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    天水一中高一级2022-2023学年度第一学期第一学段考试

    数学试题

    命题:王亚奎  审核:赵飞

    (满分:150  时间:120分钟)

    一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的)

    1. 已知全集,集合,集合,则   

    A.  B.  C.  D.

    【答案】C

    【解析】

    【分析】根据交集、补集的定义求解即可.

    【详解】由题意,得,所以

    故选:C

    2. 命题的否定是(   

    A.  B.

    C.  D.

    【答案】C

    【解析】

    【分析】全称命题的否定是特称命题,把任意改为存在,把结论否定.

    【详解】根据全称命题的否定是特称命题,所以的否定是”.

    故选:C

    3. 已知函数f(x)的图象关于直线x1对称,当x2x11时,恒成立,设(其中e2.71828…),则abc的大小关系为(     

    A. acb B. bca C. bac D. cba

    【答案】B

    【解析】

    【分析】由于f(x) 关于直线x1对称,可以得到f(-1)=f(3),因为当x2x11时,,所以f(x)在(1+∞)上单调递减,这样就能对比f(3)f(2)的大小,进而得到答案

    【详解】解:由题意得,f(x)在(1+∞)上单调递减,

    因为函数图象关于x1对称,

    所以f(x)在(-1)上单调递增,

    因为f(-1)=f(3),且3e21

    所以f(3)f(e)<f(2)

    所以acb

    故选:B

    4. 下列各组函数表示相同函数的是(   

    A.  B.

    C.  D.

    【答案】C

    【解析】

    【分析】根据相等函数的概念,结合函数的定义域与对应法则,逐项判定,即可求解.

    【详解】解:对于A中,函数的定义域为,函数的定义域为,两个函数的定义域不同,所以表示不同的函数;

    对于B中,函数的定义域为,函数的定义域为,两个函数的定义域不同,所以表示不同的函数;

    对于C中,函数的定义域和对应法则都相同,所以表示相同的函数;

    对于D中,函数的定义域为,函数的定义域为,两个函数的定义域不同,所以表示不同的函数.

    故选:C

    5. abc为实数,则下列命题正确的是(   

    A. ,则 B. ,则

    C. ,则 D. ,则

    【答案】C

    【解析】

    【分析】对于A,取代入判断;对于B代入判断;对于C、D,根据不等式的性质运算分析判断.

    【详解】对于A,若,则A错误;

    对于B,若,取,则B错误;

    对于C,则,即C正确;

    对于D ,则,∴D错误;

    故选:C

    6. 关于的不等式的解集为,则的取值范围是(   

    A.  B.  C.  D.

    【答案】D

    【解析】

    【分析】分别在的情况下,结合二次函数的性质可构造不等式组求得结果.

    【详解】时,不等式为,满足题意;

    时,由不等式解集为可得:,解得:

    综上所述:的取值范围为.

    故选:D.

    7. 若函数为定义在R上的奇函数,且在内是增函数,又,则不等式的解集为(   

    A.  B.  C.  D.

    【答案】D

    【解析】

    【分析】利用奇函数的单调性的性质,可以知道函数上的单调性,结合的值可以知道的值,分类讨论求出的解集.

    【详解】奇函数内是增函数,所以函数内是增函数,

    ,则有,

    , 则有,所以的解集为

    .

    故选:D

    【点睛】本题考查了利用函数奇偶性和单调性求解不等式解集问题.

    8. 在定义域内既是奇函数又是减函数的是(   

    A.  B.

    C.  D.

    【答案】C

    【解析】

    【分析】函数性质,奇函数满足,在定义域下单调递减,可以根据函数图像,确定单调性.

    【详解】选项A反比例函数,是奇函数,但在定义域下不是单调递减的;选项B“对号”函数奇函数,在递减,在递增,不是单调递减函数;选项C中,,是奇函数,也满足单调递减,所以正确;选项D中,分段函数,是奇函数,但不满足单调递减,因为在衔接处不递减;

    故选:C.

    二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的选项中,有多项符合要求,全部选对得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)

    9. ,则的可能取值为(   

    A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

    【答案】CD

    【解析】

    【分析】展开利用基本不等式求得最小值,再结合选项即可得正确选项.

    【详解】,

    当且仅当时等号成立,所以

    由选项可知的可能取值为,不可能为

    故选:CD.

    10. 已知,则使函数值域为R,且为奇函数的a的值为(   

    A. 1 B.  C. 3 D. 2

    【答案】AC

    【解析】

    【分析】根据幂函数的性质分析可得.

    【详解】因为的值域为R,所以

    又因为为奇函数,所以.

    故选:AC

    11. 函数被称为狄利克雷函数,则(   

    A.  B.

    C.  D.

    【答案】ACD

    【解析】

    【分析】结合的定义、函数的奇偶性、函数值等知识确定正确答案.

    【详解】A选项,若,则,所以

    ,则,所以

    所以对于任意,都有是偶函数,A正确.

    因为,所以B错误.

    因为,所以,又,所以C正确.

    ,则,若,则,所以D正确.

    故选:ACD

    12. 已知三个集合,,则下列结论中正确的是(   

    A.  B.

    C.  D.

    【答案】ABC

    【解析】

    【分析】由二次函数的定义域、值域判断即可.

    【详解】

    故选:ABC

    三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)

    13. 已知函数,则的值为_____________

    【答案】8

    【解析】

    【分析】利用分段函数求值的方法求解.

