2024漯河高级中学高三下学期5月月考试题数学含解析

这是一份2024漯河高级中学高三下学期5月月考试题数学含解析，共14页。试卷主要包含了已知正实数，满足，则的最大值为，人工智能领域让贝叶斯公式，已知，且，则下列说法正确的是，某学校为了解学生身高等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡的相应位置上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
选择题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．已知，则（ ）
A．B．C．D．
2．在等差数列中，若，则（ ）
A．45B．6C．7D．8
3．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，为其终边上一点，则（ ）
A．B．4C．D．1
5．已知正实数，满足，则的最大值为（ ）
A．0B．C．1D．
6．已知直线和与x轴围成的三角形是等腰三角形，则k的取值不可能为（ ）
A．B．C．D．
7．人工智能领域让贝叶斯公式：站在了世界中心位置，AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001．某团队决定用AI对抗AI，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.98，即在该视频是伪造的情况下，它有的可能鉴定为“AI”；它的误报率是0.04，即在该视频是真实的情况下，它有的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性为（ ）
A．B．C．D．
8．已知过点的直线与函数的图象有三个交点，则该直线的斜率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二．多选题（共3小题，每题6分，共18分。在每题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分。）
9．已知，且，则下列说法正确的是（ ）
A．有最小值4B．有最小值
C．有最小值D．的最小值为
10．某学校为了解学生身高（单位：cm）情况，采用分层随机抽样的方法从4000名学生（该校男女生人数之比为）中抽取了一个容量为100的样本.其中，男生平均身高为175，方差为184，女生平均身高为160，方差为179.则下列说法正确的是参考公式：总体分为2层，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，，，，.记总的样本平均数为，样本方差为，则（ ）
参考公式：
A．抽取的样本里男生有60人
B．每一位学生被抽中的可能性为
C．估计该学校学生身高的平均值为170
D．估计该学校学生身高的方差为236
11．已知曲线，则下列结论正确的是（ ）
A．随着增大而减小
B．曲线的横坐标取值范围为
C．曲线与直线相交，且交点在第二象限
D．是曲线上任意一点，则的取值范围为
三．填空题（共3小题，每题5分，共15分。）
12．已知，则 .
13．数列的通项，前项和为，则 ．
14．已知双曲线的左，右焦点分别为为右支上一点，的内切圆圆心为，直线交轴于点，则双曲线的离心率为 .
四．解答题（共5小题，共77分）
（15分）15．已知数列满足，（）．
(1)求数列的通项公式；
(2)记数列的前项和为，证明：．
（12分）16．如图，在三棱柱中，平面ABC，D，E分别为AC，的中点，，．
(1)求证：平面；
(2)求点D到平面ABE的距离．
（16分）17．2023年8月3日，公安部召开的新闻发布会公布了“提高道路资源利用率”和“便利交通物流货运车辆通行”优化措施，其中第二条提出推动缓解停车难问题．在持续推进缓解城镇老旧小区居民停车难改革措施的基础上，因地制宜在学校、医院门口设置限时停车位，支持鼓励住宅小区和机构停车位错时共享．某医院门口设置了限时停车场（停车时间不超过60分钟），制定收费标准如下：停车时间不超过15分钟的免费，超过15分钟但不超过30分钟收费3元，超过30分钟但不超过45分钟收费9元，超过45分钟但不超过60分钟收费18元，超过60分钟必须立刻离开停车场．甲、乙两人相互独立地来该停车场停车，且甲、乙的停车时间的概率如下表所示：
设此次停车中，甲所付停车费用为，乙所付停车费用为．
(1)在的条件下，求的概率；
(2)若，求随机变量的分布列与数学期望．
（16分）18．已知，，函数.
（1）求的最小正周期及单调递增区间；
（2）在中，、、分别是角、、的对边长，若，，的面积为，求的值.
（18分）19．已知离心率为的椭圆的左、右顶点分别为，点为椭圆上的动点，且面积的最大值为．直线与椭圆交于两点，点，直线分别交椭圆于两点，过点作直线的垂线，垂足为．
(1)求椭圆的方程．
(2)记直线的斜率为，证明：为定值．
(3)试问：是否存在定点，使为定值？若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由．停车时间/分钟
甲
乙
数学答案
1．B【详解】
，故；
，故，故.故选：B.
2．C【详解】因为，
所以.故选：C.
3．A【详解】由，得，则，所以..
4．D【详解】始边与轴非负半轴重合，，为其终边上一点，
则，且，解得．故选：D．
5．A【详解】由题，构造函数，则，
显然在上单调递增，所以，即，
所以，当且仅当，时等号成立.
所以的最大值为0.故选：A.
