，在⊙O中，点C是上一点，且＝2，若∠A＝36°，则∠BOC的度数是（　　）

A．72° B．70° C．68° D．66°
10．如图，在正方形ABCD中，点E，G分别在AD，BC边上，且AE＝3DE，BG＝CG，连接BE、CE，EF平分∠BEC，过点C作CF⊥EF于点F，连接GF，若正方形的边长为4，则GF的长度是（　　）

A． B． C． D．
11．若关于x的一元一次不等式组有解，且关于y的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（　　）
A．7 B．9 C．14 D．16
12．有依次排列的两个整式a，b，第1次操作后得到整式串a，b，b﹣a；第2次操作后得到整式串a，b，、b﹣a，﹣a；其操作规律为：每次操作增加的项为前两项的差（后一项﹣前一项），下列说法：
①第4次操作后的整式串为a，b，b﹣a，a，﹣b，a﹣b；
②第2022次操作后的整式串各项之和为a+b；
③第36次操作增加的项与第63次操作增加的项一定互为相反数．
其中正确的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题（本大愿共4个小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填在思卡中对应的惯线上。
13．（﹣）﹣2+＝　 　．
14．一个多边形的内角和为900°，则这个多边形的边数为　 　．
15．有三张完全一样正面分别写着数字1，2，3的卡片，将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片上的数字后放回洗匀，再从中抽取一张，则抽取的两张卡片上的数字和为偶数的概率是 　 　．
16．目前，新能源正处于快速发展阶段．某汽车厂6月份生产A，B，C三种型号的新能源电动汽车，其电池的充电时间之比为4：1：2，充电速度之比为1：3：2（假设充电速度是匀速的），11月该汽车厂研发团队对这三种型号的汽车电池性能做了优化，电池容量和充电速度均比6月份有所提升．优化电池性能后，A型汽车增加的电池容量占优化后三种汽车电池容量和的，B、C两种型号汽车增加的电池容量之比为4：3；同时，A型汽车充电速度增加了3.125%，且B，C两种型号的电池容量之比为33：37，则A型汽车电池优化前与优化后的充电时间之比为 　 　．
三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括轴助线），请将解答过程书马在答题卡中对应的位置上。
17．（8分）计算：
（1）（x+2）（x﹣2）﹣x（x﹣3）；
（2）．
18．（8分）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，点E为对角线BD上一点．
（1）请用尺规完成基本作图：在四边形内部作∠DCF＝∠BAE，交BD于点F，连接AF，CE（保留作图疲迹，不写作法）；
（2）根据（1）中所作图形，小南发现：若BF＝DE，则四边形AECF是平行四边形．请补全如下的证明过程．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴　 　，
∵BF＝DE，
∴BF+EF＝DE+EF，即BE＝DF，
∵　 　，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴∠AEB＝∠DFC（ 　 　），AE＝CF，
∴∠AEF＝∠CFE，
∴　 　．
∴四边形AECF是平行四边形．

四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在对应的位凰上，
19．（10分）某校为丰富同学们的课余生活，全面提高科学素养，提升思维能力和科技能力，开展了“最强大脑”邀请赛，现从七、八年级中各随机抽取了20名学生的初赛成绩（初赛成绩均为整数，满分为10分，9分及以上为优秀）统计、整理如下：
七年级抽取的学生的初赛成绩：
6，6，7，7，7，8，8，8，8，8，9，9，9，9，9，9，9，10，10，10．
七、八年级抽取的学生的初赛成绩统计表：
年级
七年级
八年级
平均数
8.3
8.3
中位数
a
8
众数
9
b
方差
1.48
1.69
优秀率
50%
m%
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝　 　，b＝　 　，m＝　 　；
（2）根据以上数据，你认为七、八年级学生在“最强大脑”邀请赛中，鄢个年级的学生初赛成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可）
（3）若该校八年级有900名学生参加初赛，规定满分才可进入复赛，请估计八年级进入复赛的学生人数．

20．（10分）如图，反比例函数y＝与一次函数y＝ax+b（a≠0）交于A（4，m），B（n，﹣2）两点．
（1）求一次函数的解析式，并在网格中画出一次函数的图象；
（2）根据函数图象，直接写出关于x的不等式≤ax+b的解集；
（3）若点A关于x轴的对称点为点D，求△ABD的面积．

