【期中真题】吉林省东北师范大学附属中学2021-2022学年高二上学期期中考试数学试题.zip

2021~2022学年东北师大附中高二年级数学科试卷

上学期期中考试

一､单项选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 抛物线的焦点坐标为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】直接计算焦点得到答案.

【详解】抛物线的焦点在轴上，，，故坐标为.

故选：A.

2. 已知椭圆的一个焦点坐标为，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意得到得到答案.

【详解】椭圆焦点在轴上，且，故.

故选：B.

3. 圆被轴所截得的弦长为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】取，得到，解方程得到答案.

【详解】，取，则，解得，，

弦长为.

故选：D.

4. 过点且与双曲线有相同渐近线的双曲线方程为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】设与双曲线有相同渐近线的双曲线方程为，代入点的坐标，求出的值，即可的解.

【详解】解：设与双曲线有相同渐近线的双曲线方程为，

代入点，得，解得，

所以所求双曲线方程为.

故选：B.

5. 抛物线上一点到焦点的距离等于9，点的横坐标为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】计算准线方程得到，解得答案.

【详解】抛物线的准线方程为，设点的横坐标为，

到焦点的距离等于，故.

故选：C.

6. 已知向量为平面的法向量，点在内，点在外，则点到平面的距离为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】直接利用距离的向量公式计算得到答案.

【详解】，故点到平面距离为.

故选：A.

7. 过双曲线左､右焦点分别作倾斜角为的直线与双曲线相交于轴上方两点，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】的方程为，解得得到，同理计算得到答案.

【详解】，则的方程为：，联立方程，

解得，（舍去负值），故；

同理可得：，故.

故选：C.

8. 椭圆上恰有4个不同的点满足，其中，，则椭圆的离心率的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据得到，有四个交点得到，得到离心率范围.

【详解】设，则，即，

化简得到：，即椭圆与圆有4个交点，故，.

故.

故选：D.

二､多项选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得4分，部分选对得2分，有选错或不选得0分）

9. 已知关于的方程（其中为参数）表示曲线，下列说法正确的是（    ）

A. 若，则表示圆 B. 若，则表示椭圆

C. 若，则表示双曲线 D. 若，，则表示两条直线

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据圆、椭圆、双曲线的定义和标准方程，根据的正负依次判断每个选项得到答案.

【详解】若，，表示圆，A正确；

若，时，，不表示椭圆，B错误；

若，则表示焦点在轴或轴的双曲线，C正确；

，，或，则或，表示两条直线，D正确；

故选：ACD.

10. 已知椭圆的左､右焦点分别为，为椭圆上不同于左右顶点的任意一点，则下列说法正确的是（    ）

A. 的周长为 B. 面积的最大值为

C. 的取值范围为 D. 的取值范围为

【答案】BCD

【解析】

【分析】计算周长得到6，A错误，，B正确，，根据定义域得到范围，C正确，，得到值域，得到答案.

【详解】根据题意：，，，

的周长为，A错误；

面积的为，当在上下顶点时等号成立，B正确；

设，则，

，故，C正确；

，设，，

则，故的取值范围为，D正确.

故选：BCD.

11. 已知抛物线的焦点为，过焦点的直线交抛物线于两点，分别过点向准线作垂线，垂足分别为，弦中点为，线段中点为，则下列说法正确的是（    ）

A. 为直角三角形 B. 为直角三角形

C. 为直角三角形 D. 为直角三角形

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据抛物线定义可得：，则，从而可证得，同理可得，即可证得，即可判断D；在中，可得，从而可证得，可得，即可判断B；还可得，从而，同理可得，即可证得，即可判断A；若为直角三角形，则，则有，说明，即可判断C.

【详解】解：由题意可知，，

根据抛物线的定义可得：，则，

因为，所以，

所以，即，

同理可得，

所以，

所以为直角三角形，故D正确；

在中，因为线段中点为，

所以，又，，

所以，所以，

所以为直角三角形，故B正确；

由，得，即，

同理可得，

所以，

所以为直角三角形，故A正确；

若为直角三角形，则，

因为，线段中点为，

所以，则，

所以，

当不垂直轴时，，与矛盾，

所以此时，即不为直角三角形，故C错误.