6．D【详解】令直线的倾斜角分别为，则，
当围成的等腰三角形底边在x轴上时，，；
当围成的等腰三角形底边在直线上时，或，
因为，且，解得，
所以，或；
当围成的等腰三角形底边在直线上时，，则.故选：D．
7．C【详解】记“视频是AI合成”为事件，记“鉴定结果为AI”为事件B，
则，
由贝叶斯公式得：，
8．C【详解】问题转化为方程有三个不等的实数根．
方法一：分离参数
因为，所以方程
有三个不等的实根等价于方程有两个不等的实根．
令，
则．
令，则，即单调递增．
又，所以当时，单调递减，且；
当时，单调递增，
且．
又因为当时，；当时，；当时，，
所以实数k的取值范围是．
故选：C．
方法二：分离函数
令，则，所以．
令，则，解得，
令，得；令，得；
所以在上单调递减，在上单调递增，有极小值；
而且，
所以方程有一解．
①当时，过一、三象限，两图象有两个交点，不合题意；
②当时，过原点O作的切线，
设切点，则，
所以．
又，得，
所以，
所以．故选：C．
9．ABD【详解】A选项：由，得，当且仅当，即，时取等号，故A选项正确；
B选项：，当且仅当，即，时取等号，故B选项正确；
C选项：由，得，
所以，
当且仅当，即，时取等号，故C选项错误；
D选项：由A的分析知且，时取等号，
所以，当且仅当，即，时取等号，故D选项正确；故选：ABD．
10．ABD【详解】对于项，抽取的样本里男生有人，所以A项正确；
对于B项，由题可知，每一位学生被抽中的可能性为，所以B项正确；
对于C项，估计该学校学生身高的平均值为，所以C项错误；
对于D，估计该学校学生身高的方差为，所以D项正确.
故选：ABD
11．AD【详解】因为曲线，
当，时，则曲线为椭圆的一部分；
当，时，则曲线为双曲线的一部分，
且双曲线的渐近线为；
当，时，则曲线为双曲线的一部分，
且双曲线的渐近线为；
可得曲线的图形如下所示：
由图可知随着增大而减小，故A正确；
曲线的横坐标取值范围为，故B错误；
因为，所以曲线与直线相交，且交点在第四象限，故C错误；
因为，即点到直线的距离的倍，
当直线与曲线相切时，
由，消去整理得，
则，解得（舍去）或，
又与的距离，
所以，
所以的取值范围为，故D正确；故选：AD
12．/0.28
【详解】，
得，
解得或（舍）
所以.
13．7
【详解】由题意，数列的通项，
可得，
，得到数列是以4项为周期的形式，
所以
=．
14．/1.4
【详解】
如图，分别过点和点作轴的垂线段,因，故易得：,
不妨设依题意得：①，由余弦定理：，
整理得：，将① 式代入得： ②，由①-②整理可解得：，
再将其代入② 式右边，计算可得： ③
由题意，的面积为：，化简得：，
将③ 式代入并整理得：，因，则离心率为：.
15．(1)，；
(2)证明见解析.
【详解】（1）数列中，当时，，即，
则
，而满足上式，
所以数列的通项公式是，．
（2）由（1）知，，则，
因此
，而，则，
所以．
16．(1)证明见解析；
(2)
【详解】（1）证明：∵，D，E分别为AC，的中点，
∴，且，
又平面，∴平面，
又平面，∴，
又，且，平面，
∴平面．
（2）∵，，，
∴，
∴，，．
在中，，，
∴边上的高为．
∴．
设点D到平面ABE的距离为d，
根据，得，解得，
所以点D到平面ABE的距离为．
17．(1)
(2)分布列见解析，
【详解】（1）根据题意可得，解得，
，解得，
甲所付停车费用为18元，乙所付停车费用为0元可得，
其概率为；
甲所付停车费用为0元，乙所付停车费用为18元可得，
其概率为；
甲所付停车费用为9元，乙所付停车费用为9元可得，
其概率为；
所以的概率，
可得在的条件下，
的概率为；
（2）的取值为0，3，6，9，15，18，
，
，
，
，
，
，
随机变量的分布列为
所以随机变量的数学期望
.
18．（1），递增区间为，；（2）.
【详解】(1)
即.故最小正周期为.
单调递增区间：.
故,递增区间为,.
(2)由得,因为.
故,故.
又,故.
故,故
19．(1)；
(2)证明见解析；
(3)存在点.
【详解】（1）由题意，得解得所以椭圆的方程为．
（2）
证明：设．
又，所以可设直线的方程为．
联立椭圆方程与直线的方程，得
消去，得．
又，所以，可得．
由根与系数的关系，得，则，
所以，同理，得．
从而直线的斜率．
又，
所以，即，为定值．
（3）由（2）可得直线的方程为．
由椭圆的对称性可知，若直线恒过定点，则此定点必在轴上，
所以令，得．
故直线恒过定点，且点的坐标为．
因为，垂足为，且，所以点在以为直径的圆上运动．
故存在点，使．