2022-2023学年甘肃省天水市秦安县第一中学高一上学期期中数学试题含答案

2022-2023学年甘肃省天水市秦安县第一中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．设全集，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】首先进行补集运算，然后进行交集运算即可求得集合的运算结果.

【详解】由题意结合补集的定义可知：，则.

故选：C.

【点睛】本题主要考查补集运算，交集运算，属于基础题.

2．下列不等式中，正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】A

【分析】根据不等式的性质和取特殊值验证可得选项.

【详解】对于A选项：由不等式的性质得若，则，故A正确；

若，则，故B错；

设若，则， 所以C、D错，

故选：A.

【点睛】本题考查不等式的性质的运用，在运用时注意不等式性质成立的条件，属于基础题.

3．若函数为奇函数，则实数的值为（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据函数为奇函数，求得当时的解析式，与已知的解析式对应即可得到结果.

【详解】为奇函数    

当时，    

又时，    

本题正确选项：

【点睛】本题考查利用函数奇偶性求解函数解析式的问题，属于基础题.

4．下列函数中，既是奇函数又在区间上是增函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先由函数定义域，排除A；再由函数奇偶性排除D，最后根据函数单调性，即可得出B正确，C错误.

【详解】A选项，的定义域为，故A不满足题意；

D选项，余弦函数是偶函数，故D不满足题意；

B选项，正切函数是奇函数，且在上单调递增，故在区间是增函数，即B正确；

C选项，正弦函数是奇函数，且在上单调递增，所以在区间是增函数；因此是奇函数，且在上单调递减，故C不满足题意.

故选：B.

【点睛】本题主要考查三角函数性质的应用，熟记三角函数的奇偶性与单调性即可，属于基础题型.

5．函数（且）的图象一定经过的点是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由函数解析式知当时无论参数取何值时，图象必过定点即知正确选项.

【详解】由函数解析式，知：当时，，即函数必过，

故选：D.

【点睛】本题考查了指数型函数过定点，根据解析式分析自变量取何值时函数值不随参数变化而变化，此时所得即为函数的定点.

6．设，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据对数函数的单调性可得,,根据不等式的性质可知 ;通过比较 与1 的大小关系,即可判断,从而可选出正确答案.

【详解】解:,,则

,

故选:A.

【点睛】本题主要考查了对数的运算，对数函数的单调性.在比较对数的大小时,常常结合对数函数的单调性比较大小.对于,若 ,则(1)当 时,; (2)当 时,; (3)当 时,; 若 ,则(1)当 时,; (2)当 时,; (3)当 时,.

7．如果实数满足：，则下列不等式中不成立的是 （    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据不等式的性质判断各不等式是否成立．

【详解】，则，，A正确；

由两边同除以得，B正确；

由得，C正确；

，则，，D错误．

故选：D．

【点睛】本题考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题关键．

8．已知“命题使得成立”为真命题，则实数满足（    ）

A．[0，1) B．(-∞，1) C．[1，+∞) D．(-∞，1]

【答案】B

【分析】讨论=0或≠0，当=0时，解得，成立；当≠0时，只需或即可.

【详解】若=0时，不等式等价为，解得，结论成立.

当≠0时，令，要使成立，

则满足或，解得或，综上，

故选：B.

【点睛】本题考查了根据特称命题的真假求参数的取值范围，考查了分类讨论的思想，属于基础题.

9．若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（    ）

A．  B．  C．  D．

【答案】C

【分析】运用配方法求出函数的最小值，结合二次函数的单调性、函数的定义域和值域进行求解即可.

【详解】，

当时，；当或时，.

因此当时，函数在区间上的最小值为，

最大值为，所以，实数的取值范围是.

故选：C.

【点睛】本题考查了已知二次函数的定义域和值域求参数取值范围问题，考查了数学运算能力.

10．若不等式 对任意实数 均成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】将不等式转化为，再对二次项系数进行分类讨论，结合一元二次不等式在上恒成立，即可求得参数范围.

【详解】由题意，不等式，可化为，

 当，即时，不等式恒成立，符合题意；

 当时，要使不等式恒成立，需 ，

解得，

综上所述，所以的取值范围为，

故选：.

【点睛】本题考查一元二次不等式恒成立求参数范围的问题，属基础题.

11．已知函数，，若方程有4个不相等的实根，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】依题意画出函数的图象，令，，则关于的方程有两个小于1的实根，数形结合即可得解；

【详解】解：因为，所以的图象如下所示，

因为

所以开口向下，且最大值为1的二次函数，

令，，则关于的方程有两个小于1的实根，

即与，有两个交点，

由图象易知当且仅时满足题意.

故选：C

【点睛】本题考查分段函数的性质的应用，考查数形结合思想，属于中档题.

12．若不等式 的解集为，则不等式的解集是

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】设y＝ax2+bx+c，ax2+bx+c＜0的解集为（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞），得到开口向下，﹣2和3为函数与x轴交点的横坐标，利用根与系数的关系表示出a与b、c的关系，化简不等式cx2+bx+a＞0，求出解集即可．

【详解】∵不等式ax2+bx+c＜0 的解集为（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞），

∴，即，

∴不等式cx2+bx+a＞0变形得：x2x+1＜0，即﹣6x2﹣x+1＜0，

整理得：6x2+x﹣1＞0，即（3x﹣1）（2x+1）＞0，

解得：x或x，

则不等式cx2+bx+a＞0的解集是（﹣∞，）∪（，+∞）．

故选D．

【点睛】此题考查了一元二次不等式的解法，涉及的知识有：二次函数的性质，根与系数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．

二、填空题

13．“方程没有实数根”的充要条件是        .

