2024南阳一中高三上学期12月月考试题数学含解析

这是一份2024南阳一中高三上学期12月月考试题数学含解析，共18页。试卷主要包含了已知，则不等式f，抛物线有如下光学性质，的展开式中x的系数为，已知函数，则下列命题中正确的有等内容，欢迎下载使用。

1．若a＞0，b＞0，则“a2+b2≤1”是“”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
2．在△ABC中，“A＞B”是“sin2A+cs2B＞1”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．已知，则不等式f（2x+2）+f（2x）＜﹣4的解集为（ ）
A．B．C．D．
4．若，则a、b、c满足的大小关系式是（ ）
A．a＞b＞cB．a＜b＜cC．a＞c＞bD．b＞c＞a
5．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线y2＝16x的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则△PAB的面积为（ ）
A．4B．C．D．
6．曲线和，则C1和C2更接近圆的是（ ）
A．C1B．C2C．相同D．无法判断
7．的展开式中x的系数为（ ）
A．﹣80B．﹣40C．40D．80
8．设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在P处的离散曲率为1﹣其中Q，（i＝1，2，3，…，k，k≥3）为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面Q1PQ2，Q2PQ3，…，Qk﹣1PQk，QkPQ1遍历多面体M的所有以P为公共点的面，如图是正四面体、正八面体、正十二面体和正二十面体（每个面都是全等的正多边形的多面体是正多面体），若它们在各顶点处的离散曲率分别是a，b，c，d，则a，b，c，d的大小关系是（ ）
A．a＞b＞c＞dB．a＞b＞d＞cC．b＞a＞d＞cD．c＞d＞b＞a
二．多选题（共4小题，每题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．已知函数，则下列命题中正确的有（ ）
A．f（x）在区间（﹣∞，0]上单调递减
B．若方程|f（x）|＝m有唯一实数根的充要条件是m＝0
C．对任意x1，x2∈[1，+∞）都有成立
D．若函数y＝g（x+1）﹣3为奇函数，f（x）与g（x）的图象有4个交点，分别为（x1，y1），（x2，y2）（x3，y3），（x4，y4），则 （x1+x2+x3+x4）（y1+y2+y3+y4）＝48
10．已知等比数列{an}的公比为q，其前n项的积为Tn，且满足a1＞1，a99a100﹣1＞0，，则（ ）
A．0＜q＜1
B．a99a101﹣1＜0
C．T100的值是Tn中最大的
D．使Tn＞1成立的最大正整数n的值为198
11．光线自点（4，2）射入，经倾斜角为45°的直线l：y＝kx+1反射后经过点（3，0），则反射光线经过的点为（ ）
A．B．（9，﹣15）C．（﹣3，15）D．（13，2）
12．下列说法正确的是（ ）
A．已知命题p：∀x＞0，x2≥0，则￢p：∃x＞0，x2＜0
B．“函数f（x）是偶函数”的必要条件是“函数f（x）满足”
C．已知随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），若P（ξ≤4）＝0.79，则P（ξ≤﹣2）＝0.21
D．若b2﹣3ac≤0，则三次函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d（a≠0）有且仅有一个零点
三．填空题（共4小题，每题5分，共20分）
13．已知关于x的不等式的解集是（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），则实数m的取值范围是 ．
14．已知函数，若对不相等的正数x1，x2，有f（x1）＝f（x2）成立，则的最小值为 ．