21．（10分）车厘子，其含铁量是水果之首，它营养丰富，深受消费者喜爱．某超市准备花20000元购进一批车厘子，实际购买时，由于在原进价的基础上打了8折，结果用同样的钱比预期多购进100斤．
（1）车厘子的实际进价为每斤多少元？
（2）若该品种的车厘子市场售价为80元/斤，可售出200斤，根据销售经验，降低售价会促进销量的增加，即售价每斤降价1元，销量相应增加10斤，超市决定将部分车厘子降价促销，售价定为多少元时，可使促销部分的车厘子获利9000元？
22．（10分）如图，小开家所在居民楼AC，楼底C点的左侧30米处有一个山坡DE，坡角为30°，E点处有一个图书馆，山坡坡底到图书馆的距离DE为40米，在图书馆E点处测得小开家的窗户B点的仰角为45°，居民楼AC与山坡DE的剖面在同一平面内．
（1）求BC的高度；（结果精确到个位，参考数据：≈1.73）
（2）某天，小开到家后发现有资料落在图书馆，此时离图书馆闭馆仅剩5分钟，若小开在平地的速度为6m/s，上坡速度为4m/s，电梯速度为1.25m/s，等候电梯及上、下乘客所耽误时间共3分钟，请问小开能否在闭馆前赶到图书馆？

23．（10分）把一个四位数M的各个数位上的数字相加的和记为k，把M的千位数字与个位数字的乘积减去百位数字与十位数字的乘积所得的差记为n，若k恰好是n的整数倍，则称M是“k阶行列和倍效”，为M的“行列商”．
例如：M＝2143，∵k＝2+1+4+3＝10，n＝2×3﹣1×4＝2，＝5，∴2143是“10阶行列和倍数”，“行列商”为5．
又如：M＝1738，∵k＝1+7+3+8＝19，n＝1×8﹣7×3＝﹣13，不是整数，∴1738不是“k阶行列和倍数”．
（1）判断7328，9241是否为“k阶行列和倍数”，并说明理由；
（2）若M为“15阶行列和倍数”，M的“行列商”恰好是1，M的千位与百位数字之和能被9整除，求所有满足条件的M．
24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣12与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一个交点为点B．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点D为第四象限的抛物线上一动点，连BD，与AC相交于点E，设点D的横坐标为t，＝K，求K与t的函数关系，及K的最大值和此时点D的坐标；
（3）在（2）中K取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向右平移4个单位，点F为点D的对应点，M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点N，使得以点E，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．

25．（10分）如图1，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D，E，F分别为边AB，BC，AC上的点．
（1）连接DE，BF相交于点G，连接DF并延长交BC的延长线于点H．若BD＝BF，DE＝HE，求∠DGF的度数；
（2）如图2，在（1）问的条件下，在平面内将线段DB绕点B顺时针旋转90°得线段PB，连接GP．求证：PG+DG＝AB；
（3）如图3，若D为AB中点，DE⊥DF，连接EF，点M为EF中点，点K为线段CM上一点，将△CFK沿着直线FK翻折至△CFK所在平面内得到△NFK，连接CN，在点E、F运动的过程中，当线段CM取最小值且NK∥CE时，请直接写出的值．



2022-2023学年重庆市沙坪坝区南开中学九年级（上）期中数学试卷
（参考答案与详解）
一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。
1．下列各数中，最小的一个数是（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C．0 D．2
【分析】根据有理数大小比较法则判断即可．
【解答】解：因为|﹣3|＝3，|﹣1|＝1，
而3＞1，
所以﹣3＜﹣1＜0＜2，
所以其中最小的一个数是﹣3．
故选：A．
2．下列图形是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】解：选项A、B、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：C．
3．下列问题中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（　　）
A．调查一批灯泡的使用寿命
B．调查一架“歼20”飞机各零部件的质量
C．调查全国中学生对“天宫课堂”的了解情况
D．调查重庆市空气质量情况
【分析】根据全面调查、抽样调查的定义进行判断即可．
【解答】解：A．调查一批灯泡的使用寿命，适合使用抽样调查，因此选项A不符合题意；
B．调查一架“歼20”飞机各零部件的质量，适合使用全面调查，因此选项B符合题意；
C．调查全国中学生对“天宫课堂”的了解情况，适合使用抽样调查，因此选项C不符合题意；
D．调查重庆市空气质量情况，适合使用抽样调查，因此选项D不符合题意；
故选：B．
4．如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，位似比为2：3，若△DEF的周长为6，则△ABC的周长是（　　）

