2024清远阳山县南阳中学高一上学期10月月考试题数学含解析

南阳中学2023-2024学年秋季学期第1次月考高一级数学科试卷

满分150分，时间120分钟

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 设，则“”是“”的（    ）

A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分又非必要条件

3. 若集合，，则集合中的元素的个数为（    ）

A. 5 B. 4 C. 3 D. 2

4. 以方程x2﹣5x+6＝0和方程x2﹣x﹣2＝0的解为元素的集合为（    ）

A. {2，3，1} B. {2，3，﹣1} C. {2，3，﹣2，1} D. {﹣2，﹣3，1}

5. 集合的非空子集个数为（    ）

A. 3 B. 4 C. 7 D. 8

6. 某校为拓展学生在音乐､体育､美术方面的能力，开设了相应的兴趣班.某班共有34名学生参加了兴趣班，有17人参加音乐班，有20人参加体育班，有12人参加美术班，同时参加音乐班与体育班的有6人，同时参加音乐班与美术班的有4人.已知没有人同时参加三个班，则仅参加一个兴趣班的人数为（    ）

A. 19 B. 20 C. 21 D. 22

7. 已知集合，，若，则由实数的所有可能的取值组成的集合为（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 已知集合，，则的元素个数为（    ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 4

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 下面命题为真命题的是（    ）

A. 若，则 B. 若，则

C. 若，则 D. 若，则

10. 设全集，集合，若，则（    ）

A.  B.  C.  D. ，

11. 不等式解集是，则下列结论正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

12. 已知正数满足，的最大值为，不等式的解集为，则（    ）

A.  B.

C.  D.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 命题“，”的否定是___________.

14. 设集合，，则________．

15. 已知，若，则实数取值范围是________．

16. 若对，，使得成立，则实数的取值范围是_______.

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 集合，，

（1）求；

（2）求．

18. 解不等式：

（1）；

（2）．

19. （1）已知，求的最大值；

（2）求的最小值.

20. 已知集合

（1）当时，求；

（2）若，求实数的取值范围.

21. 某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水使用量.经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2.预计安装后该企业每年需缴纳的水费（单位：万元）与设备占地面积之间的函数关系为.将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为（单位：万元）.

（1）要使不超过7.2万元，求设备占地面积的取值范围；

（2）设备占地面积为多少时，值最小？

22. 已知函数.

（1）若关于的不等式的解集是，求的值.

（2）若，求关于不等式的解集.
南阳中学2023-2024学年秋季学期第1次月考高一级数学科试卷

满分150分，时间120分钟

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据交集的定义计算.

【详解】∵，，∴.

故选：A.

2. 设，则“”是“”的（    ）

A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分又非必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】利用充分条件、必要条件的概念以及集合之间的关系进行判断.

【详解】因为，所以集合是集合的真子集，

所以“”是“”的必要非充分条件，故A，C，D错误.

故选：B

3. 若集合，，则集合中的元素的个数为（    ）

A. 5 B. 4 C. 3 D. 2

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题意求出即可得解.

【详解】集合，，

则集合共三个元素.

故选：C

【点睛】此题考查求集合中的元素个数，关键在于读懂集合的新定义，根据题意求出集合中的元素.

4. 以方程x2﹣5x+6＝0和方程x2﹣x﹣2＝0的解为元素的集合为（    ）

A. {2，3，1} B. {2，3，﹣1} C. {2，3，﹣2，1} D. {﹣2，﹣3，1}

【答案】B

【解析】

【分析】分别求得两个方程的解，再求得对应的集合.

【详解】解方程x2﹣5x+6＝0，得x＝2，或x＝3，

解方程x2﹣x﹣2＝0，得x＝﹣1或x＝2，

∴以方程x2﹣5x+6＝0和方程x2﹣x﹣2＝0的解为元素的集合为{2，3，﹣1}．

故选：B

【点睛】本小题主要考查集合元素互异性，考查一元二次方程的解法，属于基础题.

