2025年新高考数学高频考点+重点题型专题19三角恒等变换公式含解析答案

这是一份2025年新高考数学高频考点+重点题型专题19三角恒等变换公式含解析答案，共25页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．，则的大小关系是
A．B．C．D．
2．已知，为锐角，，，则（ ）
A．B．C．D．
3．若，则（ ）
A．B．
C．D．
4．已知为锐角，，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知2tanθ–tan(θ+)=7，则tanθ=（ ）
A．–2B．–1C．1D．2
6．已知，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
8．设，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
9．已知为第三象限角，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
10．已知，且，则（ ）
A．B．
C．D．
11．已知A，B均为钝角，，且，则A＋B＝（ ）
A．B．
C．D．
12．已知为锐角，，则（ ）．
A．B．C．D．
13．已知，则（ ）．
A．B．C．D．
14．已知，若是第二象限角，则（ ）
A．B．C．D．
15．的值为（ ）
A．B．C．D．3
16．已知，且 ，，则（ ）
A．B．C．D．
17．函数的最小值是（ ）
A．B．C．D．
18．若，则cs2α的值为（ ）
A．B．C．D．
19．在△ABC中，tanA＋tanB＋＝tanA·tanB，则C的值为（ ）
A．B．C．D．
20．若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
21． 的值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
22．在中，，，下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
23．已知，，，，则（ ）
A．B．
C．D．
24．已知，其中（）且（），则下列结论一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
25．的值是 .
26．已知，则的取值范围是 .
27．我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表.根据三角学知识可知，晷影长度等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即.若对同一“表高”两次测量，“晷影长”分别是“表高”的2倍和3倍(所成角记，)，则 .
28．平面直角坐标系中，点是单位圆在第一象限内的点，，若，则为 ．
29． .
30．已知，则的值是 .
31． 的值 .
32．函数的最小值为 ．
33．计算 .
34．已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则β＝ .
35．在中，若，则的值是 ．
36．已知，，则 .
四、解答题
37．已知，且，求的值.
38．设函数f(x)＝sin2ωx－cs2ωx＋2sinωxcsωx＋λ的图象关于直线x＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈.
（1）求函数f(x)的最小正周期；
（2）若y＝f(x)的图象经过点，求函数f(x)在区间上的最值.
39．已知0＜α＜＜β＜π，tan＝，cs(β－α)＝.
（1）求的值；
（2）求β的值.
40．已知函数，．
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）求在上的最小值和最大值．
41．(1)已知， 求证：；
(2)已知，求证：.
42．在中，．
（1）若，求角B；
（2）若恒成立，求实数m的取值范围．
参考答案：
1．D
【详解】由题意得 ，
，故选D.
【点睛】本题考查函数的三角恒等变换和三角函数的图像与性质，涉及函数与不等式思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，具有一定的综合性，属于中档题型.首先利用诱导公式和两角和差公式将 化简，再利用正弦的函数图像可得正解.
2．C
【分析】由已知求出，再利用差的正切公式可求.
【详解】因为，为锐角，所以.所以，，
又，
则.
故选：C.
3．C
【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.
【详解】[方法一]：直接法
由已知得：,
即：，
即：
所以
故选：C
[方法二]：特殊值排除法
解法一:设β=0则sinα +csα =0，取，排除A, B；
再取α=0则sinβ +csβ= 2sinβ，取β，排除D；选C.
[方法三]：三角恒等变换

所以
即
故选：C.
4．A
【分析】由正切的二倍角公式求得，再由可求结果.
【详解】因为，
所以
；
即可得
故选：A.
5．D
【分析】利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案.
【详解】，，
令，则，整理得，解得，即.
故选：D.
【点睛】本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题.
6．B
【分析】将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的值.
【详解】由题意可得：，
则：，，
从而有：，
即.
故选：B.
【点睛】本题主要考查两角和与差的正余弦公式及其应用，属于中等题.
7．B
【分析】把已知条件展开联立方程组即可得到.