15．如图，已知在矩形ABCD中，AD＝4，AB＝3，M为边BC的中点，将△ABM，△CDM分别沿着直线AM，MD翻折，使得B，C两点重合于点P，则点P到平面MAD的距离为 ．
16．（x+2y﹣3z）6的展开式中xy2z3的系数为 （用数字作答）．
四．解答题（共6小题，共70分）
17．（10分）已知正数x，y满足x+2y＝1．
（1）当x，y取何值时，xy有最大值？
（2）若恒成立，求实数a的取值范围．
18．（12分）已知集合A＝{x|1≤2x+1≤8}，B＝{x|（x﹣a）（x﹣a﹣1）＜0}，a∈R．
（1）若1∈B，求实数a取值范围；
（2）若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
19．（12分）已知函数的最小正周期为π
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，，求a．
20．（12分）如图，在棱长是2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为AB，A1C的中点．
（Ⅰ）求异面直线EF与CD1所成角的大小．
（Ⅱ）证明：EF⊥平面A1CD．
21．（12分）2025年四川省将实行3+1+2的高考模式，其中，“3”为语文、数学，外语3门参加全国统一考试，选择性考试科目为政治、历史、地理、物理、化学，生物6门，由考生根据报考高校以及专业要求，结合自身实际，首先在物理，历史中2选1，再从政治、地理、化学、生物中4选2，形成自己的高考选考组合．
（1）若某小组共6名同学根据方案进行随机选科，求恰好选到“物化生”组合的人数的期望；
（2）由于物理和历史两科必须选择1科，某校想了解高一新生选科的需求．随机选取100名高一新生进行调查，得到如下统计数据，写出下列联表中a，d的值，并判断是否有95%的把握认为“选科与性别有关”？
附：．
22．（12分）均值不等式≥（a＞0，b＞0）可以推广成均值不等式链，在不等式证明和求最值中有广泛的应用，具体为：≥（a＞0，b＞0）
（1）证明不等式；
上面给出的均值不等式链是二元形式，其中（a＞0，b＞0）指的是两个正数的平方平均数不小它们的算术平均数，类比这个不等式给出对应的三元形式，即三个正数的平方平均数不小于它们的算术平均数（无需证明）；
（2）若一个直角三角形的直角边分别为a，b，斜边c＝4，求直角三角形周长l的取值范围．
高三数学
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．【答案】A
【分析】利用均值不等式得出充分性，再利用特值法判断必要性即可．
【解答】解：因为a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，
由于a2+b2≤1，所以（a+b）2﹣2ab≤1，
即2ab≥（a+b）2﹣1，
因为a＞0，b＞0，
所以，
所以，
即（a+b）2≤2
所以a+b，
故“a2+b2≤1”是“”充分条件；
若a＝1.1，b＝0.1，此时a+b＝1.2，a2+b2＝1.21+0.01＝1.22＞1，
故“a2+b2≤1”是“”不必要条件；
综上，a＞0，b＞0，是“a2+b2≤1”是“”的充分不必要条件．
故选：A．
2．【答案】C
【分析】由正弦定理可得，sinA＞sinB．所以sin2A＞sin2B，两边同时加上cs2B，即可得证．
【解答】解：因为A＞B，所以a＞b，由正弦定理可得，sinA＞sinB．所以sin2A＞sin2B，所以sin2A+cs2B＞sin2B+cs2B＝1，反过来“sin2A+cs2B＞1”能推出来“A＞B”．
故选：C．
3．【答案】D
【分析】根据对数函数的定义域可得﹣1＜x＜0，将代入f（2x+2）+f（2x）＜﹣4，结合对数函数单调性运算求解．
【解答】解：令，解得﹣2＜x＜2，可知f（x）的定义域为（﹣2，2），
可得，解得﹣1＜x＜0，
关于不等式f（2x+2）+f（2x）＜﹣4，即，
整理得，
则，结合﹣1＜x＜0，解得，
所以不等式f（2x+2）+f（2x）＜﹣4的解集为．
故选：D．
4．【答案】A
【分析】根据题意，利用构造函数法，结合导数判断函数的单调性，算出a、b、c满足的大小关系．
【解答】解：由于，所以a＞c．
