广东省东莞市东莞外国语学校2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题

这是一份广东省东莞市东莞外国语学校2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（每题5分，共40分）
1．设集合，，若，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3．某公司为了调查员工的健康状况，由于女员工所占比重大，按性别分层，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取样本，若样本中有女员工39人，男员工21人，女员工的平均体重为50kg，标准差为6，男员工的平均体重为70kg，标准差为4．则所抽取的所有员工的体重的方差为（ ）
A．29B．120C．100D．112
4．二项式展开式中，含项的系数为（ ）
A．20B．C．D．80
5．函数,经过点，则关于的不等式解集为（ ）
A． B． C． D．
6．若函数是定义在上的奇函数，，则（ ）
A．2B．0C．60D．62
7．如图，在两行三列的网格中放入标有数字的六张卡片，每格只放一张卡片，则“只有中间一列两个数字之和为5”的不同的排法有（ ）
A．96种B．64种C．32种D．16种
8．已知实数，，满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（每题6分，共18分，部分选对得部分分，错选得0分）
9．已知正数，满足，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为B．的最小值为
C．的最大值为D．的最小值为
10．从某加工厂生产的产品中抽取200件作为样本，将它们进行某项质量指标值测量，并把测量结果x用频率分布直方图进行统计（如图）.若同一组中数据用该组区间的中点值作代表，则关于该样本的下列统计量的叙述正确的是（ ）
A．指标值在区间的产品约有48件 B．指标值的平均数的估计值是200
C．指标值的第60百分位数是200 D．指标值的方差估计值是150
11．已知函数，的定义域为，的导函数为，且，，若为偶函数，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若存在使在上单调递增，在上单调递减，则的极小值点为
D．若为偶函数，则满足题意的唯一，满足题意的不唯一
三、填空题（每题5分，共15分）
12．已知随机变量服从正态分布，且，则 .(精确到小数点后第五位)
13．已知是定义R在上的奇函数，当时，，当时，，则
14．设，对任意实数x，用fx表示中的较小者．若函数至少有3个零点，则的取值范围为 .
四、解答题
15．（13分）已知函数．
(1)当时，求的极值；
(2)若恒成立，求实数的取值范围；
16．（15分）随着中国科技的迅猛发展和进步，中国民用无人机行业技术实力和国际竞争力不断提升，市场规模持续增长.为了适应市场需求，我国某无人机制造公司研发了一种新型民用无人机，为测试其性能，对其飞行距离与核心零件损坏数进行了统计，数据如下：
(1)据关系建立y关于x的回归模型 求y关于x的回归方程（精确到0.1，精确到1）.
(2)为了检验核心零件报废是否与保养有关，该公司进行第二次测试，从所有同型号民用无人机中随机选取100台进行等距离测试，对其中60台进行测试前核心零件保养，测试结束后，有20台无人机核心零件报废，其中保养过的占比30%，请根据统计数据完成2×2列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为核心零件的报废与保养有关?
附：回归方程 中斜率和截距的最小二乘原理估计公式 ，
参考数据：
17．（15分）甲､乙两人准备进行台球比赛，比赛规定：一局中赢球的一方作为下一局的开球方.若甲开球，则本局甲赢的概率为，若乙开球，则本局甲赢的概率为，每局比赛的结果相互独立，且没有平局，经抽签决定，第1局由甲开球.
(1)求第3局甲开球的概率；
(2)设前4局中，甲开球的次数为，求的分布列及期望.