【详解】由，
，
联立方程组，可得，，
又由，
故选：B.
【点晴】此题考两角和与差的三角函数公式，属于简单题.
8．D
【分析】根据正弦函数的单调性，结合不等式性质，可得到a的范围；利用二倍角公式化简b、c，结合函数单调性，可得到b、c的大致范围；从而，可以比较a、b、c的大小.
【详解】因为，所以有，
即，所以；
因为，而，
所以有，所以，即；
因为，而
所以；
显然，，而，所以，即
所以
故选：D
9．D
【分析】根据余弦的二倍角公式，结合同角的三角函数关系式、正弦和余弦的二倍角公式、正弦的两角差公式进行求解即可.
【详解】
由为第三象限角， 所以，，
所以，，
所以．
故选：D
【点睛】本题考查了同角的三角函数关系式的应用，考查了正弦、余弦二倍角公式，考查了两角差的正弦公式的应用，考查了数学运算能力.
10．A
【分析】用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于的一元二次方程，求解得出，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论.
【详解】，得，
即，解得或（舍去），
又.
故选：A.
【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.
11．C
【分析】利用二倍角公式及两角和的余弦公式得到，再根据同角三角函数的基本关系求出，最后利用两角和的余弦公式计算可得；
【详解】解：因为
所以，因为A，B均为钝角，所以，由得，由得，所以，所以.
故选：C
【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系及三角恒等变换公式的应用，属于中档题.
12．D
【分析】根据二倍角公式（或者半角公式）即可求出．
【详解】因为，而为锐角，
解得：．
故选：D．
13．B
【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式计算作答.
【详解】因为，而，因此，
则，
所以.
故选：B
【点睛】方法点睛：三角函数求值的类型及方法
（1）“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数．
（2）“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．
（3）“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围．
14．B
【分析】根据诱导公式求出，再利用平方关系可求，然后利用公式即可求解.
【详解】解：因为，所以，
又是第二象限角，所以，
所以.
故选：B．
15．B
【分析】利用两角和的正切公式求解.
【详解】因为，
所以，
所以，
，
故选：B
16．B
【分析】先由两角和的正切公式求出的值，再结合，求出的范围，从而可求出的值
【详解】由题意可知，，
因为，所以，
所以α＋β＝，
故选：B.
17．A
【分析】将化简成关于的一元二次函数，利用函数性质求得最小值.
【详解】
，
因此，当且仅当是，取最小值，
故选：A
18．B
【分析】根据，利用二倍角的余弦公式求得，再利用二倍角的余弦公式求得.
【详解】解：因为，
则，
则.
故选：B.
19．C
【分析】利用两角和的正切公式求出A＋B，即可求出角C.
【详解】由已知可得tanA＋tanB＝(tanA·tanB－1)，
∴ tan(A＋B)＝＝－.
又0＜A＋B＜π，
∴ A＋B＝，∴ C＝.
故选：C
20．D
【分析】将给定等式化成正切并求出正切值，再用二倍角正切公式计算即得.
【详解】依题意，，解得，
所以.
故选：D
21．A
【分析】根据给定条件逆用二倍角的正弦公式，再用诱导公式化简即得.
【详解】.
故选：A
22．CD
【分析】根据三角形的内角和定理和正切的和角公式推导可得选项.
【详解】，，
，，所以选项A，B错误；
，
①，
又②，
联立①②解得，，故选项C，D正确，
故选：CD.
【点睛】本题考查正切的和角公式，三角形中的角之间的关系，属于基础题.
23．BC
【解析】先根据，判断角的范围，再根据求；
根据平方关系，判断的值；利用公式求值，并根据角的范围判断角的值；利用公式和，联合求.
【详解】①因为，所以，
又，故有，，
解出，故A错误；
②，
由①知：，所以，
所以，故B正确；
③由①知：，而，所以，
又，所以，
解得，
所以
又因为，，
所以，有，故C正确；
④由，
由③知，，
两式联立得：，故D错误．
故选：BC
【点睛】关键点点睛：本题的关键是三角函数恒等变形的灵活应用，尤其是确定角的范围，根据三角函数值，确定，且，进一步确定，这些都是确定函数值的正负，以及角的大小的依据.
