2024南阳新野县一中高三上学期12月月考试题数学含解析

这是一份2024南阳新野县一中高三上学期12月月考试题数学含解析，共28页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1. 已知复数满足，则复数的虚部为（ ）
A. B. C. D.
2. 设集合，，则中元素个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
3. 已知点，，且，则（ ）
A. （2，5）B. （2，-5）C. （-2，-5）D. （-2，5）
4. 函数的图象大致为
A. B. C. D.
5. 直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6. 若，，则（ ）
A. B. C. D.
7. 已知二面角的平面角为，AB与平面所成角为．记的面积为，的面积为，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
8. 在长郡中学文体活动时间，举办高三年级绳子打结计时赛，现有根绳子，共有10个绳头，每个绳头只打一次结，且每个结仅含两个绳头，所有绳头打结完毕视为结束.则这5根绳子恰好能围成一个圈的概率为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 展开式中项的系数为
B. 样本相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱
C. 根据分类变量与的成对样本数据计算得到，依据的独立性检验，没有充分证据推断零假设不成立，即可认为与独立
D. 在回归分析中，用最小二乘法求得的经验回归直线使所有数据的残差和为零
10. 已知定义在上的函数满足，且函数为奇函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 的一个周期是4
B. 是奇函数
C. 偶函数
D. 的图象关于点中心对称
11. 如图，在正方体中，点是的中点，点是直线上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A. 直角三角形
B. 异面直线与所成的角为
C. 当的长度为定值时，三棱锥的体积为定值
D. 平面平面
12. 已知点是抛物线：的焦点，直线：与相交于，两点，过点，分别作的切线交于点，点是弦的中点，点是线段的中点，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 直线与轴平行
C. 点在抛物线上D.
三、填空题
13. 从位女生，位男生中选人参加科技比赛，且至少有位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案）
14. 若双曲线经过点，则此双曲线的离心率为__________．
15. 设是椭圆的左、右焦点，为坐标原点，为上一个动点，且的取值范围为，则椭C的长轴长为______．
16. 已知函数，若，且，则______．
四、解答题
17. 记的内角，，所对的边分别是，，．已知．
（1）求角的大小；
（2）若点在边上，平分，，且，求．
18. 已知数列，满足.
（1）证明是等比数列，并求的通项公式；
（2）设数列的前n项和为，证明：.
19. 如图，多面体中，四边形为菱形，平面，，，，.
（1）若是的中点，证明：平面平面；
（2）求二面角的正弦值.
20. 如图在边长是2正方体中，E，F分别为AB，的中点．
（1）求异面直线EF与所成角的大小．
（2）证明：平面．
21. 2025年四川省将实行3＋1＋2的高考模式，其中，“3”为语文、数学，外语3门参加全国统一考试，选择性考试科目为政治、历史、地理、物理、化学，生物6门，由考生根据报考高校以及专业要求，结合自身实际，首先在物理，历史中2选1，再从政治、地理、化学、生物中4选2，形成自己的高考选考组合.
（1）若某小组共6名同学根据方案进行随机选科，求恰好选到“物化生”组合的人数的期望；
（2）由于物理和历史两科必须选择1科，某校想了解高一新生选科的需求.随机选取100名高一新生进行调查，得到如下统计数据，写出下列联表中a，d的值，并判断是否有95％的把握认为“选科与性别有关”？
附：.
22 已知函数（）.
（1）当时，求函数的极值；
（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.
选择物理
选择历史
合计
男生
a
10
女生
30
d
合计
30
0.10
0.05
0.025
0.01
0.005
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
2023-2024学年高三上学期12月考试题
数学
一、单选题
1. 已知复数满足，则复数的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设复数的代数形式，代入运算，由复数相等的条件求解方程组即可.
【详解】设，
代入得，
，
则有，解得，即复数的虚部为.
故选：A.
2. 设集合，，则中元素的个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】由定义域为，先求函数值域即可，再由交集运算可得.
【详解】设函数，
则，
所以集合，由集合，
则，中元素的个数为，
故选：B.
3. 已知点，，且，则（ ）
A. （2，5）B. （2，-5）C. （-2，-5）D. （-2，5）
【答案】B
【解析】
【分析】利用平面向量的加法运算求解.
【详解】解：因为点，，
所以，
所以．
故选：B
4. 函数的图象大致为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用函数的单调性及特殊值即可作出判断．
【详解】由易得f（﹣x）+f（x）＝0，
∴f（x）是奇函数；
当x=1时，排除A，
当x＞0时，，函数在上单调递减，
故可排除Ｂ，Ｄ
故选Ｃ
【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.