设f（x）＝x﹣sinx（0≤x≤1），则f′（x）＝1﹣csx≥0，f（x）在[0，1]上单调递增，
所以f（x）≥f（0）＝0，所以当0＜x＜1时，f（x）＞0，
则，即a＞b．
设，，
所以g′（x）在[0，1]上单调递增，g′（x）≥g′（0）＝0，
所以g（x）在[0，1]上单调递增，g（x）≥g（0）＝0，
所以当0＜x＜1时，g（x）＞0，即，
所以，而，所以，可得a＞b＞c．
故选：A．
5．【答案】C
【分析】由题意求出A点坐标，根据直线AB过焦点的直线，联立抛物线方程求出B点的横坐标，根据抛物线的焦点弦的弦长公式求解即可．
【解答】解：因为，所以，所以，
所以，又F（4，0），所以4），
即，又，
所以x2﹣10x+16＝0，解得x＝2或x＝8，所以xB＝8，
又因为|AB|＝|AF|+|BF|＝xA+xB+p＝2+8+8＝18，
点到直线的距离，
所以△PAB的面积．
故选：C．
6．【答案】A
【分析】根据题意，分别求出两个曲线的离心率进行比较，进而得出结论．
【解答】解：分别将曲线和化为标准方程可得，
，，由椭圆的性质可得，曲线C1的离心率为，
曲线C2的离心率为，显然，因此曲线C1更接近圆．
故选：A．
7．【答案】A
【分析】写出二项展开式的通项，令x的指数为1，求出参数的值，代入通项即可求得结果．
【解答】解：因为的展开式通项为，0≤k≤5，k∈N，
令2k﹣5＝1，解得k＝3，
因此的展开式中x的系数为．
故选：A．
8．【答案】B
【分析】根据所给定义，结合图形，分别计算出a，b，c，d的值即可
【解答】解：对于正四面体，其离散曲率a＝1﹣（×3）＝；
对于正八面体，其离散曲率b＝1﹣（×4）＝；
对于正十二面体，其离散曲率c＝1﹣（×3）＝；
对于正二十面体，其离散曲率d＝1﹣（×5）＝；
因为＞＞＞，
所以a＞b＞d＞c，
故选：B．
二．多选题（共4小题）
9．【答案】AD
【分析】根据题意，由函数图象平移的规律分析可得A错误，举出反例可得B错误，由函数的定义域分析可得C错误，分析两个函数的对称性，可得其图象交点也关于点（1，3）对称，进而分析可得D正确，即可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，函数＝3+，可以由函数y＝向右平移1个单位，向上平移3个单位得到，
故f（x）在区间（﹣∞，0]上单调递减，A正确；
对于B，当m＝3时，|f（x）|＝|3+|＝3，有唯一解x＝，故m＝0不是方程|f（x）|＝m有唯一实数根的必要条件，B错误；
对于C，函数，当x1＝x2＝1时，f（x1）、f（x2）没有意义，故C错误；
对于D，若函数y＝g（x+1）﹣3为奇函数，将其图象向上平移3的单位，向右平移1个单位可得g（x）的图象，
故g（x）的图象关于点（1，3）对称，
而＝3+，其图象也关于点（1，3）对称，
则f（x）与g（x）的图象的4个交点也关于，则有x1+x2+x3+x4＝4，y1+y2+y3+y4＝12，
故（x1+x2+x3+x4）（y1+y2+y3+y4）＝48，D正确．
故选：AD．
10．【答案】ABD
【分析】利用等比数列的性质及等比数列的通项公式判断出A正确，利用等比数列的性质及不等式的性质判断出B正确，利用等比数列的性质判断出C错误，利用等比数列的性质判断出D正确，从而得出结论．
【解答】解：对于A，∵a99a100﹣1＞0，
∴•q197＞1，∴（a1•q98）2＞1．
∵a1＞1，∴q＞0．
又∵，
∴a99＞1，且a100＜1．∴0＜q＜1，故A正确；
对于B，∵，
∴0＜a99•a101＜1，即 a99•a101﹣1＜0，故B正确；
对于C，由于T100＝T99•a100，而0＜a100＜1，故有 T100＜T99，故C错误；
对于D，T198＝a1•a2…a198＝（a1•a198）（a2•a197）…（a99•a100）＝（a99•a100）×99＞1，
T199＝a1•a2…a199＝（a1•a199）（a2•a198）…（a99•a101）•a100＜1，故D正确．
故选：ABD．
11．【答案】BC
【分析】先求点（4，2）关于直线l的对称点，得出反射后的直线，再对选项逐一检验．
【解答】解：由题意知，k＝tan45°＝1，设点（4，2）关于直线y＝x+1的对称点为（m，n），
