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2024年数学高考大一轮复习第十一章 §11.2 古典概型与几何概型（附答单独案解析）
展开这是一份2024年数学高考大一轮复习第十一章 §11.2 古典概型与几何概型（附答单独案解析），共6页。试卷主要包含了理解古典概型及其概率计算公式，几何概型，若在阳马P－ABCD，024，635等内容，欢迎下载使用。
§11.2 古典概型与几何概型
考试要求 1.理解古典概型及其概率计算公式.2.会计算一些随机事件所含的基本事件的个数及事件发生的概率.3.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率.4.了解几何概型的意义．
知识梳理
1．古典概型
(1)古典概型的特征：
①有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有________个；
②等可能性：每个基本事件出现的__________相等．
(2)古典概型的概率计算的基本步骤：
①判断本次试验的结果是否是____________，设出所求的事件为A；
②分别计算基本事件的总数n和所求的事件A所包含的基本事件的个数m；
③利用古典概型的概率公式P(A)＝，求出事件A的概率．
(3)频率的计算公式与古典概型的概率计算公式的异同
名称 | 不同点 | 相同点 |
频率计算公式 | 频率计算中的m，n均随随机试验的变化而变化，但随着试验次数的增多，它们的比值逐渐趋近于概率值 | 都计算了一个比值 |
古典概型的概率计算公式 | 是一个定值，对同一个随机事件而言，m，n都不会变化 |
2.几何概型
(1)概念：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的________________________成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．
(2)几何概型的基本特点：
①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；
②每个基本事件出现的可能性相等．
(3)计算公式：P(A)＝______________________________________________________________.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)从－3，－2，－1,0,1,2中任取一个数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同．( )
(2)在一个正方形区域内任取一点的概率为0.( )
(3)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”．( )
(4)两个互斥事件的概率和为1.( )
教材改编题
1．袋中装有大小、形状完全相同的6个白球，4个红球，从中任取一球，则取到白球的概率为( )
A. B. C. D.
2．在数轴的[0,3]上任投一点，则此点表示的数小于1的概率为( )
A. B. C. D．1
3．从1,3,5,7这4个数中随机取出2个不同的数表示为a，b，则a＋b>7的概率为________．
题型一 古典概型
例1 (1)(2023·银川模拟)在2,3,5,7这四个数中任取三个数，将其组成无重复数字的三位数，则这个数是奇数的概率为( )
A. B. C. D.
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(2)(2023·南通质检)我国数学家张益唐在“孪生素数”研究方面取得突破，孪生素数也称为孪生质数，就是指两个相差2的素数，例如5和7.在大于3且不超过20的素数中，随机选取2个不同的数，恰好是一组孪生素数的概率为( )
A. B.
C. D.
听课记录：_______________________________________________________________________
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思维升华 利用公式法求解古典概型问题的步骤
跟踪训练1 (1)(2022·全国甲卷)从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回地随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为( )
A. B.
C. D.
(2)“哥德巴赫猜想”是世界近代三大数学难题之一，今日常见的猜想陈述为欧拉的版本，即任一大于2的偶数都可写成两个素数(质数)之和．若将24拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为素数的概率为________．
题型二 古典概型与统计的综合问题
例2 为了了解使用某种新型药品后是否会引起疲乏症状，该机构随机抽取了某地患有这种疾病的275人进行调查，得到统计数据如表：
| 无疲乏症状 | 有疲乏症状 | 总计 |
未使用新药 | 150 | 25 | t |
使用新药 | x | y | 100 |
总计 | 225 | m | 275 |
(1)求2×2列联表中的数据x，y，m，t的值，并判断能否有95%的把握认为有疲乏症状与使用该新药有关；
(2)从使用该新药的100人中按是否有疲乏症状，采用分层抽样的方法抽出4人，再从这4人中随机抽取2人做进一步调查，求这2人中恰有1 人有疲乏症状的概率．
附：K2＝，n＝a＋b＋c＋d.
P(K2≥k0) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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思维升华 求解古典概型的综合问题的步骤
(1)将题目条件中的相关知识转化为事件；
(2)判断事件是否为古典概型；
(3)选用合适的方法确定基本事件个数；
(4)代入古典概型的概率公式求解．
跟踪训练2 从参加环保知识竞赛的学生中抽出40名，将其成绩(均为整数)整理后画出频率分布直方图如图所示，观察图形，回答下列问题．
(1)成绩在[80,90)这一组的频数、频率分别是多少？
(2)估计这次环保知识竞赛成绩的平均数、众数、中位数；(不要求写过程)
(3)从成绩是80分以上(包括80分)的学生中选2人，求他们在同一分数段的概率．
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题型三 几何概型
例3 (1)勒洛三角形是一种特殊三角形，指分别以正三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形．如图，在勒洛三角形ABC内随机选取一点，则该点位于正三角形ABC内的概率为( )
A. B.
C. D.
听课记录：_______________________________________________________________________
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(2)在区间[－1,1]上随机取一个数k，使直线y＝k(x＋3)与圆x2＋y2＝1相交的概率为( )
A. B. C. D.
听课记录：_______________________________________________________________________
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思维升华 (1)求解几何概型概率的步骤
(2)与体积有关的几何概型的解题策略
对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的问题也可利用其对立事件求解．
跟踪训练3 (1)如图是一个边长为4的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷800个点，其中落入黑色部分的有453个点，据此可估计黑色部分的面积约为( )
A．11 B．10 C．9 D．8
(2)阳马是中国古代算术中的一种几何形体，是底面为长方形，且两个三角形侧面与底面垂直的四棱锥．在阳马P－ABCD中，PC为阳马P－ABCD中最长的棱，AB＝1，AD＝2，PC＝3.若在阳马P－ABCD
的外接球内部随机取一点，则该点位于阳马内的概率为( )
A. B. C. D.
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