【期中真题】河北省衡水中学2022-2023学年高一上学期期中数学试题.zip

2022-2023学年度高一年级上学期期中考试数学学科第Ⅰ卷（选择题共60分）一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意求出集合的交集即可.【详解】由题意，所以，故选：A.【点睛】本题主要考查集合的交并补运算，属于简单题.2. 下列函数中，与 是同一个函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据函数的概念，结合函数的定义域与对应法则，逐项分析即得.【详解】对于A，函数，与函数的定义域不同，不是同一个函数；对于 B，函数，与函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数；对于 C，函数，与函数的对应关系不同，不是同一个函数；对于 D，函数，与函数的定义域不同，不是同一个函数.故选：B.3. 命题“有实数解”的否定是（ ）A. 无实数解 B. 有实数解C. 有实数解 D. 无实数解【答案】D【解析】【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题即可求解.【详解】因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以“有实数解”的否定是“无实数解”．故选:D．4. 已知函数的对应关系如下表所示，函数的图像是如图所示的曲线，则的值为（ ）A. 3 B. 0 C. 1 D. 2【答案】A【解析】【分析】根据题意，由的图像求出，再由求解即可.【详解】根据题意，由函数的图像，可得，则故选：A．5. 已知定义域为，则的定义域为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据复合函数的定义域求解规则求解即可.【详解】解：因为定义域为，所以函数的定义域为，所以，的定义域为需满足，解得.所以，的定义域为.故选：A6. 下列说法正确的是（ ）A. 不等式的解集为B. 若，则函数的最小值为2C. 若实数，，满足，则D. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是【答案】C【解析】【分析】求出不等式的解集判断A；由基本不等式等号成立的条件以及函数的单调性可判断B；利用不等式的性质可判断C；举反例判断D．【详解】对于A，不等式的解集为或，故A不正确；对于B，令，则函数,当且仅当 时取等号，此时无解，故取不到最小值2，所以函数的最小值不可能是2，故B错误，对于C，若，则， 故C正确；对于D，当时，时，不等式恒成立，故D不正确．故选：C7. 因为疫情原因，某校实行凭证入校，凡是不带出入证者一律不准进校园，某学生早上上学，早上他骑自行车从家里出发离开家不久，发现出入证忘在家里了，于是回到家取上出入证，然后改为乘坐出租车以更快的速度赶往学校，令x（单位：分钟）表示离开家的时间，y（单位：千米）表示离开家的距离，其中等待红绿灯及在家取出入证的时间忽略不计，下列图象中与上述事件吻合最好的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据它离家的距离与离开的速度判断．【详解】中途回家取证件，因此中间有零点，排除AB，第二次离开家速度更大，直线的斜率更大，只有C满足．故选：C．8. 已知函数，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先由解析式得到在上单调递增，由于，结合可得到在，恒成立，即可得到答案．【详解】，因为在上单调递增，在上单调递增，所以在上单调递增，因为，且，所以，所以，即在，恒成立，所以，即，解得，所以实数的取值范围是故选：B二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9. 设函数，当为增函数时，实数的值可能是（ ）A. 2 B. C. D. 1【答案】CD【解析】分析】由题知，且，进而解不等式即可得,再结合选项即可得答案.【详解】解：当时，为增函数，则，当时，为增函数，故为增函数，则，且，解得，所以，实数值可能是内的任意实数.故选：CD.10. 某校学习兴趣小组通过研究发现：形如（，不同时为0）的函数图象可以由反比例函数的图象经过平移变换而得到，则对函数的图象及性质，下列表述正确的是（ ）A. 图象上点的纵坐标不可能为1B. 图象关于点成中心对称C. 图象与x轴无交点D. 函数在区间上单调递减【答案】ABD【解析】【分析】化简得到，结合反比例函数的性质可得到结果.【详解】，则函数的图象可由的图象先向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度得到，∴图象上点的纵坐标不可能为1，A正确；图象关于点成中心对称，B正确；图象与轴的交点为，C不正确；函数在区间上单调递减, D正确..故选：ABD．11. 已知，是正数，且，下列叙述正确的是（ ）A. 的最大值为B. 的最小值为C. 最大值为D. 的最小值为【答案】ABD【解析】【详解】因为是正数，且，所以不等式可知，即，得，当且仅当，即取得等号，所以的最大值为，所以A正确;因为是正数，且，所以，且，所以，当时有最小值为，所以B正确;由以上知，且，所以，因为，即，当且仅当即时取等号，因为所以等号不成立，即，所以C错误;因为，当且仅当，即，解得时等号成立，即，所以的最小值为，所以D正确.故选:ABD.12. 德国著名数学家狄利克雷（Dirichlet，1805~1859）在数学领域成就显著.19世纪，狄利克雷定义了一个“奇怪的函数”其中为实数集，为有理数集．则关于函数有如下四个命题，正确的为（ ）A. 对任意，都有B. 对任意，都存在，C. 若，，则有D. 存在三个点，，，使为等腰直角三角形【答案】BC【解析】【分析】根据函数的定义以及解析式，逐项判断即可．【详解】解：对于A选项，当，则，此时，故A选项错误；对于B选项，当任意时，存在，则，故；当任意时，存在，则，故，故对任意，都存在，成立，故B选项正确；对于C选项，根据题意得函数的值域为，当，时，，故C选项正确；对于D选项，要为等腰直角三角形，只可能为如下四种情况：①直角顶点在上，斜边在轴上，此时点，点的横坐标为无理数，则中点的横坐标仍然为无理数，那么点的横坐标也为无理数，这与点的纵坐标为1矛盾，故不成立； ②直角顶点在上，斜边不在轴上，此时点的横坐标为无理数，则点的横坐标也应为无理数，这与点的纵坐标为1矛盾，故不成立； ③直角顶点在轴上，斜边在上，此时点，点的横坐标为有理数，则中点的横坐标仍然为有理数，那么点的横坐标也应为有理数，这与点的纵坐标为0矛盾，故不成立； ④直角顶点在轴上，斜边不在上，此时点的横坐标为无理数，则点的横坐标也应为无理数，这与点的纵坐标为1矛盾，故不成立． 