2023—2024学年苏科版数学八年级上册期中复习练习 - 答案

这是一份2023—2024学年苏科版数学八年级上册期中复习练习 - 答案，共14页。试卷主要包含了【问题探究】，问题探究，已知，求下列各式中x、y的值等内容，欢迎下载使用。
1．如图，，，记，，当时，与之间的数量关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】∵，
，，
，
在中，，
∵，
，
，
整理得，．
故选：B．
2．如图，四边形中，，于，，，则的面积是 ．

【答案】12.5
【详解】解：作于点，则，

，
，
，
又，
，
，
在与中，
，
，
，
，
，
的面积为：．
故答案为：12.5
3．【问题探究】
（1）如图1，锐角中，分别以、为边向外作等腰直角和等腰直角，使，，，连接，，请判断与的数量关系，并说明理由．
【深入探究】
（2）如图2，四边形中，，，，求的值；甲同学受到第一问的启发构造了如图所示的一个和全等的三角形，将进行转化再计算，请你准确的叙述辅助线的作法，再计算；
【变式思考】
（3）如图3，四边形中，，，，，，则___________．
【答案】（1），理由见解析；（2）见解析；（3）
【详解】解：（1），理由如下：
∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）如图2，在的外部，以为直角顶点作等腰直角，使，，连接、、．
∵，
∴，，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴．
（3）如图，
∵，，
∴是等边三角形，
把绕点逆时针旋转得到，连接，
则，是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
在中，
，
∴．
故答案为：
4．问题探究：如图1，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．
①BE、CF与EF之间的关系为：BE+CF EF；（填“＞”、“＝”或“＜”）
②若∠A＝90°，探索线段BE、CF、EF之间的等量关系，并加以证明．
问题解决：如图2，在四边形ABDC中，∠B+∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC＝130°，以D为顶点作∠EDF＝65°，∠EDF的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明．
【答案】（1）＞；（2）EF2＝BE2+CF2．理由见解析；（3）EF＝BE+CF．理由见解析.
【详解】解：（1）如图1中，延长ED到H，使得DH＝DE，连接CH，FH．
∵BD＝CD，∠BDE＝∠CDH，DE＝DH，
∴△BDE≌△CDH（SAS），
∴BE＝CH，
∵DE＝DH，FD⊥EH，
∴FE＝FH，
在△FCH中，∵CH+CF＞FH，
∴BE+CF＞EF．
故答案为＞．
（2）结论：EF2＝BE2+CF2．
理由：如图2中，延长ED到H，使得DH＝DE，连接CH，FH．
∵BD＝CD，∠BDE＝∠CDH，DE＝DH，
∴△BDE≌△CDH（SAS），
∴BE＝CH，∠B＝∠DCH，
∵DE＝DH，FD⊥EH，
∴FE＝FH，
∵∠A＝90°，
∴∠B+∠ACB＝90°，
∴∠ACB+∠DCH＝90°，
∴∠FCH＝90°，
∴FH2＝CH2+CF2，
∴EF2＝BE2+CF2．
（3）如图3中，结论：EF＝BE+CF．
理由：∵DB＝DC，∠B+∠ACD＝180°，
∴可以将△DBE绕点D顺时针旋转得到△DCH，A，C，H共线．
∵∠BDC＝130°，∠EDF＝65°，
∴∠CDH+∠CDF＝∠BDE+∠CDF＝65°，
∴∠FDE＝∠FDH，
∵DF＝DF，DE＝DH，
∴△FDE≌△FDH（SAS），
∴EF＝FH，
∵FH＝CF+CH＝CF+BE，
∴EF＝BE+CF．
5．（1）如图，在四边形ABCE中，点D是BC边上一点，，．
①在图中，当时，求证：△ADE是等腰三角形；
②在图中，当时，若，求的面积；
（2）在图中，射线AM和BN，于点A，于点B，点P是AB上一点，，，在射线AM和BN上分别作点C和D，使得是等腰直角三角形，并直接用m和n表示．
【答案】（1）①证明见解析；②；（2）画图见解析，为或或
【详解】（1）①证明：∵，，，
∴
∴，
∴是等腰三角形．
②∵，，，
∴，
∴，
由
∴，
∴为等边三角形，而，
∴，
过作于，
∴，
∴
（2）如图，在上截取，在上截取，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
如图，在依次截取，过作于，连接，
则，
同理可得：，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
由平行线间距离处处相等可得：，
∴，
如图，在上依次截取 过作交于，连接，
同理，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴
综上：为或或
题型二：轴对称
1．如图，在中，分别垂直平分和，交于两点，与相交于点.
(1)若=21cm，则的周长= ;(第一问直接写答案)
(2)若，求的度数.
【答案】（1）21cm；（2）20°
【详解】（1）∵分别垂直平分和，
∴AM=CM，BN=CN，
∴的周长=CM+CN+MN=AM+BN+MN=AB=21cm；
（2）∵，
∴∠MNF+∠NMF=180°-∠MFN=180°-80°=100°，
∵∠AMD=∠NMF，∠BNE=∠MNF，
∴∠AMD+∠BNE=∠MNF+∠NMF=100°，
∴∠A+∠B=90°-∠AMD+90°-∠BNE=180°-100°=80°，
由（1）可知，AM=CM，BN=CN，
∴∠A=∠ACM，∠B=∠BCN，
∴∠MCN=180°-2(∠A+∠B)=180°-2×80°=20°.
2．在中，，于点D，于点E，于点F，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：∵，
∴是等腰三角形，
∵于点D，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
3．如图，在的边、上取点、，连接，平分，平分，若，的面积是2，的面积是8，则的长是 ．
【答案】10
【详解】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为，连接，
是外角平分线的交点，
，
，的面积是2，
，
，
，
的面积是8，
的面积的面积的面积，
，
，
故答案为：10．
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F，若MN＝2，则NF=
【答案】1
【详解】如图，连接AN、AM，
∵AB＝AC，∠A＝120°，
∴∠B=∠C=30°，
∵ME、NF分别垂直平分线段AB、AC
∴BM=AM，AN=CN，
∴∠B=∠MAB=30°，∠NAC=∠C=30°，
∴∠AMN=∠MAN=∠MNA=60°
∴△AMN是等边三角形，
∴AN=MN=2
在Rt△ANF中，∠NAF=30°
∴NF=AN=1
故答案为1
5．如图，在中，点O是角平分线的交点，若，，则的值为 ．