则，解得，所以反射光线所在的直线方程为，
所以当x＝9时，y＝﹣15；当x＝﹣3时，y＝15．
故反射光线经过的点为（9，﹣15）和（﹣3，15）．
故选：BC．
12．【答案】ACD
【分析】根据全称命题的否定判断A；根据必要条件以及充分条件的判定判断B；根据正态分布的对称性判断C；利用导数判断函数单调性，结合零点的判定判断D．
【解答】解：由含有一个量词的命题的否定定义可知，
命题p：∀x＞0，x2≥0，则¬p：∃x＞0，x2＜0，A正确；
由可得f（x）≠0，∴f（﹣x）＝f（x），即可得f（x）是偶函数，
又由f（x）是偶函数，可得f（﹣x）＝f（x），当f（x）＝0时，无法推出，
故“函数f（x）满足”是“函数f（x）是偶函数”的充分不必要条件，故B错误；
随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），由正态分布的性质可知，对称轴为x＝1，
由P（ξ≤4）＝0.79可得P（ξ＞4）＝1﹣0.79＝0.21＝P（ξ≤﹣2），故C正确；
三次函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d（a≠0），
∴f′（x）＝3ax2+2bx+c，Δ＝（2b）2﹣4×3ac＝4（b2﹣3ac）≤0，
∴f′（x）≥0或f′（x）≤0恒成立，等号仅在时成立，即f（x）在R上单调，
又当x取无穷大正数或无穷小的负数时，函数值可以取到正无穷大或负无穷小，
故三次函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d（a≠0）有且仅有一个零点，故D正确．
故选：ACD．
三．填空题（共4小题）
13．【答案】．
【分析】由条件知与x2﹣2x﹣3＞0同解，再对m分类讨论，结合二次函数的图象和性质求出实数m的取值范围．
【解答】解：由x2﹣2x﹣3＞0，解得x＜﹣1或x＞3，
由条件知与x2﹣2x﹣3＞0同解，
则mx2+2（m+1）x+9m+4＜0的解集必为R或解集为，且，
当m≥0时，显然不符合条件；
所以，或，即，或，
解得或，
即，
所以m的取值范围为．
故答案为：．
14．【答案】．
【分析】对于函数整理变形，再利用f（x1）＝f（x2），可得lg3x1x2＝4，利用基本不等式求解最小值．
【解答】解：，
由不相等的正实数x1，x2，且f（x1）＝f（x2），
则，
则（lg3x1+lg3x2﹣4）（lg3x1﹣lg3x2）＝0，
因为lg3x1﹣lg3x2≠0，
所以lg3x1+lg3x2＝4，
故lg3x1x2＝4，则x1x2＝81，
又x1，x2∈（0，+∞），所以，
当且仅当，即x1＝3，x2＝27时取等号，
故的最小值为．
故答案为：．
15．【答案】．
【分析】利用VP﹣AMD＝VM﹣APD，可求点P到平面MAD的距离．
【解答】解：因为ABCD为矩形，将△ABM，△CDM分别沿着直线AM，MD翻折，
可得MP⊥AP，MP⊥DP，所以MP⊥平面ADP，
又，，
设点P到平面MAD的距离为h，又VP﹣AMD＝VM﹣APD，
所以，解得，
所以点P到平面MAD的距离为．
故答案为：．
16．【答案】﹣6480．
【分析】（x+2y﹣3z）6＝[（x+2y）﹣3z]6，然后两次利用通项公式求解即可．
【解答】解：因为（x+2y﹣3z）6＝[（x+2y）﹣3z]6，
设其展开式的通项公式为：，
令r＝3，
得（x+2y）3的通项公式为，
令m＝2，
所以（x+2y+3z）6的展开式中，xy3z2的系数为．
故答案为：﹣6480．
四．解答题（共6小题）
17．【答案】（1）；
（2）（﹣∞，2]．
【分析】（1）根据基本不等式直接求解即可；
（2）只需得到，由基本不等式“1”的妙用求出，从而得到9≥3a，求出答案．
【解答】解：（1）因为正数x，y满足x+2y＝1，
由基本不等式得，解得，
当且仅当x＝2y，即时，等号成立，
故xy的最大值为；
（2）要想恒成立，只需，
正数x，y满足x+2y＝1，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
故9≥3a，解得a≤2，
所以实数a的取值范围是（﹣∞，2]．