【答案】

【解析】利用判别式求出条件，再由充要条件的定义说明．

【详解】解析因为方程没有实数根，所以有，解得，因此“方程没有实数根”的必要条件是.反之，若，则，方程无实根，从而充分性成立.故“方程没有实数根”的充要条件是“”.

故答案为：

【点睛】本题考查充要条件，掌握充要条件的定义是解题关键．

14．已知集合，，则     .

【答案】.

【分析】由题意利用交集的定义求解交集即可.

【详解】由题知，.

【点睛】本题主要考查交集的运算，属于基础题.

15．设函数，则        .

【答案】

【解析】先根据函数的局部周期性可得，在根据上的解析式可求得的值.

【详解】

当时，

又

故答案为：.

【点睛】本题考查分段函数的函数值的计算，注意根据函数的局部周期性把所求的值转化为函数在上某点的函数值，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.

16．不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围为            .

【答案】

【分析】先去绝对值，转化为，再转化为求的最大值与最小值，得到答案.

【详解】由，得，又由，

则，则的最大值为，的最小值为，则.

故答案为：

【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，对数函数的值域的求法，还考查了将恒成立问题转化为求最值问题，转化与化归思想，属于中档题.

17．计算：          ．

【答案】4

【详解】原式

故答案为4

18．若，则的范围为              

【答案】

【分析】先求得的取值范围，根据不等式的性质求得的取值范围.

【详解】依题意可知，由于，由不等式的性质可知.

故填：.

【点睛】本小题主要考查不等式的性质，考查运算求解能力，属于基础题.

三、解答题

19．已知．

（1）求中对应x的取值范围；

（2）若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围．

【答案】（1）（2）

【分析】（1）解二次不等式，可得中对应的取值范围．

（2）先因式分解，求得集合．讨论的取值情况，表示出集合．根据p是q的必要不充分条件，即可求得a的取值范围.

【详解】（1）因为，

所以

即，

所以

即中对应x的取值范围为

（2）设对应的集合为，对应的集合为B.

解集合q：，得

当时，不等式的解为，对应的解集为

当时，不等式的解为，对应的解集为

当时，不等式的解为，对应的解集为

若p是q的必要不充分条件，

当时，满足条件；

当时，因为，，

则满足；

当时，因为，，

则满足；

综上，实数a的取值范围为

【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，解含参数的不等式，充分必要条件的应用求参数取值范围，属于中档题．

20．已知函数，试解答下列问题：

（1）求的值；  

（2）求方程=的解．

【答案】（1）；（2）或

【分析】（1）已知为分段函数，把代入相对应的函数值，然后再进行代入，从而求解；

（2）分成两种情况：；，从而代入求方程的解；

【详解】解：（1）函数，所以

所以

（2）当时，即，解得或（舍去）；

当时，即，解得；

综上所述，或．

【点睛】此题主要考查分段函数的性质，利用了分类讨论的思想，属于基础题；

21．若函数的一个零点和与之相邻的对称轴之间的距离为，且当时，取得最小值.

（1）求的解析式；

（2）若，求的值域.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）由题设条件，求得的周期，得到，再由时，取得最小值，求得，即可得到函数的解析式；

（2）因为，可得，结合三角函数的性质，即可求解.

【详解】（1）由题意，函数的一个零点和与之相邻的对称轴之间的距离为，

可得的周期，即，解得，

又因为当时，取得最小值，

所以，

所以，解得，

因为，所以，所以.

（2）因为，可得，

所以当时，取得最小值，

当时，取得最大值，

所以函数的值域是.

【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的综合应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，以及三角函数在区间上的性质的求法是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.

22．函数，

(1)求函数的定义域；

(2)求函数的零点；

(3)若函数的最小值为，求的值

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）利用对数型复合函数的定义域求解即可；

（2）根据零点的定义结合对数的基本运算即可求解；

（3）利用对数函数的单调性即可求解.

【详解】（1）解：

要使函数有意义，则，解得：

所以函数的定义域为：

（2）解：

令，得：

即

解得：

因为

所以函数的零点为.

（3）解：

且函数的最小值为

即，得

即.

23．已知函数．

（1）若关于x的不等式的解集为，求的值；

（2）当时，解关于x的不等式．

【答案】（1）；（2）当时，解集为；当时，解集为.

【解析】根据一元二次不等式解法可知1，2为方程的两个根，然后利用韦达定理求解即可；

化简，讨论a的取值分别求解不等式即可．

【详解】由条件知，关于x的方程的两个根为1和2，

所以

解得．

当时，，即，

当时，即时，解得或；

当时，即时，解得；

当时，即时，解得或．

综上可知，当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为．

【点睛】方法点睛：解一元二次不等式的一般步骤为：（1）化不等式为的形式；（2）求判别式的值；（3）如果，利用公式求解；如果，画图求解.