2024年数学高考大一轮复习第十二章 §12.5　概率与统计的综合问题

1．(2023·大理模拟)第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日在中国北京开幕，简称“北京冬奥会”．某媒体通过网络随机采访了某市100名关注“北京冬奥会”的市民，并将其年龄数据绘制成如图所示的频率分布直方图．

(1)已知[30,40)，[40,50)，[50,60)三个年龄段的人数依次成等差数列，求a，b的值；

(2)该媒体将年龄在[30,50)内的人群定义为高关注人群，其他年龄段的人群定义为次高关注人群，为了进一步了解其关注项目．现按“关注度的高低”采用分层抽样的方式从参与采访的100位关注者中抽取10人，并在这10人中随机抽取3人进行电视访谈，求此3人中来自高关注人群的人数X的分布列与均值．

2．(2022·衡阳模拟)某市某部门为了了解全市中学生的视力情况，采用分层抽样的方法抽取了该市120名中学生，已知该市中学生男女人数比例为7∶5，他们的视力情况统计结果如表所示：

(1)请把表格补充完整，判断是否有99%的把握认为近视与性别有关；

(2)如果用这120名中学生中男生和女生近视的频率分别代替该市中学生中男生和女生近视的概率，且每名同学是否近视相互独立．现从该市中学生中任选4人，设随机变量X表示4人中近视的人数，求X的分布列及均值．

附：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.

3．随着生活水平的不断提高，人们越来越注重养生．科学健身有利于降低脂肪含量，健身器材成为人们的新宠．某小区物业决定选购一款健身器材，物业管理员从该品牌的销售网站了解到此款健身器材近五个月的实际销量如表所示：

(1)求出销量y关于月份编号t的线性回归方程，并预测12月份该品牌此款健身器材的销量；

(2)该品牌销售商为了促销，采取“摸球定价格”的优惠方式，其规则为：盒子内装有编号为1,2,3的三个完全相同的小球，有放回地摸三次，三次摸到相同编号的享受七折优惠，三次仅有两次摸到相同编号的享受八折优惠，其余均九折优惠．已知此款健身器材一台标价为10 000元，设物业公司购买此款健身器材的价格为X，求X的分布列与均值．

参考公式与数据：对于线性回归方程＝x＋，其中＝，＝－，

(ti－)(yi－)＝3.2.

4．2022年3月，“两会”在北京召开，会议吸引了全球的目光，对我国以后的社会经济发展有深刻的历史意义，某媒体为调查本市市民对“两会”的了解情况，进行了一次“两会”知识问卷调查(每位市民只能参加一次)，随机抽取年龄在15～75岁之间的100人进行调查，并按年龄绘制的频率分布直方图如图所示，其分组区间为[15,25)，[25,35)，[35,45)，[45,55)，[55,65)，[65,75]，把年龄落在区间[15,35)和[35,75]内的人分别称为“青少年人”和“中老年人”．

(1)若“青少年人”中有15人在关注“两会”，根据已知条件完成下面的2×2列联表，判断是否有99%的把握认为关注“两会”与年龄有关；

(2)由(1)中结果，采用分层抽样的方法从“青少年人”关注“两会”和不关注“两会”的人中抽取6人，再从这6人中选3人进行专访，设这3人中关注“两会”的人数为X，求X的分布列和均值．

附：K2＝，n＝a＋b＋c＋d.

5．(2023·南平模拟)某学校共有3 000名学生，其中男生1 800人，为了解该校学生在校的月消费情况，采取分层抽样的方式抽取100名学生进行调查，先统计他们某月的消费金额，然后按“男生、女生”分成两组，再分别将两组学生的月消费金额(单位：元)分成5组：[300,400)，[400,500)，[500,600)，[600,700)，[700,800]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)样本中将月消费金额不低于600元的学生称为“高消费群”．请你根据已知条件完成下列2×2列联表，分析是否有95%的把握认为该校学生属于“高消费群”与性别有关；

附：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.

(2)以样本估计总体，将调查所得到的频率视为概率，现从该学校中每次随机抽取1名学生，共抽取4次，且每次抽取的结果是相互独立的，记被抽取的4名学生中属于“高消费群”的人数为X，求X的均值E(X)和方差D(X)．

6．(2023·成都模拟)某公司为了提升一款产品的市场竞争力和市场占有率，对该款产品进行了科技创新和市场开发，经过一段时间的运营后，统计得到x，y之间的五组数据如表所示：

其中，x(单位：百万元)是科技创新和市场开发的总投入，y(单位：百万元)是科技创新和市场开发后的收益．

(1)求相关系数r的大小(精确到0.01)，并判断科技创新和市场开发后的收益y与科技创新和市场开发的总投入x的线性相关程度；

(2)该公司对该产品的满意程度进行了调研，在调研100名男、女性消费者后，得到数据如表所示：

根据独立性检验，判断是否有99%的把握认为消费者满意程度与性别有关；

(3)对(2)中调研的45名女性消费者，按照其满意程度进行分层抽样，从中抽出9名女性消费者到公司进行现场考察，再从这9名女性消费者中随机抽取4人进行深度调研，记这4人中“满意”的人数为X，求X的分布列及均值．

参考公式：

①r＝；

②K2＝，

其中n＝a＋b＋c＋d.

参考数据：≈22.