2024年数学高考大一轮复习第十章 §10.2　随机抽样、统计图表（附答单独案解析）

§10.2　随机抽样、统计图表

考试要求　1.会用简单随机抽样的方法从总体中抽取样本，了解系统抽样和分层抽样.2.理解统计图表的含义．

知识梳理

1．随机抽样

(1)简单随机抽样：一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都________，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．

(2)系统抽样：当总体中的个体数目较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照事先定出的规则，从每一部分抽取一个个体得到所需要的样本，这种抽样方法叫做系统抽样．

(3)分层抽样：一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照____________________，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．

2．用样本的频率分布估计总体分布

(1)在频率分布直方图中，纵轴表示________，数据落在各小组内的频率用各小长方形的面积表示．各小长方形的面积的总和等于______．

(2)频率分布折线图和总体密度曲线

①频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的________，就得到频率分布折线图．

②总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线．

(3)茎叶图

茎是指中间的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数．

常用结论

1．简单随机抽样和分层抽样在抽样过程中每个个体被抽取的机会相等，分层抽样中各层抽样时采用简单随机抽样．

2．利用分层抽样要注意按比例抽取，若各层应抽取的个体数不都是整数，可以进行一定的技术处理，比如将结果取成整数等．

3．频率分布直方图中纵轴上的数据是各组的频率除以组距，不要和条形图混淆．

思考辨析

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)在简单随机抽样中，每个个体被抽到的机会与先后顺序有关．(　　)

(2)抽签法和随机数法都是简单随机抽样．(　　)

(3)在分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数有关．(　　)

(4)在频率分布直方图中，小长方形的面积越大，表示样本数据落在该区间的频率越大．(　　)

教材改编题

1．从某市参加升学考试的学生中随机抽查1 000名学生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，下列说法正确的是(　　)

A．总体指的是该市参加升学考试的全体学生

B．样本指的是1 000名学生的数学成绩

C．样本容量指的是1 000名学生

D．个体指的是1 000名学生中的每一名学生

2．为迎接杭州亚运会，亚委会采用按性别分层抽样的方法从某高校报名的200名学生志愿者中抽取30人组成亚运会志愿小组，若30人中共有男生12人，则这200名学生志愿者中女生可能有(　　)

A．12人  B．18人  C．80人  D．120人

3．已知某一段公路限速70千米/时，现抽取400辆通过这一段公路的汽车的速度，其频率分布直方图如图所示，则这400辆汽车中在该路段超速的有________辆．

题型一　抽样方法

例1 (1)下面3项抽样调查：①从10盒酸奶中抽取3盒进行卫生检查；②科技报告厅有32排座椅，每排40个座位，某次报告会恰好坐满了观众，抽取32位进行座谈；③某中学共有160名教职工，其中教师120名，行政人员16名，后勤人员24名，为了解教职工对校务公开方面的意见，抽取一个容量为20的样本进行调查．分别适合采用的抽样方法是(　　)

A．①简单随机抽样②系统抽样③分层抽样

B．①简单随机抽样②分层抽样③系统抽样

C．①系统抽样②简单随机抽样③分层抽样

D．①分层抽样②系统抽样③简单随机抽样

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(2)某社区为迎接中秋节，组织了隆重的庆祝活动，为全面了解社区居民的文娱喜好，已知参加活动的老年人、中年人、青年人的人数比为10∶13∶12，如果采用分层抽样方法从所有人中抽取一个70人的样本进行调查，则应抽取的青年人的人数为(　　)

A．20  B．22  C．24  D．26

听课记录：_______________________________________________________________________

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思维升华 (1)简单随机抽样需满足：①被抽取的样本总体的个体数有限；②逐个抽取；③等可能抽取．

(2)在分层抽样中，抽样比＝＝.