A．16 B．9 C．6 D．4
【分析】根据位似变换的定义、相似三角形的性质计算即可．
【解答】解：∵△DEF和△ABC是位似图形，位似比为2：3，
∴△DEF和△ABC的相似比为2：3，
∴△ABC的周长＝×△DEF的周长＝9，
故选：B．
5．下列计算中，正确的是（　　）
A．2+＝2 B．÷＝ C．4﹣3＝ D．×＝
【分析】利用二次根式的加减法的法则，二次根式的乘除法的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、2与不属于同类二次根式，不能运算，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、4﹣3＝，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：C．
6．如图，曲线表示某同学身高的增长速度（厘米/年）随年龄（岁）的变化情况，则该同学身高增长速度最快的年龄约为（　　）

A．5.5岁 B．6.5岁 C．7岁 D．10岁
【分析】依据该同学的身高生长速度y（厘米/年）与年龄x（岁）的对应关系，即可得到正确的结论．
【解答】解：从图象可知，该同学身高增长速度最快的年龄约为10岁．
故选：D．
7．老牛和小马各驮几个包裹一同赶路，老牛驮的包裹数比小马的多2个，若从小马驮的包裹中拿下1个包裹给老牛，则老牛驮的包裹数是小马驮的包裹数的2倍，问老牛和小马各驮了几个包裹？小南准备用二元一次方程组解决这个问题，他已列出一个方程是x﹣y＝2，则符合题意的另一个方程为（　　）
A．x+1＝2y B．2（x﹣1）＝y+1 C．2（x+1）＝y﹣1 D．x+1＝2（y﹣1）
【分析】由题意得设老牛驮x个包裹，小马驮y个包裹．再由题意：若从小马驮的包裹中拿下1个包裹给老牛，则老牛驮的包裹数是小马驮的包裹数的2倍，列出另一个方程即可．
【解答】解：∵小南已列出一个方程是x﹣y＝2，
∴设老牛驮x个包裹，小马驮y个包裹．
由题意得：x+1＝2（y﹣1），
即符合题意的另一个方程为：x+1＝2（y﹣1），
故选：D．
8．用五角星按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有3个五角星，第②个图案中有7个五角星，第③个图案中有12个五角星，第④个图案中有18个五角星，按此规律排列下去，则第⑧个图案中五角星的个数为（　　）


A．42 B．52 C．56 D．63
【分析】仔细观察图形，找到图形的变化规律，利用规律求解即可．
【解答】解：第①个图案中有0+1+2＝3个五角星，
第②个图案中有1+1+2+3＝7个五角星，
第③个图案中有2+1+2+3+4＝12个五角星，
第④个图案中有3+1+2+3+4+5＝18个五角星，
••••••
∴第n个图案中有（n﹣1）+＝，
当n＝8时，＝52，
故选：B．
9．如图，在⊙O中，点C是上一点，且＝2，若∠A＝36°，则∠BOC的度数是（　　）

A．72° B．70° C．68° D．66°
【分析】根据∠A＝36°，即可求出∠B以及∠AOB，再根据＝2可得∠BOC＝2∠AOC，即可求出∠BOC的度数．
【解答】解：∵OA＝OB，∠A＝36°，
∴∠A＝∠B＝36°，
∴∠AOB＝108°，
∵＝2，
∴∠BOC＝2∠AOC，
∴∠BOC+∠BOC＝108°，
解得∠BOC＝72°．
故选：A．
10．如图，在正方形ABCD中，点E，G分别在AD，BC边上，且AE＝3DE，BG＝CG，连接BE、CE，EF平分∠BEC，过点C作CF⊥EF于点F，连接GF，若正方形的边长为4，则GF的长度是（　　）

A． B． C． D．
【分析】延长CF交BE于H，利用已知条件证明△HEF≌△CEF（ASA），然后利用全等三角形的性质证明GF＝BH，最后利用勾股定理即可求解．
【解答】解：延长CF交BE于H，
∵EF平分∠BEC，
∴∠HEF＝∠CEF，
∵CF⊥EF，
∴∠HFE＝∠CFE，
在△HEF和△CEF中，
，
∴△HEF≌△CEF（ASA），
∴HF＝CF，EH＝EC，
而BG＝CG，
∴GF＝BH，
∵AE＝3DE，正方形的边长为4，
∴AE＝3，AB＝CD＝4，DE＝1，
在Rt△ABE中，BE＝＝5，
在Rt△CDE中，CE＝HE＝＝，
∴BH＝BE﹣HE＝5﹣，
∴GF＝BH＝．
故选：C．