故选：ABD.

12. 卵形曲线也叫卵形线，是常见曲线的一种，分笛卡尔卵形线和卡西尼卵形线.卡西尼卵形线是平面内与两个定点（叫做焦点）距离之积等于常数的点的轨迹.设焦点是平面内两个定点，（是定长），特别地，当时的卡西尼卵形线又称为伯努利双纽线，某同学通过类比椭圆与双曲线的研究方法，对伯努利双纽线进行了相关性质的探究，得到下列结论，其中正确的是（    ）

A. 曲线过原点

B. 关于原点中心对称且关于坐标轴成轴对称

C. 方程为

D. 曲线上任意点，，

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据得到轨迹方程为得到ABC正确，验证知在曲线上，故D错误，得到答案.

【详解】设，时，，

化简得到：，故C正确；

曲线过原点，A正确；关于原点中心对称且关于坐标轴成轴对称，B正确；

验证知在曲线上，故D错误.

故选：ABC.

三､填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.）

13. 不论为任何实数，直线恒过一定点，该定点坐标为___________.

【答案】

【解析】

【分析】变换直线方程得到，得到，解得答案.

【详解】，即，

，解得，故直线过定点.

故答案为：.

14. 三棱锥，是边的中点，，，则=___________.（用基底表示）

【答案】

【解析】

【分析】，根据空间向量的加减运算法则得到答案.

【详解】

.

故答案为：.

15. 点在椭圆上，的左焦点为，点在圆上，则的最小值为___________.

【答案】

【解析】

【分析】画出椭圆与圆得图形，根据椭圆得定义结合图形，当四点共线时，取得最小值，从而可得出答案.

【详解】解：点在椭圆上，

椭圆左焦点，右焦点，如图：

由圆，得，半径为1，

由椭圆得定义可得：，则，

则，

当四点共线时，取得最小值，

则

故答案为：0.

16. 双曲线的左､右焦点分别为，过右焦点的直线交双曲线于两点，为等边三角形，若、两点都在右支上，则双曲线的离心率为___________；若、两点分别在左､右两支上，则双曲线的离心率为___________.

【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】根据双曲线的定义结合等边三角形的条件得出关于和的等量关系，即可求出离心率.

【详解】解：当、两点都在右支上时，设在的上方，则

，

为等边三角形

，且

，

即为中点，且垂直平分

，可得

离心率为

当、两点分别在左､右两支上时，设在左支，则

，

为等边三角形

，

在中，由余弦定理得

即

化简得：

离心率为

故答案为：，.

【点睛】关键点睛：本题求双曲线的离心率，关键是根据等边三角形的性质，构建关于和的等式.

四､解答题（本大题共6小题，共56分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）

17. 已知的顶点，边上的高所在直线方程为，边上的中线所在直线方程为.

（1）求点的坐标；

（2）求点的坐标及边所在直线方程.

【答案】（1）   

（2），

【解析】

【分析】（1）直接联立高和中线的方程解得答案.

（2）设，根据斜率垂直得到，中点在中线上得到，解得坐标，得到直线方程.

【小问1详解】

因为点为高与中线所在直线的交点，

由，解得，，

【小问2详解】

设，因为与高垂直，所以，故

即①，

线段中点在中线上，所以，

即②

由①②可解得，，，，

方程为：，即.

18. 已知圆的圆心在直线上，且与直线相切于点.

（1）求圆的方程；

（2）若过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程.

【答案】（1）   

（2）或

【解析】

【分析】（1）求得过点与直线垂直的直线方程，联立此直线方程与直线可求得圆心，从而可得出答案；

（2）分直线斜率存在和不存在两种情况讨论，根据弦长即可得出答案.

