【期中真题】吉林省长春市长春外国语学校2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题.zip

长春外国语学校2020-2021学年第一学期期中考试高二年级数学试卷(理)

第Ⅰ卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1. 抛物线y2=4x的焦点坐标是

A. （0,2） B. （0,1） C. （2,0） D. （1,0）

【答案】D

【解析】

【详解】试题分析：的焦点坐标为，故选D.

【考点】抛物线的性质

【名师点睛】本题考查抛物线的定义．解析几何是中学数学的一个重要分支，圆锥曲线是解析几何的重要内容，它们的定义、标准方程、简单几何性质是我们要重点掌握的内容，一定要熟记掌握．

2. 直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系为

A. 相切

B. 相交但直线不过圆心

C. 直线过圆心

D. 相离

【答案】B

【解析】

【详解】试题分析：求出圆心到直线的距离d，与圆的半径r比较大小即可判断出直线与圆的位置关系，同时判断圆心是否在直线上，即可得到正确答案．

解：由圆方程得到圆心坐标（0，0），半径r=1

则圆心（0，0）到直线y=x+1的距离d==＜r=1，

把（0，0）代入直线方程左右两边不相等，得到直线不过圆心．

所以直线与圆的位置关系是相交但直线不过圆心．

故选B

考点：直线与圆的位置关系．

3. 设椭圆长半轴长为，短半轴长为，半焦距为，则过焦点且垂直于长轴的弦长是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

设椭圆焦点在轴上，椭圆的标准方程为，将或代入椭圆的标准方程，求出，由此可求得结果.

【详解】设椭圆焦点在轴上，椭圆的标准方程为，

将或代入椭圆的标准方程得，，

解得，因此，过焦点且垂直于长轴的弦长是.

故选：D.

4. 将圆x2+y2 -2x-4y+1=0平分的直线是

A. x+y-1=0 B. x+y+3=0 C. x-y+1=0 D. x-y+3=0

【答案】C

【解析】

【详解】直线过圆心(1,2)，选项C符合题意．

5. 若，满足，则的最大值为

A. 0 B. 3 C. 4 D. 5

【答案】C

【解析】

【详解】试题分析：由图可得在处取得最大值，由最大值，故选C.

考点：线性规划.

【方法点晴】本题考查线性规划问题，灵活性较强，属于较难题型.考生应注总结解决线性规划问题的一般步骤（1）在直角坐标系中画出对应的平面区域，即可行域；（2）将目标函数变形为；（3）作平行线：将直线平移，使直线与可行域有交点，且观察在可行域中使最大（或最小）时所经过的点，求出该点的坐标；（4）求出最优解：将（3）中求出的坐标代入目标函数，从而求出的最大（小）值.

6. 已知双曲线的离心率为，则的渐近线方程为

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【详解】，故，即，故渐近线方程为.

【考点】本题考查双曲线的基本性质，考查学生的化归与转化能力.

7. 已知椭圆的弦被点平分，那么这条弦所在的直线方程为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

设出这条弦与椭圆的交点，将点代入椭圆方程，两式作差求出直线的斜率，再利用点斜式即可求解.

【详解】设这条弦与椭圆交于，，

由在椭圆内，

由中点坐标公式知，，

把，代入，

可得 ，

①②可得，

，

这条弦所在的直线方程为，

即为.

则所求直线方程为.

故选：A

8. 两个圆与圆的公切线有且仅有（    ）

A. 条 B. 条 C. 条 D. 条

【答案】B

【解析】

【分析】

利用几何法判断出两圆的位置关系，即可得出两圆的公切线条数.

【详解】圆的标准方程为，圆的标准方程为，

两圆心分别为、，半径分别为，，

，两圆相交，因此，两圆有条公切线，

故选：B.

【点睛】本题考查两圆公切线条数的判断，本质上还是要判断两圆的位置关系，同时也考查熟悉两圆公切线条数与两圆位置之间的关系，考查推理能力，属于基础题.

9. 设抛物线的准线与轴交于点，若过点的直线与抛物线有公共点，则直线的斜率的取值范围是（    ）

A.  B. ， C. ， D. ，

【答案】C

【解析】

【分析】

根据抛物线方程求得点坐标，设过点的直线方程与抛物线方程联立消去，根据判别式大于等于0求得的范围.