11．若关于x的一元一次不等式组有解，且关于y的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（　　）
A．7 B．9 C．14 D．16
【分析】根据一元一次不等式组有解可以得出a＜4，由分式方程的解为整数以及增根的意义可求出a＝3或a＝﹣1或5，最后计算所有满足条件的整数a的和即可．
【解答】解：∵解不等式≥x+1得x≥3，
解不等式2x﹣4＜a得x＜，
而不等式组有解，
∴＞3，
∴a＞2，
又∵关于y的分式方程的解是y＝，
∵y为整数，
∴a﹣1＝±1或±2或±3或±6，
∵a﹣1≠0，
而当a＝1时，方程无解，
∴a≠1且≠1，
∴a≠1且a≠7，
又∵a＞2，
∴a＝3或a＝4，
所以所有满足条件的整数a的值之和为3+4＝7，
故选：A．
12．有依次排列的两个整式a，b，第1次操作后得到整式串a，b，b﹣a；第2次操作后得到整式串a，b，、b﹣a，﹣a；其操作规律为：每次操作增加的项为前两项的差（后一项﹣前一项），下列说法：
①第4次操作后的整式串为a，b，b﹣a，a，﹣b，a﹣b；
②第2022次操作后的整式串各项之和为a+b；
③第36次操作增加的项与第63次操作增加的项一定互为相反数．
其中正确的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】首先具体地求出每一次操作后得到整式串以及整式串各项之和，从中发现规律，进而判断即可．
【解答】解：由题意可得，第1次操作后得到整式串a，b，b﹣a；各项之和为2b；
第2次操作后得到整式串a，b，b﹣a，﹣a；各项之和为2b﹣a；
第3次操作后得到整式串a，b，b﹣a，﹣a，﹣b；各项之和为b﹣a；
第4次操作后得到整式串a，b，b﹣a，﹣a，﹣b，a﹣b；各项之和为0；故说法①错误；
第5次操作后得到整式串a，b，b﹣a，﹣a，﹣b，a﹣b，a；各项之和为a；
第6次操作后得到整式串a，b，b﹣a，﹣a，﹣b，a﹣b，a，b；各项之和为a+b；
第7次操作后得到整式串a，b，b﹣a，﹣a，﹣b，a﹣b，a，b，b﹣a；各项之和为2b；
•••
所以，各项之和以6次操作为一个周期依次循环．
∵2022÷6＝337，
∴第2022次操作后的整式串各项之和与第6次操作后的整式串各项之和相同，为a+b，故说法②正确；
∵36÷6＝6，
∴第36次操作后的整式串各项之和为a+b，而第35次操作后的整式串各项之和为a，
∴第36次操作增加的项为b．
∵63÷6＝10……3，
∴第63次操作后的整式串各项之和为b﹣a，而第62次操作后的整式串各项之和为2b﹣a，
∴第36次操作增加的项为﹣b，
∴第36次操作增加的项与第63次操作增加的项一定互为相反数，故说法③正确．
故选：C．
二、填空题（本大愿共4个小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填在思卡中对应的惯线上。
13．（﹣）﹣2+＝　11　．
【分析】先计算负整数指数幂和平方根，再计算加法．
【解答】解：（﹣）﹣2+
＝9+2
＝11，
故答案为：11．
14．一个多边形的内角和为900°，则这个多边形的边数为　7　．
【分析】本题根据多边形的内角和定理和多边形的内角和等于900°，列出方程，解出即可．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，则有
（n﹣2）×180°＝900°，
解得：n＝7，
∴这个多边形的边数为7．
故答案为：7．
15．有三张完全一样正面分别写着数字1，2，3的卡片，将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片上的数字后放回洗匀，再从中抽取一张，则抽取的两张卡片上的数字和为偶数的概率是 　　．
【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：列表如下：