5. 直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，求出线段长，再求出圆心到直线的距离，进而求得圆上的点到直线距离的范围即可求出三角形面积范围.
【详解】依题意，直线交轴于，交轴于，则，
圆的圆心到直线的距离，而圆的半径为，
于是圆上的点到直线的距离的范围为，
所以的面积.
故选：C
6. 若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由诱导公式可得出，根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，结合同角三角函数的商数关系可求得的值.
【详解】因为，则，
所以，，
联立，解得，
因此，.
故选：B.
7. 已知二面角的平面角为，AB与平面所成角为．记的面积为，的面积为，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】作出二面角的平面角以及AB与平面所成角，并表示出，结合三角形面积公式以及正弦定理表示出，结合范围确定范围，即可求得答案.
【详解】作，垂足为E，连接，

因为，即，平面，
故平面，平面，故，
又，故平面，平面，
则在内的射影在BE上，则为AB与平面所成角，即，
由于，，故为二面角的平面角，即，
，
在中，，
则，
而，则，
则，
故，
故选：C
8. 在长郡中学文体活动时间，举办高三年级绳子打结计时赛，现有根绳子，共有10个绳头，每个绳头只打一次结，且每个结仅含两个绳头，所有绳头打结完毕视为结束.则这5根绳子恰好能围成一个圈的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用分步计数原理，结合数列的累乘法与古典概型的概率公式即可得解.
【详解】不妨令绳头编号为，可以与绳头1打结形成一个圆的绳头除了1，2外有种可能，
假设绳头1与绳头3打结，那么相当于对剩下根绳子进行打结，
令根绳子打结后可成圆的种数为，
那么经过一次打结后，剩下根绳子打结后可成圆的种数为，
由此可得，，
所以，
所以，
显然，故；
另一方面，对个绳头进行任意2个绳头打结，总共有
；
所以，
所以当时，.
故选：.
【点睛】关键点睛：本题的解决关键是利用分步计数原理得到数列的递推式，从而利用数列的累乘法求得结果.
二、多选题
9. 下列说法正确是（ ）
A. 展开式中项的系数为
B. 样本相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱
C. 根据分类变量与的成对样本数据计算得到，依据的独立性检验，没有充分证据推断零假设不成立，即可认为与独立
D. 在回归分析中，用最小二乘法求得经验回归直线使所有数据的残差和为零
【答案】ACD
【解析】
【分析】选项A，利用二项式定理的通项公式求解即可；选项B，根据相关系数的定义判断即可；选项C，根据独立性检验的思想判断；选项D，根据相关指数的定义判断即可.
【详解】对于A，设展开式的通项为，
令可得展开式中项的系数为，A正确；
对于B，样本相关系数的范围在到之间，有正有负，相关性有正相关和负相关，
样本相关系数绝对值的大小越接近于1，两个变量的线性相关性越强；反之．线性相关性越弱，B错误；
对于C，由独立性检验可知，没有充分证据推断零假设不成立，即认为与独立，C正确；
对于D，在回归分析中，残差和为：
，
用最小二乘法求得的经验回归直线使所有数据的残差和为零，D正确．
故选：ACD．
10. 已知定义在上的函数满足，且函数为奇函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 的一个周期是4
B. 是奇函数
C. 是偶函数
D. 的图象关于点中心对称
【答案】AC
【解析】
【分析】对于A：根据周期性的定义分析判断；对于BC：根据题意结合奇偶性的定义分析判断；对于D：根据偶函数的定值结合周期性分析判断.
【详解】对于A：由知，
所以是周期为4的周期函数，故A正确；
对于BC：因为，所以，
由为奇函数，得，
即，所以的图象关于点中心对称．
则，因此，即，
且的定义域为，故是偶函数，不一定是奇函数，故B错误，C正确；
对于D：因为是偶函数，即图象的一个对称轴是，
且是周期为4的周期函数，所以的图象对称轴是，不一定关于点对称，故D错误，
故选：AC．
11. 如图，在正方体中，点是的中点，点是直线上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A. 是直角三角形
B. 异面直线与所成的角为
C. 当的长度为定值时，三棱锥的体积为定值
D. 平面平面
【答案】ABC
【解析】
【分析】设正方体的棱长为2，求出相关线段长度，利用勾股定理逆定理可判断形状，判断A；利用平移法可求得异面直线与所成的角，判断B；根据棱锥的体积公式可判断C；建立空间直角坐标系，利用空间位置的向量证明方法可判断D.
