广东省深圳市名校2023-2024学年高一上学期期中联考数学试题

高一数学

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第一章至第三章3.2．

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．下列元素的全体可以组成集合的是（    ）

A．人口密度大的国家    B．所有美丽的城市    C．地球上的四大洋    D．优秀的高中生

2．命题“存在一个锐角三角形，它的三个内角相等”的否定为（    ）

A．存在一个锐角三角形，它的三个内角不相等    B．锐角三角形的三个内角都相等

C．锐角三角形的三个内角都不相等              D．锐角三角形的三个内角不都相等

3．已知集合，则（    ）

A．     B．     C．     D．

4．设为的三条边长，则“”是“为等腰三角形”的（    ）

A．充分不必要条件    B．必要不充分条件    C．充要条件    D．既不充分也不必要条件

5．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ）

A．     B．    C．    D．

6．的最小值为（    ）

A．     B．    C．    D．10

7．若为奇函数，则（    ）

A．2    B．4    C．6    D．8

8．某礼服租赁公司共有300套礼服供租赁，若每套礼服每天的租价为200元，则所有礼服均被租出；若将每套礼服每天的租价在200元的基础上提高元，则被租出的礼服会减少套．若要使该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入超过6.24万元，则该礼服租赁公司每套礼服每天的租价应定为（    ）

A．220元    B．240元    C．280元    D．250元

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．下列命题中，不正确的有（    ）

A．对角线垂直的四边形是菱形

B．若，则

C．若两个三角形相似，则它们的面积之比等于周长之比

D．若，则方程有实根

10．图中阴影部分用集合符号可以表示为（    ）

A．    B．

C．    D．

11．若，则下列判断正确的是（    ）

A．若，则      B．若，则

C．若，则    D．若，则

12．已知函数满足对任意恒成立，则（    ）

A．           B．

C．    D．函数的图象关于直线对称

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上，

13．用符号“”或“”填空：0___________；___________；2.4___________；___________；4___________．

14．比较大小：___________．（请从“<”“>”“=”中选择合适的符号填入横线中）

15．某社区老年大学秋季班开课，开设课程有舞蹈，太极，声乐．已知秋季班课程共有90人报名，其中有45人报名舞蹈，有26人报名太极，有33人报名声乐，同时报名舞蹈和报名声乐的有8人，同时报名声乐和报名太极的有5人，没有人同时报名三门课程，现有下列四个结论：

①同时报名舞蹈和报名太极的有3人；

②只报名舞蹈的有36人；

③只报名声乐的有20人；

④报名两门课程的有14人．

其中，所有正确结论的序号是___________．

16．设集合，函数，已知，且，则的取值范围为___________．

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）

已知，命题．

（1）判断是全称量词命题，还是存在量词命题；

（2）若均为真命题，求的取值范围．

18．（12分）

已知集合．

（1）当时，求；

（2）若，求的取值范围．

19．（12分）

已知．

（1）若与均为正数，求的最大值；

（2）若与均为负数，求的最小值．

20．（12分）

已知函数满足．

（1）求的解析式；

（2）求函数在上的值域．

21．（12分）

某饼庄推出两款新品月饼，分别为流心月饼和冰淇淋月饼，已知流心月饼的单价为元，冰淇淋月饼的单价为元，且．现有两种购买方案：

方案一，流心月饼的购买数量为个，冰淇淋月饼的购买数量为个；

方案二，流心月饼的购买数量为个，冰淇淋月饼的购买数量为个．

（1）试问采用哪种购买方案花费更少？请说明理由．

（2）若满足，求这两种方案花费的差值的最小值（注：差值较大值-较小值）．

22．（12分）

已知函数．

（1）判断的奇偶性，并证明．

（2）利用单调性的定义证明：在上单调递增．

（3）若函数在上是增函数，求的取值范围．

高一数学参考答案

1．C  选项ABD都不满足集合元素的确定性，选项C的元素是确定的，可以组成集合．

2．D  命题“存在一个锐角三角形，它的三个内角相等”的否定为“锐角三角形的三个内角不都相等”．

3．B  由得所以．

4．A  若，则为等腰三角形．若为等腰三角形，则不一定相等．

5．B  根据题意可得解得且．

6．A  ，当且仅当，即时，等号成立．所以的最小值为．

7．C  因为函数的定义域为，且为奇函数，所以，解得．

8．D  依题意，每天有套礼服被租出，该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入为元．因为要使该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入超过6.24万元，所以，即，解得．因为且，所以，即该礼服租赁公司每套礼服每天的租价应定为250元．

9．ABC  等腰梯形的对角线也可能垂直，则A错误．当时，，则B错误．若两个三角形相似，则它们的面积之比等于周长之比的平方，则C错误．由，得，即，则方程有实根，故D正确．

10．AD  都可以表示图中阴影部分．

11．BCD  若，则，A错误．若，则，B正确．若，则，C正确．若，则，即，得，D正确．

12．ACD  令，得，则，A正确．令，得，即，则的图象关于轴对称，所以函数的图象关于直线对称，D正确．令，则，令，得，即，B错误．令，得，令，得，因为，所以，C正确．

13．；；；；（写对1个给1分）  因为是自然数集，是有理数集，是整数集，所以．

14．<  由题意得．因为，所以．

15．②③④  如图，设同时报名舞蹈和报名太极的有人，则，解得，所以同时报名舞蹈和报名太极的有1人．

只报名舞蹈的有人，只报名声乐的有人，报名两门课程的有人．

16．  因为，所以，

则，

由，可得，解得．

17．解：（1）因为符号“”表示“存在一个”，“存在一个”是存在量词，

所以是存在量词命题．                2分

因为符号“”表示“所有”，“所有”是全称量词，

所以是全称量词命题．                4分

（2）若，则，                5分

解得．                6分

若，则，                7分

解得．                8分

因为均为真命题，所以的取值范围为．                10分

18．解：（1）由题意可得．            2分

当时，．                4分

故．                6分

（2）因为，所以，                8分

则                10分

解得，即的取值范围为．                12分

19．解：（1）因为与均为正数，所以，                3分

当且仅当，即时，等号成立，                4分

所以，所以的最大值为．                6分

（2）因为与均为负数，所以，            7分

所以，            10分

当且仅当，即时，等号成立，                11分

所以的最小值为．            12分

20．解：（1）由①，可得②，            3分

得，                    5分

则．                6分

（2）由题意可得，                7分

因为的图象的对称轴为，开口向上，

所以，                9分

，                11分

所以在上的值域为．                12分

21．解：（1）方案一的总费用为（元），方案二的总费用为（元），          1分

则，            3分

因为，所以，即，                5分

所以采用方案二花费更少．                    6分

（2）由（1）可知，            8分

令，            9分

因为，所，            10分

所以差值的最小值为，当且仅当，即，时，等号成立．            11分

故两种方案花费的差值的最小值为32元．                12分

22．（1）解：是奇函数．                1分

证明：由题意可知的定义域为，关于原点对称．            2分

因为，所以是奇函数．            3分

（2）证明：设，且，则．                4分

因为，所以，            5分

所以，即，            6分

故在上单调递增．            7分

（3）解：由题意可得，        8分

当，即时，在上是增函数．            9分

当，即时，，设方程的两根为，且，

则在上是增函数．令，            10分

则解得．                11分

综上所述，的取值范围为．                12分