24．AD
【分析】利用两角和的正切公式将已知式化简，求出（）或（），然后对四个选项逐个分析即可.
【详解】因为，且，
所以，即，
所以（）或（），
A：，故A正确；
B：，故B错误；
C：，令，则，故C错误；
D：由A知，则，
故，故D正确，
故选：AD.
25．
【分析】由进行转化，可得答案.
【详解】解：由
故答案为：.
26．
【分析】可设所求csαsinβ=x，与已知的等式sinαcsβ=相乘，利用二倍角的正弦函数公式的逆运算化简为sin2α•sin2β=2x后，根据三角函数的值域的范围得到关于x的不等式，求出解集即可得到csαsinβ的范围
【详解】设x=csα•sinβ，sinα•csβ•csα•sinβ=x，
即sin2α•sin2β=2x．
由|sin2α•sin2β|≤1，得|2x|≤1，
∴﹣≤x≤．
故答案为[﹣，]．
【点睛】考查学生灵活运用二倍角的三角函数公式化简求值，会根据三角函数的值域范围列出不等式．本题的突破点就是根据值域列不等式．
27．
【分析】根据题意得到，，结合两角差的正切公式，即可求解.
【详解】由题意，“晷影长”分别是“表高”的2倍和3倍，可得，，
所以.
故答案为：.
28．
【分析】利用任意角的三角函数的定义可知，同角三角函数的基本关系求得的值，再利用两角差的正余弦公式求得的值，两者相加即可得解．
【详解】解：由题意知：，，由，得，




，故答案为.
【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，两角差的正余弦公式，属于基础题．
29．
【分析】将所给式子通分后进行三角变换可得结果．
【详解】由题意得
．
故答案为．
【点睛】解答此类问题时，要根据所给式子的特点进行合理的变形，运用相应的公式进行求解，逐步化为同角的形式，然后通过约分等手段达到求解的目的，解题的关键是进行角的变换和三角关系式结构的变换．
30．.
【分析】由题意首先求得的值，然后利用两角和差正余弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次式求值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可.
【详解】由，
得，
解得，或.
，
当时，上式
当时，上式=
综上，
【点睛】本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取转化法，利用分类讨论和转化与化归思想解题.
31．1
【分析】由，结合辅助角公式可知原式为，结合诱导公式以及二倍角公式可求值.
【详解】解：
.
故答案为:1.
【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系，考查了二倍角公式，考查了辅助角公式，考查了诱导公式.本题的难点是熟练运用公式对所求式子进行变形整理.
32．.
【分析】本题首先应用诱导公式，转化得到二倍角的余弦，进一步应用二倍角的余弦公式，得到关于的二次函数，从而得解.
【详解】，
，当时，，
故函数的最小值为．
【点睛】解答本题的过程中，部分考生易忽视的限制，而简单应用二次函数的性质，出现运算错误．
33．
【分析】利用辅助角公式化简可得结果.
【详解】.
故答案为：.
34．
【分析】通过α，β，α－β的范围求出他们的正弦，余弦值，再通过sin β＝sin[α－(α－β)]可得sin β，进而可得β.
【详解】因为α，β均为锐角，所以－<α－β<.
又sin(α－β)＝－，所以cs(α－β)＝.
又sin α＝，所以cs α＝，
所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcs(α－β)－cs αsin(α－β)
＝×－×＝.
所以β＝.
故答案为：
35．/
【分析】根据题意由两角和的正切公式可得，即可得，求出结果.
【详解】由，得，
即，又，
所以，则，
所以.
故答案为：
36．
【分析】根据题中条件，同角三角函数基本关系，得到，再由两角差的正弦公式，即可得出结果.