【详解】对于A，设正方体的棱长为2，点是的中点，故;
平面平面，故，
则，
则，即，即是直角三角形，A正确；
对于B，在正方体中，点是的中点，

则直线DP即为直线，异面直线与所成的角即异面直线与所成的角，
由于，，故四边形为平行四边形，
所以，则即为异面直线与所成的角或其补角，
连接，则，即，
故异面直线与所成的角为，B正确；
对于C，设交于点O，则O为AC的中点，连接PO，

则PO为的中位线，故，平面，平面，
故平面，
当的长度为定值时，到平面的距离为定值，则Q到平面的距离为定值，
而的面积为定值，故为定值，
又三棱锥的体积，故三棱锥的体积为定值，C正确；
对于D，以D为坐标原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，

则，
则，
设平面的法向量为，则，
令，则；
设平面的法向量为，则，
令，则；
则，即不垂直，
故平面和平面不垂直，D错误，
故选：ABC
12. 已知点是抛物线：的焦点，直线：与相交于，两点，过点，分别作的切线交于点，点是弦的中点，点是线段的中点，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 直线与轴平行
C. 点在抛物线上D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用导数的几何意义，得出抛物线在点，处的切线方程为，，再结合条件，得出直线的方程为，从而得出，然后再根据题设及各项的条件逐一分析判断即可得出结果.
【详解】由，得到，所以，又，，
由导数几何意义知，抛物线在点处切线斜率为，
所以抛物线在点处的切线方程为，即，
又，得到，故抛物线在点处的切线方程为，
同理可得，抛物线在点处切线方程为，
又两切线交于点，所以，从而得到直线的方程为，即，
又由题知直线的方程为，
所以，得到，所以选项A错误；
对于选项B，联立和，消得到，
由韦达定理得，，所以点的横坐标为，又因为，所以选项B正确；
对于选项C，由选项B知，，所以，又，
所以，又，故点在抛物线上，所以选项C正确；
对于选项D，由抛物线定义知，，,
又由选项B知，，，所以，
又，所以选项D正确，
故选：BCD.
【点睛】关键点晴，利用导数的几何意义，得出抛物线在点，处的切线方程为，，再利用两切线方程交于点，从而得到，进而求出直线的方程，再结合条件得出，从而解决问题.
三、填空题
13. 从位女生，位男生中选人参加科技比赛，且至少有位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案）
【答案】
【解析】
【分析】方法一：反面考虑，先求出所选的人中没有女生的选法种数，再根据从人中任选人的选法种数减去没有女生的选法种数，即可解出.
【详解】［方法一］：反面考虑
没有女生入选有种选法，从名学生中任意选人有种选法，
故至少有位女生入选，则不同的选法共有种．
故答案为：.
［方法二］：正面考虑
若有1位女生入选，则另2位是男生，于是选法有种；
若有2位女生入选，则另有1位是男生，于是选法有种，则不同的选法共有种．
故答案为：.
【整体点评】方法一：根据“正难则反”，先考虑“至少有位女生入选”的反面种数，再利用没有限制的选法种数减去反面种数即可求出，对于正面分类较多的问题是不错的方法；
方法二：正面分类较少，直接根据女生的人数分类讨论求出．
14. 若双曲线经过点，则此双曲线的离心率为__________．
【答案】##1.25
【解析】
【分析】先求出双曲线方程，再由双曲线的性质得到，最后用离心率公式算出结果.
【详解】因为点在双曲线上，代入可得，解得，
由曲线方程可知，故，
所以双曲线的离心率为，
故答案为：
15. 设是椭圆的左、右焦点，为坐标原点，为上一个动点，且的取值范围为，则椭C的长轴长为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用平面向量数量积的运算律，结合椭圆的范围求得，再列式计算即得.
【详解】椭圆的半焦距为c，为的中点，
，显然，于是，
因此，即，解得，，即，
所以椭圆C的长轴长为.
故答案为：
16. 已知函数，若，且，则______．
【答案】
【解析】
【分析】先利用三角函数的最值得到的关系式，再由，结合诱导公式推得，进而利用三角函数的和差公式与倍解公式求得，从而得到的表达式，再次利用诱导公式即可得解.
【详解】由可知，当时，取得最大值，
所以，则，
又，即，
所以，
因为，
又，则，
所以，则，即，
解得（负值舍去），故，
所以，则，
则.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用整体法与诱导公式得到，从而得解.
四、解答题
17. 记的内角，，所对的边分别是，，．已知．
（1）求角的大小；
（2）若点在边上，平分，，且，求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据余弦定理化简即可得到角的大小；
（2）由角平分线定理可得，由，结合余项定理化简即可求得结果.
