【期中真题】湖南师范大学附属中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题.zip

湖南师大附中2022-2023学年度高二第一学期期中考试

数学

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1. 当m＜1时，复数m（3+i）﹣（2+i）在复平面内对应的点位于（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2. 曲线与曲线（且）的（    ）

A. 长轴长相等 B. 短轴长相等 C. 焦距相等 D. 离心率相等

3. 数列的通项若是递增数列，则实数t的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线与平面所成角的余弦值是（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．对于，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径．假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天（初始感染者传染个人为第一轮传染，经过一个周期后这个人每人再传染个人为第二轮传染……）那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要的天数为（参考数据：，）（    ）

A. 35 B. 42 C. 49 D. 56

6. 半径为的圆内有一点，已知，过点的条弦的长度构成一个递增的等差数列，则的公差的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 已知，函数在上存在最值，则的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 已知函数，则存在，对任意的有（    ）

A.  B.

C.  D.

二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）

9. 已知圆，则下列说法正确的是（    ）

A. 直线与圆A相切

B. 圆A截y轴所得的弦长为4

C. 点在圆A外

D. 圆A上的点到直线的最小距离为3

10. 已知是的前n项和，下列结论正确的是（    ）

A. 若为等差数列，则（p为常数）仍然是等差数列

B. 若为等差数列，则

C. 若为等比数列，公比为q，则

D. 若为等比数列，则“”是“”的充要条件

11. 点是正方体中侧面正方形内的一个动点，正方体棱长为1，则下面结论正确的是（    ）

A. 满足的点M的轨迹长度为

B. 点M存在无数个位置满足直线平面

C. 在线段上存在点M，使异面直线与CD所成的角是30°

D. 若E是棱中点，平面与平面所成锐二面角的正切值为

12. 已知双曲线的左、右两个顶点分别是，左、右两个焦点分别是，P是双曲线上异于的一点，给出下列结论，其中正确的是（    ）

A. 存在点P，使得

B. 存在点P，使得直线的斜率的绝对值之和

C. 使得为等腰三角形点P有且仅有四个

D. 若，则

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）

13. 从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为___________．

14. 已知直三棱柱的所有顶点都在球O的球面上，，则球的表面积为___________．

15. 已知双曲线C：左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，，则C的离心率为____________．

16. 已知数列满足．

（1）若，则___________；

（2）若对任意正实数t，总存在和相邻两项，使得成立，则实数的取值范围是___________．

四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．）

17. 在平面直角坐标系中，三个点到直线l的距离均为d，且．

（1）求直线l的方程；

（2）若圆C过点，且圆心在x轴的正半轴上，直线l被该圆所截得的弦长为，求圆C的标准方程．

18. 如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，为中点，F为中点，．

（1）证明：∥平面；

（2）求点到面的距离．

19. 7月份，有一新款服装投入某市场.7月1日该款服装仅售出3件，以后每天售出该款服装都比前一天多3件，当日销售量达到最大（只有1天）后，每天售出的该款服装都比前一天少2件，且7月31日当天刚好售出3件．

（1）求7月几日该款服装销售最多，最多售出几件．

（2）按规律，当该市场销售此服装达到200件时，社会上就开始流行，而日销售量连续下降并低于20件时，则不再流行．求该款服装在社会上流行几天．

20. 已知抛物线，其中，过B的直线l交抛物线C于M，N两点．

（1）当直线l垂直于x轴，且为直角三角形，求实数m的值；

（2）若四边形是平行四边形，当点P在直线l上时，求实数m，使得．

21. 已知数列的首项，且满足．

（1）求证：数列为等比数列；

（2）设数列满足求最小实数m，使得对一切正整数k均成立．

22. 设椭圆的左焦点为．过且倾斜角为的直线与椭圆交于两点，且．

（1）求证：，并求椭圆C的方程；

（2）设是椭圆C上顺时针依次排列的四个点，求四边形面积的最大值并计算此时的的值．