2023-2024学年广东省深圳市名校高二上学期期中联考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年广东省深圳市名校高二上学期期中联考数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．在空间直角坐标系中，点B与点关于平面对称，则B的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据空间直角坐标系中点的坐标的特点，即可求出B的坐标.
【详解】由题意在空间直角坐标系中，点B与点关于平面对称，
则B的坐标为，
故选：C
2．已知向量，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据空间向量坐标线性运算法则计算.
【详解】.
故选：D
3．经过两点的直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据直线上任意两点可求出斜率，从而求出倾斜角.
【详解】由题意得，所以直线的倾斜角为；
故选：A
4．在长方体中，（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据空间向量加法法则计算出答案.
【详解】.
故选：A
5．若直线的斜率大于1，则的倾斜角的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据斜率与倾斜角的关系，结合正切函数的性质即可求解.
【详解】设的倾斜角为，易得，由，且得．
故选：B
6．在直三棱柱中，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用几何关系作出向量在向量上的投影即可.
【详解】如图，过作，垂足为，过作，垂足为，连接．
因为在直三棱柱中，，平面，
所以平面，且平面，所以．
又平面，，所以平面，
又平面，则．
所以向量在向量上的投影向量为，
由，，得，
，所以
则，即，
即向量在向量上的投影向量为.
故选：D
7．已知直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，且的斜率为，则的斜率为（ ）
A．3或B．3C．或D．
【答案】B
【分析】利用倾斜角与斜率的关系求解.
【详解】设的倾斜角为，由，
即，解得或，
因为，所以，所以，
易得的倾斜角为锐角，所以的斜率为3．
故选:B.
8．在三棱锥中，两两垂直，为的中点，为上更靠近点的三等分点，为的重心，则到直线的距离为（ ）
A．2B．1C．D．
【答案】C
【分析】建立空间直角坐标系，然后利用空间向量的方法求距离即可.
【详解】
以为原点，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
得，，
取，，则，，
所以点到直线的距离为．
故选：C.
二、多选题
9．已知直线的倾斜角为，则的方向向量可能为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】根据直线的倾斜角与斜率的关系求解.
【详解】由题意得的斜率为，
对A，对应的斜率为，A正确；
对B，对应的斜率为，B错误；
对C，对应的斜率为，C正确；
对D，对应的斜率为，D错误；
故选:AC.
10．已知是空间的一个基底，则可以与向量构成空间的一个基底的向量是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】根据空间向量基本定理知基底需不共面，从而进行求解.
【详解】对于A：因为，所以共面，故不符题意；
对于B：假设存在，使得，
即，此方程组无解，即不存在，
所以假设不成立，所以不共面，故符合题意；
对于C：假设存在，使得，
即，此方程组无解，即不存在
所以假设不成立，所以不共面，故符合题意；
对于D：因为，所以共面，故不符合题意；
故选：BC.
11．如图，在圆台中，分别为圆的直径，，圆台的体积为为内侧上更靠近的三等分点，以为坐标原点，下底面垂直于的直线为轴，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则（ ）
A．的坐标为
B．
C．平面的一个法向量为
D．到平面的距离为
【答案】ABD
【分析】根据圆台的体积为可求得，可知A正确；由点位置可求得，即可知B正确；利用法向量的定义可知平面的一个法向量为，即C错误；由点到平面距离的向量公式可得到平面的距离为，可知D正确.
【详解】由圆台的体积为，可得，
解得，则，即A正确．
连接，设在下底面的射影为点，连接，如下图所示：
易得，则，
因为，所以，即B正确．
设平面的法向量为，由可知，
则，解得，令，可得，所以，可知C错误．
因为，所以到平面的距离为，D正确．
故选：ABD
12．在正四面体中，分别是的中点，，则（ ）
A．B．
C．D．异面直线与所成的角为
【答案】BC
【分析】根据向量的线性运算以及数量积的运算律可求得的值，判断A，B；根据向量的夹角公式可求的值，判断范围，可判断C；根据平移法作出异面直线与所成的角，解三角形求得该角大小，判断D.
【详解】由题意，如图正四面体，