1
2
3
1
2
3
4
2
3
4
5
3
4
5
6
由表知，共有9种等可能结果，其中数字之和为偶数的共有5种结果，
所以抽取的两张卡片上的数字和为偶数的概率是，
故答案为：．
16．目前，新能源正处于快速发展阶段．某汽车厂6月份生产A，B，C三种型号的新能源电动汽车，其电池的充电时间之比为4：1：2，充电速度之比为1：3：2（假设充电速度是匀速的），11月该汽车厂研发团队对这三种型号的汽车电池性能做了优化，电池容量和充电速度均比6月份有所提升．优化电池性能后，A型汽车增加的电池容量占优化后三种汽车电池容量和的，B、C两种型号汽车增加的电池容量之比为4：3；同时，A型汽车充电速度增加了3.125%，且B，C两种型号的电池容量之比为33：37，则A型汽车电池优化前与优化后的充电时间之比为 　　．
【分析】设A，B，C型号的电动汽车的充电时间分别为：4a，a，2a，充电速度分别是b，3b，2b，所以电池容量分别为：4ab，3ab，4ab，设B，C两种型号汽车增加的电池容量分别为4m，3m，根据“B，C两种型号的电池容量之比为33：37”得出方程，解得m＝ab，设A型汽车增加的电池容量为x，所以8x＝4ab+3ab+4ab+x+4m+3m，解得x＝ab+m＝2ab，再根据“A型汽车充电速度增加了3.125%”，可得出优化后的充电速度，进而得出结论．
【解答】解：设A，B，C型号的电动汽车的充电时间分别为：4a，a，2a，充电速度分别是b，3b，2b，
∴电池容量分别为：4ab，3ab，4ab，
设B，C两种型号汽车增加的电池容量分别为4m，3m，
∴＝，
解得m＝ab，
设A型汽车增加的电池容量为x，
∴8x＝4ab+3ab+4ab+x+4m+3m，
解得x＝ab+m，
∴x＝2ab，
∵A型汽车充电速度增加了3.125%，
∴充电速度增加为：b，
∴A型汽车电池优化前与优化后的充电时间之比为4a：＝．
故答案为：．
三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括轴助线），请将解答过程书马在答题卡中对应的位置上。
17．（8分）计算：
（1）（x+2）（x﹣2）﹣x（x﹣3）；
（2）．
【分析】（1）先根据平方差公式和单项式乘多项式进行计算，再合并同类项即可；
（2）先根据分式的加法法则算括号里面的，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算即可．
【解答】解：（1）原式＝x2﹣4﹣x2+3x
＝3x﹣4；

（2）原式＝÷
＝÷
＝•
＝．
18．（8分）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，点E为对角线BD上一点．
（1）请用尺规完成基本作图：在四边形内部作∠DCF＝∠BAE，交BD于点F，连接AF，CE（保留作图疲迹，不写作法）；
（2）根据（1）中所作图形，小南发现：若BF＝DE，则四边形AECF是平行四边形．请补全如下的证明过程．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴　∠ABE＝∠CDF　，
∵BF＝DE，
∴BF+EF＝DE+EF，即BE＝DF，
∵　AB＝CD　，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴∠AEB＝∠DFC（ 　全等三角形的对应角相等　），AE＝CF，
∴∠AEF＝∠CFE，
∴　AE∥CF　．
∴四边形AECF是平行四边形．

【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）证明AE＝CF，AE∥CF即可．
【解答】（1）解：如图，


（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵BF＝DE，
∴BF+EF＝DE+EF，即BE＝DF．
∵AB＝CD，
∴△ABE≌△CDF（AAS）．
∴∠AEB＝∠DFC（全等三角形的对应角相等），AE＝CF，
∴∠AEF＝∠CFE，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
故答案为：∠ABE＝∠CDF，AB＝CD，全等三角形的对应角相等，AE∥CF．
四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在对应的位凰上，
19．（10分）某校为丰富同学们的课余生活，全面提高科学素养，提升思维能力和科技能力，开展了“最强大脑”邀请赛，现从七、八年级中各随机抽取了20名学生的初赛成绩（初赛成绩均为整数，满分为10分，9分及以上为优秀）统计、整理如下：
七年级抽取的学生的初赛成绩：
6，6，7，7，7，8，8，8，8，8，9，9，9，9，9，9，9，10，10，10．
七、八年级抽取的学生的初赛成绩统计表：
年级
七年级
八年级
平均数
8.3
8.3
中位数
a
8
众数
9
b
方差
1.48
1.69
优秀率
50%
m%
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝　8.5　，b＝　7　，m＝　45　；
（2）根据以上数据，你认为七、八年级学生在“最强大脑”邀请赛中，鄢个年级的学生初赛成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可）
（3）若该校八年级有900名学生参加初赛，规定满分才可进入复赛，请估计八年级进入复赛的学生人数．