【小问1详解】
因为，即
化简可得，由余弦定理可得，
所以，且，则
【小问2详解】
由（1）知，由余弦定理可得，将代入，
化简可得，
又因为平分，由角平分线定理可得，即，且，所以，
又因为,
则，结合余弦定理可得
，解得，所以
则
18. 已知数列，满足.
（1）证明是等比数列，并求的通项公式；
（2）设数列的前n项和为，证明：.
【答案】（1）证明见解析，
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用定义法证明出是公比为2的等比数列，再求出；
（2）先判断出当n为偶数时，.对n分奇偶讨论，分别分组求和及放缩后可以证明出.
【小问1详解】
，
，即，
，
数列是公比为2的等比数列.
又，，，
，
，
，
即.
【小问2详解】
由(1)，当n为偶数时，
，
故.
当n为奇数时， .
当n为偶数时，
.
综上，.
19. 如图，多面体中，四边形为菱形，平面，，，，.
（1）若是的中点，证明：平面平面；
（2）求二面角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由线线垂直证明线面垂直，再证明面面垂直；
（2）建立空间直角坐标系，用向量法结合坐标运算即可求解.
【小问1详解】
证明：连接，因为四边形为菱形，且，
所以与为等边三角形.
又中点为，所以.因为，所以，
因为平面，平面，所以.
又，平面，所以平面.
因为平面，所以平面平面.
【小问2详解】
解：连接，，设，交于点，取中点，连接，所以，底面.
以为原点，以，，分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，，
设平面的一个法向量为，
则
令，得；
设平面的一个法向量为，
则
令，得；
所以，
所以二面角的正弦值为.
20. 如图在边长是2的正方体中，E，F分别为AB，的中点．
（1）求异面直线EF与所成角的大小．
（2）证明：平面．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】
【分析】（1）通过建立空间直角坐标系，利用可得解；
（2）利用和，可证得线线垂直，进而得线面垂直.
【详解】据题意，建立如图坐标系．于是：
，，，，，
∴，，，．
（1），
∴
∴异面直线EF和所成的角为．
（2）
∴，即
，
∴即．
又∵，平面且
∴平面．
21. 2025年四川省将实行3＋1＋2的高考模式，其中，“3”为语文、数学，外语3门参加全国统一考试，选择性考试科目为政治、历史、地理、物理、化学，生物6门，由考生根据报考高校以及专业要求，结合自身实际，首先在物理，历史中2选1，再从政治、地理、化学、生物中4选2，形成自己的高考选考组合.
（1）若某小组共6名同学根据方案进行随机选科，求恰好选到“物化生”组合的人数的期望；
（2）由于物理和历史两科必须选择1科，某校想了解高一新生选科的需求.随机选取100名高一新生进行调查，得到如下统计数据，写出下列联表中a，d的值，并判断是否有95％的把握认为“选科与性别有关”？
附：.
【答案】（1）
（2）40，20，有95％的把握认为“选科与性别有关
【解析】
【分析】（1）根据列举法求出一个学生恰好选到“物化生”组合的概率，确定6名同学根据方案进行随机选科，符合二项分布，即可求得答案；
（2）由题意确定的值，计算的值，与临界值表比较，即得结论.
【小问1详解】
设物理、历史2门科目为，政治、地理、化学、生物科目为，
则根据高考选考组合要求共有组合为，
，共12种，
所以一个学生恰好选到“物化生”组合的概率为，
则6名同学根据方案进行随机选科，符合二项分布，
故恰好选到“物化生”组合的人数的期望为；
【小问2详解】
由题意可得；
则，
所以有95％的把握认为“选科与性别有关”.
22. 已知函数（）.
（1）当时，求函数的极值；
（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.
【答案】（1）极小值为，无极大值.
（2）的取值范围是.
【解析】
【分析】（1）先求函数定义域和导函数，根据导数与极值点的关系求极值点，再求极值即可；
（2）由条件可知在上恒成立，再分离变量求最值即可求解.
【小问1详解】
函数的定义域为，
当时，
求导得，
整理得：.
令可得，或（舍去）
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
所以当时，函数取极小值，极小值为，
函数无极大值；
【小问2详解】
由已知时，恒成立，
所以恒成立，
即恒成立，则.
令函数，
由知在单调递增，
从而.
经检验知，当时，函数不是常函数，
所以的取值范围是.
选择物理
选择历史
合计
男生
a
10
女生
30
d
合计
30
0.10
0.05
0.025
0.01
0.005
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879