【答案】
【详解】解：∵，在中，点O是角平分线的交点，，，
∴，，
∴，
过点作，则：，

连接，
∵，
∴，
即：，
∴；
∴．
故答案为：．
6．如图，过边长为1的等边三角形ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，当AP＝CQ时，PQ交AC于D，则DE的长为______．
【答案】
【解析】
过点Q作AD的延长线的垂线于点F.
因为△ABC是等边三角形，所以∠A=∠ACB=60°.
因为∠ACB=∠QCF，所以∠QCF=60°.
因为PE⊥AC，QF⊥AC，所以∠AEP=∠CFQ=90°，
又因为AP=CQ，所以△AEP≌△CFQ，所以AE=CF，PE=QC.
同理可证，△DEP≌△DFQ，所以DE=DF.
所以AC=AE+DE+CD=DE+CD+CF=DE+DF=2DE，所以DE=AC=.
故答案为.
7．已知：如图，△ABC中∠ACB的平分线与AB的垂直平分线交于点D，DE⊥AC于点E，DF⊥BC交CB的延长线于点F．
(1)求证：AE＝BF；
(2)若AE＝7，BC＝10，AB＝26，判断△ABC的形状，并证明；
(3)设AB=c， BC=a，AC=b(b>a)，若∠ACB=90°，且△ABC的周长与面积都等于30，求CE的长．
【答案】（1）见解析；（2）直角三角形；（3）8.5
【详解】（1）证明：连接AD
∵DE⊥AC，DF⊥BC，CD平分∠ACB
∴DE=DF，∠AED=∠BFD=90°
∵DM垂直平分AB
∴AD=BD
在Rt△AED和Rt△BFD中

∴Rt△AED≌Rt△BFD（HL）
∴AE＝BF
（2）∵AE=BF
∴CF=CB+BF=CB+AE=10+7=17
在Rt△CED和Rt△CFD中

∴Rt△CED≌Rt△CFD（HL）
∴CE=CF
∴AC=AE+EC=7+17=24
BC2+AC2=102+242=262=AB
∴△ABC是直角三角形
（3）∵△ABC的周长与面积都等于30
∴


由勾股定理得：
∴
解得：

∵CE=CF，AE=BF
设，则
∴

题型三：勾股定理
1．如图，在中，为钝角，边，的垂直平分线分别交于点D，E，连接，，若，，，则 ．
【答案】
【详解】解：∵边，的垂直平分线分别交于点D，E，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
2．如图，O是正内一点，，，．将线段绕B逆时针旋转得到线段，那么 ．
【答案】
【详解】解：如图，连接，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴， 而，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴.
故答案为：.
3．如图，在等腰中，，高，平分，则三角形的面积为 ．
【答案】
【详解】解：如图，连接EC，
∵AE平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，，
设，
，
，
，解得，
∴．
故答案是：．
4．如图，在四边形ABCD中，AB =AD，BC=DC，点E为AD边上一点，连接BD、CE，CE与BD交于点F，且CE∥AB，若A =60°，AB=4，CE=3，则BC的长为 ．