【分析】（1）根据中位数定义、众数的定义即可求出a、b的值；
（2）根据优秀率进行评价即可；
（3）用900乘以满分的百分比即可求解．
【解答】解：（1）∵七年级的成绩：6，6，7，7，7，8，8，8，8，8，9，9，9，9，9，9，9，10，10，10．
∴中位数a＝＝8.5．
根据条形统计图可知八年级成绩的众数为b＝7．
八年级的优秀率是×100%＝45%，
故答案为：8.5，7，45；
（2）根据表中可得，七八年级的优秀率分别是：50%、45%．
故七年级的的学生初赛成绩更好．
（3）900×＝225（人），
答：估计八年级进入复赛的学生为225人．
20．（10分）如图，反比例函数y＝与一次函数y＝ax+b（a≠0）交于A（4，m），B（n，﹣2）两点．
（1）求一次函数的解析式，并在网格中画出一次函数的图象；
（2）根据函数图象，直接写出关于x的不等式≤ax+b的解集；
（3）若点A关于x轴的对称点为点D，求△ABD的面积．

【分析】（1）利用反比例函数的解析式求得A、B的坐标，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；
（2）通过观察图象即可求得；
（3）求得D（4，﹣1），即可求得AD＝2，然后根据三角形面积公式求得即可．
【解答】解：（1）∵点A（4，m），B（n，﹣2）在反比例函数y＝的图象上，
∴m＝，﹣2＝
∴m＝1，n＝﹣2，
∴A（4，1），B（﹣2，﹣2）．
把A、B的坐标代入y＝ax+b得，
解得，
∴一次函数表达式为y＝x﹣1；
在网格中画出一次函数的图象如图：

（2）由图象可知，关于x的不等式≤ax+b的解集为﹣2≤x＜0或x≥4；
（3）∵A（4，1），
∴D（4，﹣1），
∴AD＝2，
∴S△ABD＝×（4+2）＝6．
21．（10分）车厘子，其含铁量是水果之首，它营养丰富，深受消费者喜爱．某超市准备花20000元购进一批车厘子，实际购买时，由于在原进价的基础上打了8折，结果用同样的钱比预期多购进100斤．
（1）车厘子的实际进价为每斤多少元？
（2）若该品种的车厘子市场售价为80元/斤，可售出200斤，根据销售经验，降低售价会促进销量的增加，即售价每斤降价1元，销量相应增加10斤，超市决定将部分车厘子降价促销，售价定为多少元时，可使促销部分的车厘子获利9000元？
【分析】（1）设原计划价格为每斤x元，则实际购买时，车厘子每斤0.8x元，可得，即可解得答案；
（2）设售价定为m元时，可使促销部分的车厘子获利9000元，可得（m﹣40）[200+10（80﹣m）]＝9000，即可解得答案．
【解答】解：（1）设原计划价格为每斤x元，则实际购买时，车厘子每斤0.8x元，
根据题意得：，
解得x＝50，
经检验，x＝50是原方程的解，
∴0.8x＝0.8×50＝40，
答：车厘子的实际进价为每斤40元；
（2）设售价定为x元时，可使促销部分的车厘子获利9000元，
根据题意得：（m﹣40）[200+10（80﹣m）]＝9000，
化简整理得：m2﹣140m+4900＝0，
解得m＝70，
答：售价定为70元时，可使促销部分的车厘子获利9000元．
22．（10分）如图，小开家所在居民楼AC，楼底C点的左侧30米处有一个山坡DE，坡角为30°，E点处有一个图书馆，山坡坡底到图书馆的距离DE为40米，在图书馆E点处测得小开家的窗户B点的仰角为45°，居民楼AC与山坡DE的剖面在同一平面内．
（1）求BC的高度；（结果精确到个位，参考数据：≈1.73）
（2）某天，小开到家后发现有资料落在图书馆，此时离图书馆闭馆仅剩5分钟，若小开在平地的速度为6m/s，上坡速度为4m/s，电梯速度为1.25m/s，等候电梯及上、下乘客所耽误时间共3分钟，请问小开能否在闭馆前赶到图书馆？

【分析】（1）作EF⊥AC于F，作EG⊥CD，交CD延长线于点G，根据题意可得CD＝30米，∠BEF＝45°，DE＝40米，∠EDG＝30°，然后利用特殊角三角函数即可解决问题；
（2）根据题意求出小开到图书馆所用时间，再与图书馆闭馆所剩5分钟进行比较，即可解决问题．
【解答】解：（1）如图，作EF⊥AC于F，作EG⊥CD，交CD延长线于点G，
得矩形EFCG，

