广东省深圳市名校联考2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题（原卷版+解析版）

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考生注意：
1．本试卷满分150分，考试时间120分钟.
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
4．本卷命题范围：必修第二册第6章～第8章空间直线、平面的平行.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设复数，则（ ）
A. B. C. D.
2. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（ ）
A. B. C. D. 2
3. 如图，是水平放置的的斜二测直观图，为等腰直角三角形，其中与重合，，则的面积是（ ）

A. 2B. C. 4D.
4. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（ ）
A. B. C. D.
5. 已知，，且，的夹角为，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
6. 在长方体中，直线与平面的交点为，与交于点，则下列结论正确的是（ ）
A ，，三点确定一个平面B. ，，三点共线
C. ，，，四点共面D. ，，，四点共面
7. 如图，平行四边形ABCD中，M是BC中点，N是CD上靠近点D的三等分点，若（，），则的值为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知四棱锥中，底面为平行四边形，为的中点，点在棱上，且满足平面，则（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法正确有（ ）
A. 若与是单位向量，则
B. 若非零向量与是相反向量，则
C.
D. 若与共线，与共线，则与共线
10. 内角A，B，C对边分别为a，b，c，已知，，则（ ）
A. B. C. D.
11. 已知正四棱柱的底面边长为2，侧棱，为上底面上的动点（包括边界），则下列结论中正确的是（ ）
A. 若，则满足条件的点不唯一
B. 若，则点的轨迹是一段圆弧
C. 若∥平面，则的最大值为
D. 若∥平面，且，则平面截正四棱柱的外接球所得平面图形的面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 紫砂壶是中国特有的手工陶土工艺品，经典的有西施壶､石瓢壶､潘壶等，其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台（其他因素忽略不计），如图给了一个石瓢壶的相关数据（单位：），那么该壶的侧面积约为__________.

13. 设，向量，，且，则____________；当时，取值范围为____________．
14. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，M是边BC边上一点，，，且，则的最小值为____________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知复数（为虚数单位，），且是纯虚数.
（1）求复数；
（2）在复平面内，复数对应的点位于第三象限，求实数的取值范围.
16. 已知向量满足，，．
（1）求与的夹角；
（2）若，，求．
17. 已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的外接圆半径为R，且．
（1）求B；
（2）若，，求的取值范围．
18. 如图，正三棱柱中，E、F、G分别为棱、、的中点．

（1）证明：∥平面；
（2）在线段是否存在一点，使得平面∥平面？若存在，请指出并证明；若不存在，请说明理由．
19. 重庆是我国著名的“火炉”城市之一，如图，重庆某避暑山庄O为吸引游客，准备在门前两条小路OA和OB之间修建一处弓形花园，使之有着类似“冰淇淋”般的凉爽感，已知，弓形花园的弦长，记弓形花园的顶点为，设.

（1）将用含有关系式表示出来；
（2）该山庄准备在点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何设计的长度，才使得喷泉与山庄的距离的值最大？