2024年数学高考大一轮复习第十章 §10.3　用样本估计总体（附答单独案解析）

§10.3　用样本估计总体

考试要求　1.会用统计图表对总体进行估计.2.能用数字特征估计总体集中趋势和总体离散程度．

知识梳理

1．平均数、中位数和众数

(1)平均数：＝________________________.

(2)中位数：将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，处在最________的一个数据(当数据个数是奇数时)或最中间两个数据的________________(当数据个数是偶数时)．

(3)众数：一组数据中出现次数________的数据(即频数最大值所对应的样本数据)．

2．方差和标准差

(1)方差：s2＝____________________________________________________________________.

(2)标准差：s＝___________________________________________________________________.

常用结论

1．若x1，x2，…，xn的平均数为，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均数为m＋a.

2．数据x1，x2，…，xn与数据x1′＝x1＋a，x2′＝x2＋a，…，xn′＝xn＋a 的方差相等，即数据经过平移后方差不变．

3．若x1，x2，…，xn的方差为s2，那么ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为a2s2.

思考辨析

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)对一组数据来说，平均数和中位数总是非常接近．(　　)

(2)方差与标准差具有相同的单位．(　　)

(3)如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这组数的平均数改变，方差不变．(　　)

(4)在频率分布直方图中，可以用最高的小长方形底边中点的横坐标作为众数的估计值．(　　)

教材改编题

1．若数据x1，x2，…，x9的方差为2，则数据2x1,2x2，…，2x9的方差为(　　)

A．2  B．4  C．6  D．8

2．已知一组数据a,0,1,2,3，若该组数据的平均数为1，则a等于(　　)

A．0  B．2  C．1  D．－1

3．某校体育节10名旗手的身高(单位：cm)分别为175,178,176,180,179,175,176,179,180,179，则这10名旗手身高的中位数为________ cm.

题型一　样本的数字特征

例1 (1)某工厂10名工人某天生产同一类型零件，生产的件数分别是10,12,14,14,15,15,16,17,17,17.记这组数据的中位数为a，平均数为b，众数为c，则(　　)

A．a>b>c   B．b>c>a

C．c>a>b   D．c>b>a

听课记录：_______________________________________________________________________

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(2)如图为甲、乙两位同学在5次数学测试中得分的茎叶图，则平均成绩较低的那位同学的成绩的方差为(　　)

A．1  B．2  C．4  D．5

听课记录：_______________________________________________________________________

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思维升华 平均数、中位数、众数与方差、标准差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义，平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述其离散程度．

跟踪训练1 (1)有一组样本数据：1,2,4,3,1,2,1，则(　　)

A．这组数据的众数为2

B．这组数据的极差为1

C．这组数据的平均数为2

D．这组数据的中位数为

(2)已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为，方差为s2，则(　　)

A.＝4，s2<2   B.＝4，s2＝2

C.>4，s2<2   D.>4，s2>2

题型二　总体集中趋势的估计

例2 某市共有居民60万人，为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．

(1)求a的值，并估计该市居民月均用水量不少于3吨的人数；

(2)估计该市居民月均用水量的众数和中位数．

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思维升华 频率分布直方图中的数字特征

(1)众数：最高矩形的底边中点的横坐标．

(2)中位数：中位数左边和右边的矩形的面积和应该相等．

(3)平均数：平均数在频率分布直方图中等于各组区间的中点值与对应频率之积的和．

跟踪训练2 (2022·哈尔滨模拟)治理沙漠化离不开优质的树苗，现从苗圃中随机地抽测了200株树苗的高度(单位：cm)，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)求直方图中a的值及众数、中位数；

(2)若树苗高度在185 cm及以上是可以移栽的合格树苗．从样本中用分层抽样的方法抽取20株树苗作进一步研究，不合格树苗、合格树苗分别应抽取多少株？

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题型三　总体离散程度的估计

例3 (2021·全国乙卷)某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下．

旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为s和s.

(1)求，，s，s；

(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果－≥2，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高)．

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思维升华 总体离散程度的估计

标准差(方差)反映了数据的离散与集中、波动与稳定的程度．标准差(方差)越大，数据的离散程度越大；标准差(方差)越小，数据的离散程度越小．

跟踪训练3 (2022·济宁模拟)甲、乙两名学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下：

(1)求两位学生预赛成绩的平均数和方差；

(2)现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由．

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