∴EF＝CG，EG＝FC，
根据题意可知：CD＝30米，∠BEF＝45°，DE＝40米，∠EDG＝30°，
∴EG＝DE＝20米，
∴DG＝EG＝20（米），
∴EF＝GC＝GD+CD＝（20+30）米，
∴BF＝EF＝（20+30）米，
∴BC＝BF+FC＝BF+EG＝20+30+20＝20+50≈85（米），
答：BC的高度约为85米；
（2）根据题意得：30÷6+40÷4+85÷1.25+3×60＝263（秒），
∵263＜300，
∴小开能在闭馆前赶到图书馆．
23．（10分）把一个四位数M的各个数位上的数字相加的和记为k，把M的千位数字与个位数字的乘积减去百位数字与十位数字的乘积所得的差记为n，若k恰好是n的整数倍，则称M是“k阶行列和倍效”，为M的“行列商”．
例如：M＝2143，∵k＝2+1+4+3＝10，n＝2×3﹣1×4＝2，＝5，∴2143是“10阶行列和倍数”，“行列商”为5．
又如：M＝1738，∵k＝1+7+3+8＝19，n＝1×8﹣7×3＝﹣13，不是整数，∴1738不是“k阶行列和倍数”．
（1）判断7328，9241是否为“k阶行列和倍数”，并说明理由；
（2）若M为“15阶行列和倍数”，M的“行列商”恰好是1，M的千位与百位数字之和能被9整除，求所有满足条件的M．
【分析】（1）根据题目中的定义，可直接判断7328，9241是否为“k阶行列和倍数”；
（2）根据定义，先得到M的千位与百位数字之和为9，十位与个位数字之和为6，然后根据M的“行列商”恰好是1，找出满足要求的结果即可．
【解答】解：（1）∵k＝7+3+2+8＝20，n＝7×8﹣3×2＝50，不是整数，
∴7328不是“k阶行列和倍数”；
∵k＝9+2+4+1＝16，n＝9×1﹣2×4＝1，＝16，
∴9241是“10阶行列和倍数”；
（2）∵M为“15阶行列和倍数”，M的千位与百位数字之和能被9整除，
∴M的千位与百位数字之和为9，十位与个位数字之和为6，
∵M的“行列商”恰好是1，7×3﹣2×3＝15，4×5﹣5×1＝15，
∴所有满足条件的M为7233或4515．
24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣12与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一个交点为点B．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点D为第四象限的抛物线上一动点，连BD，与AC相交于点E，设点D的横坐标为t，＝K，求K与t的函数关系，及K的最大值和此时点D的坐标；
（3）在（2）中K取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向右平移4个单位，点F为点D的对应点，M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点N，使得以点E，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．

【分析】（1）根据直线AC的解析式可求出点A，C的坐标，代入抛物线的解析式即可得出结论；
（2）令（1）中的抛物线的y＝0，可得出点B的坐标，分别过点B，D作y轴的平行线，由平行线分线段成比例可得出K＝DE：BE＝DP：BQ，进而可得出K与t的关系，根据二次函数的性质可得出K的最大值及点D的坐标；
（3）由抛物线的平移可得出点E，F的坐标，平移后抛物线的解析式，由此可得出点M的横坐标，再分类讨论，当EF为对角线时，当EF为对称轴时，分别求解，可得出点N的坐标．
【解答】解：（1）∵直线y＝x﹣12与x轴交于点A，与y轴交于点C，
∴A（8，0），C（0，﹣12）．
将A，C的坐标代入抛物线y＝x2+bx+c，
∴，
∴．
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣12．
（2）由（1）知，抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣12．
令y＝0，解得x＝﹣4或x＝8，
∴B（﹣4，0）．
如图，分别过点B，D作y轴的平行线，交直线AC于点Q，P，