18．（17分）已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若不等式恒成立，求a的取值范围．
19．（17分）无穷数列，，…，，…的定义如下：如果n是偶数，就对n尽可能多次地除以2，直到得出一个奇数，这个奇数就是﹔如果n是奇数，就对尽可能多次地除以2，直到得出一个奇数，这个奇数就是．
(1)写出这个数列的前7项；
(2)如果且，求m，n的值；
(3)记，，求一个正整数n，满足．
飞行距离x（千千米）
56
63
71
79
90
102
110
117
核心零件损坏数y （个）
61
73
90
105
119
136
149
163
保养
未保养
合计
报废
20
未报废
合计
60
100
0. 25
0. 1
0. 05
0.025
0. 01
0. 001
1.323
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
2024-2025学年第一学期东莞外国语学校高三段考一
参考答案
1．A【详解】，；由可以推出，所以，
a的取值范围是．故选：A.
2．D【详解】由命题否定的定义得命题“，”的否定是，，故D正确.
3．B【详解】依题意，样本中所有员工的体重的平均值为，则样本中所有员工的体重的方差.
4．A【详解】表示5个因式的乘积，要得到含项，需有1个因式取，其余的4个因式都取，系数为，或者需有2个因式取项，需有2个因式取，其余的1个因式都取，系数为，故含项的系数为．
5．B【详解】由函数的图象经过点，得，则，函数在上单调递减，在上单调递减，则在R上单调递减，又，即函数是奇函数，不等式，则，
即，解得，所以原不等式的解集为.
6．A【详解】由题意，所以的周期为4，且关于直线对称，而，所以.故选：A.
7．B【详解】根据题意，分3步进行，一步，要求“只有中间一列两个数字之和为5”，则中间的数字只能为两组数1，4或2，3中的一组，共有种排法；第二步，排第一步中剩余的一组数，共有种排法；第三步，排数字5和6，共有种排法；由分步计数原理知，共有不同的排法种数为.
8．A【详解】由已知有，即，即，因为，令，，易知在上单调递增，因，所以，故，即.以，令，可得，又因在上小于零，故y在单调递减，在上大于零，故y在单调递增，故当时，y取极小值也是最小值为e.故选：A
9．ABD【详解】对于A：∵，，.∴，.当且仅当，即，，取“”，∴A正确；对于B：，由（1）知，∴.
∴.∴B正确；对于C：.∴，∴C错误；对于D：，当且仅当，即，取“”，∴D正确.故选：ABD.
10．ABD【详解】指标值的样本频率是，指标值在区间的产品约有件，A正确；抽取的产品的质量指标值的样本平均数和样本方差分别为：，，BD正确；由直方图得，从第一组至第七组的频率依次是0.02，0.09，0.22，0.33，0.24，0.08，0.02，所以指标值的第60百分位数m在内，，解得，C错误.
11．ABD【详解】对A，因为为偶函数，所以是奇函数，所以，又，以，故A对；对B，由，，得，所以，所以，，又，所以是周期为4的函数，也是周期为4的函数，所以，故B对；对C，在上严格增，在上严格减，由，的图象关于对称且，由A可得，故在上严格增，在上严格减，可知在严格递减，在严格递增，又的周期为4， 所以在严格递增，所以在严格递减，在严格递减，又，所以0是的极大值点，是周期为4的函数，所以则的极大值点为，故C错；对D，若为偶函数，由于是奇函数，，则，即，所以，，所以唯一，不唯一，故D对.故选：ABD.
12．0.15865【详解】由于服从正态分布，故正态曲线的对称轴为直线．所以，故．故答案为：0.15865
13． 【详解】令，则，所以．因为是定义在R上的奇函数，所以，所以，所以，，
14．【详解】设，，由可得.要使得函数至少有个零点，则函数至少有一个零点，则，
解得或.
①当时，，作出函数、的图象如下图所示：
此时函数只有两个零点，不合乎题意；
②当时，设函数的两个零点分别为、，
要使得函数至少有个零点，则，所以，，解得；
③当时，，作出函数、的图象如下图所示：
由图可知，函数的零点个数为，合乎题意；
④当时，设函数的两个零点分别为、，
要使得函数至少有个零点，则，
可得，解得，此时.