    【详解】因为,所以,所以.

    故答案为:8.

    14. 若不等式成立的充分条件是,则实数a的取值范围是_____________

    【答案】

    【解析】

    【分析】由题意知可得,解不等式即可得出答案.

    【详解】若不等式成立的充分条件是

    所以

    所以实数a的取值范围是.

    故答案为:.

    15. 函数的零点有___________个.

    【答案】0

    【解析】

    【分析】,判断方程的根的个数,即可得解.

    【详解】解:因为,令,即,显然

    所以,则

    所以方程无实数根,则函数无零点,即零点有个;

    故答案为:

    16. 设集合,集合 ,若的子集个数为4,则a的取值范围是___________.

    【答案】

    【解析】

    【分析】先求出B集合的具体元素,再根据条件对A集合的a3比较大小分类讨论即可求解.

    【详解】由题意,对于B集合,由 ,又

    对于A,当 时,即    ,不合题意,舍去;

    时,即 的子集数为 ,所以 只能有2个元素,即    ,即

    时, 不合题意舍去;

    故答案为: .

    四、解答题(本题共6小题,第1710分,其他每小题12分,共70分)

    17. 化简求值:

    1

    2

    【答案】1   

    2

    【解析】

    【分析】1)根据根式与指数式的运算规则求解;

    2)根据指数式的运算规则进行求解.

    【小问1详解】

    因为,所以

    ,所以.

    【小问2详解】

    .

    18. 已知函数是定于在[-22]上的奇函数,当时,.

    1时,且函数的解析式;

    2,求实数a的取值范围.

    【答案】1   

    2

    【解析】

    【分析】1)利用函数的奇偶性性质及可求解;

    2)根据奇偶性和单调性化简不等式解不等式即可.

    【小问1详解】

    解:由题意得:

    时,

    又因为函数是定义在上的奇函数

    ,所以

    所以函数

    时,且函数的解析式

    【小问2详解】

    由函数得解析式可得奇函数上单调递增

    所以即为

    所以,解得:

    又因为,且

    解得:

    a的取值范围.

    19. 已知函数对任意的都有,且当时,

    1判断函数的奇偶性;

    2证明:函数是定义域上的减函数;

    3时,函数是否有最值?如果有,求出最值;如果没有,请说明理由.

    【答案】1奇函数;   

    2证明见解析;    3有最值,的最大值为4,最小值为.

    【解析】

    【分析】1)对赋值,利用奇偶性的定义进行判断;

    2)利用单调性的定义进行证明;

    3)结合函数单调性进行求解.

    【小问1详解】

    因为任意的都有,所以,即

    ,得,即

    所以为奇函数.

    【小问2详解】

    ,则

    又当时,,所以,即

    所以为减函数.

    【小问3详解】

    由(2)知,当时,函数为减函数,所以的最大值为,最小值为

    因为,所以

    可知的最大值为4,最小值为.

    20. 已知二次函数满足,且

    1的解析式;

    2设函数上的最小值为,求的解析式.

    【答案】1   

    2

    【解析】

    【分析】1)根据待定系数法求解即可.

    2)根据题意,分三种情况讨论求解即可.

    【小问1详解】

    解:根据题意,设

    所以

    因为

    所以

    所以,解得.

    因为

    所以,解得.

    所以

    【小问2详解】

    解:因为对称轴为:

    所以函数在区间上单调递减,在区间上单调递增,

    下面分情况讨论:

    时,上单调递增,

    所以,

    ,即时,上单调递减,

    所以,

    ,即时,上单调递减,在上单调递增,

    所以,

    综上,.

    21. 党的十九大报告指出,建设生态文明是中华民族永续发展的千年大计,而清洁能源的广泛使用将为生态文明建设提供更有力的支撑.沼气作为取之不尽、用之不竭的生物清洁能源,在保护绿水青山方面具有独特功效.通过办沼气带来的农村厕所革命,对改善农村人居环境等方面,起到立竿见影的效果.为了积极响应国家推行的厕所革命,某农户准备建造一个深为2米.容积为32立方米的长方体沼气池,如果池底每平方米的造价为150元,池壁每平方米的造价为120元,沼气池盖子的造价为3000元,请问设计沼气池的长与宽分别为多少时能使总造价最低?最低总造价是多少元?

    【答案】长与宽分别为4时,最低总造价是9240

    【解析】

    【分析】设沼气池的底面长为x米,沼气池的总造价为y元,则根据题意可得:,再利用基本不等式求最值即可.

    【详解】设沼气池的底面长为x米,则宽为,可知池底总造价为:;池壁总造价为:;沼气池盖子的造价为3000

    设沼气池总造价为y元,且,由题可得:

    ,当且仅当,即时,等号成立.

    所以当沼气池底面是边长为4的正方形时,沼气池的总造价最低,最低总造价是9240

    22. 已知函数

    1的解析式;

    2若对任意,不等式恒成立,求取值范围.

    【答案】1   

    2

    【解析】

    【分析】1)令,则,进而根据换元法求解即可;

    (2)结合函数的单调性得,进而将问题转化为对任意,不等式恒成立,再求解恒成立问题即可.

    【小问1详解】

    解:令,则

    【小问2详解】

    解:由(1)可得

    因为函数和函数均在上单调递增,

    所以上单调递增.

    对任意,不等式恒成立,

    即对任意,不等式恒成立,

    解得

    的取值范围是

     

     

     

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