【小问1详解】

解：过点与直线垂直的直线的斜率为，

所以直线的方程为，即.

由，解得圆心.

所以半径.

故圆的方程为：；

【小问2详解】

解：①若斜率存在，设过点的直线斜率为，

则直线方程为：，

即，

圆心到直线的距离，

又，

，整理得，

解得，此时直线的方程为；

②若斜率不存在，直线方程为，弦心距为，半径，

弦长为，符合题意，

综上，直线的方程为或.

19. 如图，已知直四棱柱中，底面是菱形，，，是的中点，是的中点.

（1）求异面直线和所成角的余弦值；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量法结合空间向量的数量积运算即可求解；

（2）由（1）中的坐标系先求出平面的法向量，再结合空间向量的数量积运算即可求解.

【小问1详解】

解：连结，使.因为底面是菱形，所以，

以为原点，的方向为轴､轴的正方向，以四棱柱上下底面的中心连线指向上底面的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示.

设，由，底面是菱形，所以.

所以

，，，，

是的中点，是的中点

，，

，

设异面直线和所成角为，则

.

异面直线和所成角的余弦值为.

【小问2详解】

解：由（1）可得，

设平面的法向量为，则

，令，得，

由（1）知

设直线与平面所成角为，则

.

直线与平面所成角的正弦值为.

20. 已知为坐标原点，过点的圆与直线相切，设圆心的轨迹为曲线.

（1）求曲线的方程；

（2）过点的直线交曲线于两点，线段的垂直平分线交轴于点，求线段的长.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据题意得到，化简得到答案.

（2）设直线方程为，联立方程根据韦达定理得到根与系数的关系，根据垂直关系结合中点坐标公式得到，再计算弦长得到答案.

【小问1详解】

设，依题意，，整理得，曲线的方程为.

小问2详解】

显然直线斜率存在且不为，设，，

设直线方程为，，由得，，

，，

设线段中点，，，

，.

.

21. 如图，四棱锥中，为等边三角形，平面底面，底面为直角梯形，其中，，，为线段中点.

（1）证明：平面；

（2）求平面与平面的夹角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析.   

（2）.

【解析】

【分析】（1）建立空间坐标系，求出， ，计算得到，又，为线段中点，得到，由线面垂直的判定定理得到结果；（2）建立坐标系，求得平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，两个平面夹角的余弦值为，代入数值求解即可.

【小问1详解】

取中点，中点，连结，，

平面底面，底面为直角梯形，

所以底面，，

以为原点，以所在直线分别为轴，建立如图所示

的空间直角坐标系，

则，

，，，

，

，

，

又，为线段中点，，

，

平面；

【小问2详解】

设平面的一个法向量为，

则，令，则，

，

设平面的一个法向量为，

则，令，则，

，

设平面与平面的夹角为，

，

平面与平面的夹角的余弦值为.

22. 已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.

（1）求椭圆方程；

（2）已知为坐标原点，为椭圆上非顶点的不同两点，且直线不过原点，不垂直于坐标轴.在下面两个条件中任选一个作为已知：①直线与直线斜率之积为定值；②的面积为定值，证明：存在常数，使得，且点在椭圆上，并求出的值.

注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】（1）   

（2）证明见解析，

【解析】

【分析】（1）根据离心率，将点代入椭圆方程，解得答案.

（2）设直线方程，联立椭圆方程，根据韦达定理得到根与系数的关系，根据题目条件化简得到，根据向量关系计算点坐标，代入椭圆方程，计算得到答案.

【小问1详解】

依题意,解得，.椭圆方程为.

【小问2详解】

设直线，由得，

，，，

若选①：

，

.

整理得.

由得，

，

因为点在椭圆上，

所以，.

若选②：

，整理得，

，，

.

由得

，

因为点在椭圆上，

所以，.

【点睛】本题考查了椭圆标准方程，椭圆中的向量求参数问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，本题计算量较大，需要学生扎实的计算功底和细心，需要平时多练习.