5. 集合的非空子集个数为（    ）

A. 3 B. 4 C. 7 D. 8

【答案】A

【解析】

【分析】化简集合,根据集合元素个数可求解.

【详解】,

集合共有个子集，

非空子集个数为4-1=3个，

故选：A

【点睛】本题主要考查了集合的子集的概念，属于容易题.

6. 某校为拓展学生在音乐､体育､美术方面的能力，开设了相应的兴趣班.某班共有34名学生参加了兴趣班，有17人参加音乐班，有20人参加体育班，有12人参加美术班，同时参加音乐班与体育班的有6人，同时参加音乐班与美术班的有4人.已知没有人同时参加三个班，则仅参加一个兴趣班的人数为（    ）

A. 19 B. 20 C. 21 D. 22

【答案】A

【解析】

【分析】设同时参加体育和美术小组的有人,由题意作出Venn图，结合Venn图能求出同时参加体育和美术小组的人数，进而得解.．

【详解】设同时参加体育和美术小组的有人，

由题意作出Venn图如图所示，

结合Venn图得：

，

解得．

同时参加体育和美术小组的有5人．

仅参加一个兴趣班的人数为

故选：A.

7. 已知集合，，若，则由实数的所有可能的取值组成的集合为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据，分别讨论和的情况即可得到答案.

【详解】因为，

当时，，符合题意；

当时，，

因为，所以或，解得或.

故实数所有可能的取值组成的集合为.

故选：A

【点睛】本题主要考查集合的子集关系，同时考差了分类讨论的思想，属于简单题.

8. 已知集合，，则的元素个数为（    ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 4

【答案】C

【解析】

【分析】

先分析的含义，由此确定出所表示集合中的元素个数.

【详解】因为集合表示元素为函数图象上的点，所以表示两个函数图象交点坐标，

令，所以或，所以交点坐标为，

所以，

故选：C．

【点睛】本题考查交集的求法、交集定义等基础知识、基本运算求解能力，是基础题．

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 下面命题为真命题的是（    ）

A. 若，则 B. 若，则

C. 若，则 D. 若，则

【答案】CD

【解析】

【分析】利用特殊值判断A、B，利用不等式的性质判断C、D.

【详解】对于A：当时，故A错误；

对于B：取，则，故B错误；

对于C：由，则，，所以，故C正确；

对于D：由，所以，所以，故D正确.

故选：CD

10. 设全集，集合，若，则（    ）

A.  B.  C.  D. ，

【答案】BC

【解析】

【分析】分析可知，根据元素满足互异性可求得的值，可确定集合，由此可得出合适的选项.

【详解】若，则，则集合不满足元素的互异性，不合乎题意.

所以，，解得，故，所以，，

故或，则，则AD选项错误，BC选项正确.

故选：BC.

11. 不等式的解集是，则下列结论正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据二次函数图像与性质，以及二次不等式关系，列出不等式组，即可求解.

【详解】因为不等式的解集是，

可得，且，所以，所以，

所以A、C正确，D错误．

因为二次函数的两个零点为，且图像开口向下，

所以当时，，所以B正确．

故选：ABC．

12. 已知正数满足，的最大值为，不等式的解集为，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】BC

【解析】

分析】由基本不等式，可求得最大值，然后解二次不等式可得，结合选项即可判断.

【详解】正数，满足，

，即的最大值为，当且仅当时，取等号.

的解集为，.

故选：.

【点睛】本题注意考查了利用基本不等式求解最值及二次不等式的求解问题，属于基础题.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 命题“，”的否定是___________.

【答案】，

【解析】

【分析】根据全称命题的否定是存在命题即可得到答案.

【详解】命题“，”的否定为，.

故答案为：，.

14. 设集合，，则________．

【答案】

【解析】

【分析】根据集合的补集运算，得到，再由交集运算，得到答案.

【详解】因为集合，

所以，

因为集合，

所以

故答案为

【点睛】本题考查集合的运算，属于简单题.

