2024年高考数学第一轮复习专题19 三角恒等变换（解析版）

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专题19 三角恒等变换 【考点预测】知识点一：两角和与差的正余弦与正切①；②；③；知识点二：二倍角公式①；②；③；知识点三：降次（幂）公式知识点四：辅助角公式（其中）．【方法技巧与总结】1、两角和与差正切公式变形；．2、降幂公式与升幂公式；．【题型归纳目录】题型一：两角和与差公式的证明题型二：给式求值题型三：给值求值题型四：给值求角题型五：正切恒等式及求非特殊角【典例例题】题型一：给式求值【方法技巧与总结】给式求值：给出某些式子的值，求其他式子的值.解此类问题，一般应先将所给式子变形，将其转化成所求函数式能使用的条件，或将所求函数式变形为可使用条件的形式.例1．（2023·全国·高三专题练习）已知，，且，，则（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】且，，.又，，.当时，，，，不合题意，舍去；当，同理可求得，符合题意.综上所述：.故选：.例2．（2023·四川·乐山外国语学校高三期中（文））已知，则的值为（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵，∴，则，，∴，故选A.例3．（2023·全国·高三专题练习）若，则的值为（       ）.A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，∴，∵，故选：C.题型二：给值求值【方法技巧与总结】给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，解题的基本方法是：①将待求式用已知三角函数表示；②将已知条件转化而推出结论，其中“凑角法”是解此类问题的常用技巧，解题时首先要分析已知条件和结论中各种角之间的相互关系，并根据这些关系来选择公式.例4．（2023·全国·模拟预测）已知，则（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以.故选：B．例5．（2023·黑龙江·哈师大附中三模（文））已知，，则（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以，又，所以，所以。即，所以故选：B例6．（2023·广东茂名·模拟预测）已知，则（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】故选：B.题型三：给值求角【方法技巧与总结】给值求角：解此类问题的基本方法是：先求出“所求角”的某一三角函数值，再确定“所求角”的范围，最后借助三角函数图像、诱导公式求角.例7．（2023·全国·高三专题练习）若，，且，，则的值是______．【答案】【解析】因为，所以，因为，所以，因为，，所以，因为，所以，所以，所以，因为，，所以，所以.故答案为：.例8．（2023·河南·南阳中学高三阶段练习（文））已知，且，求的值为_____．【答案】【解析】，则，注意到，于是，不妨记，于是，而，于是（负值舍去），又，则（正值舍去），于是计算可得：，而，于是.故答案为：.例9．（2023·上海市大同中学高三开学考试）若，且，则的值为___________.【答案】或【解析】由题意知，则，即，当时，，即，由，得；当时，，所以，即，由，得，所以，得.故答案为：或题型四：正切恒等式及求非特殊角例10．（2023·重庆八中高三阶段练习）（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】．故选：A．例11．（2023·全国·高三专题练习）___________.【答案】【解析】.故答案为：.例12．（2023·贵州黔东南·一模）若，，则___________.【答案】【解析】.故答案为：.【过关测试】一、单选题1．（2023·河北唐山·高三开滦第二中学校考期末）已知，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以故选：C2．（2023·重庆北碚·高一统考期末）若，都是锐角，且，，则（    ）A． B． C．或 D．或【答案】A【解析】，都是锐角，则，则由题意得，又，．故选：A．3．（2023·重庆南岸·高一重庆市第十一中学校校考期末）已知，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】.故选：A.4．（2023·广东广州·高一广州市第五中学校考阶段练习）已知，且，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，得，即，解得，或（舍去），，则，则，故选：D.5．（2023·浙江·高二浙江省江山中学校联考期末）锐角满足，则（    ）A． B． C．0 D．【答案】A【解析】由，有， 为锐角，，得，∴.故选：A.6．（2023·山西吕梁·高一统考期末）若，则（    ）A． B． C．－ D．－3【答案】D【解析】因为，所以，即，所以，所以.故选：D.7．（2023·江西新余·高三统考期末）已知，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】故选：B.8．（2023·湖南邵阳·统考一模）已知A,B,C分别是的内角，，，则C的值是（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为A,B,C分别是的内角，，所以B为锐角，所以.又，所以，而，所以，.故选：A.9．（2023·湖北武汉·高一武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期末）化简的值为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】原式.故选：D.10．（2023·广东广州·高一校考期末）若是方程的两个根，则（    ）A． B．1 C． D．2【答案】C【解析】因为是方程的两个根，由韦达定理得，，所以，故选：C二、多选题11．（2023·广东深圳·高三统考期末）下列等式能够成立的为（    ）A．B．C．D．【答案】BC【解析】对于A：，A错误；对于B：，B正确；对于C：，C正确；对于D：，D错误.故选：BC.12．（2023·重庆沙坪坝·高一重庆南开中学校考期末）下列各式中值为1的是（    ）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】对于A：，故A正确；对于B：，故B正确；对于C：，故C正确；对于D：，故D错误；故选：ABC13．（2023·全国·高三专题练习）若，则的值可能为（    ）A． B． C． D．【答案】AC【解析】由题意得，所以，所以的值可能为，．故选：AC14．（2023·全国·高三专题练习）已知，则下列结论正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】ACD【解析】对于A选项，，故A选项正确；对于B选项，，故B选项错误；对于C选项，，故C选项正确；对于D选项，，故D选项正确.故选：ACD三、填空题15．（2023·全国·高一专题练习）若、为锐角，且满足，，则的值为______．【答案】【解析】因为、是锐角，且，即，由同角三角函数关系得：，则，所以，故答案为：.16．（2023·湖南益阳·高一校联考期末）已知，若，则 ____．【答案】【解析】由，得，∴.故答案为：17．（2023·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期末）______．【答案】1【解析】因为，所以．故答案为：1.18．（2023·上海浦东新·高一上海市建平中学校考期末）已知，则__________.【答案】【解析】因为，所以，因为，所以，所以，故答案为：四、解答题19．（2023·重庆沙坪坝·高一重庆南开中学校考期末）在单位圆中，角的终边与单位圆的交点为，其中.(1)求的值；(2)求的值.【解析】（1）由A在单位圆上，则，又，则，则，，则；（2），又，则.20．（2023·山西吕梁·高一统考期末）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点．(1)求的值；(2)若角满足，求的值．【解析】（1）由角的终边过点，可得，所以；（2）由，可得，由，得，当时，，当时，，所以或.21．（2023·上海浦东新·高一上海师大附中校考期末）已知，求下列各式的值：(1)；(2)．【解析】（1）（2）又22．（2023·安徽淮北·高一淮北一中校考期末）（1）设，且求角的值；（2）已知，且，求的值．【解析】（1），且，，，又因为，所以，由得，则，即有．23．（2023·安徽·高一校联考期末）已知.(1)求的值；(2)求的值.【解析】（1），得；.（2）且得.则，因为，又，得，所以.24．（2023·广东广州·高一广州市海珠中学校考期末）已知，为锐角，，.(1)求的值；(2)求的值.【解析】（1），为锐角，，∴，，∴，则，则（2）25．（2023·北京朝阳·高一统考期末）已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点．(1)求和的值；(2)求的值．【解析】（1）由题意得，所以；（2），所以，所以.