2024年高考数学第一轮复习专题42 数列求和（原卷版）

专题42 数列求和  

【知识点总结】

求数列前项和的常见方法如下：

（1）公式法：对于等差、等比数列，直接利用前项和公式.

（2）错位相减法：数列的通项公式为或的形式，其中为等差数列，为等比数列.

（3）分组求和法：数列的通项公式为的形式，其中和满足不同的求和公式.常见于为等差数列，为等比数列或者与分别是数列的奇数项和偶数项，并满足不同的规律.

（4）裂项相消法：将数列恒等变形为连续两项或相隔若干项之差的形式，进行消项.

（5）倒序相加：应用于等差数列或转化为等差数列的数列求和.

【典型例题】

例1．（2023春·安徽蚌埠·高二蚌埠二中校考阶段练习）已知，利用课本中推导等差数列前项和的公式的方法，可求得______．

例2．（2023·四川凉山·二模）已知对于任意函数在点处切线斜率为，正项等比数列的公比，且，又与的等比中项为2．

(1)求数列的通项公式；

(2)求数列的前n项和．

例3．（2023·四川巴中·统考一模）已知数列满足，．

(1)证明：数列是等比数列；

(2)设，求数列的前n项和．

例4．（2023春·安徽·高二安徽省太和中学校联考阶段练习）已知数列中，，.

(1)求数列的通项公式；

(2)求数列的前项和.

例5．（2023春·宁夏石嘴山·高二平罗中学校考阶段练习）已知是等差数列的前n项和，，．

(1)求数列的通项；

(2)设，求数列的前n项和.

例6．（2023·上海黄浦·统考一模）已知是等差数列，是等比数列，且，，，.

(1)求的通项公式；

(2)设，求数列的前2n项和.

例7．（2023春·上海杨浦·高一上海市杨浦高级中学校考开学考试）已知数列满足：.

(1)求证：数列是等比数列；

(2)求数列的通项公式及其前项和的表达式.

例8．（2023春·河北承德·高三兴隆县第一中学校考阶段练习）已知等差数列的公差为2，且成等比数列，

(1)求的通项公式；

(2)记，若数列的前项和.

例9．（2023春·山东临沂·高二统考期末）已知数列的前项和为，且满足.

(1)证明：数列为等比数列；

(2)求的通项公式及.

例10．（2023·山西·校联考模拟预测）已知数列满足，，且，，成等差数列.

(1)求的通项公式；

(2)若，求数列的前项和.

例11．（2023·全国·模拟预测）在数列中，，．

(1)求的通项公式；

(2)求数列的前项和．

【技能提升训练】

一、单选题

1．（2023·内蒙古通辽·校考二模）若数列的首项为且满足数列的前4项和=（   ）

A．33 B．45 C．48 D．78

2．（2023春·广东深圳·高二校考阶段练习）已知正项数列满足，若，则数列的前项的和为（    ）

A． B． C． D．

3．（2023秋·江苏镇江·高二江苏省扬中高级中学校考期末）在数列中，已知且，则其前项和的值为（    ）

A． B． C． D．

4．（2023·全国·高三专题练习）设等差数列的前项的和为，则下列结论不正确的是（    ）

A． B．

C． D．数列的前和为

二、填空题

5．（2023春·上海闵行·高三上海市七宝中学校考开学考试）对于正整数，将其各位数字之和记为，如，，则______.

6．（2023·广西·校联考模拟预测）数列的前10项和为__________.

7．（2023·全国·高三专题练习）已知正整数n满足：则n＝______

8．（2023秋·江苏常州·高二常州市第一中学校考期末）已知函数满足，若数列满足，则数列的前16项的和为______.

三、解答题

9．（2023春·安徽·高二安徽省太和中学校联考阶段练习）已知各项均为正数的数列满足，.

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求数列的前项和.

10．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）数列的前项和为，且.

(1)求的通项公式；

(2)若，的前项和为，求的值域.

11．（2023·全国·模拟预测）已知等比数列满足，．

(1)求的通项公式；

(2)设，求的前项和．

12．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，求的前20项和.

13．（2023·全国·模拟预测）已知数列的前项和为，，．

(1)求；

(2)若是与的等比中项，且，求数列的前项和．

14．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）记数列{an}的前n项和为Sn，对任意正整数n，有2Sn＝nan，且a2＝3.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)对所有正整数m，若ak＜2m＜ak＋1，则在ak和ak＋1两项中插入2m，由此得到一个新数列{bn}，求{bn}的前40项和.

15．（2023春·河北唐山·高三开滦第一中学校考阶段练习）已知为等差数列的前n项和，，．

(1)求的通项公式；

(2)若，的前n项和为，证明：．

16．（2023春·广东揭阳·高三校考阶段练习）已知正项数列中，．

(1)求的通项公式；

(2)若，求的前n项和．

17．（2023·全国·校联考模拟预测）在数列中，，点在直线上.

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求数列的前n项和.

18．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆市凤鸣山中学校考阶段练习）设，向量，，．

(1)令，求证：数列为等差数列；

(2)求证：．

19．（2023·山西·统考模拟预测）已知数列是正项等比数列，且，.

(1)求的通项公式；

(2)从下面两个条件中选择一个作为已知条件，求数列的前项和.

①；②.

20．（2023·云南昆明·统考一模）已知数列的前项和为，，且满足

(1)设，证明：是等比数列

(2)设，数列的前项和为，证明：

21．（2023·广东湛江·统考一模）已知，为数列的前n项和，．

(1)证明：数列为等比数列；

(2)设数列的前n项和为，证明：．

22．（2023·贵州黔东南·统考一模）已知数列满足．

(1)求的通项公式；

(2)已知求数列的前20项和．

23．（2023·山东泰安·统考一模）已知等差数列是递增数列，为数列的前n项和，，，，成等比数列.

(1)求；

(2)求.

24．（2023·河南郑州·统考一模）已知数列满足．

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求数列前项和．

25．（2023·广西·统考模拟预测）记为等比数列的前项和.已知.

(1)求；

(2)设求数列的前项和.

26．（2023·山东潍坊·统考一模）已知数列为等比数列，其前项和为，且满足.

(1)求的值及数列的通项公式；

(2)设，求数列的前项和.

27．（2023·河北石家庄·统考一模）已知等差数列的前n项和记为（），满足．

(1)若数列为单调递减数列，求的取值范围；

(2)若，在数列的第n项与第项之间插入首项为1，公比为2的等比数列的前n项，形成新数列，记数列的前n项和为，求．

28．（2023·山西·校联考模拟预测）已知数列满足，，且，，成等差数列.

(1)求的通项公式；

(2)若，求数列的前项和.