【详解】，

，为准线与轴的交点），设过点的直线方程为.

与抛物线有公共点，

方程组有解，

即有解.

△，即.

，

故选：C.

10. 已知，为椭圆的两个焦点 ，是椭圆上任意一点，若，则的面积为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

利用椭圆焦点三角形面积公式，即可求解.

【详解】由题意知：，为椭圆的两个焦点 ，是椭圆上任意一点，

所以是焦点三角形，且，，

所以，

故选：B

11. 过抛物线焦点F的直线，与抛物线交于A、B两点，设，，则 （    ）

A. -4 B. 4 C. 4 D. -4

【答案】A

【解析】

【分析】

设直线的方程为，与抛物线方程联立，化为，利用根与系数的关系即可得出

【详解】解：设直线的方程为，设，

联立，

消去化为，

所以，

所以

，

所以，

故选：A

【点睛】结论点睛：此题考查抛物线的焦点弦问题，焦点弦有如下常用的结论

设是过抛物线的焦点的弦，若，则

（1）；

（2）弦长（是直线的倾斜角）；

（3）

12. （2016新课标全国Ⅱ理科）已知F1，F2是双曲线E：的左，右焦点，点M在E上，M F1与轴垂直，sin ,则E的离心率为

A.  B.

C.  D. 2

【答案】A

【解析】

【详解】试题分析：由已知可得，故选A.

考点：1、双曲线及其方程；2、双曲线的离心率.

【方法点晴】本题考查双曲线及其方程、双曲线离心率.，涉及方程思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 由已知可得，利用双曲线的定义和双曲线的通径公式，可以降低计算量，提高解题速度.

第Ⅱ卷

二、填空题：本题共4小题，每小题5分.

13. 已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点在圆C上，且圆心到直线的距离为，则圆C的方程为__________.

【答案】

【解析】

【详解】试题分析：设，则，故圆C的方程为

【考点】直线与圆位置关系

【名师点睛】求圆的方程有两种方法：

（1）代数法：即用“待定系数法”求圆的方程．①若已知条件与圆的圆心和半径有关，则设圆的标准方程，列出关于a，b，r的方程组求解．②若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径，则选择圆的一般方程，列出关于D，E，F的方程组求解．

（2）几何法：通过研究圆的性质、直线和圆的位置关系等求出圆心、半径，进而写出圆的标准方程．

14. 已知双曲线过点，且渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为____________________.

【答案】

【解析】

【详解】依题意，设所求的双曲线的方程为.

点为该双曲线上的点，

.

该双曲线的方程为：，即.

故本题正确答案是.

15. 已知直线l：mx＋y＋3m－＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，若|AB|＝，则m＝________.

【答案】

【解析】

【分析】

根据题意圆心到直线的距离为，再利用点到直线的距离公式即可求解.

【详解】直线l：mx＋y＋3m－＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，

圆心为，，

若|AB|＝，则圆心到直线的距离为，

即，解得.

故答案为：.

16. 已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线的距离为d2，求d1＋d2的最小值为___________.

【答案】

【解析】

【分析】根据题意画出图形：根据抛物线的定义将问题转化为焦点到直线的距离减去，利用点到直线的距离公式即可求解.

【详解】根据题意画出图形：

抛物线方程为y2＝4x，

直线l的方程为x－y＋5＝0，

，准线为，

在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线的距离为d2，

根据抛物线的定义可知：

 d1＋d2的最小值为焦点到直线的距离减去，

最小值为.

故答案为：

三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要证明过程或演算步骤

17. 已知抛物线y2＝2px经过点M(4，－4)，双曲线右焦点恰为抛物线的焦点，且双曲线的离心率为2，求抛物线与双曲线的方程.

【答案】 ，

【解析】

【分析】

利用抛物线和双曲线的几何性质直接求解即可

【详解】由抛物线y2＝2px经过点M(4，－4)得，，解得，所以抛物线焦点为，

又因为双曲线的右焦点恰为抛物线的焦点，故，又由双曲线的离心率为2，可得，，所以抛物线方程为：，双曲线方程为：

故答案为：和

18. 已知椭圆的一个顶点为，离心率为，过点及左焦点的直线交椭圆于两点，右焦点设为.

（1）求椭圆的方程；

（2）求的面积.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据椭圆的顶点及离心率直接求解即可；

（2）写出直线的方程，利用弦长公式可求得，并可计算点到直线的距离，故.