∴＝，
∵点D的横坐标为t，
∴D（t，t2﹣t﹣12），P（t，t﹣12），
∴PD＝t﹣12﹣（t2﹣t﹣12）＝﹣t2+3t，
∵B（﹣4，0），
∴Q（﹣4，﹣18）．
∴BQ＝18．
∴K＝＝＝＝﹣t2+t＝﹣（t﹣4）2+．
∵﹣＜0，
∴当t＝4时，K的最大值为．此时D（4，﹣12）．
（3）∵B（﹣4，0），D（4，﹣12），
∴直线BD的解析式为：y＝﹣x﹣6．
令y＝﹣x﹣6＝x﹣12，
解得x＝2，
∴E（2，﹣9），
∵点F为点D的对应点，
∴F（8，﹣12）．
由平移可知，新抛物线的解析式为：y＝x2﹣x＝（x﹣6）2﹣．
∴抛物线的对称轴为：直线x＝6．
设点M的纵坐标为y，则M（6，y）．
若以点E，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形，则需要分以下两种情况：
①当EF为边时，则EF∥MN，
∴xE﹣xF＝xM﹣xN，yE﹣yF＝yM﹣yN或xE﹣xF＝xN﹣xM，yE﹣yF＝yN﹣yM．
∴N（12，y﹣3）或（0，y+3），
∴y﹣3＝（12﹣6）2﹣或y+3＝（0﹣6）2﹣，
解得y＝3或y＝﹣3；
∴N（12，0）或N（0，0）．

②当EF为对角线时，则MN过EF的中点G（5，﹣），

∵xE+xF＝xM﹣+N，yE+yF＝yM+yN，
∴N（4，﹣21﹣y），
∴﹣21﹣y＝（4﹣6）2﹣，
解得y＝﹣9．
∴N（4，﹣12）．
综上，若以点E，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形，点N的坐标为（12，0）或（0，0）或（4，﹣12）．
25．（10分）如图1，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D，E，F分别为边AB，BC，AC上的点．
（1）连接DE，BF相交于点G，连接DF并延长交BC的延长线于点H．若BD＝BF，DE＝HE，求∠DGF的度数；
（2）如图2，在（1）问的条件下，在平面内将线段DB绕点B顺时针旋转90°得线段PB，连接GP．求证：PG+DG＝AB；
（3）如图3，若D为AB中点，DE⊥DF，连接EF，点M为EF中点，点K为线段CM上一点，将△CFK沿着直线FK翻折至△CFK所在平面内得到△NFK，连接CN，在点E、F运动的过程中，当线段CM取最小值且NK∥CE时，请直接写出的值．


【分析】（1）根据三角形的内角与外角性质导角即可；
（2）作DN⊥BF于N，FM⊥AB于M，PQ⊥FB于Q，连接DP．然后证明△BDN≌△BFM≌△PBQ即可；
（3）先确定CM取得最小值且KN平行于CE时的图形，然后计算．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠CBA＝∠CAB＝45°，
∵BD＝BF，
∴∠BFD＝∠BDF＝∠EDH+∠EDB，
∵DE＝HE，
∴∠EHD＝∠EDH，
∵∠BFD＝∠FHB+∠HBF，
∴∠EDH+∠EDB＝∠FHB+∠HBF，
∴∠EDB＝∠HBF，
∴∠DGF＝∠GDB+∠GBD＝∠HBF+∠GBD＝∠CBA＝45°．
（2）如图2，作DN⊥BF于N，FM⊥AB于M，PQ⊥FB于Q，连接DP．

则∠AM＝∠FMB＝∠DNB＝∠BQP＝90°，
∴∠MFB+∠FBM＝∠NDB+∠DBN＝∠PBQ+∠BPQ＝90°
∵∠DBP＝90°，
∴∠DBN+∠PBQ＝90°，
∴∠PBQ＝∠BDN＝∠BFM，
∵BP＝BD＝BF，
∴△BDN≌△BFM≌△PBQ（AAS），
∴BQ＝DN＝FM，PQ＝BM＝BN，
∵∠FAM＝45°，
∴△AMF是等腰直角三角形，
∴AM＝FM＝DN＝BQ，
∵∠DGN＝45°，
∴△DNG是等腰直角三角形，
∴DG＝DN＝AM，
∵BD＝BP且∠DBP＝90°，
∴∠DPB＝∠PDB＝45°＝∠DGF，
∴D、G、B、P四点共圆，
∴∠PGQ＝∠PDB＝45°，
∴PG＝PQ＝BM，
∴AB＝AM+BM＝DN+PQ＝PG+DG．
（3）如图3，连接MD、CD．

则CM≥CD﹣MD，
当且仅当C、M、D三点共线时，CM取得最小值．
此时，若KN∥CE，如图4，

设AC＝BC＝4，则FC＝FN＝2，FM＝CM＝，MN＝2﹣，
∴CN2＝CM2+MN2＝8﹣4，
∴＝＝4+2．