，A错误，B正确.
在正四面体中，设的中点为F，连接，
则，而平面，
故平面，平面，故，故，
又为正三角形，M为AD的中点，故,
则
，
则，且,
所以，C正确.
取的中点为，连接，则，
且，
则即为异面直线与所成的角或其补角，
由证明方法同理可证，所以，
所以是以为直角的等腰直角三角形，
所以，D错误.，
故选：BC
三、填空题
13．已知分别是平面的法向量，且，则 .
【答案】
【分析】利用平面法向量的定义以及面面平行的性质可知，再由向量平行的坐标表示即可得.
【详解】根据题意可知，若则可知，
又可得，即可得.
故答案为：
14．已知点，点在轴上，为直角三角形，请写出的一个坐标： ．
【答案】（答案不唯一，任意一个都可以）
【分析】根据题意可设，再对直角进行分类讨论并利用直线垂直的斜率关系可求得的一个坐标为.
【详解】设，易知当或时，不合题意，
因此当且时，可得，，
当为直角时，，得的坐标为．
当为直角时，，得的坐标为．
当为直角时，，化简得，该方程无解．
故答案为：（答案不唯一，任意一个都可以）.
15．在空间直角坐标系中，向量，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】根据向量数量积的运算求得正确答案.
【详解】由题意得，
则，
当且仅当时等号成立，
，，
，要使同向，可取，
，
即，.
所以的最大值为．
故答案为：
16．在三棱锥中，底面为正三角形，平面，，G为的外心，D为直线上的一动点，设直线与所成的角为，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】建立空间直角坐标系，设，则，求出的范围，从而得到的取值范围.
【详解】不妨设，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，
由题意得G为的中点，所以．
设，，得，
则，
因为，
所以．
当时，．
当时，，
得．
综上，，由得．
故答案为：
四、解答题
17．已知直线经过两点，经过两点．
(1)若，求的值；
(2)若的倾斜角互余，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据，可得，再结合斜率公式即可得解；
（2）设的倾斜角为，则直线的倾斜角为，再结合斜率公式即可得解.
【详解】（1），
因为，
所以，得，
经检验，符合题意，
所以；
（2）因为的倾斜角互余，
设的倾斜角为，则直线的倾斜角为，
所以，得．
18．在空间直角坐标系中，平行四边形的三个顶点为．
(1)求的坐标；
(2)求四边形的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设点的坐标为，根据，列出方程组，即可求解；
（2）根据题意，求得，利用向量的夹角公式，求得，得到，结合面积公式，即可求解.
【详解】（1）解：设点的坐标为，
由，可得，
因为四边形是平行四边形，可得，
所以，解得，即点的坐标为.
（2）解：由题意得，则，
所以，可得，
故四边形的面积为．
19．如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，底面，且．
(1)证明：．
(2)若，求二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)．
【分析】（1）通过证明平面来证得.
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得二面角的余弦值．
【详解】（1）四边形为正方形，．
底面平面．
又平面平面．
平面．
（2）如图，以为坐标原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，
，
由（1）知平面，则平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
则，令，得，
，
由图可知二面角是锐角，故二面角的余弦值为．
20．《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑中，平面，平面，为的中点，．

(1)设，，，用，，表示；
(2)若求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）连接，，由向量的运算表示；
（2）用表示，再由数量积运算求解.
【详解】（1）解：连接，．．
因为为的中点，，所以，，
所以；

（2）因为，
所以
因为平面，平面，平面，平面，
所以，，．
又，
所以，
即．
21．如图，在正方体中，分别是的中点
(1)证明：平面.
(2)在直线上是否存在点，使得平面？若存在，请指出的位置；若不存在.请说明理由.
【答案】(1)见解析
(2)存在，满足，理由见解析
【分析】（1）建立空间直角坐标系出，利用向量垂直的坐标表示及线面垂直判定定理求证；
（2）根据向量法判断线面是否平行即可.
【详解】（1）以D为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，
由中点坐标公式可得，
则，，，
，
，
，，
即，，
又，平面，
平面.
（2）假设存在，使平面，设，
则，
由（1）知，是平面的一个法向量，
则，
解得，
故存在，满足，使平面.
22．如图，为圆柱底面圆周上三个不同的点，分别为半圆柱的三条母线，且是的中点，分别为的中点.

(1)证明：平面.
(2)若是上的动点（含弧的端点），求与平面所成角的正弦值的最大值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）只需证明即可；（2）建立空间直角坐标系，用向量法求解.
【详解】（1）证明：因为分别为半圆柱的三条母线，
所以，且，
所以四边形为平行四边形，所以.
又因为平面平面，
所以平面.
（2）
记的中点为，点在平面内的投影记为，连接.
因为是半圆的中点，所以.
易知平面两两相互垂直，且.
以的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，.
点在平面内的单位圆上，其坐标不妨记为，则，.
设平面的法向量为，
则即令，得.
设与平面所成的角为，
则
，
当且仅当时，与平面所成角的正弦值取得最大值，且最大值为.