【小问1详解】

解：椭圆的一个顶点为，，

又离心率为，，

椭圆的方程为.

【小问2详解】

解：，直线的方程为，

由，消去，得，

所以直线与椭圆有两个公共点，

设为，

则，

，

又点到直线的距离，

故

【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：

(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；

(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．

19. 已知圆上上任取一点，过点作轴的垂线段，垂足为，当在圆上运动时，线段中点为.

（1）求点的轨迹方程；

（2）若直线l的方程为y＝x－1，与点的轨迹交于，两点，求弦的长.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）设、，利用相关点法即可求解.

（2）将直线与椭圆方程联立，利用弦长公式即可求解.

【详解】（1）设，，，

点线段中点，，

又在圆上，，

即点的轨迹方程为.

（2）联立，消去可得，，

，

设，，

则，，

.

【点睛】方法点睛：本题考查了轨迹问题、求弦长，求轨迹的常用方法如下：

（1）定义法：利用圆锥曲线的定义求解.

（2）相关点法：由已知点的轨迹进行求解.

（3）直接法：根据题意，列出方程即可求解.

20. 已知直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于、两点.

（1）若直线的倾斜角为，求线段的长；

（2）若，求的长.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）设点、，求出直线的方程，与抛物线方程联立，求出的值，再利用抛物线的焦点弦长公式可求得线段的长；

（2）设直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，可得出，由求得的值，利用韦达定理以及抛物线的方程求得的值，利用抛物线的定义可求得的长.

【详解】（1）设点、，抛物线的焦点为，

由于直线过点，且该直线的倾斜角为，则直线的方程为，

联立，消去并整理得，，

由韦达定理可得，由抛物线的焦点弦长公式可得；

（2）设点、，

由题意可知，直线不可能与轴重合，设直线的方程为，

联立，消去并整理得，，

由韦达定理可得，，

，可得，，，则，

，因此，.

【点睛】有关直线与抛物线弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．

21. 已知点在圆上.

（1）求的最大值和最小值；

（2）求的最大值和最小值；

（3）求的最大值和最小值.

【答案】（1）最大值为，最小值为；（2）最大值为，最小值为；（3）最大值为，最小值为.

【解析】

【分析】

（1）设，则，可视为直线在轴上的截距，利用线性规划知识即可求解；

（2）可视为点与原点连线的斜率，数形结合可得与圆相切时可取最值，设出过原点的切线，利用圆心到切线的距离等于半径即可得的范围，也即是的范围；

（3）表示圆上的点 到定点的距离的最值，可转化为圆心到定点的距离与半径的和或差，即可求解.

【详解】（1）设，则，可视为直线在轴上的截距，

∴的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，

即直线与圆相切时在轴上的截距.

由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即，

解得或，

∴的最大值为，最小值为.

（2）可视为点与原点连线的斜率，的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率.

设过原点的直线的方程为，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即，解得或.

∴的最大值为，最小值为

（3）求它的最值可视为求点 到定点的距离的最值，可转化为圆心到定点的距离与半径的和或差.又圆心到定点的距离为，

∴的最大值为，最小值为.

【点睛】关键点点睛：对代数式最大值、最小值的研究，常用数形结合的思想方法；将要研究的代数问题转化为几何问题，关键是如何发现代数式的特点，利用几何意义对其进行转化.

22. 已知椭圆的方程为，双曲线的左、右焦点分别是的左、右顶点，而的左、右顶点分别是的左、右焦点．

(1)求双曲线的方程；

(2)若直线与双曲线恒有两个不同的交点和，且(其中为原点)，求的取值范围．

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】

（1）求出椭圆的焦点和顶点，即得双曲线的顶点和焦点，从而易求得标准方程；

（2）将代入，得

由直线与双曲线交于不同的两点，得的取值范围，设，由韦达定理得则

代入可求得的范围．

【详解】(1)设双曲线的方程为，

则，再由，得

故的方程为

(2)将代入，

得

由直线与双曲线交于不同的两点，得

①

设

则

又，得，

，即，解得②

由①②得＜k2＜1，

故的取值范围

【点睛】本题考查双曲线的标准方程，考查直线与双曲线相交中的范围问题．应注意：

(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．

(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系．

(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．

(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．

(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．