【答案】
【详解】连接AC，交BD于点O，

∵AB＝AD，BC＝DC，∠A＝60°，
∴AC垂直平分BD，△ABD是等边三角形，
∴∠BAO＝∠DAO＝30°，AB＝AD＝BD＝4，BO＝OD＝2，
∵CE∥AB，
∴∠BAO＝∠ACE＝30°，∠CED＝∠BAD＝60°，
∴∠DAO＝∠ACE＝30°，
∴AE＝CE＝3，
∴DE＝AD−AE＝1，
∵∠CED＝∠ADB＝60°，
∴△EDF是等边三角形，
∴DE＝EF＝DF＝1，
∴CF＝CE−EF＝2，OF＝OD−DF＝1，
，
，
故答案为：．
5．如图，在四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，则BD的长为 .
【答案】
【详解】作AD′⊥AD，AD′=AD，连接CD′，DD′，如图：
∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD，
即∠BAD=∠CAD′，
在△BAD与△CAD′中，
，
∴△BAD ≌△CAD′(SAS)，
∴BD=CD′，
∠DAD′=90°，
由勾股定理得DD′=，
∠D′DA+∠ADC=90°
由勾股定理得CD′=
∴BD=CD′=，
故答案为：．
6．如图，平分，．若，，则AB的长为 ．
【答案】
【详解】如图，过点作交的延长线于点E，作于点F．
设，则．
∵在中，，
在中，，
∴，
解得：，
∴．
∵平分，
∴，
∴．
∵在中，，
在中，，
∴．
故答案为：．
7.《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架.如图所示是其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何?”题意是：一根竹子原高1丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高?答：折断处离地面 尺高.
{答案}
{解析}本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，根据勾股定理得：x2+32＝(10﹣x)2，解得x．因此本题答案为．
8.2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图1），且大正方形的面积是15，小正方形的面积是3，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b．如果将四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，那么图2中最大的正方形的面积为 ．
【解析】由题意可得在图1中：a2+b2＝15，（b﹣a）2＝3，
图2中大正方形的面积为：（a+b）2，
∵（b﹣a）2＝3
a2﹣2ab+b2＝3，
∴15﹣2ab＝3
2ab＝12，
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝15+12＝27，
故答案为：27．
8.如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为项点分别按下列要求画三角形.
（1）在图①中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；
（2）在图②中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数；
（3）在图③中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数.
图①图②图③
{答案}（答案不唯一）
（1）答图①（2）答图②（3）答图③
题型四：实数
1．如果，那么 ．
【答案】－4
【详解】，
，
故答案为：-4
2．若一个正数的两个不同的平方根为2a+1和3a﹣11，则a＝ ．
【答案】2
【详解】解：∵一个正数的两个不同的平方根分别是2a+1和3a﹣11，
∴，
解得．
故答案为： 2．
3．已知 ，则的算术平方根是 .
【答案】.
【详解】由题意得：x﹣2≥0，2﹣x≥0，解得：x=2，则y=3，∴xy的算术平方根是．
故答案为．
4．近似数0.120精确到 .；近似数1.58万精确到 ≈ .（精确到0.1）
【答案】 千分位； 百分位； 2101.0
【详解】解：近似数0.120精确到千分位；近似数1.58万精确到百分位；2100.99≈2101.0，故答案为千分位；百分位；2101.0.
5．已知，则的平方根是 ；
【答案】－2 或 2－
【详解】±=
=±|2﹣|
=±（﹣2）．
=﹣2或．
故答案为﹣2或．
6．下列说法：①如果两个三角形全等，那么这两个三角形一定成轴对称；②数轴上的点和实数一一对应；③是3的一个平方根；④两个无理数的和一定为无理数；⑤6.9103精确到十分位；⑥ 的平方根是4.其中正确的 .（填序号）
【答案】②③
【详解】解：①如果两个三角形关于某直线对称对称，那么这两个三角形一定全等，错误；
②数轴上的点和实数一一对应，本选项说法正确；
③是3的一个平方根，正确；
④两个无理数的和不一定是无理数，例如-+=0，故错误；
⑤6.9103=6900，所以说精确到十分位不正确；
⑥16的平方根为±4，故错误.
故答案为: ②③.
7．已知实数a在数轴上的位置如图，则化简|1﹣a|+的结果为 ．
【答案】1-2a
【详解】由图可知：，
∴，
∴.
故答案为.
8．求下列各式中x、y的值：
（1）若实数2是实数x+1的平方根，3是4y-1的立方根，求xy的值
（2）8(x-1)3=-27
（3）(x-1)2-1=24
【答案】（1）21；（2）-；（3）6或-4
【详解】解：（1）由题意得：x+1=22，解得x=3；
4y-1=33，解得y=7；
所以xy=3×7=21；
（2）8(x-1)3=-27
(x-1)3=
x-1=
x=
(3) (x-1)2-1=24
(x-1)2=25
X-1=±5
所以x=6或x=-4
9．（1）若x,y为实数，且 求的平方根.
（2）已知x－2的平方根是±2，2x＋y＋7的立方根是3，求x2+y2的算术平方根．
【答案】（1） ；（2）10.
【详解】解：有题意可知：
∴x=4,y=3
∴的平方根是 .
（2）由题意可知：
∴x2+y2的算术平方根是10.
10．已知a、b、c满足，则的平方根为 ．
【答案】
【详解】解：由题意得，且，
∴且，
∴，
∴，
由非负数的性质，得，即，
解得，
，
∴的平方根是．
故答案为：
11．若m+1=a2+(a+1)2，其中a>0，则2m+1的算术平方根为 .(用含a的式子表示)
【答案】
【详解】
，∴
∴
∴的算术平方根为：
故答案为：．
12．已知：，其中x是整数，且0