18．【答案】（1）0＜a＜1；（2）[﹣1，1]．
【分析】（1）直接利用集合间的关系求出参数a的取值范围；
（2）利用集合间的关系和充分条件和必要条件的应用求出实数a的取值范围．
【解答】解：（1）若1∈B，则﹣a（1﹣a）＜0，得0＜a＜1．
（2）由1≤2x+1≤8，得0≤x+1≤3，即﹣1≤x≤2，
所以A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|（x﹣a）（x﹣a﹣1）＜0}＝{x|a＜x＜a+1}，
若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，则B是A的真子集，
即解得﹣1≤a≤1，
经检验，当﹣1≤a≤1时均有B⫋A．
即实数a的取值范围是[﹣1，1]．
19．【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）利用三角函数恒等变换公式化简变形后，再利用周期可求出ω，从而可求出函数解析式，
（2）由可求出，再由可求得，然后利用正弦定理可求得结果．
【解答】解：（1）由题意，
＝
＝
＝
＝，
因为f（x）的最小正周期为π，所以，所以ω＝1，
所以；
（2）由可得，
故或．
所以或，
因为，所以．
又，所以，
由正弦定理可得．
20．【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）证明见解析．
【分析】（Ⅰ）建立坐标系求出点的坐标，利用坐标法进行求解即可解、
（Ⅱ）求出坐标，利用直线垂直与向量数量积的关系结合线面垂直的判定定理进行证明即可．
【解答】解：（Ⅰ）建立以D为坐标原点，DA，DC，DD1分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：
则D（0，0，0），A（2，0，0），C（0，2，0），B（2，2，0），A1（2，0，2），D1（0，0，2）
∵E，F分别为AB，A1C的中点，
∴E（2，1，0），F（1，1，1），
则＝（﹣1，0，1），＝（0，﹣2，2），
则•＝2，||＝，||＝＝2，
则cs＜，＞＝＝，
即＜，＞＝，即异面直线EF与CD1所成角为．
（Ⅱ）证明：＝（2，0，2），＝（0，2，0），
则•＝（﹣1，0，1）•（2，0，2）＝﹣2+2＝0，•＝（﹣1，0，1）•（0，2，0）＝0，
即⊥，⊥，
则EF⊥DA1，EF⊥DC，
∵DA1∩DC＝D，
∴EF⊥平面A1CD．
21．【答案】（1）；
（2）40，20，有95%的把握认为“选科与性别有关．
【分析】（1）根据列举法求出一个学生恰好选到“物化生”组合的概率，确定6名同学根据方案进行随机选科，符合二项分布，即可求得答案；
（2）由题意确定a，d的值，计算K2的值，与临界值表比较，即得结论．
【解答】解：（1）设物理、历史2门科目为m，n，政治、地理、化学、生物科目为e，b，c，f，
则根据高考选考组合要求共有组合为（m，e，b），（m，e，c），（m，e，f），（m，b，c），
（m，b，f），（m，c，f），（n，e，b），（n，e，c），（n，e，f），（n，b，c），（n，b，f），（n，c，f），共12种，
所以一个学生恰好选到“物化生”组合的概率为，
则6名同学根据方案进行随机选科，符合二项分布，
故恰好选到“物化生”组合的人数的期望为；
（2）由题意可得a＝40，d＝20；
则，
所以有95%的把握认为“选科与性别有关”．
22．【答案】（1）证明过程见解答；
（2）．
【分析】（1）利用作差法证明不等式成立，通过类比写出三元形式；
（2）利用基本不等式求出a+b的范围，再求出三角形周长的取值范围．
【解答】解：（1）证明：要证，即证，
∵，
∴，即，当且仅当a＝b时等号成立．
三元形式：．
（2）∵a2+b2＝c2＝16，
由（1），可得，
∴，当且仅当时取等号，
又a+b＞c＝4，a+b+c＞8，
∴三角形周长的取值范围．选择物理
选择历史
合计
男生
a
10
女生
30
d
合计
30
P（K2＞k0）
0.10
0.05
0.025
0.01
0.005
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879