15. 已知，若，则实数的取值范围是________．

【答案】

【解析】

【分析】解不等式得到集合，然后根据得到关于的不等式，解不等式可得所求的范围．

【详解】由题意得A＝{x|x2－3x＋2<0}＝{x|1<x<2}，

因为，且，

所以a≥2．

故答案为.

【点睛】根据集合间的包含关系求参数的取值范围时，为增强解题的直观性，一般要结合数轴进行求解，解题时特别需要注意集合的端点是否可以相等．

16. 若对，，使得成立，则实数的取值范围是_______.

【答案】

【解析】

【分析】由已知分别求出和，要使不等式成立，则需，可求出实数的取值范围.

【详解】因为，所以，又，所以，

若对， ，使得成立，

则需，即，解得，

故填：.

【点睛】本题考查对于“任意”和“存在”中的不等式的恒成立问题，属于中档题.此问题关键分清“任意”和“存在”的条件,分别利用不等式两边的最大值或最小值建立的不等式.

常见的有以下的四种情况：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）.

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 集合，，

（1）求；

（2）求．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

分析】（1）根据并集定义求解；

（2）根据补集和交集定义计算．

【小问1详解】

∵，，

∴.

【小问2详解】

或，

∴．

18. 解不等式：

（1）；

（2）．

【答案】（1）或；   

（2）．

【解析】

【分析】（1）求出相应二次方程的根，根据不等号方向可写出不等式解集；

（2）把二次项系数化为正数，求出相应二次方程的根，根据不等号方向可写出不等式解集．

【小问1详解】

方程的根，，

不等式的解集为或；

【小问2详解】

不等式可化为，

的根为：，，

不等式的解集为：.

19. （1）已知，求的最大值；

（2）求的最小值.

【答案】（1）最大值为（2）最小值是

【解析】

【分析】（1）将整式化为二次函数,配方后结合自变量的取值范围,即可求得最大值.

（2）构造基本不等式,即可求得最小值.

【详解】（1）令

因为

所以当时,取得最大值为

（2）

即

由基本不等式可得

故的最小值是

【点睛】本题考查了二次函数最值的求法,利用基本不等式求最值,属于基础题.

20. 已知集合

（1）当时，求；

（2）若，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）根据集合的运算法则计算；

（2）由得，然后分类和求解．

【详解】（1）当时，中不等式为，即，

∴或，则

（2）∵，∴，

①当时，，即，此时；

②当时，，即，此时.

综上的取值范围为.

21. 某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2.预计安装后该企业每年需缴纳的水费（单位：万元）与设备占地面积之间的函数关系为.将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为（单位：万元）.

（1）要使不超过7.2万元，求设备占地面积的取值范围；

（2）设备占地面积为多少时，的值最小？

【答案】（1）   

（2）设备占地面积为时，的值最小.

【解析】

分析】（1）由题意解不等式，即可求得；

（2）利用基本不等式即可求解.

【小问1详解】

由题意得.

要满足题意,则，

即，解得：.

即设备占地面积的取值范围为.

【小问2详解】

，

当且仅当时等号成立.

所以设备占地面积为时，的值最小.

22. 已知函数.

（1）若关于的不等式的解集是，求的值.

（2）若，求关于的不等式的解集.

【答案】（1），   

（2）答案见解析

【解析】

【分析】（1）根据二次函数解集的区间端点值为二次方程的根可得，再求解二次不等式可得；

（2）将二次不等式因式分解，再分情况讨论二次方程的根的大小求解即可.

【小问1详解】

由于不等式的解集是，

则是的两根，且，

代入得，解得，

于是原不等式可转化为，

此时解集为，所以.

【小问2详解】

由得，即.

因为，令，得或，

①当时，，此时不等式解集为；

②当时，，此时不等式解集为；

③当时，，此时不等式解集为；

综上，当时，不等式解集为；

当时，不等式解集为；

当时，不等式解集为.