【详解】∵，，
∴，，
即，，
两式相加可得：，
即，所以.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查根据三角恒等变换求三角函数值，熟记同角三角函数基本关系，以及两角差的正弦公式即可，属于常考题型.
37．
【分析】由和的正切公式可求得，再求得，再根据的范围即可求出.
【详解】，
，
.
故答案为：.
38．（1）最小正周期为；（2）最小值－1－；最大值2－.
【分析】（1）根据二倍角的余弦公式和两角差的正弦公式化简可得，根据图象关于直线x＝π对称，可得，根据周期公式可得结果；
（2）根据可得λ＝－，由0≤x≤π，知－，根据正弦函数的图象可得结果.
【详解】（1）f(x)＝sin2ωx＋2sinωx·csωx－cs2ωx＋λ
＝sin2ωx－cs2ωx＋λ
＝2sin＋λ.
因为图象关于直线x＝π对称，
所以2πω－＝＋kπ(k∈Z)，
所以ω＝＋ (k∈Z)，又ω∈，
所以，所以，
因为，所以，，
所以，
所以函数f(x)的最小正周期为.
（2）依题意可知，
所以2sin＋λ＝0，则λ＝－.
所以f(x)＝2sin－.
由0≤x≤π，知－，
∴当，即x＝0时，f(x)取最小值－1－.
当，即时，f(x)取最大值2－.
【点睛】本题考查了二倍角的余弦公式，考查了两角差的正弦公式，考查了正弦型函数的周期，考查了正弦函数的对称轴，考查了正弦型函数的最值，属于中档题.
39．（1）；（2）.
【分析】（1）利用正弦的倍角公式，转化可得sin=2sincs，再整理为齐次式，利用已知tan即可求得结果；
（2）求得以及的的正余弦，再求sin，结合的范围，即可求得结果.
【详解】（1）因为tan＝
所以＝sin＝2sincs
＝＝＝＝
（2）因为0＜α＜，＝，所以＝
又0＜α＜＜β＜π，所以0＜β－α＜π
由cs(β－α)＝，得0＜β－α＜。所以sin(β－α)＝＝，
所以＝sin[(β－α)＋α]
＝sin(β－α)＋cs(β－α)
＝×＋×＝＝
由＜β＜π，得β＝π
【点睛】本题考查给值求值以及给值求角问题的处理，涉及三角恒等变换，属综合中档题.
40．（Ⅰ）;（Ⅱ）最小值和最大值．
【详解】试题分析：（1）由已知利用两角和与差的三角函数公式及倍角公式将的解析式化为一个复合角的三角函数式，再利用正弦型函数的最小正周期计算公式，即可求得函数的最小正周期；（2）由（1）得函数，分析它在闭区间上的单调性，可知函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，由此即可求得函数在闭区间上的最大值和最小值．也可以利用整体思想求函数在闭区间上的最大值和最小值．
由已知，有
的最小正周期．
（2）∵在区间上是减函数，在区间上是增函数，，，∴函数在闭区间上的最大值为，最小值为．
考点：1．两角和与差的正弦公式、二倍角的正弦与余弦公式；2．三角函数的周期性和单调性．
41．(1)证明见解析；(2)证明见解析.
【分析】(1)结论中缺少角，因此结合已知，应用与的关系消去角，从而证明，的关系
(2)观察已知中的角与结论中角，利用角之间的关系分别表示，
，再利用两角和差的正弦公式及弦化切的方法即可证明
【详解】证明：(1)因为，所以，
所以，所以，
即
(2)因为，
所以，
所以，
所以 ，
依题意知， ， ，.
所以
42．（1）（2）
【分析】（1）先对利用降幂公式和辅助公式进行化简，然后由，可得角B的值；
（2）由恒成立，得恒成立，然后只需求出的最小值即可
【详解】解：（1）
．
，．
是的内角，
，则．
（2）若恒成立，即恒成立．
，，
，
，即．
【点睛】此题考查了三角函数的降幂公式和辅助角公式，由角的范围求三角函数的最值问题，属于中档题