跟踪训练1 (1)质检机构为检测一大型超市某商品的质量情况，利用系统抽样的方法从编号为1～120的该商品中抽8件进行质检，若所抽样本中含有编号为84的商品，则下列编号没有被抽到的是(　　)

A．114   B．39

C．25   D．9

(2)2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”设计造型可爱，市场供不应求，某厂的三个车间在一个小时内共生产450个冰墩墩，在出厂前要检查这批冰墩墩的质量，决定采用分层抽样方法进行抽取，若从一、二、三车间中抽取的冰墩墩数量分别为a，b，c且a，b，c构成等差数列，则第二车间生产的冰墩墩的数量为(　　)

A．200  B．300  C．120  D．150

题型二　统计图表

例2 (1)新式茶饮是指以上等茶叶通过萃取浓缩，再根据消费者偏好，添加牛奶、坚果、柠檬等小料调制而成的饮料．如图为2022年我国消费者购买新式茶饮的频次扇形图及月均消费新式茶饮金额的条形图．

根据所给统计图，下列结论中正确的有(　　)

①每周都消费新式茶饮的消费者占比不到90%；

②每天都消费新式茶饮的消费者占比超过20%；

③月均消费新式茶饮50～200元的消费者占比超过50%；

④月均消费新式茶饮超过100元的消费者占比超过60%.

A．①②   B．②③

C．①③④   D．①②④

(2)某社区安置了15个核酸检测点，每个检测点每天检测的人数都是随机的，不受位置等因素影响，如图是由某天检测人数绘制的茎叶图，则某个检测点某天检测人数达145及以上的可能性大致为(　　)

A．47%   B．53%

C．33%   D．67%

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思维升华 统计图表的主要应用

扇形图：直观描述各类数据占总数的比例；

折线图：描述数据随时间的变化趋势；

条形图和直方图：直观描述不同类别或分组数据的频数和频率；

茎叶图：清晰显示数据的分布情况．

跟踪训练2 (1)已知全国农产品批发价格200指数月度变化情况如图所示，下列选项正确的是(　　)

A．全国农产品夏季价格比冬季低

B．全国农产品批发价格200指数2022年每个月逐渐增加

C．2022年“菜篮子”产品批发价格指数与农产品批发价格200指数趋势基本保持一致

D．2022年6月农产品批发价格200指数大于126

(2)某保险公司推出了5个险种，甲：一年期短险；乙：两全保险；丙：理财类保险；丁：定期寿险；戊：重大疾病保险．现对5个险种的参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图．

用样本估计总体，下列说法错误的是(　　)

A．30～41周岁的参保人数最多

B．随着年龄的增长，人均参保费用越来越高

C．54周岁以下的参保人数约占总参保人数的8%

D．定期寿险最受参保人青睐

题型三　频率分布直方图

例3 下面是北方某城市2022年1～2月的日平均气温(单位：℃)的记录数据：

－3　2　  －4　－7　－11　－1　7　  8　  9　－6

－14  －18  －15  －9  －6  －1  0  5  －4  －9

－6  －8  －12  －16  －19  －15  －22  －25  －24  －19

－8  －6  －15  －11  －12  －19  －25  －24  －18  －17

－14  －22  －13  －9  －6  0  －1  5  －4  －9

－3  2  －4  －4  －1  7  5  －6  －5

(1)将数据适当分组，并画出相应的频率分布直方图；

(2)试估计该城市2022年1～2月的日平均气温在0℃以下的天数所占的百分比．

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思维升华 频率分布直方图的相关结论

(1)频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1.

(2)频率分布直方图中纵轴表示，每组样本的频率为组距×，即小长方形的面积．

(3)频率分布直方图中每组样本的频数为频率×总数．

跟踪训练3 某校为了解学生学习的效果，进行了一次摸底考试，从中选取60名学生的成绩，分成[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]六组后，得到不完整的频率分布直方图如图所示，观察图形，回答下列问题：

(1)求分数在区间[70,80)内的频率，并补全这个频率分布直方图；

(2)根据评奖规则，排名在前10%的学生可以获奖，请你估计获奖的学生至少需要考多少分？

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