综上，不存在三个点，，，使得为等腰直角三角形，故选项D错误．故选：BC.【点睛】本题考查函数的新定义问题，考查数学推理与运算等核心素养，是难题.本题D 选项解题的关键是根据题意分直角顶点在上，斜边在轴上；直角顶点在上，斜边不在轴上；直角顶点在轴上，斜边在上；直角顶点在轴上，斜边不在上四种情况讨论求解.第Ⅱ卷（共90分）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. “”是“”的__________条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）【答案】充分不必要【解析】【分析】首先解一元二次不等式，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可；【详解】解：由，即，解得，因为，所以由推得出，即充分性成立；由推不出，即必要性不成立；所以“”是“”的充分不必要条件；故答案为：充分不必要14. 已知，若函数在上随增大而减小，且图像关于轴对称，则_______【答案】【解析】【分析】利用幂函数的单调性、奇偶性与参数之间的关系可得出的值.【详解】若函数在上递减，则.当时，函数为偶函数，合乎题意；当时，函数为奇函数，不合乎题意.综上所述，.故答案为：.15. 函数在区间上有，则___________.【答案】【解析】【分析】令，由奇偶性定义可知为奇函数，由可构造方程求得结果.【详解】令，，为定义在上的奇函数，又，，.故答案为：.16. 已知函数为定义在上的奇函数，满足对，，其中，都有，且，则不等式的解集为________（写成集合或区间的形式）【答案】【解析】【分析】根据题意构造，判定函数的单调性和奇偶性，利用赋值法得到，再通过单调性和奇偶性求得不等式的解集.【详解】解：因为， 所以当时，，令，则在上单调递增，又因为为定义在R上的奇函数,所以，所以是偶函数，且在上单调递减，因为，所以，等价于或，所以或，即不等式的解集为.故答案为：.四、解答题：（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 已知函数的定义域为A，集合.（1）当时，求；（2）若，求a的取值范围.【答案】（1）或 （2）【解析】【分析】（1）求出定义域，得到，进而计算出及；（2）分与，列出不等式，求出a的取值范围.【小问1详解】要使函数有意义，则，解得：，所以集合.，∴，∴或，∴或；【小问2详解】，①当时，，即，满足题意；②当时，由，得，解得：，综上所述：a的取值范围为.18. 已知幂函数（实数）的图像关于轴对称，且.（1）求的值及函数的解析式；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1），； （2）.【解析】【分析】（1）由，得到，从而得到，又由，得出的值和幂函数的解析式；（2）由已知得到且，由此即可求解实数的取值范围.【详解】（1）由题意，函数（实数）的图像关于轴对称，且，所以在区间为单调递减函数，所以，解得，又由，且函数（实数）的图像关于轴对称，所以为偶数，所以，所以.（2）因为函数图象关于轴对称，且在区间为单调递减函数，所以不等式，等价于且，解得或，所以实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查了幂函数的解析式的求解，以及幂函数的图象与性质的应用，其中解答中认真审题，熟练应用幂函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.19. 已知函数.（1）若函数定义域为R，求a的取值范围；（2）若函数值域为，求a的取值范围.【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）根据二次根式的性质进行求解即可；（2）根据函数值域性质进行求解即可.【小问1详解】因为函数定义域为R，所以在R上恒成立，当时，，不符合题意；当时，要想在R上恒成立，即在R上恒成立，只需，所以a的取值范围为；【小问2详解】当时，，符合题意；当时，要想函数值域为，只需，综上所述：a的取值范围为.20. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，是一个二次函数的一部分，其图象如图所示．（1）求在上的解析式；（2）若函数，，求的最大值．【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）采用待定系数法，结合图象可求得在时的解析式；由时，可求得；由此可得分段函数解析式；（2）首先确定解析式，分别在、和的情况下，根据单调性得到最大值.【小问1详解】当时，结合图象可设：，，，；当时，，，又为偶函数，；综上所述：.【小问2详解】当时，，则开口方向向下，对称轴为；①当，即时，在上单调递减，；②当，即时，上单调递增，在上单调递减，；③当，即时，在上单调递增，；综上所述：.21. 某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时，某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当中（）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为50分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族的人均通勤时间的表达式；并求出的最小值.【答案】（1） （2），44【解析】【分析】（1）根据题意分、讨论，运算求解；（2）根据题意整理求解，结合单调性求最值.【小问1详解】当时，恒成立，公交群体的人均通勤时间不可能少于自驾群体的人均通勤时间；当时，若，即，解得（舍）或；所以当时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间【小问2详解】设该地上班族总人数为，则自驾人数为，乘公交人数为.因此人均通勤时间，整理得：，因为在和为减函数，在为增函数，，，所以的最小值为44.22. 设函数的定义域是，且对任意的正实数、都有恒成立，已知，且时，（1）求与的值（2）求证：函数在上单调递增（3）解不等式【答案】（1） （2）见解析 （3）或【解析】【分析】（1）由题条件求出，再由即可得到求得的值；（2）题设中有时，，由的恒等变形及题设中的恒等式得到，由此问题得证．做此题时要注意做题步骤，先判断再证明；（3）由（2）的结论，利用单调性直接将抽象不等式转化为一般不等式求解即可【小问1详解】令则，故 令，则可得，令得，【小问2详解】设，则即，，故，即故在上为增函数【小问3详解】，所以，解得或，所以不等式的解为：或x123230