综上所述，实数的取值范围是.故答案为：.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
15．【详解】（1）当时，，定义域为0,+∞，则，……..2分
当时，f'x<0，当时，f'x>0，则在0,1上单调递减，在1,+∞上单调递增，
所以有极小值，无极大值………………………………………………………………..6分
（2）因为恒成立，得，，………………………………………………..8分
令，，求导的，
当,,当时，，
即函数在上递减，在上递增，………………………………………………分
因此，则a≤-1e，所以的取值范围a≤-1e. …………………………………13分
16．【详解】（1）依题意，，……..4分（列式对了给2分，算出1.6再得2分，若算出1.5或者1.7的第一问总体扣2分，其他值不给分.）
，所以y 关于 x的线性回归方程为.……………7分
（2）依题意，报废机核心零件中保养过的有台，未保养的有台，………8分
则列联表如下：
………………………………………………………………………………………………………………10分
零假设：核心零件是否报废与保养无关，
则，…………………………………………14分（式子列对得2分，算对得2分）
根据小概率值的独立性检验，
推断不成立，即认为核心零件报废与是否保养有关，此推断的错误概率不大于0.01. …………15分
17．【详解】（1）设第局甲胜为事件，则第局乙胜为事件，其中
则“第3局甲开球”为事件，
.…………………6分
（2）依题意，………………………………………………………………………… 7分
，
，
，
，…………………………………………………… 11分（每个1分）
的分布列为
………………………………………………………………………………………………… 13分
则……………………………………………………分
18．【详解】（1），，.………………..2分
，∴切点坐标为(1,1+e),
∴函数在点(1,f(1)处的切线方程为,即,…………..4分
切线与坐标轴交点坐标分别为,……………………………………………..6分
∴所求三角形面积为．…………………………………………………..7分
（2）［方法一］：通性通法
,，且.……………………………..9分
设,则…………………………………………………分
∴g(x)在上单调递增，即在上单调递增，……………………分
当时，,∴,∴成立.
当时， ，，,
∴存在唯一，使得，且当时，当时，，，……………………………………………………分
因此
>1,
∴∴恒成立；
当时， ∴不是恒成立.
综上所述，实数a的取值范围是[1,+∞). ……………………………………………………分
［方法二］【最优解】：同构
由得，即，而，所以．
令，则，所以在R上单调递增．
由，可知，所以，所以．
令，则．
所以当时，单调递增；
当时，单调递减．
所以，则，即．
所以a的取值范围为．
［方法三］：换元同构
由题意知，令，所以，所以．
于是．由于，而在时为增函数，故，即，分离参数后有．令，所以．当时，单调递增；当时，单调递减．所以当时，取得最大值为．所以．
［方法四］：
因为定义域为，且，所以，即．令，则，所以在区间内单调递增．因为，所以时，有，即．下面证明当时，恒成立．令，只需证当时，恒成立．因为，所以在区间内单调递增，则．因此要证明时，恒成立，只需证明即可．由，得．上面两个不等式两边相加可得，故时，恒成立．当时，因为，显然不满足恒成立．所以a的取值范围为．
19.【详解】（1）根据题意，，，
，，，
，．…………………………………………………3分（算对两个得1分）
（2）由已知，m，n均为奇数，不妨设．
当时，因为，所以，故；…………………………5分（猜对但是没证明的只给2分）
当时，因为，而n为奇数，，所以．
又m为奇数，，所以存在，使得为奇数．
所以．
而，所以，即，，无解．
所以．………………………………………………………………………………8分
（3）显然，n不能为偶数，否则，不满足．……………………9分
所以，n为正奇数．又，所以．
设或，．………………………………………………………11分
当时，，不满足；
当时，，即．
所以，取，时，………………………………………………………14分
即．………………………………………17分
【点睛】关键点点睛：第（3）问中，发现当时，满足，从而设，，验证满足条件.
保养
未保养
合计
报废
6
14
20
未报废
54
26
80
合计
60
40
100
1
2
3
4