2024年高考数学第一轮复习专题训练第四章　§4.6　函数y＝Asin(ωx＋φ)

§4.6　函数y＝Asin(ωx＋φ)

考试要求　1.结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义；能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响.2.会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型．

知识梳理

1．简谐运动的有关概念

已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x≥0

2.用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图时，要找五个特征点

3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径

常用结论

1．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．

2．函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ，k∈Z确定其横坐标．

思考辨析

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0)的最大值为A，最小值为－A.(　 　)

(2)函数f(x)＝sin 2x向右平移个单位长度后对应的函数g(x)＝sin.(　 　)

(3)把y＝sin x的图象上各点的横坐标缩短为原来的，所得函数解析式为y＝sin x.(　 　)

(4)如果y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为.(　 　)

教材改编题

1．函数y＝2sin的振幅、频率和初相分别为(　　)

A．2，，   B．2，，

C．2，，   D．2，，－

2．(2022·浙江)为了得到函数y＝2sin 3x的图象，只要把函数y＝2sin图象上所有的点(　　)

A．向左平移个单位长度

B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度

D．向右平移个单位长度

3．某港口在一天24小时内的潮水的高度近似满足关系式f(t)＝2sin，其中f(t)的单位为m，t的单位是h，则12点时潮水的高度是________m.

题型一　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换

例1　(1)(2021·全国乙卷)把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，则f(x)等于(　　)

A．sin   B．sin

C．sin   D．sin

(2)(2022·全国甲卷)将函数f(x)＝sin(ω＞0)的图象向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则ω的最小值是(　　)

A.  B.  C.  D.

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思维升华　(1)由y＝sin ωx的图象到y＝sin(ωx＋φ)的图象的变换：向左平移(ω>0，φ>0)个单位长度而非φ个单位长度．

(2)如果平移前后两个图象对应的函数的名称不一致，那么应先利用诱导公式化为同名函数，ω为负时应先变成正值．

跟踪训练1　(1)(2023·洛阳模拟)已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin，为了得到曲线C2，则对曲线C1的变换正确的是(　　)

A．先把横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的曲线向右平移个单位长度

B．先把横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的曲线向左平移个单位长度

C．先把横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再把得到的曲线向右平移个单位长度

D．先把横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再把得到的曲线向左平移个单位长度

(2)(2023·宁波模拟)将函数y＝tan(ω>0)的图象分别向左、向右各平移个单位长度后，所得的两个图象对称中心重合，则ω的最小值为(　　)

A.  B．2  C．3  D．6

题型二　由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式

例2　(1)(2023·芜湖模拟)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)＋b的大致图象如图所示，将函数f(x)的图象上点的横坐标拉伸为原来的3倍后，再向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的单调递增区间为(　　)

A.(k∈Z)

B.(k∈Z)

C.(k∈Z)

D.(k∈Z)

(2)(2021·全国甲卷)已知函数f(x)＝2cos (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f ＝______.

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思维升华　确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的步骤和方法

(1)求A，b.确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝.

(2)求ω.确定函数的最小正周期T，则ω＝.

(3)求φ.常用方法如下：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．

跟踪训练2　(1)(2020·全国Ⅰ改编)设函数f(x)＝cos在[－π，π]上的图象大致如图，则f(x)的解析式为(　　)

A．f(x)＝cos B．f(x)＝cos

C．f(x)＝cos D．f(x)＝cos

(2)(2023·潍坊模拟)已知函数g(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，将函数g(x)的图象向右平移个单位长度，得到函数f(x)的图象，则f ＝________.

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题型三　三角函数图象、性质的综合应用

命题点1　图象与性质的综合应用

例3　(2023·临沂模拟)已知函数f(x)＝sin 2ωx＋cos 2ωx(ω>0)的零点构成一个公差为的等差数列，把f(x)的图象沿x轴向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象，则(　　)

A．g(x)在上单调递减

B．点是g(x)的一个对称中心

C．g(x)是奇函数

D．g(x)在区间上的值域为[0,2]

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命题点2　函数零点(方程根)问题

例4　已知关于x的方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0在上有两个不同的实数根，则m的取值范围是____________．

延伸探究　本例中，若将“有两个不同的实数根”改成“有实根”，则m的取值范围是________．

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命题点3　三角函数模型

例5　(多选)(2023·石家庄模拟)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用(图1)，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(图2)．一半径为2米的筒车水轮如图3所示，水轮圆心O距离水面1米，已知水轮每60秒逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图3中点P0)开始计时，则下列结论正确的是(　　)

A．点P再次进入水中时用时30秒

B．当水轮转动50秒时，点P处于最低点

C．当水轮转动150秒时，点P距离水面2米

D．点P第二次到达距水面(1＋)米时用时25秒

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思维升华　(1)研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．

(2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．

(3)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题．

跟踪训练3　(1)(2022·长沙模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，把函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，得到函数y＝g(x)的图象，则下列说法正确的是(　　)

A．g为偶函数

B．g(x)的最小正周期是π

C．g(x)的图象关于直线x＝对称

D．g(x)在区间上单调递减

(2)(2023·六安模拟)已知函数f(x)＝sin πωx－cos πωx(ω>0)在(0,1)内恰有3个极值点和4个零点，则实数ω的取值范围是(　　)

A.   B.

C.   D.

(3)(2022·南京模拟)时钟花是原产于南美热带雨林的藤蔓植物，其开放与闭合与体内的一种时钟酶有关．研究表明，当气温上升到20 ℃时，时钟酶活跃起来，花朵开始开放；当气温上升到28 ℃时，时钟酶的活性减弱，花朵开始闭合，且每天开闭一次．已知某景区一天内5～17时的气温T(单位： ℃)与时间t(单位：h)近似满足关系式T＝20－10sin，则该景区这天时钟花从开始开放到开始闭合约经历(　　)

A．1.4 h  B．2.4 h  C．3.2 h  D．5.6 h